1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real itu dan bagaimana sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya diperlukan beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana. 1.1.1 Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan
asli.
Himpunan
bilangan
asli
biasanya
dinyatakan dengan A, namun banyak literatur menggunakan N (natural), yakni: N 1,2,3,.... Jika ke dalam N ditambahkan elemen 0 maka terbentuklah
N 0 0,1,2,3,...yaitu
himpunan bilangan cacah.
Selanjutnya, jika himpunan bilangan cacah digabungkan dengan himpunan yang terdiri dari negatif bilangan-bilangan asli maka terbentuklah himpunan bilangan bulat yang biasa dinyatakan dengan B atau Z (Zahlen), yakni
Z ...,3,2,1,0,1,2,3,... .
Sehingga
seringkali himpunan bilangan asli disebut dengan himpunan bilangan bulat positif. Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, tegangan listrik dan lain-lain, maka bilangan-bilangan bulat tidak memadai untuk memberi ukuran tersebut. Sehingga hasil bagi (rasio) dari bilangan bulat haruslah dipertimbangkan, yaitu bilangan-bilangan Pertemuan 1
1
3 7 21 ; ; ; 4 8 5
seperti:
dan lain-lain. Selanjutnya didefinisikan suatu
bilangan yang dinyatakan
p q
dengan p dan q bilangan bulat dan q 0,
disebut bilangan rasional. Himpunan
bilangan
rasional
biasa
dinyatakan dengan Q, maka himpunan bilangan sebagai
rasional
dapat
dinyatakan
p Q x / x , q 0danp, q Z q
Jangan sekali-kali membagi dengan bilangan nol
Dalam perkembangan, ternyata bilangan rasional tidak cukup untuk menampung semua kebutuhan akan bilangan dalam matematika, tidak mampu mengukur semua ukuran panjang. Dari berbagai sifat bilangan rasional, ternyata ada titik-titik pada garis bilangan yang tidak bias dinyatakan dengan bilangan rasional Perhatikan bahwa
2
merupakan panjang sisi miring
sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1 satuan. Bilangan ini tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat atau 2
p q
untuk setiap p, q Z dan q 0, sehingga
2
bukan
bilangan rasional, demikian juga 3, 25, , dan lain-lain. Bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk bilangan rasional diistilahkan dengan
2
1
bilangan irrasional (IR). 1
Pertemuan 1
2
1.1.2 Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan
rasional atau irrasional
disebut himpunan bilangan real dan dinyatakan dengan R, sehingga himpunan bilangan real merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.
R Q IR .
Himpunan bilangan real dapat dipandang sebagai kumpulan titiktitik sepanjang sebuah garis lurus yang disebut garis bilangan real. Setiap titik menyatakan satu bilangan real atau setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh sebuah titik dalam garis bilangan real. 4 3 -2
2 3
-1
0
2 1
2
3
Secara umum himpunan bilangan real memuat himpunan bilangan rasional dan
himpunan
bilangan
irrasional.
Himpunan bilangan rasional memuat
Bil. asli Bilangan bulat Bilangan Rasional Bilangan Real
himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan
bulat
memuat
bilangan
asli.
Hubungan
tersebut
N Z Q R dan
Qc R
dinyatakan
himpunan
dilukiskan seperti diagram disamping. 1.2 SISTEM BILANGAN REAL Sebagaimana dijelaskan diatas bahwa sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya, sehingga Pertemuan 1
3
sistem bilangan real adalah himpunan yang terdiri dari bilangan real beserta sifat-sifat yang dimilikinya. Adapun beberapa sifat bilangan real akan diuraikan sebagai berikut: 1.2.1 Sifat-sifat Medan 1.
Hukum komutatif :
2.
Hukum asosiatif :
3.
Hukum distribusi :
4.
Elemen-elemen identitas
x y yx
& xy yx , x,y R
x ( y z) ( x y) z & x( yz ) ( xy ) z ,x,y,z x( y z) xy xz ,
R
x,y,z R
Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0 yang memenuhi x + 0 = x, xR Elemen identitas terhadap perkalilan adalah 1 yang memenuhi x1 = x, x R 5.
Invers (balikan) Setiap bilangan real x mempunyai balikan aditif (invers terhadap penjumlahan) yang disebut negative x atau -x yang memenuhi x + (-x) = 0 Setiap bilangan x mempunyai balikan perkalian (invers terhadap perkalian) yang disebut kebalikan atau x-1, yang memenuhi x x-1 = 1
1.2.2 Sifat-sifat Urutan 1. Trikotomi Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku: 2. Ketransitifan :
x y atau
x y dan
x = y atau x > y
y
Pertemuan 1
4
3. Penambahan :
x y
x+z
4. Perkalian Bilangan z positif, x < y xz < yz Jika z negatif, x < y xz > yz 1.3 SELANG Coba kalian perhatikan penulisan himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real Penulisan Himpunan
Selang
{ x|a < x < b }
(a,b)
a
b
{ x|a x < b }
[a,b)
a
b
{ x|a < x b }
(a,b]
a
b
{ x|a x b }
[a,b]
a
b
Dalam Garis Bilangan Real
{x|xb}
(-,b]
b
{x|x
(-,b)
b
Pertemuan 1
5
{x|xa}
[a,)
a
{x|x>a}
(a,)
a
Yang dimaksud dengan selang, CCaattaattaann atau
interval
adalah
suatu
himpunan bagian dari himpunan bilangan real, bukan berarti setiap himpunan bagian dari R adalah merupakan selang. Jelasnya bisa
(a,b) disebut sebagai selang terbuka, [a,b] disebut sebagai selang tertutup, sedangkan [a,b), (a,b] disebut sebagai selang setengah terbuka atau setengah tertutup
dilihat tabel berikut: 1.4 HARGA MUTLAK Pada kepentingan tertentu, diperlukan bilangan yang selalu positif. Sebagai missal jarak suatu kota ke kota yang lain, jarak dari suatu titik ke titik yang lain. Dalam system bilangan real, bilangan yang tidak pernah negative didefinisikan sebagai harga mutlak
Definisi 1.1 Harga mutlak, dituliskan (1) x = x , jika x > 0 (2) x = -x , jika x < 0 (3) x = 0 , jika x = 0
x
dimana x real adalah:
Pertemuan 1
6
Beberapa sifat dari harga mutlak diberikan sebagai berikut: (1) Untuk a dan b real, berlaku a b b a (2) Jika a > 0 maka x < a -a < x < a Akibat dari sifat-sifat di atas adalah: (3) Jika a > 0 , maka
x
a -a x a
(4) Jika a > 0 , maka
x
> a x < -a atau x > a
jika a > 0 , maka
x
a x -a
(5) Jika a dan b real maka
ab a b
(6) Jika a dan b real maka ketidaksamaan segitiga) (7) Jika a dan b real, maka
ab a b
(disebut
a b ab a b a b
Pertemuan 1
7
