MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan – Fungsi kontinu – Limit fungsi dan limit barisan – Prapeta himpunan buka
4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu – Sifat-sifat dasar – Fungsi kontinu pada domain kompak – Fungsi monoton (c) Hendra Gunawan (2015)
2
4.1 Konsep Kekontinuan Pada subbab ini kita akan membahas 4 konsep: 1. Fungsi 2. Kekontinuan 3. Kekontinuan seragam 4. Limit fungsi Berbeda dari biasanya, konsep kekontinuan dibahas lebih dahulu daripada konsep limit. (c) Hendra Gunawan (2015)
3
Fungsi Kita telah mengetahui adanya pemetaan satuke-satu antara Z dan N. Pemetaan, atau secara umum fungsi, merupakan konsep penting dalam matematika. Def. Diberikan dua himpunan sembarang, sebutlah A dan B, kita dapat mempunyai fungsi f yang mengaitkan setiap anggota A (sebut x) dengan tepat sebuah anggota B (sebut f(x)). Himpunan A disebut sebagai domain fungsi tsb, sedangkan himpunan B disebut sebagai range fungsi tsb. (c) Hendra Gunawan (2015)
4
Himpunan f(A) := {f(x) : x ϵ A} disebut peta dari A (di bawah f). Himpunan ini tidak harus sama dgn B. Jika f(A) = B, maka f bersifat ‘pada’(onto). Selanjutnya, f bersifat ‘satu-ke-satu’ (1-1) apabila f(x1) ≠ f(x2) untuk x1 ≠ x2. Notasi f : A B menyatakan fungsi dari A ke B. Dalam pembahasan kita selanjutnya, A ⊆ R dan B = R. Dua fungsi sama jika dan hanya jika ‘aturan’ pengaitannya sama dan domainnya sama. Sebagai contoh, f(x) = x2 dgn domain [0,1] tidak sama dgn F(x) = x2 dgn domain R. (c) Hendra Gunawan (2015)
5
Cara menyatakan fungsi Setidaknya ada 3 cara menyatakan fungsi: 1. Secara eksplisit, misal: f(x) = x2, x ϵ [0,1]. 2. Secara implisit (melalui persamaan), misal: x2 + y2 = 1, y > 0. 3. Melalui grafiknya, yang merupakan plot semua titik (x, f(x)) pada bidang-xy.
(c) Hendra Gunawan (2015)
6
Fungsi sebagai ‘Mesin’
x
f
(c) Hendra Gunawan (2015)
f(x)
7
Kekontinuan Membayangkan fungsi f sebagai mesin, yang akan menghasilkan output f(x) apabila mendapat input x, kita bertanya: apakah f akan menghasilkan output yang kurang lebih sama apabila inputnya kurang lebih sama? Def. Fungsi f : A B dikatakan kontinu di x0 ϵ A apabila untuk setiap bilangan asli m, terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)| < 1/m untuk setiap x ϵ A dgn |x – x0| < 1/n. (c) Hendra Gunawan (2015)
8
Catatan. Secara umum bilangan n bergantung pada m dan juga pada x0. Contoh: f(x) = 1/x, x > 0. Misal x0 > 0 sembarang. Diberikan bilangan asli m sembarang, ingin dicari bilangan asli n sedemikian sehingga |1/x – 1/x0| < 1/m untuk setiap x > 0 dengan |x – x0| < 1/n. Dengan proses mundur (detil diberikan di papan tulis), bilangan n dgn 1/n < x0/2 dan 1/n < x02/2m memenuhi kondisi di atas. Semakin dekat x0 ke 0, semakin besar bilangan n. (c) Hendra Gunawan (2015)
9
Grafik fungsi f(x) = 1/x, x > 0 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
1
2
(c) Hendra Gunawan (2015)
3
4 10
Kekontinuan Seragam Def. Misalkan f : A R. Fungsi f dikatakan kontinu pada A apabila f kontinu di setiap titik di A, yakni untuk setiap x0 ϵ A dan untuk setiap m terdapat n (yang bergantung pada m dan x0) sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)| < 1/m untuk setiap x ϵ A dgn |x – x0| < 1/n. Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A apabila untuk setiap m terdapat n (yang bergantung pada m) sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)| < 1/m untuk setiap x dan x0 ϵ A dgn |x – x0| < 1/n. (c) Hendra Gunawan (2015)
11
Contoh 1. Fungsi f(x) = 1/x tidak kontinu seragam pada (0,∞). 2. Fungsi f(x) = x2 kontinu seragam pada [0,1] tetapi tidak kontinu seragam pada [0,∞). [Penjelasan diberikan di papan tulis.]
(c) Hendra Gunawan (2015)
12
Limit Fungsi di Suatu Titik Jika f kontinu di x0, maka nilai f(x) mendekati nilai f(x0) untuk x dekat x0. Ini memotivasi kita untuk mendefinisikan limit fungsi di suatu titik. Def. Misal f : A B dan x0 adalah titik limit dari A (x0 tidak harus merupakan anggota A). Fungsi f dikatakan mempunyai limit di x0 apabila terdapat suatu bilangan y := limxx0 f(x) sedemikian sehingga: untuk setiap m terdapat n sedemikian sehingga |f(x) – y| < 1/m untuk setiap x ϵ A dgn 0 < |x – x0| < 1/n. (c) Hendra Gunawan (2015)
13
Catatan 1. Jika f mempunyai limit di x0, maka limit tsb tunggal. 2. Dalam hal x0 ϵ A, tidak harus ada kaitan antara nilai limit f di x0 dan nilai f(x0). Kedua nilai tsb sama jika dan hanya jika f kontinu di x0. 3. Jika x0 ϵ A tetapi bukan titik limit dari A maka f kontinu di x0 (pilih n sedemikian sehingga |x – x0| < 1/n hanya berlaku untuk x = x0). (c) Hendra Gunawan (2015)
14
Limit Fungsi dan Limit Barisan Teorema. Misal f : A B dan x0 titik limit dari A. Maka, f mempunyai limit di x0 jika dan hanya jika (f(xk)) konvergen untuk setiap barisan (xk) yang konvergen ke x0, dgn xk ϵ A dan xk ≠ x0 utk setiap k. Ide Pembuktian. Misal y = limxx0 f(x) dan (xk) konvergen ke x0, dgn xk ≠ x0 untuk setiap k. Buktikan bahwa (f(xk)) konvergen ke y. Sebaliknya, buktikan jika (f(xk)) konvergen untuk setiap barisan (xk) yang konvergen ke x0, dgn xk ϵ A dan xk ≠ x0, maka (f(xk)) mesti konvergen ke limit yg sama, sebutlah y, dan kemudian buktikan bahwa limxx0 f(x) = y. (c) Hendra Gunawan (2015)
15
Limit Fungsi dan Limit Barisan Akibat. Misal f : A B dan x0 ϵ A. Maka, f kontinu di x0 jika dan hanya jika (f(xk)) konvergen ke f(x0) untuk setiap barisan (xk) di A yang konvergen ke x0. Catatan. Akibat di atas menyatakan bahwa f dapat bertukar dengan limit, yakni lim f ( xk ) = f ( lim xk ), k →∞ k →∞ jika dan hanya jika f kontinu di x0. (c) Hendra Gunawan (2015)
16
Karakterisasi Fungsi Kontinu via Prapetanya Def. Misal f : A B dan E ⊆ B. Himpunan f-1(E) := {x ϵ A : f(x) ϵ E} disebut prapeta E di bawah f.
Teorema. Misal f : A B dengan A himpunan buka. Maka, f kontinu pada A jika dan hanya jika prapeta sembarang himpunan buka merupakan himpunan buka.
Bukti. Latihan (atau lihat buku). (c) Hendra Gunawan (2015)
17
Latihan 1. Buktikan bahwa f(x) = x2 kontinu di setiap x0 dengan x0 > 0, dengan: a. Menggunakan definisi. b. Menggunakan teorema.
2. Diketahui f(x) = x, dgn x ϵ A := {1/n : n ϵ N}.
a. Berikan alasan mengapa f kontinu di setiap titik (di domainnya). b. Tentukan limit f di 0, apabila ada.
3. Misal f : A B dengan A tutup. Buktikan f kontinu pada A jika dan hanya jika prapeta sembarang himpunan tutup merupakan himpunan tutup. 4. Berikan contoh sebuah fungsi kontinu pada R dengan prapeta suatu himpunan kompak yang tidak kompak. (c) Hendra Gunawan (2015)
18
