1. Opakování, značení - filtrace. X : (Ω, A) (E, E), pak symbolem

´ n´ı, znac ˇen´ı - filtrace 1. Opakova Bud’ (Ω, A) mˇeˇriteln´ y prostor. Oznaˇcme L(A) = {X : (Ω, A) → (R, B)} mnoˇzinu vˇsech re´aln´ ych A-mˇeˇriteln´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin, kde B = B(R) znaˇc´ı borelovskou σ-algebru na re´aln´e pˇr´ımce R. Je-li X : (Ω, A) → (E, E), pak symbolem σ(X) = σE (X) = {[X ∈ B]; B ∈ E} oznaˇcujeme σ-algebru generovanou n´ ahodnou veliˇ cinou X. D´ale zkr´acenˇe p´ıˇseme L(σ(X)) = L(X). Je-li Y ∈ L(X), pak existuje h ∈ L(E) takov´a, ˇze Y = h(X) a z´apis Y ∈ L(X) pak ˇcteme: re´aln´a n´ahodn´a veliˇcina Y je mˇ eˇ ritelnou funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X. Je-li A σ-algebra, pak je generovan´a kanonickou n´ ahodnou veliˇ cinou σ-algebry A ve tvaru 1A = (1A , A ∈ A) : (Ω, A) → (R, B)A , 1 kter´a je re´aln´ ym n´ahodn´ ym procesem indexovan´ ym mnoˇzinou A ˇr´ıkaj´ıc´ı, kter´ y z jev˚ u A ∈ A nastal a A kter´ y ne. Speci´alnˇe, je-li Y ∈ L(A) = L(1A , A ∈ A), pak existuje h ∈ L(B ) takov´a, ˇze Y = h(1A , A ∈ A). Je-li (Ω, A) mˇeˇriteln´ y prostor a X(ω) = ω, ω ∈ Ω, pak X : (Ω, A) → (Ω, A) je mˇeˇriteln´a n´ahodn´a veliˇcina, kter´e ˇr´ık´ame kanonick´ e n´ ahodn´ a veliˇ cina na mˇeˇriteln´em prostoru (Ω, A). Je-li nav´ıc, Ω ⊆ RT , kde ∅= 6 T ⊆ R, pak X nazveme tak´e kanonick´ ym n´ ahodn´ ym procesem. Proces X = (Xt , t ∈ T ) je pak T sestaven z projekc´ı Xt (ω) = ωt , t ∈ T. Je-li ω ∈ R , pak ω|t = (ωs , s ∈ Tt ) znaˇc´ı z´ uˇ zen´ı funcke ω : T → R na indexovou mnoˇzinu Tt = {s ∈ T ; s ≤ t} vˇsech (ˇcasov´ ych) index˚ u do ˇcasu t. Funci ω|t budeme tak´e ˇr´ıkat funkce ω useknut´ a vˇ case t ∈ T. Bud’ (Ω, A) mˇeˇriteln´ y prostor, neklesaj´ıc´ı syst´em (Ft , t ∈ T ) pod σ-algeber A nazveme filtrac´ı indexovanou indexovou mnoˇzinou ∅ = 6 T ⊆ R, form´alnˇe: • s ≤ t, s, t ∈ T ⇒ Fs ⊆ Ft ⊆ A. Pˇ rirozenou (kanonickou) filtrac´ı n´ahodn´eho procesu X = (Xt , t ∈ T ) s indexovou mnoˇzinou ∅ 6= T ⊆ R a stavov´ ym prostorem (E, E) rozum´ıme filtraci FtX = σ(Xs , s ∈ Tt ) = σ(X|t ) = σE Tt (X|t ) = {[X|t ∈ B], B ∈ E Tt }. Je-li Xt ∈ L(Ft ), t ∈ T, pak ˇr´ık´ame, ˇze proces Xt je Ft -adaptovan´ y a p´ıˇseme zkr´acenˇe Xt ∈ A(Ft ). X Zˇrejmˇe pro re´aln´ y proces X plat´ı: Xt ∈ A(Ft ) ≡ Ft ⊆ Ft , t ∈ T. Pokud Yt ∈ A(Ft ), pak pro kaˇzd´e t ∈ T plat´ı Yt ∈ L(FtX ) = L(X|t ), existuje tedy ht ∈ L(E Tt ) takov´a, ˇze Yt = ht (X|t ). Pozn´ amka: Je-li (Ft , t ∈ T ) syst´em σ-algeber, pak F = ∩t∈T Ft je opˇet σ-algebra nejvˇetˇs´ı takov´a, ˇze F ⊆ Ft , t ∈ T, form´alnˇe F = inf{Ft ; t ∈ T } vzhledem ke svazov´emu uspoˇra´d´an´ı ⊆ σ-algeber. Naopak A = ∪t∈T Ft je algebra, ale ne obecnˇe σ-algebra. Symbolem _ [ F= Ft = σ( Ft ) = σ(A) t∈T

t∈T

oznaˇc´ıme nejmenˇs´ı σ-algebru obsahuj´ıc´ı Ft , t ∈ T jako podmnoˇziny. Z hlediska svazov´eho uspoˇr´ad´an´ı m˚ uˇzeme ps´at F = ∨t∈T Ft = sup{Ft ; t ∈ T }, tedy je to nejmenˇs´ı horn´ı mez. (1) Je-li C ⊥⊥ Ft , t ∈ T, pak zˇrejmˇe tak´e C ⊥⊥ A a protoˇze A je algebra (a tedy uzavˇren´a na koneˇcn´e pr˚ uniky), plat´ı C ⊥⊥ σ(A) = F. (2) Podobnˇe: jsou-li P, Q dvˇe pravdˇepodobnosti rovnaj´ıc´ı se na Ft , t ∈ T, pak P = Q na A, a opˇet protoˇze A je algebra (uzavˇren´a na koneˇcn´e pr˚ uniky), plat´ı P = Q na σ(A) = F. Bud’ (Ft , t ∈ T ) filtrace na (Ω, A), oznaˇc´ıme \ [ _ F−∞ = Fs , F∞ = σ( Fs ) = Fs . s∈T

s∈T

s∈T

ˇ D´ale Tt− = {s ∈ T : s < t}. Rekneme, ˇze (re´aln´ y) stochastick´ y proces X = (Xt , t ∈ T ) je (zleva, zprava) spojit´ y , pokud jeho trajektorie X(ω) : t ∈ T 7→ Xt (ω) je (zleva, zprava) spojit´a funkce. 1Zde

a d´ ale vypouˇst´ıme symbol ⊗, kter´ y pouˇz´ıv´ame pro souˇcin σ-algeber, mˇer a mˇeˇriteln´ ych a pravdˇepodobnostn´ıch prostor˚ u bˇeˇznˇe tak´e pouˇz´ıvan´ y pˇri oznaˇcen´ı pˇr´ısluˇsn´ ych mocninn´ ych σ-algeber a mˇeˇriteln´ ych prostor˚ u. Zkr´acenˇe tedy budeme d´ ale napˇr. ps´ at (Ω, A, P)2 = (Ω, A, P)⊗2 = (Ω, A, P) ⊗ (Ω, A, P) = (Ω2 , A2 , P2 ) = (Ω2 , A⊗2 , P⊗2 ) = (Ω × Ω, A ⊗ A, P ⊗ P). 1

2

Cviˇ cen´ı Bud’te Xk , k ∈ N nez´avisl´e kladn´e veliˇciny s hustotou fλ (x) = λe−λx · 1[x>0] . Poloˇzme Sn =

(1)

n X

XK ,

and

Nt =

k=1

∞ X

1[Sk ≤t] .

k=1

Ukaˇzte, ˇze N = (Nt , t ≥ 0) je zprava spojit´ y proces startuj´ıc´ı z N0 = 0 s neklesaj´ıc´ımi trajektoriemi nab´ yvaj´ıc´ı hodnot z N0 s nez´avisl´ ymi pˇr´ır˚ ustky Nt − Ns ∼ Po(λ|t − s|). Proces N = (Nt , t ≥ 0) nazveme Poissonov´ ym processem s intenzitou λ > 0. ˇ) ocen ˇ uj´ıc´ı, ohodnocuj´ıc´ı proces ] 2. Definice - martingaly [(spravdelive ˇ Bud’ (Ft , t ∈ T ) filtrace na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P). Rekneme, ˇze integrovateln´ y proces sj sj Xt ∈ A(Ft ) je Ft -martingal , pokud Xs = E[Xt |Fs ], Ft -submartingal , pokud Xs ≤ E[Xt |Fs ] a Ft supermatingal , pokud Xs ≥sj E[Xt |Fs ] - kdykoli s ≤ t pro s, t ∈ T. sj

Interpretace Pro Ft -martingal a s ≤ t z T poˇzadujeme Xs = E[Xt |Fs ], coˇz interpretujeme tak, ˇze Xs je (spravedliv´ ym) vˇern´ ym Fs -odhadem veliˇciny Xt . Hodnota procesu Xs tak poskytuje stochasticky vyv´aˇzen´ y Fs -mˇeˇriteln´ y odhad budouc´ıch hodnot procesu X. Proces Xt jako Ft -martingal se pak pouˇz´ıv´a k modelov´an´ı (spravedliv´eho) vˇern´eho ocenˇen´ı (ohodnocen´ı) oˇcek´avan´ ych finaˇcn´ıch tok˚ u. Tato interpretace sj plnˇe podpov´ıd´a pˇr´ıpadu, kdy existuje veliˇcina X∞ ∈ L(F∞ ) takov´a, ˇze Xt = E[X∞ |Ft ], t ∈ T. V t´eto souvislosti je tak´e uˇziteˇcn´a pˇredstava procesu X jako (vˇernˇe, nestrannˇe) stˇr´ılej´ıc´ıho procesu a veliˇciny X∞ jako odpov´ıdaj´ıc´ıho c´ıle. Obecnˇe si lze martingal pˇredstvovat jako stochasticky vyv´aˇzen´ y hledaj´ıc´ı proces. Ve v´ yˇse uveden´em pˇr´ıpadˇe pak lze ˇr´ıc´ı, ˇze c´ıl X∞ ∈ L(F∞ ) je nalezen. Pokud takov´a veliˇcina neexistuje, pak lze opˇet interpretovat martingal jako hledaj´ıc´ı proces, pˇriˇcemˇz odpov´ıdaj´ıc´ı c´ıl neexistuje. To souvis´ı s explozivn´ım charakterem martingalu v takov´em pˇr´ıpadˇe vych´azej´ıc´ı z postupn´eho rozˇcilen´ı, ˇze to, co hled´a neexistuje. N´asledkem takov´eho rozˇcilen´ı martingalu m˚ uˇze b´ yt to, ˇze v limitˇe (po explozi) ztrat´ı svou u ´roveˇ n EXs = EXt , kterou si ze sv´e podstaty v koneˇcn´ ych deterministick´ ych ˇcasech zachov´av´a. sj Po Ft -submartingalu pro s ≤ t z T poˇzadujeme Xs ≤ E[Xt |Fs ], coˇz znamen´a, ˇze veliˇcina Xs je doln´ım Fs mˇeˇriteln´ ym odhadem budouc´ıch hodnot procesu Xt . Bereme-li proces X jako odhad budouc´ıch hodnot, pak tento proces budouc´ı hodnoty (sub=pod) podhodnocuje (podceˇ nuje) popˇr. podstˇreluje. Opˇet jako speci´aln´ı pˇr´ıpad m˚ uˇzeme uvaˇzovat situaci, kdy existuje veliˇcina X∞ ∈ L(F∞ ) takov´a, ˇze Xt ≤sj E[X∞ |Ft ], t ∈ T. V takov´em pˇr´ıpadˇe proces Xt sv˚ uj c´ıl opˇet zas´ahne. V tomto pˇr´ıpadˇe si m˚ uˇzeme pˇredstavovat, ˇze je to proces, kter´ y sv˚ uj c´ıl nadh´an´ı sp´ıˇse zespoda a oˇcek´av´a, ˇze jej nalezne sp´ıˇse nahoˇre. V pˇr´ıpadˇe, ˇze uveden´a c´ılov´a veliˇcina neexistuje, interpretujeme to tak, ˇze c´ıl, kter´ y proces hledal, neexistuje, coˇz se opˇet m˚ uˇze projevit poklesem u ´rovnˇe procesu Xt , t ∈ T po explozi (v nekoneˇcnu), pˇrestoˇze je jeho u ´roveˇ n EXt , t ∈ T nekles´a. Analogicky po Ft -supermartingalu pro s ≤ t z T poˇzadujeme Xs ≥sj E[Xt |Fs ], coˇz znamen´a, ˇze veliˇcina Xs je horn´ım Fs -mˇeˇriteln´ ym odhadem budouc´ıch hodnot procesu Xt . Bereme-li opˇet proces X jako odhad budouc´ıch hodnot, pak tento proces budouc´ı hodnoty naopak (super=nad) nadhodnocuje (pˇreceˇ nuje) popˇr. pˇrestˇreluje. Zde ponechv´am ˇcten´aˇri k analogick´emu doplnˇen´ı pˇr´ıpady, kdy existuje c´ıl, kter´ y proces z principu pˇrestˇreluje a kdy hledan´ y c´ıl neexistuje, a proto proces po explozi svou nerostouc´ı u ´roveˇ n m˚ uˇze EXt , t ∈ T povzn´est. Za pozn´amku uˇz jen stoj´ı poznamenat, ˇze slovo ,,super” zde neznamen´a: ˇze proces nejsp´ıˇse p˚ ujde nahoru, ale naopak. Super zde znamen´a (bezmezn´ y) optimismus, kter´ y je budouc´ım v´ yvojem krocen, coˇz se projevuje v moˇzn´em poklesu jeho u ´rovnˇe. Naopak submartingal jako podhodnocuj´ıc´ı proces se vymezuje opatrnost´ı proti p´adu a t´ım z´ısk´av´a potenci´al k r˚ ustu, coˇz se projevuje v jeho neklesaj´ıc´ı u ´rovni. O martingalu pak lze ˇr´ıc´ı, ˇze je to proces, kter´ y kr´aˇc´ı (zlat´ ym) stˇredem. Lemma 1 Necht’ ∅ = 6 T ⊆ R je lok´alnˇe koneˇcn´a mnoˇzina2 a Xt ∈ A(Ft ) je integrovateln´ y proces indexovan´ y T. Pak Xt je Ft -martingal (super/sub) pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∀ s, t ∈ T s < t (s, t) ∩ T = ∅

(2)

⇒

sj

Xs = E[Xt |Fs ]

( ≥sj ,

sj ≤

).

Pokud (s, t) ∩ T = ∅, ˇr´ık´ame, ˇze body s, t ∈ T jsou soused´ e. D˚ ukaz: Je-li proces Xt Ft -martingal (super/sub), pak (2) plat´ı z definice ( ≥sj , ≤sj ). Plat´ı-li naopak (2), pak plat´ı V (0), kde V (n) : 2Tj.

∀s, t ∈ T s < t card(s, t) ∩ T = n

(a, b) ∩ T je koneˇcn´ a mnoˇzina pro kaˇzd´e a < b.

⇒

sj

Xs = E[Xt |Fs ]

( ≥sj ,

sj ≤

).

3

Necht’ nyn´ı n ∈ N. Indukc´ı uk´aˇzeme, ˇze plat´ı V (n) za pˇrepodkladu, ˇze plat´ı V (k) pro k < n. Necht’ card(s, t) ∩ T = n ∈ N. Existuje tedy r ∈ (s, t) ∩ T, pak n1 = card(s, r) ∩ T < n a n2 = card(r, t) ∩ T < n. Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu platnosti V (n1 ), V (n2 ) pak dost´av´ame (ne)rovnost sj

sj

sj

Xs = E[Xr |Fs ] = E[E(Xt |Fr )|Fs ] = E[Xt |Fs ]

( ≥sj ,

sj ≤

). Q.E.D.

Pozn´ amka: Martingal m´a konstantn´ı stˇredn´ı hodnotu, submartingal neklesaj´ıc´ı a supermartingal nerostouc´ı. Lemma 2 Necht’ Xt je Ft -super/sub-martingal. Je-li EXt konstantn´ı, pak Xt je Ft -martingal. D˚ ukaz: Pro submartingal. Bud’te s, t ∈ T a s < t, pak Y = E[Xt |Fs ] − Xs ≥sj 0 a EY = EXt − EXs = 0. sj sj Pak nutnˇe Y = 0, tj. Xs = E[Xt |Fs ]. Q.E.D. Lemma 3 Necht’ proces X = (Xt , t ∈ T ) je Ft -martingal (super, sub). Je-li filtrace (Gt , t ∈ T ) sevˇren´a mezi FtX ⊆ Gt ⊆ Ft , pak proces X je tak´e Gt -martingal (super, sub). D˚ ukaz: Z pˇredpoklad˚ u plyne, ˇze Xt ∈ L1 (FtX ) ⊆ L1 (Gt ), t ∈ T. Jinak bud’te s, t ∈ T takov´e, ˇze s < t. Pak protoˇze Gs ⊆ Fs a Xs ∈ L1 (Gs ), plat´ı sj

sj

sj

E[Xt |Gs ] = E[E(Xt |Fs )|Gs ] = E[Xs |Gs ] = Xs

( ≤sj ,

sj ≥

). Q.E.D.

ˇ Rekneme, ˇze proces X = (Xt , t ∈ T ) je martingal (supermartingal, submartingal), je-li FtX martingal (super/sub). Ekvivalentnˇe je proces martingal (super/sub), je-li vzhledem k nˇejak´e filtraci, pˇriˇcemˇz vˇzdy lze uvaˇzovat kanonickou. P Bud’te Xk , k ∈ N nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny. O procesu Sn = nk=1 Xk pak ˇrekneme, ˇze je to n´ ahodn´ a proch´ azka s krokem Xn = Sn − Sn−1 . Bud’ nav´ıc (Fk , k ∈ N0 ) filtrace. Pak ˇrekneme, ˇze proces Sn je Fn -n´ ahodn´ a proch´ azka, pokud Sn ∈ A(Fn ) a pokud jej´ı krok Xn+1 = Sn+1 − Sn je nez´avisl´ y s Fn pro n ∈ N0 . Pˇ r´ıklady Bud’ Sn Fn -n´ahodn´a proch´azka s krokem Xn = Sn − Sn−1 . (1) Je-li X1 ∈ L1 , pak Sn = Sn − ESn = Sn − n · EX1 je Fn -martingal. (2) Je-li X1 ∈ L2 , pak Vn = S2n − ES2n = S2n − nσ 2 je Fn -martingal, kde σ 2 = var(X1 ). (3) Je-li α ∈ R a β = ln E exp{αX1 } ∈ R, pak En = exp{αSn − nβ} je Fn -martingal. (1*) Bud’ Nt Poisson˚ uv proces s intenzitou λ > 0. Pak proces Mt = Nt − ENt = Nt − λt je martingal. (2*) Proces Vt = Mt2 − EMt2 = Mt − λt je FtN -martingal, kde FtN = FtM ⊇ FtV .3 (3*) Et = exp{αNt − βt} je martingal pr´avˇe tehdy, kdyˇz EEt = 1, t ≥ 0. Proces W = (Wt , t ≥ 0) se naz´ yv´a Wiener˚ uv , pokud (a) W0 = 0 a jeho trajektorie W (ω) = (Wt (ω), t ≥ 0) jsou spojit´e (b) W |t ⊥⊥ Wt − Ws ∼ N (0, t − s) pro 0 ≤ s ≤ t. Ekvivalentnˇe je proces W Wiener˚ uv, pokud splˇ nuje (a) a pokud (b’) je centrovan´ y Gausovsk´ y proces s autokovarianc´ı cov(Ws , Wt ) = s ∧ t pro s, t ≥ 0. (1’) Wiener˚ uv proces Wt je martingal. (2’) Vt = Wt2 − t je FtW -martingal. (3’) Et = exp{λWt − 21 λ2 t} je martingal. V bodech (3),(3*),(3’) lze tak´e uvaˇzovat α, β, λ ∈ C komplexn´ı. Pˇ r´ıklad Necht’ Y ∈ L1 (Ω, A, P) a (Ft , t ∈ T ) je filtrace na (Ω, A). Pak proces Yt = E[Y |Ft ], t ∈ T je Ft -martingal. Tvrzen´ı 1 Necht’ (Ft , t ∈ T ) a (Gt , t ∈ T ) jsou nez´avisl´e filtrace, tj. F∞ a G∞ jsou nez´avisl´e σ-algebry. Je-li Xt Ft -martingal (super/sub), pak je tak´e Ft ∨ Gt -martingal (super/sub). 3Zde

|M |

plat´ı FtM = Ft

2

= FtM = FtV ,

4

D˚ ukaz: Bud’te (s, t) ∈ T (2) , F ∈ Fs , G ∈ Gs . Pak z nez´avislosti G ∈ G∞ ⊥⊥ F∞ ⊇ σ(1F , E[Xt |Fs ], Xt ) dostaneme, ˇze4 R R R E[Xt |Fs ] dP = E[1G · 1F E[Xt |Fs ]] = P (G) · F E[X|F] dP = P (G) F Xt dP F ∩G R = P (G) · E[Xt 1F ] = E[1G · Xt 1F ] = F ∩G Xt dP. Ovˇeˇrili jsme tedy stabilitu (3)

R

Xt dP = H

R H

E[Xt |Ft ] dP

pro mnoˇziny H ∈ H = {F ∩ G : F ∈ Fs , G ∈ Gs } 3 Ω tvoˇr´ıc´ı syst´em uzavˇren´ y na koneˇcn´e pr˚ uniky. Protoˇze mnoˇzina vˇsech H ∈ Fs ∨ Gs vyhovuj´ıc´ı (3) tvoˇr´ı Dynkin˚ uv syst´em, plat´ı rovnost (3) pro kaˇzd´e H ∈ σ(H) = Fs ∨ Gs . Protoˇze E[Xt |Fs ] ∈ L1 (Fs ) ⊆ L(Fs ∨ Gs ), plat´ı sj

sj

E[Xt |Fs ] = E[Xt |Fs ∨ Gs ] = Xs . Q.E.D. Tvrzen´ı 2 Necht’ Xt , t ∈ T je Ft -martingal n´ab´ yvaj´ıc´ıch skoro jistˇe hodnot v mnoˇzinˇe D ⊆ R. Je-li g : D → R konvexn´ı funkce takov´a, ˇze g(Xt ) ∈ L1 , tj. je-li g(Xt ) integrovateln´ y proces, pak g(Xt ) je Ft -submartingal. D˚ ukaz: Pouˇzit´ım Jensenovy nerovnosti pro podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu dostaneme, ˇze sj

E[g(Xt )|Fs ] ≥sj g(E[Xt |Fs ]) = g(Xs ),

(s, t) ∈ T (2) . Q.E.D.

Pozn´ amka: Jensenova nerovnost pro podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu plat´ı pro konvexn´ı funkci na konvexn´ı podmnoˇzinˇe v Rk . Staˇc´ı uvaˇzovat podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu jako stˇredn´ı hodnotu v˚ uˇci podm´ınˇen´emu rozdˇelen´ı na Rk , kter´e vˇzdy exisuje, nebot’ Rk je separabiln´ı metrick´ y prostor. Tvrzen´ı 3 Necht’ Xt , t ∈ T je Ft -submartingal s hodnotami skoro jistˇe v konvexn´ı mnoˇzinˇe D ⊆ R a g : D → R neklesaj´ıc´ı konvexn´ı. Je-li proces g(Xt ) integrovateln´ y, pak je to Ft -submartingal. D˚ ukaz: Pouˇzit´ım Jensenovy nerovnosti pro podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu dostaneme, ˇze E[g(Xt )|Fs ] ≥sj g(E[Xt |Fs ]) ≥sj g(Xs ),

(s, t) ∈ T (2) . Q.E.D.

4Od nyn´ı budeme pouˇ z´ıvat n´ asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı T (k) = {t ∈ T k ; t1 < · · · < tk } pro mnoˇzinu vˇsech rostouc´ıch posloupnost´ı d´elky k ∈ N nab´ yvaj´ıc´ıch hodnot v mnoˇzine T. Pro snadnˇejˇs´ı pˇriet´ı tohoto znaˇcen´ı zde uvedeme i odpov´ıdaj´ıc´ı od˚ uvodnˇen´ı. Symbolem AB = {f : B → A} v teorii mnoˇzin oznaˇcujeme mnoˇzinu vˇsech zobrazen´ı z B do A. V´ yhodou tohoto znaˇcen´ı je umoˇzn ˇˇen´ı form´ aln´ıho pˇr´ıpstupu k v´ ypoˇctu jej´ı kardinality |AB | = |A||B| . D´ale pˇripomenenme, ˇze v teorii mnoˇzin definujeme 0 = ∅ = {} coˇz je prototyp 0-prvkov´e mnoˇziny (a tak´e jedin´a takov´a mnoˇzina), d´ale 1 = {0} = {∅} = {{}}, coˇz je prototyp 1-prvkov´e mnoˇziny a nakonec 2 = {0, 1} = {∅, {∅}} = {{}, {{}}} jako prototyp dvouprvkov´e mnoˇziny. Pak tedy A2 = A{0,1} je mnoˇzina vˇsech zobrazen´ı z dvouprvkov´e mnoˇziny 2 = {0, 1} do A a tuto mnoˇzinu ztotoˇzn ˇujeme s kart´ezsk´ ym souˇcinem A × A = A2 = {(a, b); A, b ∈ A}, coˇz vn´ım´ame jako mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ ych dvojic (a, b) = {a, {a, b}} mnoˇziny A. Podobnˇe Ak ztotoˇzn ˇujeme s k-n´ asobn´ ym kart´ezsk´ ym
souˇcinem A × . . . × A, pro k ∈ N. D´ale pˇripomeneme, ˇze mnoˇzinou vˇsech k-prvkov´ ych podmnoˇzin mnoˇziny A znaˇc´ıme A ı kombinac´ı lze ovˇeˇrit, ˇze poˇcet prvk˚ u odpov´ıd´ a k . Pomoc´ ˇcistˇe form´ aln´ımi z´ apisu
|A|
| A . k |= k

Podobnˇe jako kombinace m˚ uˇzeme modelovat pomoc´ı k-prvkov´ ych podmnoˇzin, m˚ uˇzeme variace mnoˇziny A modelovat pomoc´ı prost´ ych posloupnost´ı. Symbolem A[B] = {f ∈ AB : f je prost´a } pak definujeme mnoˇzinu vˇsech prost´ ych zobrazen´ı z mnoˇziny B do mnoˇziny A. Je-li |B| = k ∈ N, pak |AB | = |A|[|B|] , kde vyuˇz´ıv´ame oznaˇcen´ı x[k] pro k-tou (sestupnou) faktori´ aln´ı mocninu k−1 Y x[k] = (x − j) = x · (x − 1) · . . . · (x − k + 1). j=0

Zaj´ım´ ame-li se o uspoˇr´ adan´e prost´e posloupnosti ve smyslu rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı, pak se nab´ız´ı nab´ızen´e znaˇcen´ı A(B) = {f : B → A; f rostouc´ı }, kter´e m´ a zejm´ena tu v´ yhodu, ˇze poˇcet prvk˚ u opˇet m˚ uˇzeme spoˇc´ıst ˇcistˇe form´alnˇe
[k] |A|
|A(k) | = | A = |A|k! , k |= k kdy se mnoˇzina A jakoby vyhoupne do z´ avorek () nad ˇc´ıslo k.

5

´ tory 3. Kompenza Bud’ (Ft , t ∈ T ) filtrace. Pro t ∈ T oznaˇcme Tt− = {s ∈ T ; s < t} a d´ale Ft↑ = Ft = F−∞ , _ Ft↑ = Fs = σ(Fs ; s ∈ Tt− ),

pokud t = min T pokud t > inf T.

s∈Tt−

Pak (Ft↑ , t ∈ T ) je filtrace a my j´ı budeme ˇr´ıkat prediktabiln´ı filtrace k filtraci Ft (ˇci prediktabiln´ı filtrace filtrace Ft ). Proces Ht ∈ A(Ft↑ ) adaptovan´ y na prediktabiln´ı filtraci budeme naz´ yvat Ft -predikovateln´ y (prediktabiln´ı) proces. Pˇ r´ıklady: a) T = N0 , pak F0↑ = F0 a pro n ∈ N plat´ı Fn↑ = Fn−1 . Proces H je pak Fn -predikovateln´ y pr´avˇe tehdy, kdyˇz je pˇredv´ıdateln´ y o krok dopˇredu, tj. H0 ∈ L(F0 ), Hn ∈ L(Fn−1 ), n ∈ N. Predikabiln´ı proces si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako proces, kter´ ym modelujeme naˇsi investiˇcn´ı strategii. Pomoc´ı adaptovan´ ych proces˚ u kter´e nemus´ı b´ yt predikovateln´e naopak modelujeme vnˇejˇs´ı vlivy, kter´e n´as bezprostˇrednˇe ovlivˇ nuj´ı. Bud’ Fn ∈ L(Fn ) cena futures kontraktu v ˇcase n ∈ N0 , tj. proces Fn ∈ A(Fn ) je Fn -pozorovateln´ y a Hn ∈ L(Fn−1 ) pro n ∈ N bude pˇredstavovat mnoˇzstv´ı uzavˇren´ ych futures kontrakt˚ u pro ˇcasov´ y interval (n − 1, n). Na tomto intervalu se cena futures zmˇen´ı o hodnotu ∆Fn = Fn − Fn−1 a my si pak na sv˚ uj u ´ˇcet m˚ uˇzeme pˇripsat hodnotu Hn (Fn − Fn−1 ) = Hn · ∆Fn , coˇz se d´a interpretovat tak, ˇze jsme na hru o v´ yplatˇe ∆Fn = Fn − Fn−1 sadilli s´azku o velikosti Hn , kterou jsme ovˇsem museli stanovit pˇred zapoˇcet´ım hry jiˇz v ˇcase n − 1 pro n ∈ N.5 Celkov´a naˇse v´ yhra v ˇcase m ∈ N pak bude ˇcinit m m X X Hn (Fn − Fn−1 ), Hn · ∆Fn = Vm = n=1

n=1

coˇz je diskr´etn´ı analogie stochastick´eho integr´alu zav´adˇen´eho v pˇredn´aˇsce stochstick´a anal´ yza. Na z´avˇer jen opˇet pˇripomeˇ nme, ˇze inegrovan´e procesy Ht ∈ A(Ft↑ ) pˇredstavuj´ı (intervenˇcn´ı) investiˇcn´ı (predikovateln´e) strategie a procesy Ft ∈ A(Ft ), podle kter´ ych se integruje, naopak pˇredstavyj´ı ˇcasto cenu akcie (zboˇz´ı), mˇenov´ y kurs ˇci cenu futures a ty reprezentuj´ı (v´ıce ˇci m´enˇe nepˇredv´ıdateln´e) vnˇejˇs´ı vlivy. X ), y. Zˇrejmˇe X0 ∈ L(F0X ) = L(F0↑ b) Je-li X = (Xt , t ≥ 0) zleva spojit´ y proces, je tak´e FtX -predikovateln´ Xt =

X lim Xs ∈ L(Xs , s < t) = L(Ft↑ ),

t > 0.

Q3s→t−

Zleva spojit´e procesy jsou tedy vhodn´ ymi kandid´aty proto, aby se daly stochasticky integrovat. P∞ uv proces, pak Nt nen´ı Ft -predikovateln´ y proces. Uk´aˇzeme, ˇze existuje c) Je-li Nt = k=1 1[Sk ≤t] Poisson˚ t > 0 takov´e, ˇze N Nt 6∈ L(Ns , s < t) = L(Ft↑ ). 1 Bud’ ω ∈ Ω libovoln´e a poloˇzme t = S1 (ω) > 0. Pak P (Nt = 0) > 0, a tedy existuje ω 2 ∈ [Nt = 0]. Pak Ns (ω 1 ) = 0 = N2 (ω 2 ) plat´ı pro s < t, ale Nt (ω 1 ) = 1 6= 0 = N1 (ω 2 ). Tedy Nt 6∈ L(Ns , s < t) a dokonce Nt nen´ı ˇza´dnou (ani nemˇeˇritelnou) funkc´ı (Ns , s < t). Poisson˚ uv proces se pouˇz´ıv´a k modelov´an´ı vnˇejˇs´ıch znaˇcnˇe nepˇredv´ıdateln´ ych ud´alost´ı jako jsou pojistn´e ud´alosti Sn , n ∈ N ˇci doby poruchy pˇr´ıstroje zp˚ usoben´e obt´ıˇznˇe pˇredv´ıdatelnou poruchou jednoduch´e souˇc´astky jako je napˇr. ˇz´arovka s exponenci´aln´ı dobou doˇzit´ı. Tento proces se zjevnˇe ned´a pouˇz´ıt pro modelov´an´ı naˇs´ı strategie. Dovedeno do absurdna bychom pak pojistnou smlouvu uzavˇreli aˇz v ˇcase, kdy pojistn´a ud´alost nastane s ohledem na velikost pojistn´e ˇskody, coˇz pop´ır´a z´akladn´ı principy pojistˇen´ı. ˇ Bud’ Xt ∈ A(Ft ). Rekneme, ˇze proces Ft -predikovateln´ y proces Kt ∈ A(Ft↑ ) je Ft -kompenz´ ator em procesu X, pokud proces Mt = Xt − Kt je Ft -martingal. Pozn´ amka: Bud’ W = (Wt , t ≥ 0) Wiener˚ uv proces. To je zˇrejmˇe martingal a tak´e zleva spojit´ y proces, tedy predikovateln´ y vzhledem ke kanonick´e filtraci. Pak jeho kompenz´atorem je opˇet jak´ ykoli FtW martingal a pojem kompenz´atoru vzhledem k takov´eto filtraci nem´a valn´ y v´ yznam. Naopak, je-li T = N0 , pak takov´ y netrivi´aln´ı pˇr´ıklad predikovateln´eho martingalu neexistuje a to stoj´ı v pozad´ı n´asleduj´ıc´ıho tvrzen´ı, kter´e ukazuje, jak takov´ y kompenz´ator vypad´a. 5Hodnota

H0 je v tomto pˇr´ıpdadˇe naprosto nepodstatn´a.

6

Tvrzen´ı 4 Bud’ X = (Xn , n ∈ N0 ) Fn -adaptovan´ y integrovateln´ y proces. Pak Fn -predikovateln´ y proces Kn je Fn -kompenz´atorem procesu X pr´avˇe tehdy, kdyˇz sj

(4)

Kn = K0 +

n X

E[Xk − Xk−1 |Fk−1 ],

K0 ∈ L1 (F0 ).

kde

k=1

D˚ ukaz: Necht’ Kn je Fn -kompenz´ator procesu Xn . Pak Mn = Xn − Kn je Fn -martingal. Plat´ı tedy sj

sj

sj

0 = E[Mn − Mn−1 |Fn−1 ] = E[Xn − Xn−1 − (Kn − Kn−1 )|Fn−1 ] = E[Xn − Xn−1 |Fn−1 ] − (Kn − Kn−1 ), sj nebot’ Kn , Kn−1 ∈ Fn↑ = Fn−1 plat´ı pro kaˇzd´e n ∈ N. D´ale X0 −M0 = K0 ∈ L(F0 ) mus´ı b´ yt integrovateln´a veliˇcina, nebot’ X0 , M0 ∈ L1 . Nasˇc´ıt´an´ım pak dostaneme

Kn = K0 +

n X

sj

(Kk − Kk−1 ) = K0 +

k=1

n X

E[Xk − Xk−1 |Fk−1 ].

k=1

Naopak proces Kn definovan´ y rovnost´ı (4 - vˇsude) je Fn -predikovateln´ y, coˇz lze ovˇeˇrit indukc´ı s pomoc´ı ∆Kk = Kk − Kk−1 = E[Xk − Xk−1 |Fk−1 ] ∈ L1 (Fk ),

k ∈ N.

Pak Mn = Xn − Kn ∈ L1 (Fn ) pro n ∈ N a sj

sj

E[Mn − Mn−1 |Fn−1 ] = E[Xn − Xn−1 |Fn−1 ] − ∆Kn = 0. Tedy proces Mn = Xn − Kn je Fn -martingal.

Q.E.D.

Pˇ r´ıklady a) Necht’ Sn je integrovateln´a n´ahodn´a proch´azka s krokem Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 ∈ L1 . Pak jej´ı kompenz´ator pro T = N0 je tvaru K0 + nEX1 , kde K0 ∈ L1 (F0S ) = L({∅, Ω}) ≡ R. b) Je-li Sn = Sn − ESn centrovan´a n´ahodn´a proch´azka s krokem Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 ∈ L2 , pak S2n je Fn -submartingal s FnS -kompenz´atorem ve tvaru K0 + nσ 2 , kde K0 ∈ R a σ 2 = var(X1 ) = EX21 . c) Je-li Nt Poisson˚ uv proces s intenzitou λ > 0, pak m´a napˇr. kompenz´ator Kt = K0 + λt, kde K0 ∈ R. Pozn´ amka: Integrovateln´ y Fn -adaptovan´ y proces (Xn , n ∈ N0 ) je Fn -martingal (super/sub) pr´avˇe tehdy, kdyˇz jeho Fn -kompenz´ator je skoro jistˇe konstatn´ı (nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı), tj. sj

sj

0 = E[Xn − Xn−1 |Fn−1 ] = ∆Kn ( ≥sj ,

sj ≤

n ∈ N.

),

´ c ˇas (pr˚ ˇˇ ˇ pozorovatelna ´ uda ´ lost) 4. Markovsky ube zne ˇ ˇ t ), Necht’ (Ft , t ∈ T ) je filtrace. Rekneme, ˇze τ : Ω → T ∪ {∞} je Ft -markovsk´ yˇ cas, ozn. τ ∈ MC(F ˇ t ) ≡ 1[τ ≤t] ∈ A(Ft ), coˇz znamen´a, ˇze pokud [τ ≤ t] ∈ Ft plat´ı pro kaˇzd´e t ∈ T. Ekvivalentnˇe τ ∈ MC(F ˇcas τ je markovsk´ y pr´avˇe tehdy, kdyˇz jeho (jednobodov´ y) ˇc´ıtac´ı proces 1[τ ≤t] je pr˚ ubˇeˇznˇe pozorovateln´ y na z´akladˇe filtrace Ft . Lemma 5 (i) Je-li τ : Ω → T ∪ {∞} Ft -markovsk´ y ˇcas, pak [τ = t] ∈ Ft , t ∈ T. ˇ t ) ≡ [τ = s] ∈ Fs , s ∈ S. (ii) Je-li τ : Ω → S ∪ {∞}, kde S ⊆ T je spoˇcetn´a, pak τ ∈ MC(F D˚ ukaz: (i) Zˇrejmˇe [τ < t] = ∪s∈St [τ ≤ s] ∈ Ft , kde St ⊆ Tt je spoˇcetn´a hust´a zprava. Potom tak´e [τ = t] = [τ ≤ t]\[τ < t] ∈ Ft ,

t ∈ T.

(ii) Uk´aˇzeme pouze zpˇetnou implikaci, pˇr´ım´a plyne z bodu (i). Bud’ t ∈ T, pak [τ ≤ t] = ∪s∈St [τ = s] ∈ Ft ,

nebot’

[τ = s] ∈ Fs

pro

s ∈ St = {s ∈ S; s ≤ t}. Q.E.D.

Pˇ r´ıklad Bud’ X > 0 kladn´a re´aln´a n´ahodn´a veliˇcina a Nt = 1[X≤t] jej´ı ˇc´ıtac´ı a It = 1[X=t] jej´ı inˇ N )\MC(F ˇ I ), nebot’ dik´atorov´ y proces. Pak ,,obecnˇe” X ∈ MC(F t t FtI = σ([X = s], s ≤ t) = {[X ∈ S], [X 6∈ S]; S ⊆ [0, t] spoˇcetn´a } obecnˇe neobsahuje mnoˇzinu typu [X ≤ t].

7

Tvrzen´ı 6 Necht’ X = (Xt , t ∈ T ) je Ft -adaptovan´ y integrovateln´ y proces. Pak Xt je Ft -martingal pr´avˇe tehdy, kdyˇz ˇ t ) 3 τ : Ω → {s, r} ⊆ T EXs = EXr = EXτ , (5) ∀ MC(F coˇz se d´a interpretovat, ˇze Ft -martingal je proces, kter´ y kromˇe toho, ˇze si zachov´av´a svou u ´roveˇ n EXt v deterministick´ ych ˇcasech t ∈ T si tak´e zachov´av´a svou u ´roveˇ n v Ft -markovsk´ ych ˇcasech τ nab´ yvaj´ıc´ıch dvou hodnot z T. D˚ ukaz: Plat´ı-li (5), (s, r) ∈ T (2) a A ∈ Fs , pak τ = s · 1A + r · 1Ω\A : Ω → {s, r} ⊆ T je Ft -markovsk´ y ˇcas, nebot’ [τ = s] = A, [τ = r] = Ω\A ∈ Fs a dle pˇredpokladu tak plat´ı 0 = EXr − EXτ = E(Xr − Xτ ) = E[(Xr − Xs )1A ]. ˇ t ) 3 τ : Ω → {s, r} ⊆ T, pak pro s ≤ t m´ame A = [τ = s] ∈ Je-li naopak proces Xt Ft -martingal a MC(F Fs , a tedy 0 = E[(Xr − Xs )1A ] = E[(Xr − Xτ )1A ] = E(Xr − Xτ ) = EXr − EXτ . Tedy proces X si zachov´av´a u ´roveˇ n v ˇcase τ. Pˇ r´ıklady (i) Necht’ Sn je Fn -adaptovan´ y proces a B ∈ B(R), pak ˇ n ), nebot’ [τ ≤ n] = ∪k≤n [Sk 6∈ B] ∈ Fn . τ = inf{n ∈ N0 , Sn 6∈ B} ∈ MC(F P (ii) Bud’ Nt = ∞ uv proces. Pak Sk jsou FtN -markovsk´e ˇcasy, nebot’ k=1 1[Sk ≤t] Poisson˚ [Sk ≤ t] = [Nt ≥ k] ∈ FtN ,

t ≥ 0.

ˇ t ), n ∈ N. Pak τ = sup{τn ; n ∈ N} ∈ MC(F ˇ t) Tvrzen´ı 8 Necht’ T ⊆ R je uzavˇren´a mnoˇzina a τn ∈ MC(F D˚ ukaz: Protoˇze je T uzavˇren´a mnoˇzina, plat´ı τ : Ω → T ∪{∞}. D´ale [τ ≤ t] = ∩n∈N [τn ≤ t] ∈ Ft , t ∈ T. Pozn´ amka Je-li S ⊆ R lok´alnˇe koneˇcn´a mnoˇzina a x ∈ R, pak symbolem bxcS = sup{s ∈ S; s ≤ x} ∈ S ∪ {−∞} znaˇc´ıme zaokruhlen´ı x dol˚ u vzhledem k S a symbolem dxeS = inf{s ∈ S; s ≥ x} ∈ S ∪ {∞} ˇ t , t ∈ T ) a S ⊆ T lok´alnˇe koneˇcn´a, pak zaokruhlen´ı nahoru vzhledem k S. Je-li τ ∈ MC(F ˇ t , t ∈ T ) ∩ MC(F ˇ s , s ∈ S), dτ eS ∈ MC(F nebot’ [dτ eS ≤ t] = [dτ eS ≤ btcS ] = [τ ≤ btcS ] ∈ FctcS ⊆ Ft , t ∈ T . Bud’ (Xt , t ∈ T ) re´aln´ y n´ahodn´ y proces, B ∈ B(R) a τ : Ω → T ∪ {∞}. Pak pˇredpisem ρB,τ = inf{t ∈ T ; t ≥ τ, Xt 6∈ B} definujeme ˇ cas (okamˇ zik) prvn´ıho v´ ystupu procesu X z mnoˇ ziny B po ˇ case τ . ˇ t ) a B ∈ B(R). Je-li S ⊆ T lok´alnˇe koneˇcn´a, pak Tvrzen´ı 9 Necht’ Xt ∈ A(Ft , t ∈ T ), τ ∈ MC(F ˇ t , t ∈ T ). ρ = inf{s ∈ S, s ≥ τ, Xs 6∈ B} ∈ MC(F D˚ ukaz: Bud’ t ∈ T, pak [ρ ≤ t] =

[

[τ ≤ s] ∩ [Xs 6∈ B] ∈ Ft ,

s∈St

kde St = {s ∈ S; s ≤ t} ⊆ S je spoˇcetn´a. ˇ t ). Je-li Xt Tvrzen´ı 10 Bud’ T ⊆ R uzavˇren´ y (nedegenerovan´ y) interval, Xt ∈ A(Ft , t ∈ T ), τ ∈ MC(F ˇ spojit´ y, G ⊆ R otevˇren´a, pak ρG,τ ∈ MC(Ft ). D˚ ukaz: Protoˇze je mnoˇzina G otevˇren´a, plat´ı ρB,τ = min{t ∈ T ; t ≥ τ, Xt 6∈ B},

8

pˇriˇcemˇz min ∅ = inf ∅ = ∞. Je-li totiˇz tn ∈ T ↓ t posloupnost takov´a, ˇze Xtn ∈ F = R\G, pak t ∈ T, nebot’ T je podle pˇredpokladu uzavˇren´a mnoˇzina a tak´e Xt = lim Xtn ∈ F = R\G, n→∞

nebot’ proces X je spojit´ y (zprava) a F je uzavˇren´a mnoˇzina. Nyn´ı se pous´ıme ˇcas ρG,τ v´ ystupu z otevˇren´e mnoˇziny pˇredv´ıdat v´ ystupem z vepsan´ ych uzavˇren´ ych mnoˇzin F ε = {x ∈ G; dist(x, F ) ≥ ε}. Protoˇze dist(x, F ) je infimem 1-lipschitzovsk´ ych funkc´ı a je tak´e 1-lipschitzovsk´a, a tedy spojit´a. Pak ε odpov´ıdaj´ıc´ı vzor F uzavˇren´e mnoˇziny [ε, ∞) je uzavˇren´a mnoˇzina. Bud’ nyn´ı t ∈ T pevn´e. Pak s vyuˇzit´ım toho, ˇze v definici ρG,τ se infima nab´ yv´a, m˚ uˇzeme ps´at [ρG,τ ≤ t] = [ρG,τ < t] ∪ [Xt 6∈ G]. Bud’ S ⊆ T hust´a spoˇcetn´a podmnoˇzina. Zˇrejmˇe [ [ A= [Xs 6∈ F ε ] ∈ Ft s∈S Q3ε>0

pˇriˇcemˇz plat´ı6 [ρG,τ < t] ⊆ A ⊆ [ρG,τ ≤ t]. Pak tedy [ρG,τ ≤ t] = [ρG,τ < t] ∪ [Xt 6∈ G] = A ∪ [Xt 6∈ G] ∈ Ft . Q.E.D. ˇ t ) a r ∈ T, pak τ ∧ r ∈ MC(F ˇ t ), nebot’ [τ ∧ r ≤ t] = [τ ≤ t] ∈ Ft pro Pozn´ amka: Je-li τ ∈ MC(F t < r ∈ T a [τ ∧ r ≤ t] = Ω ∈ Ft pro t ≥ r ∈ T. Vˇ eta (Optional Stopping Theorem) ˇ n ). Pak Xτ ∧n je Fn -martingal (super, sub). Bud’ (Xn , n ∈ N0 ) Fn -martingal (super, sub) a τ ∈ MC(F ˇ k ) 3 τ ∧ n ≤ n, pro k ≤ n plat´ı [τ ∧ n = k] ∈ Fk ⊆ Fn a D˚ ukaz: Protoˇze MC(F Xτ ∧n =

m X

Xk · 1[τ ∧n=k] ∈ L1 (Fn ),

k=0

Zˇrejmˇe Xτ ∧n − Xτ ∧(n−1) = (Xn − Xn−1 ) · 1[τ >n−1] , kde [τ > n − 1] ∈ Fn−1 . Plat´ı tedy sj

E[Xτ ∧n − Xτ ∧(n−1) |Fn−1 ] = 1[τ >n−1] · E[Xn − Xn−1 |Fn−1 ] = 0 ( ≤sj ,

sj ≥

). Q.E.D.

D´ale budeme vyuˇz´ıvat symbol E[X; A] = E[X · 1A ], kter´ y bude znaˇcit stˇ redn´ı hodnotu re´ aln´ e n´ ahodn´ e velˇ ciny X na mnoˇ zinˇ e A. Je-li X = (Xt , t ∈ T ) (zobecnˇen´ y) re´aln´ y n´ahodn´ y proces, pak symbolem Xt∗ = sup Xs = sup X|t , t ∈ T ∪ {∞} s∈Tt

znaˇc´ıme pr˚ ubˇ eˇ zn´ e (historick´ e) maximum procesu X do ˇ casu t. D´ale pak symbolem |X|∗t = |Xt |∗ = sup |Xs |,

t ∈ T ∪ {∞}

s∈Tt

znaˇc´ıme pr˚ ubˇeˇzn´e (historick´e) maximum absolutn´ı hodnoty tohoto procesu. Vˇ eta (Submartingalov´ a maxim´ aln´ı nerovnost) Necht’ (Xk )nk=0 je submartingal, pak pro ε > 0 plat´ı P (Xn∗ ≥ ε) ≤ 1ε E[Xn ; Xn∗ ≥ ε] ≤ 1ε EXn+ . ˇ X ), plat´ı [τ = k] ∈ Fk pro k ≤ n. D´ale D˚ ukaz: Protoˇze τ = inf{k = 0, . . . , n : Xk ≥ ε} ∈ MC(F k [Xn∗ ≥ ε] = [Xτ ≥ ε] = [τ ≤ n]. 6Jde

lze vloˇzit od˚ uvodnˇen´ı

9

Z pˇredpokladu, ˇze Xn je Fn -submartingal a z definice podm´ınˇen´e stˇredn´ı hodnoty, pak dost´ame, ˇze n n X X + + EXn ≥ E[Xn ; τ ≤ n] ≥ E[Xn ; τ ≤ n] = E[Xn ; τ = k] = E[Xk ; τ = k] k=0

= E[Xτ ; Xτ ≥ ε] ≥ ε · P (Xτ ≥ ε) = ε ·

k=0

P (Xn∗

≥ ε). Q.E.D.

Vˇ eta (momentov´ a maxim´ aln´ı nerovnost pro martingal) Bud’ (Xk )nk=0 martingal a r > 1, pak r r ) E|Xn |r . E(|X|∗n )r ≤ ( r−1 sj

D˚ ukaz: Zˇrejmˇe m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze 0 6= Xn ∈ Lr v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je lev´a strana vzhledem sj k pˇredpokladu Xk = E[Xn |FkX ] nulov´a nebo prav´a ∞. Pak z nerovnosti7 E|Xk |r ≤ E|Xn |r dostaneme n X 0 < E|Xn |r ≤ E(|X|∗n )r ≤ E|Xk |r ≤ (n + 1) · E|Xn | < ∞. k=0

Ze vzorce pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hondoty z doplˇ nkov´e distribuˇcn´ı funkce pro nez´aporn´e veliˇciny R R∞ ∞ E|Y |r = 0 P (|Y |r ≥ x) dx = r 0 P (|Y | ≥ y) · y r−1 dy a s vyuˇzit´ım maxim´aln´ı nerovnosti pro submartingal |Xn | a Fubiniho vˇety dostaneme R∞ R∞ r E(|X|∗n )r = r 0 P (|X|∗n ≥ x) · xr−1 dx ≤ r 0 E[|Xn |; |X|∗n ≥ x] · xr−2 dx = r−1 E[|Xn | · (|X|∗n )r−1 ]. D´ale pouˇzijeme H¨olderovu nerovnost s koeficienty p = r a q = (1 − 1r )−1 = 1 r

E[|Xn | · (|X|∗n )r−1 ] ≤ (E|Xn |r ) · [(E|X|∗n )r ]

r , r−1

r r−1

pˇriˇcemˇz dostaneme

.

Poskl´ad´an´ım obou nerovnost´ı a pokr´acen´ım dostaneme nerovnost pro normu v Lr ve tvaru [E(|X|∗n )r ]1/r ≤

r r−1

[E(|Xn |)r ]1/r ,

coˇz je ekvivalentn´ı z´apis poˇzadovan´e nerovnosti.

Q.E.D.

´ martingaly L2 -martingaly. 5. Zprava spojite Vˇ eta (momentov´ a maxim´ aln´ı nerovnosti pro zprava spojit´ e martingaly) Bud’ (Xt )[0,n] zprava spojit´ y Ft -martingal, kde n ∈ N. Pak pro kaˇzd´e r > 1 plat´ı r r E(|X|∗n )r ≤ ( r−1 ) E|Xn |r .

(6)

m

D˚ ukaz: Bud’ Tm = {k · 2−m , k ∈ Sm }, kde Sm = {0, . . . , n · 2m }. Pak (Xk2−m )n2 k=0 je Fk2−m -martingal a dle momentov´e maxim´aln´ı nerovnosti pro diskr´etn´ı martingaly plat´ı r r E sup |Xt |r = E sup |Xk2−m |r ≤ ( r−1 ) E|Xn |r . t∈Tn

k∈Sn

Nerovnost (6) pak plyne limtn´ım pˇrechodem s pomoc´ı L´eviho vˇety o monotonn´ı konvergenci.

Q.E.D.

Pozn´ amka: Je-li (Xt , t ≥ 0) Ft -martingal L2 -integrovateln´ y (jinak L2 -martingal vzhledem k Ft ), pak z momentov´e maxim´aln´ı nerovnosti pro diskr´etn´ı martingaly dostaneme odhad E(|X|∗t )2 ≤ 4E|Xt |2 < ∞. Speci´alnˇe je tedy proces |X|∗t ∈ L2 -integrovateln´a majoranta pro proces X|t . T´eto majoranty budeme v t´eto ˇca´sti vyuˇz´ıvat v limitn´ıch pˇrechodech pˇri aproximaci markovsk´ ych ˇcas˚ u zprava pomoc´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch zaokrohlen´ı ze shora. Pro jistotu pˇripomeˇ nme, ˇze zaokrouhlen´ı markovsk´eho ˇcasu ze shora vhledem k lok´alnˇe koneˇcn´e mnoˇzinˇe je opˇet markovsk´ y ˇcas vzhledem k filtraci indexovan´e touto lok´alnˇe koneˇcnou podmnoˇzinou. ˇ t , t ≥ 0) a T ⊆ [0, ∞) lok´alnˇe koneˇcnou plat´ı Form´alnˇe pro τ ∈ MC(F ˇ t , t ≥ 0) ∩ MC(F ˇ t )T . dτ eT ∈ MC(F Je-li Tn ⊆ [0, ∞) rostouc´ı posloupnost lok´alnˇe koneˇcn´ ych podmnoˇzin postupnˇe zahuˇst’uj´ıc´ı [0, ∞), pak ˇ t )T ⊇ MC(F ˇ t )Tn 3 τn = dτ eTn ↓ τ a plat´ı Xτn → Xτ , (7) MC(F 7Jde

o Jensenovu nerovnost pro podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu, kter´a ˇr´ık´a, ˇze |X|rk Tady vyuˇz´ıv´ ame toho, ˇze funkce x 7→ |x|r je konvexn´ı pro r ≥ 1.

sj ≤

sj

E[|Xn |r |FkX ], kde Xk = E[Xn |FkX ].

10

kde T = ∪n Tn , pokud proces (Xt , t ≥ 0) je zprava spojit´ y. ˇ t ). Bud’te Tn rostouc´ı posloupTvrzen´ı 8 Necht’ (Xt , t ≥ 0) je zprava spojit´ y Ft -martingal a τ ∈ MC(F nost lok´alnˇe koneˇcn´ ych podmnoˇzin [0, ∞) tuto mnoˇzinu postupnˇe zahuˇst’uj´ıc´ıch, pak pro τn = dτ eTn plat´ı L

1 Xt∧τn → Xt∧τ ,

t ≥ 0.

Pozn´ amka Pokud je proces Xt nav´ıc L2 -integrovateln´ y, pak okamˇzitˇe m´ame dokonce silnˇejˇs´ı tvrzen´ı L

2 Xt∧τn → Xt∧τ ,

t ≥ 0,

nebot’ m´ame k dispozici L2 -integrovatelnou majorantu X|∗t ∈ L2 pro posloupnost Xt∧τn , n ∈ N. D˚ ukaz: Protoˇze, jak v´ıme, plat´ı τn ↓ τ , plat´ı tak´e t ∧ τn ↓ t ∧ τ pro n → ∞. Z pˇredpokladu spojitosti zprava tak dost´av´ame Xt∧τn → Xt∧τ . Zb´ yv´a tedy uk´azat stejnomˇernou integrovatelnost posloupnosti Xt∧τn . Protoˇze (Xs )Tn ∪{t} je Fs -martingal, a tedy |Xs | je Fs -submartingal, plat´ı pro k ≥ 0, ˇze X E[|Xt∧τn |; |Xt∧τn | ≥ k] = E[|Xs |; |Xs | ≥ k, t ∧ τn = s] s∈Tn ∪{t}

≤

X

E[|Xt |; |Xs | ≥ k, t ∧ τn = s] = E[|Xt |; |Xt∧τn | ≥ k],

s∈Tn ∪{t}

nebot’ [|Xs | ≥ k, t ∧ τn = s] ∈ Fs . Speci´alnˇe pro k = 0 dostanem, ˇze E|Xt∧τn | ≤ E|Xt |. D´ale P (|Xt∧τn | ≥ k) ≤

1 k

E|Xt∧τn | ≤

1 k

E|Xt | = δk → 0,

k → ∞.

Plat´ı tedy supn∈N E[|Xt∧τn |; |Xt∧τn | ≥ k] ≤ sup{E[|Xt |; A]; A ∈ Ft , P (A) < δk } → 0 pro k → ∞. Q.E.D. Pozn´ amka: Pro potˇreby d˚ ukazu vˇety optional stopping theorem pro zprava spojit´e procesy pˇripomeneme odpov´ıdaj´ıc´ı diskr´etn´ı verzi ovˇsem v trochu pozmˇenˇen´em tvaru, kter´ y je snadn´ ym d˚ usledkem p˚ uvodn´ı vˇety. ˇ ’ Bud T ⊆ [0, ∞) lok´alnˇe koneˇcn´a mnoˇzina a (Xt )T Ft -martingal a τ ∈ MC(Ft ). Pak Xt∧τ je Ft -martingal. ˇ t ). Pak Vˇ eta (Optional Stopping Theorem) Bud’ (Xt , t ≥ 0) zprava spojit´ y Ft -martingal a τ ∈ MC(F Xτ ∧t je opˇet zprava spojit´ y Ft -martingal. D˚ ukaz: Bud’te 0 ≤ u < v < ∞ pevn´e a {u, v} ⊆ Tn ⊆ [0, ∞) rostouc´ı posloupnost lok´alnˇe koneˇcn´ ych podmnoˇzin postupnˇe zahuˇst’uj´ıc´ıch [0, ∞). Pak pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı ˇ t )Tn . τn = dτ eTn ∈ MC(F Protoˇze (Xt )Tn je diskr´etn´ı Ft -martingal, m´ame dle v pozn´amce zm´ınˇen´e prafr´azovan´e diskr´etn´ı verze (2) Optional Stopping Theorem, ˇze (Xt∧τn )Tn je Ft -martingal, kdykoli n ∈ N. Protoˇze (u, v) ∈ Tn , plat´ı sj

E[Xv∧τn |Fu ] = Xu∧τn . L

1 Protoˇze9 Xt∧τn → Xt∧τ pro t ∈ {u, v}, dostaneme limitn´ım pˇrechodem pro n → ∞ rovnost sj

E[Xv∧τ |Fu ] = Xu∧τ .

Q.E.D.

O zprava spojit´em Ft -adaptovan´em procesu (Xt , t ≥ 0) ˇrekeneme, ˇze je to lok´ an´ı Ft -martingal , ˇ pokud existuje posloupnost ,,varovn´ ych” ˇcas˚ u MC(Ft ) 3 τn ↑ ∞ takov´ ych, ˇze zastaven´ y pˇr´ır˚ ustkov´ y proces Xt∧τn − X0 je Ft -martingal. Pozn´ amka: Je-li Xt zprava spojit´ y Ft -martingal, pak je tak´e lok´aln´ım Ft -martingalem. Staˇc´ı volit posloupnost varovn´ ych ˇcas˚ u τn = ∞. Pozn´ amka: Bud’ (Xt , t ≥ 0) spojit´ y Ft -martingal. Podle tvrzen´ı 10 je ˇ t ). τn = inf{t ≥ 0 : |Xt − X0 | ≥ n} ∈ MC(F Zˇrejmˇe Yt = Xt − X0 je tak´e spojit´ y Ft -martingal, pˇriˇcemˇz zastaven´ y proces Yt∧τn je omezen´ y v absolutn´ı hodnotˇe hodnotou n ∈ N. Podle bodu (ii) pˇredch´azej´ıc´ı pozn´amky tak je takto zastaven´ y proces Ft martingal. Kaˇzd´ y spojit´ y Ft -martingal se tedy d´a takto zastavit do omezen´eho Ft -martingalu. 8Tvrzen´ı i 9V

s d˚ ukazem lze vynechat, pokud n´ am staˇc´ı Optional Stopping Theorem pouze pro zprava spojit´e L2 -martingaly. L2 L2 -pˇr´ıpadˇe bychom vyuˇzili integrovateln´e majoranty |X|∗v ∈ L2 a konvergence Xt∧τn →Xt∧τ , n → ∞.

11

Tvrzen´ı Nez´aporn´ y lok´aln´ı Ft -martingal Xt startuj´ıc´ı z X0 ∈ L1 je Ft -supermartingal. ˇ t ) posloupnost varovn´ D˚ ukaz: Bud’ τn ∈ MC(F ych ˇcas˚ u takov´ ych, ˇze Xt∧τn − X0 je Ft -martingal. Pak tak´e Xt∧τn je Ft -martingal a plat´ı Xt = lim Xt∧τn n→∞

Z Fautova lemmatu pro podm´ınˇenou a nepodm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu a s ∈ [0, t] tak dostaneme EXt ≤ lim inf EXt∧τn = EX0 < ∞,

tj.

n→∞

E[Xt |Fs ]

sj ≤

Xt ∈ L1

sj

lim inf E[Xt∧τn |Fs ] = lim Xs∧τn = Xs , n→∞

n→∞

nebot’ Xt∧τn je Fn -martingal.

Q.E.D.

Podm´ınˇ en´ e Fatouovo lemma Bud’te 0 ≤ Xn ∈ L1 (Ω, A, P ), n ∈ N a F ⊆ A σ-algebra. Pak X = lim inf Xn ∈ L1 n→∞

0 ≤sj E[X|F]

⇒

sj ≤

lim inf E[Xn |Fn ]. n→∞

D˚ ukaz: Pouˇzijeme L´eviho vˇetu o monot´onn´ı konvergenci pro podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu. Zˇrejmˇe plat´ı 0 ≤ inf k≥n Xk ↑ X ∈ L1 . Pak tedy sj

0 ≤sj E[X|F] = lim E[inf |F] n→∞

k≥n

sj ≤

sj

lim inf E[Xk |F] = lim inf E[Xn |F].

n→∞ k≥n

n→∞

Q.E.D.

Pozn´ amka: (i) Poznamenejme, ˇze kaˇzd´ y supermartingal, kter´ y si zachov´av´a svou stˇredn´ı hodnotu (´ uroveˇ n) je martingalem. Pokud si tedy nez´aporn´ y lok´aln´ı martingal zachov´av´a svou stˇredn´ı hodnotu (kter´a m˚ uˇze u supermatingalu maxim´alnˇe klesat), je to martingal. (ii) Je-li Xt zdola omezen´ y lok´aln´ı martingal, je zcela podobnˇe supermartingalem a naprosto analogicky shora omezen´ y lok´aln´ı martingal je submartingalem. Dohromady tak dost´av´ame, ˇze omezen´ y lok´aln´ı martingal je martingalem. 6. Wiener˚ uv proces a princip invariance Bud’te Xn ∼ R{−1, 1}, n ∈ N0 nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny s rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım na dvouprvkov´e mnoˇzinˇe {−1, 1}. Oznaˇcme odpov´ıdaj´ıc´ı n´ahodnou proch´azku Sn =

n X

Xk ,

k=1

kterou budeme naz´ yvat symetrickou n´ ahodnou proch´ azkou. Cviˇ cen´ı (i) Na z´akladˇe principu zrcadlen´ı pro symetrickou n´ahodnou proch´azku ukaˇzte, ˇze plat´ı • P (Sn∗ ≥ k) = 2P (Sn ≥ k) kdykoli n + k je lich´e ˇc´ıslo pro k, n ∈ N. (ii) Na z´akladˇe CLV (a stejnomˇern´e konvergence distribuˇcn´ıch funkc´ı) ukaˇzte, ˇze • P (Sn ≥ k) → 12 pro n → ∞. ˇ X ) splˇ (iii) Ukaˇzte, ˇze τk = inf{n ∈ N0 , Sn = k} ∈ MC(F nuje τk <sj ∞. n (iv) Ukaˇzte, ˇze Sn∗ ∼ |Sn |. Pozn´ amka: Bud’ (X, ρ) separabiln´ı metrick´ y prostor s borelovskou σ-algebrou B(X). Necht’ (Xn )∞ n=0 je posloupnost n´ahodn´ ych veliˇcin s hodnotami v (X, B(X)) ne nutnˇe definovan´ ych na stejn´em pravdˇepodobnostn´ım prostoru. Pokud Xn → X0 v distribuci, pak existuje n´ahodn´a posloupnost (Xn0 , n ∈ N0 ) takov´a, ˇze Xn0 ∼ Xn a ˇze sj Xn0 → X00 , n → ∞. Princip invariance Z´ajemnce o d˚ ukaz necht’ navˇstˇevuje pˇredn´aˇsku Principy invariance. Ve svˇele pˇredchoz´ı pozn´amky lze princip invariance pˇrepsat v n´asleduj´ıc´ım tvaru. Existuje spojit´ y proces W = (Wt , t ≥ 0) a posloupnosti symetrick´ ych n´ahodn´ ych proch´azek S (m) takov´ ych, ˇze   (m) P m−1/2 Sbmtc → Wt lok´alnˇe stejnomˇernˇe na [0, ∞) = 1.

12

Speci´alnˇe tedy pro kaˇzd´e t ≥ 0 plat´ı sj (m) sup |m−1/2 Sbmsc − Ws | → 0,

m → ∞.

s∈[0,t]

Z troj´ uheln´ıkov´e nerovnosti pak ihned dostaneme (m) sj m−1/2 sup Sbmsc → Wt∗ ,

m→∞

s∈[0,t]

Speci´alnˇe pro t = 1 pak plat´ı (m)

m−1/2 sup Sj j≤m

sj → W1∗ ,

m→∞

Dle principu zrcadlen´ı pro symetrickou n´ahodnou proch´azku pak plat´ı (m)

W1∗ = lim m−1/2 sup Sj sj

m→∞

j≤m

(m) ∼ lim m−1/2 |Sm | = |W1 |. sj

m→∞

Tedy W1∗ ∼ |W1 |. Cviˇ cen´ı (i) Ukaˇzte, ˇze v´ yˇse uveden´ y proces W splˇ nuje axiomy kladen´e na Wiener˚ uv proces. 1 2 (ii) Ukaˇzte, ˇze ( a W (a t), t ≥ 0) je opˇet Wiener˚ uv proces pro a 6= 0. (iii) Ukaˇzte, ˇze Wt∗ ∼ |Wt | plat´ı pro kaˇzd´e t ≥ 0. ˇ tW ) splˇ nuje τh <sj ∞ a spoˇctˇete hustotu ˇcasu τh , h 6= 0. (iv) Ukaˇzte, ˇze τh = inf{t ≥ 0, Wt = h} ∈ MC(F (v) Ukaˇzte, ˇze Yt = Wt∧τh je martingal, ale ˇze
t • Zt = Y 1−t · 1[t<1] + h · 1[t≥1] · 1[τh <∞] je lok´aln´ı martingal, kter´ y nen´ı martingalem pro h 6= 0. Bud’ X : (Ω, A) → (S, S) n´ahodn´a veliˇcina. O veliˇcinˇe Y ∈ L(X)n ˇrekneme, ˇze je postaˇ cuj´ıc´ı statistikou n´ahodn´e veliˇciny X vzhledem k syst´emu rozdˇelen´ı P ⊆ P(Ω, A), pokud PX|Y existuje a nez´avis´ı na v´ ybˇeru P ∈ P. Symbolem P(Ω, A) zde rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech pravdˇepodobnostn´ıch mˇer na mˇeˇriteln´em prostoru (Ω, A). Lemma Bud’ Y ∈ Ln (X) postaˇcuj´ıc´ı statistika n´ahodn´e veliˇciny X : (Ω, A) → (S, S) vzhledem k syst´emu P ⊆ P(Ω, A). Pak pro P, Q ∈ P plat´ı QY << QP

⇒

QX << PX

&

dQX dPX

=

dQY dPY

(h),

kde h ∈ L(S)n je takov´a, ˇze Y = h(X). Speci´alnˇe pak pˇri pozorov´an´ı veliˇciny X nebo Y m´ame vˇerohodnostn´ı pomˇer mezi Q a P ve tvaru X Y (X) = dQ (Y ). L = dQ dPX dPY D˚ ukaz: Necht’ QY << PY a dQY = g dPY . Uk´aˇzeme, ˇze dQX = g ◦ h dPX . Bud’ F ∈ S, pak R (8) g ◦ h dPX = EP [g(h(X)); X ∈ F ] = EP [g(Y ); X ∈ F ] = EP [g(Y ) · P (X ∈ F |Y )] F sj

Protoˇze Y je postaˇcuj´ıc´ı statistika pro X vzhledem k {P, Q}, tj. PX|Y = QX|Y , plat´ı sj

Q(X ∈ F |Y ) = P (X ∈ F |Y )

kdykoli10 F ∈ S.

S vyuˇzit´ım t´eto vlastnosti dostaneme, ˇze (8) je rovno R Y EP [g(Y ) · Q(X ∈ F |Y )] = dQ · Q(X ∈ F |Y = y) dPY (y) = EQ [Q(X ∈ F |Y )] = Q(X ∈ F ) = QX (F ). dPY Speci´alnˇe tak PX << QX a plat´ı

dQX dPX

=g◦h=

dQY dPY

◦ h.

Q.E.D.

Cviˇ cen´ı Bud’ Nt Poisson˚ uv proces s (nezn´amou) intenzitou λ > 0. • Ukaˇzte, ˇze Nt je postaˇcuj´ıc´ı statistika pro veliˇcinu N |t . • Spoˇctˇete vˇerohodnostn´ı pomˇer mezi H1 : λ = λ1 a H0 : λ = λ0 a ukaˇzte, ˇze je to martingal za platnosti hypot´ezy H0 . 10Toto

je obecnˇejˇs´ı definice postaˇcuj´ıc´ı statistiky v pˇr´ıpadˇe, ˇze podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı X za podm´ınky Y nemus´ı existovat.

13

Je-li Wt Wiener˚ uv proces, µ ∈ R, pak pˇredpisem Bt = Wt +µt definujeme Wiener˚ uv proces s driftem µ. Pozn´ amka: Je-li Bt = Wt + µt Wiener˚ uv proces s dritem, pak proces Bt0 = Bt − tB1 = Wt − tW1 ,

t ∈ [0, 1]

naz´ yv´ame Brownov´ ym mostem. Cviˇ cen´ı Bud’ Bt = Wt + µt Wiener˚ uv proces s nezn´am´ ym driftem µ. 0 • Ukaˇzte, ˇze Bt m´a vˇsechny koneˇcnˇe rozmˇern´a rozdˇelen´ı norm´aln´ı s nulovou stˇredn´ı hodnotou. Spoˇctˇete jeho autokovarianˇcn´ı funkci cov(Bs0 , Bt0 ) = st − s ∧ t. • Ukaˇzte, ˇze proces B 0 je nez´avisl´ y s veliˇcinou W1 . • Ukaˇzte, ˇze Bt je postaˇcuj´ıc´ı statistikou pro B|t , kdykoli t ≥ 0. • Spoˇctete vˇerohodnostn´ı pomˇer mezi H1 : µ = µ1 a H0 : µ = µ0 zaloˇzen´e na pozorov´an´ı B|t a ukaˇzte, ˇze takto z´ıskan´ y proces je martingalem za platnosti hypot´ezy H0 . Pozn´ amka: Z pˇredchoz´ıho lemmatu plyne, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı vˇerohodnostn´ı pomˇer mezi H1 : µ = µ1 a H0 : µ = µ0 je za platnosti hypot´ezy H0 tvaru Lt =

fH1 (Bt ) fH0 (Bt )

= exp{λWt − 12 λ2 t},

λ = µ1 − µ0 .

Pokud bychom ˇcistˇe hypoteticky zaj´ımali o maxim´alnˇe vˇerohodn´ y odhad paramteru µ resp. λ = µ − µ0 , pak staˇc´ı argument exponenciely derivovat dle λ, ˇc´ımˇz dostaneme maxim´alnˇe vˇerohodn´ y odhad ve tvaru ˆ t = 1 Wt , tj. µ ˆt = µ0 + 1 Wt = 1 Bt . λ t

t

t

Pozn´ amka: Tento maxim´alnˇe vˇerohodn´ y odhad je zˇrejmˇe L2 -konzisten´ı ve smyslu 1 t

L

2 Wt → 0,

t → ∞, nebot’ E( 1t Wt )2 = t−1 → 0,

pro

t → ∞.

Velmi snadno jsme schopni z´ıskat i konvergenci skoro jistˇe tj. silnou konzistenci tohoto odhadu, coˇz nen´ı nic jin´eho neˇz silm´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel pro Wiener˚ uv proces. Tvrzen´ı (Siln´ y z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel pro Wiener˚ uv proces) Bud’ Wt Wiener˚ uv, pak plat´ı 1 t

sj Wt → 0,

sj

t → ∞, ˇci sv´er´aznˇeji Wt = o(t),

t → ∞.

D˚ ukaz: Protoˇze E(|W |∗t )2 ≤ 4EWt2 = 4t, plat´ı P P E n ( n12 |W |∗n2 )2 ≤ 4 n n−2 < ∞. sj

Odtud ihned plyne, ˇze |W |∗n2 = o(n2 ). Oznaˇcme T = {n2 , n ∈ N}, pak tak´e |Wt | ≤ |W |∗t ≤ |W |∗dteT = o(dteT ) = o(t), sj

nebot’ pro (n + 1)2 = dteT plat´ı, ˇze 1 ≤

dteT t

≤

(n+1)2 n2

t → ∞,

→ 1 pro n → ∞.

Q.E.D.

Pozn´ amka: Chceme-li m´ıt skuteˇcnˇe hmatatelnou pˇredstavu o limitn´ım chov´an´ı trajektori´ √ ı Wienerova procesu, nezb´ yv´a neˇz uv´est z´akon iterovan´eho logaritmu. Bud’ Wt Wiener˚ uv proces a at = t ln ln t, pak √ √ sj sj lim sup a1t Wt = 2 a symetricky lim inf a1t Wt = − 2. t→∞

t→∞

´ rn´ı stochasticka ´ integrace a elementa ´ rn´ı Per Parte ´s 7. Elementa Bud’ (Ft , t ≥ 0) filtrace. Proces Ht nazveme jednoduch´ ym Ft -predikovateln´ ym procesem, je-li tvaru X ˆ t · 1[t
ˆ s ∈ L(Fs ) pro s ∈ T = {0 = t0 < t1 < . . . < tk ; k ∈ N }. kde t0 = 0 dle definice a kde H Proces Ht je jednoduch´ ym Ft -predikovateln´ ym procesem pr´avˇe tehdy, kdyˇz je Ft -predikovateln´ y proces a jednoduch´ y v tom smyslu, ˇze existuje lok´alnˇe koneˇcn´a T ⊆ [0, ∞) takov´a, ˇze Ht je roven zleva spojit´e verzi procesu HbtcT . Jednodych´ y Ft -predikovateln´ y proces m˚ uˇze pˇredstavovat jednoduchou strategii investov´an´ı do nˇejak´eho zboˇz´ı (akcie), kdy hodnota Ht pˇredstavuje poˇcet akci´ı, kter´e investor drˇz´ı v ˇcase t ≥ 0. Stejnˇe tak m˚ uˇze

14

pˇredstavovat poˇcet kontrakt˚ u futures uzavˇren´ ych v ˇcase t ≥ 0. Je-li proces Xt cena akcie ˇci futures, pak se proces investorova bohatstv´ı Yt d´a vyj´adˇrit ve tvaru X H ˆ t (Xt∧t − Xt∧t ) = Y0 + t Hs dXs , Yt = Y0 + (10) H k−1 k k−1 0 k∈N

pˇriˇcemˇz druhou rovnost vn´ım´ame jako definiˇcn´ı pro posledn´ı ˇclen prav´e strany, kter´ y naz´ yv´ame jednoduch´ ym (stochastick´ ym) integr´ alem procesu H dle procesu X. Z definice element´arn´ıho integr´alu lze pˇr´ımo ovˇeˇrit, ˇze tento element´arn´ı integr´al je definov´an korektnˇe ve smyslu nez´avislosti v´ ysledku na volbˇe lok´alnˇe koneˇcn´e dˇel´ıc´ı mnoˇziny T ⊆ [0, ∞). Speci´alnˇe je tak tento integr´al stabiln´ı v˚ uˇci pˇr´ıpadn´emu zjemnˇen´ı mnoˇziny T. D´ale si m˚ uˇzeme pˇredstavit, ˇze hodnota procesu Yt je trˇzn´ı cena nˇejak´eho pod´ılov´eho fondu a my spekulujeme na budouc´ı v´ yvoj t´eto trˇzn´ı ceny. Uvaˇzujme strategii danou Ft -redikabiln´ım procesem Kt , pak analogicky jako v pˇr´ıpadˇe v´ ypoˇctu hodnoty procesu Yt dospˇejeme k z´avˇeru, ˇze naˇse bohatstv´ı m˚ uˇzeme vyj´adˇrit ve tvaru Ht (11) Zt = Z0 + 0 Ks dYs . Vzhledem ke stabilitˇe element´arn´ıho stochastick´eho integr´alu vzhledem ke zjemnˇen´ı z´akladn´ı dˇel´ıc´ı mnoˇziny, m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze mnoˇzina T = {tk : k ∈ N }, n ⊆ N je spoleˇcnou z´akladnou pro definici obou element´arn´ıch stochastick´ ych integr´al˚ u (10) a (11). V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe pˇrech´az´ıme ke spoleˇcn´emu zjemnˇen´ı obou z´akladen. I bez v´ yˇse zaveden´eho pˇredpokladu snadno dojdeme k z´avˇeru, ˇze proces Kt Ht je opˇet jednoduch´ y Ft -predikabiln´ı se z´akladnou, kter´a je sjednocen´ım z´akladen proces˚ u Kt a Ht . Pr´avˇe pˇredstava spoleˇcn´e z´akladny obou proces˚ u n´am umoˇzn ˇuje snadnˇeji ovˇeˇrit platnost n´asleduj´ıc´ıho vztahu H Ht P ˆ P ˆ ˆ t (Xt∧t − Xt∧t ) = t Ks Hs dXs . Kt H Kt (Yt∧t − Yt∧t ) = Ks dYs = 0

k

k−1

k

k

k−1

k−1

k−1

k

k−1

0

Tato vlastnost element´arn´ıho integr´alu n´as tak vede ke snaze ve znaˇcen´ı vynech´avat znam´enko integr´alu. M´ısto rovnosti (10) tak budeme ps´at dYt = Ht ◦ dXt , pˇriˇcemˇz na obou stran´ach mluv´ıme jako o element´ arn´ım stochastick´ em diferenci´ alu. Pro takto zaveden´e symbolick´e znaˇcen´ı plat´ı dZt = Kt ◦ dYt = Kt ◦ (Ht ◦ dXt ) = Kt Ht ◦ dXt , coˇz nen´ı nic jin´eho neˇz diferenci´aln´ı z´apis n´asleduj´ıc´ıho integr´aln´ıho z´apisu, kter´ y d´av´a dohromady strategii Ht na prim´arn´ım trhu a strategii Kt na trhu sekund´arn´ım Ht Ht H Ht Zt = Z0 + 0 K dY = Z0 + 0 K d( H dX) = Z0 + 0 KH dX, pˇriˇcemˇz pro pˇrehlednost operativnˇe vynech´av´ame v´azanou integraˇcn´ı promˇennou. Z ˇcistˇe symbolickointuitivn´ıho pˇr´ıstupu tak doch´az´ı ke kr´acen´ı diferenci´alu a integr´alu ve smyslu H d H dX = H ◦ dX. R Z ˇcistˇe symbolick´eho hlediska, znam´ e nko pro diferenci´ a l d se vyruˇ s ´ ı se znam´ e nkem pro integr´ a l a z eleH ment´arn´ıho integraˇcn´ıho znam´enka tak pouze zbyde element´arn´ı znam´enko ◦, kter´e se nyn´ı spoj´ı s nov´ ym diferenci´alem a hraje pak integraˇcn´ı roli mezi prim´arn´ı strategi´ı H a cenou X na prim´arn´ım trhu. 7.1. Element´ arn´ı kvadratick´ a variace a elemtent´ arn´ı stochastick´ e Per Part´ es. Bud’ nyn´ı T = {0 = t0 < t1 < . . . < tk ; k ∈ N } dan´a lok´alnˇe koneˇcn´a mnoˇzina T ⊆ [0, ∞), kde N ⊆ N. Naˇs´ım c´ılem je vyj´adˇrit druhou mocninu Xt2 ceny Xt na prim´arn´ım trhu pomoc´ı element´arn´ı stochastick´e integrace. Zaˇcneme rozpisem t´eto hodnoty pomoc´ı dˇel´ıc´ıch bod˚ u mnoˇziny T a to ve tvaru X X X 2 2 Xt∧t − X = 2 X (X − X ) + (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )2 . Xt2 − X02 = t t∧t t∧t t∧tk−1 k−1 k k−1 k k∈N

k∈N

k∈N

Pomoc´ı element´arn´ıho stochastick´eho integr´alu tak m˚ uˇzeme ps´at H Ht t Xt2 = X02 + 2 0 XbscT − dXs + 0 ( dXs )2T , kde XbtcT − ∈ A(Ft↑ ) oznaˇcuje zleva spojitou (predikabiln´ı) verzi procesu XbtcT ∈ A(Ft ) a kde Ht P T [ X ]t = 0 ( dXs )2T = k∈N (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )2 znaˇc´ı element´ arn´ı kvadratickou variaci procesu X vzhledem k dˇelen´ı T. Pro element´arn´ı kvadratickou T variaci [ Y ]t ceny Yt na sekund´arn´ım trhu vzhledem k dˇelˇen´ı T m´ame H H P P T ˆ 2 (Xt∧t − Xt∧t )2 = t H 2 d[ X ]T = t H 2 ( dXs )2 , [ Y ]t = k∈N (Yt∧tk − Yt∧tk−1 )2 = k∈N H tk−1 s s k k−1 s 0 0 T

15 T

pˇriˇcemˇz posledn´ı rovnost bereme jako definiˇcn´ı v souladu se substituˇcn´ım pravidlem d[ X ]t = ( dXt )2T , T kter´e ˇr´ık´a, ˇze dle diferenci´alu ( dXt )2T integrujeme tak, jako by na jeho m´ıstˇe st´al diferenci´al d[ X ]t . Pˇredchoz´ı odsazenou formuli tak m˚ uˇzeme symbolicky zapisovat ve tvaru element´arn´ıho kvadratick´eho diferenci´alu ( dYt )2T = (Ht ◦ dXt )2T = Ht2 ◦ ( dXt )2T . Z´avˇerem uvedeme diferenci´aln´ı analogii integr´aln´ı rovnosti pro druhou mocninu Xt2 ve tvaru (12)

dXt2 = 2XbtcT − ◦ dXt + ( dXt )2T .

Pro u ´plnost uvedeme i odpov´ıdaj´ıc´ı formuli pro druhou mocninu Yt2 ceny na sekund´arn´ım trhu dYt2 = 2YbtcT − ◦ dYt + ( dYt )2T = 2YbtcT − Ht ◦ dXt + Ht2 ◦ ( dXt )2T . Na z´avˇer je tˇreba pˇripomenout pˇredpoklad, ˇze body nespojitosti jednoduch´eho Ft -predikabiln´ıho procesu jsou podmnoˇzinou naˇs´ı pevnˇe dan´e lok´alnˇe koneˇcn´e mnoˇziny T ⊆ [0, ∞). Vzhledem ke kvadratick´emu charakteru element´arn´ı kvadratick´e variace, m˚ uˇzeme pomoc´ı n´asleduj´ıc´ı polarizaˇcn´ı formule zadefinovat odpov´ıdaj´ıc´ı biline´arn´ı ekvivalent. Pro Ut , Vt re´aln´e procesy na [0, ∞) a 0 ∈ T = {0 = t0 < t1 < . . . tk ; k ∈ N } ⊆ [0, ∞) lok´alnˇe koneˇcnou mnoˇzinu pˇredpisem X T T T [U +V ]t −[U −V ]t = (Ut∧tk − Ut∧tk−1 )(Vt∧tk − Vt∧tk−1 ) [U, V ]t = 4 k∈N

definujeme element´ arn´ı kovariaci proces˚ u U, V vzhledem k dˇelen´ı T. Pro element´arn´ı diferenci´al pr´avˇe zaveden´eho procesu budeme tak´e pouˇz´ıvat intuitivn´ı oznaˇcen´ı ( dUt )T ( dVt )T = d[U, V ]Tt =

T

T

d[U +V ]t − d[U −V ]t 4

=

d(U +V )2 − d(U −V )2 T T 4

.

Pˇripom´ın´ame, ˇze element´arn´ı diferenci´al vn´ım´ame jako symbol slouˇz´ıc´ı k jednoduch´emu intuitivn´ımu z´apisu integr´aln´ı rovnice. Z takov´e element´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice (12) pak okamˇzitˇe dostaneme rovnost Ht Ht T Ut Vt = U0 V0 + 0 UbscT − dVs + 0 VbscT − dUs + [U, V ]t , kterou budeme symbolicky zkracovat ve formˇe element´arn´ı stochastick´e diferenci´aln´ı rovnosti dUt Vt = UbtcT − ◦ dVt + VbtcT − ◦ dUt + ( dUt )T ( dVt )T . Tuto rovnost naz´ yv´ame element´ arn´ı stochastickou rovnost´ı Per Part´ es vzhledem k T. ´ integrace 8. L2 -stochasticka Bud’ (Xt , t ≥ 0) zprava spojit´ y L2 Ft -martingal. Pak kompenz´ator Kt procesu Xt2 nazveme kvadratick´ ym 2 Ft -kompenz´ atorem procesu Xt . Lze-li nav´ıc naj´ıt Ft -kompenz´ator Kt ve tvaru σ t, ˇrekneme, ˇze Xt je Ft -martingal s line´ arnˇ e kvadratick´ ym kompenz´ atorem s konstantou (linearity) σ 2 . Pokud v´ yˇse uvaˇzovan´ y proces Xt staruje z X0 = 0, plat´ı var(Xt ) = EXt2 = σ 2 t. Pˇr´ıklady takov´ ych proces˚ u jsou • Wiener˚ uv proces Wt s σ 2 = 1 (popˇr. Wσ2 t nebo σWt ) • centrovan´ y (nebo tak´e kompenzovan´ y) Poisson˚ uv proces Nt − ENt = Nt − λt s intenzitou λ = σ 2 . Pozn´ amka Ft -Wiener˚ uv proces je jedin´ y11 spojit´ y Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atorem t. Naopak kompenzovan´ y Poisson˚ uv proces Mt = Nt − ENt s jednotkovou intenzitou je pˇr´ıkladem nespojit´eho martingalu se stejn´ ym kompenz´atorem. Lemma Bud’ X, Y nez´aporn´e integrovateln´e veliˇciny, pokud E[X|Y ] ∈ L∞ (Y ), pak XY ∈ L1 . 11Tomuto tvrzen´ı se ˇ r´ık´ a L´evyho vˇeta o charakterizaci Wienerova procesu, kter´a ˇr´ık´a, ˇze kaˇzd´ y spojit´ y lok´aln´ı Ft -martingal Wt , kter´ y startuje z W0 = 0, takov´ y, ˇze Wt2 − t je opˇet lok´aln´ı Ft martingal, je Ft -Wiener˚ uv proces. Obecnˇe ke kaˇzd´emu spojit´emu lok´ aln´ımu Ft martingalu Xt startuj´ıc´ımu z X0 = 0 existuje neklesaj´ıc´ı spojit´ y Ft ∨ σ(N )-adaptovan´ y proces hXit takov´ y, ˇze Xt2 − hXit je lok´ aln´ı Ft ∨ σ(N )-martingal, kde N = {N ∈ F∞ : P (N ) = 0}. Tomuto procesu hXi se ˇr´ık´ a kvadratick´ a variace a skuteˇcnˇe v urˇcit´em smyslu hraje roli druh´e (kvadratick´e) variace odpov´ıdaj´ıc´ıho procesu. Dalˇs´ı (DDS) vˇeta ˇr´ık´ a, ˇze v´ıce-m´enˇe kaˇzd´ y lok´ aln´ı martingal si lze pˇredstavovat ve tvaru Xt = W (hXit ), kde W je nˇejak´ y Wiener˚ uv proces.

16

D˚ ukaz: Necht’ 0 ≤ E[X|Y ] ≤sj m ∈ N, pak EXY = lim E[XY ; Y ≤ n] = lim E[Y E(X|Y ); Y ≤ n] ≤ m · EY < ∞. n→∞

n→∞

D˚ usledek: Bud’ Xt Ft -martingal s line´arnˇe kovadratick´ ym kompenz´atorem a Ht jednoduch´ y Ft -predikovateln´ y L2 -integrovateln´ y proces s lok´alnˇe koneˇcnou dˇel´ıc´ı mnoˇzinou T = {0 = t0 < t1 < . . . < tk ; k ∈ N }, N ⊆ N. Pak X Ht Yt = 0 H dX = Htk−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 ) ∈ L2 k∈N T

[Y ]t =

Ht

( dY 0

)2T

=

X

(Yt∧tk − Yt∧tk−1 )2 ∈ L1 .

k∈N T

Speci´alnˇe pro element´arn´ı kvadratickou variaci Zt = [Y ]t procesu Y vzhledem k dˇel´ıc´ı mnoˇzinˇe T plat´ı X Ht H Ht T Zt = [ H dX]t = 0 (H ◦ dX)2T = 0 H 2 ◦ ( dX)2T = Ht2k−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )2 ∈ L1 . k∈N

Ht

D˚ ukaz: Veliˇcina Yt = 0 Hs dXs jakoˇzto koneˇcn´a suma souˇcinu L2 -integrovateln´ ych veliˇcin je integrovateln´a. D´ale z pˇredchoz´ı ˇc´asti textu v´ıme, ˇze Ht Yt2 = Zt + 2 0 YbscT − Hs dXs , kde YbtcT − ∈ A(Ft↑ ) oznaˇcuje zleva spojitou (predikabiln´ı) verzi procesu YbtcT ∈ A(Ft ). Ze Schwarzovy nerovnosti d´ale dostaneme, ˇze E|(Xt∧tk − Xt∧tk−1 )(Xt∧tj − Xt∧tj−1 )| ≤ σ 2 a z pˇredchoz´ıho lemmatu, ˇze pak |Htk−1 Htj−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )(Xt∧tj − Xt∧tj−1 )| ∈ L1 , coˇz v koneˇcn´em d˚ usledku znamen´a, ˇze tak´e po lok´alnˇe koneˇcn´em nasˇc´ıt´an´ı dostaneme X Htk−1 Htj−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )(Xt∧tj − Xt∧tj−1 ) ∈ L1 , Yt2 = j,k∈N T tj. Yt ∈ L2 pro t ≥ 0. Pak [Y ]t ∈ L1 pak plyne pˇr´ımo z definice, nebot’ opˇet lok´alnˇe koneˇcn´a suma integrovateln´ ych proces˚ u je integrovateln´ y proces.12 Q.E.D.

Tvrzen´ı Bud’ Xt Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atorem σ 2 t a Ht jednoduch´ y R Hyt Ft -predikovateln´ 2 t 2 proces. Oznaˇcme Kt = σ 0 Hs ds. Pokud je Kt integrovateln´ y proces, pak Yt = 0 Hs dXs je L2 Ft martingal. Speci´alnˇe pak plat´ı Ht E 0 Hs dXs = 0 D˚ ukaz: Protoˇze pro kaˇzd´e t ≥ 0 je Yt koneˇcnou sumou souˇcin˚ u L2 -integrovatel´ ych veliˇcin, plat´ı Yt ∈ L1 . Je-li tk−1 ≤ s < t ≤ tk , pak sj

sj

sj

E[Yt − Ys |Fs ] = E[Htk−1 (Xt − Xs )|Fs ] = Htk−1 · E[Xt − Xs |Fs ] = 0. Speci´alnˇe volbou s = tk−1 < tk = t dostaneme sj

E[Htk−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )|Ftk−1 ] = 0. Pro s = tn−1 < t = tm , pak nasˇc´ıt´an´ım dostaneme P sj sj E[Yt − Ys |Fs ] = E[ m k=n Htk−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 )|Fs ] = 0. S vyuˇzit´ım prvn´ı odsazen´e formule postupn´ ym podmiˇ nov´an´ım pro dseT = tn ≤ tm = btcT dostaneme sj

sj

sj

sj

E[Yt |Fs ] = E[E(E(Yt |Ftm )|Ftn )|Fs ] = E[E(Ytm |Ftn )|Fs ] = E[Ytn |Fs ] = Ys . Q.E.D. Tvrzen´ı Bud’ Xt Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atorem σ 2 t a Ht jednoduch´ y Ft -predikovateln´ y proces s dˇel´ıc´ı lok´alnˇe koneˇcnou mnoˇzinou T. Oznaˇcme Rt Ht Yt = 0 Hs dXs a Kt = σ 2 0 Hs2 ds 12Tady

nepouˇz´ıv´ ame nic jin´eho neˇz tvrzen´ı, ˇze koneˇcn´a suma integrovateln´ ych veliˇcin je integrovateln´a veliˇcina. Kolik sˇc´ıtanc˚ u v sumˇe z´ avis´ı na hodnotˇe t, proto ˇr´ık´ ame: lok´alnˇe koneˇcn´a suma

17 T

Pokud je Kt integrovateln´ y proces, pak Yt2 , Zt = [Y ]t maj´ı spoleˇcn´ y Ft -kompenz´ator Kt . Speci´alnˇe pak Ht R t var( 0 Hs dXs ) = σ 2 E 0 Hs2 ds. D˚ ukaz: Z pˇredchoz´ıho textu jiˇz v´ıme, ˇze procesy Yt2 , Zt jsou integrovateln´e. Oznaˇcme P Vt = Zt − Kt = k∈N Ht2k−1 [(Xt∧tk − Xt∧tk−1 )2 − σ 2 (t ∧ tk − t ∧ tk−1 )] Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım d˚ ukazu pro tk−1 ≤ s < t ≤ tk dostaneme sj

E[Vt − Vs |Fs ] = Ht2k−1 E[(Xt − Xtk−1 )2 − (Xs − Xtk−1 )2 − σ 2 (t − s)|Fs ] sj

sj

= Ht2k−1 {E[Xt2 − Xs2 − σ 2 (t − s)|Fs ] + 2Xtk−1 E[Xt − Xs |Fs ]} = 0. sj

Pro s = tn−1 < t = tm , pak nasˇc´ıt´an´ım opˇet dostaneme E[Vt − Vs |Fs ] = 0. S vyuˇzit´ım druh´e odsazen´e formule postupn´ ym podmiˇ nov´an´ım pro dseT = tn ≤ tm = btcT opˇet dostaneme sj

sj

sj

sj

E[Vt |Fs ] = E[E(E(Vt |Ftm )|Ftn )|Fs ] = E[E(Vtm |Ftn )|Fs ] = E[Vtn |Fs ] = Vs . Naprosto analogicky bychom uk´azali, ˇze je Ft -martingal i n´asleduj´ıc´ı proces P Ut = k∈N Ytk−1 Htk−1 (Xt∧tk − Xt∧tk−1 ). Plat´ı tedy, ˇze n´asleduj´ıc´ı procesy jsou Ft -martingaly: Vt = Zt − Kt , Yt2 − Kt = Zt − Kt + 2Ut .

Q.E.D.

Shrnut´ı: Bud’ Xt Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atoremH σ 2 t a Ht jednoduch´ y Ft -predikovateln´ y t proces s lok´alnˇe koneˇcnou dˇel´ıc´ı mnoˇzinou T. Pak proces Yt = 0 H dX je Ft -martingal s kvadratick´ ym R 2 2 t y proces. kompenz´atorem Kt = σ 0 Hs ds ovˇsem za pˇredpokladu, ˇze tento ,,kompenz´ator” je integrovateln´ Pˇri splnˇen´ı zm´ınˇen´ ych pˇredpoklad˚ u pak plat´ı rovnosti Ht Ht Rt Ht E 0 Hs dXs = 0, var( 0 Hs dXs ) = σ 2 E 0 Hs2 ds = EKt = E 0 Hs2 ( dXs )2T . Symbolem R(0, t) budeme rozumˇet rovnomˇern´e rozdˇelen´ı ina intervalu (0, t) a symbolem Pt = R(0, t)⊗P odpov´ıdaj´ıc´ı souˇcinovou m´ıru, pˇrˇcemˇz pˇredpokl´ad´ame, ˇze pracujeme na z´akladn´ım pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P ). D´ale symbolem ||H||2 oznaˇc´ıme L2 -normu v prostoru L2 (Pt ) a analogicky ||H||1 odpov´ıdaj´ıc´ı L1 -normu v L1 (Pt ). Lemma Bud’te H, K jednoduch´e Ft -predikabiln´ı procesy, a, b ∈ R a X bud’ Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atorem σ 2 t, pak Ht Rt Ht Rt a 0 Hs dXs + b 0 Ks dXs = 0 a Hs dXs + 0 b Ks dXs , t ≥ 0. Hs H Rt E sup | 0 Hu dXu |2 = E(| Hs dXs |∗t )2 ≤ 4σ 2 E 0 Hs2 ds, t ≥ 0. s≤t

Rt D˚ ukaz: Prvn´ı rovnost je zˇrejm´a z definice. Bud’ d´ale t ≥ 0 a necht’ 0 Hs2 ds ∈ L1 . Bez u ´jmy na obecnosti Rt 2 y, jinak bychom pˇreˇsli k jednoduch´emu predikam˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze proces 0 Hs ds integrovateln´ ¯ biln´ımuRproces Hs = Hs · 1[s≤t] nebo bychom H ˇrekli, ˇze dokazovan´a nerovnost plat´ı trivi´alnˇe. Protoˇ Rze je2 jiˇz 2 2 proces Hs ds integrovateln´ y, je proces Hs dXs je centrovan´ y L2 -martingal s rozptylem σ E Hs ds. Z momentov´e maxim´aln´ı nerovnosti pro L2 -martingal pak dost´av´ame, ˇze H Ht Rt E(| Hs dXs |∗t )2 ≤ 4E( 0 Hs dXs )2 = 4σ 2 E 0 Hs2 ds. Q.E.D. Rt Abychom mohli definovat integr´al 0 Hs ds byl vhodnˇe mˇeˇritelnou veliˇcinou, potˇrebujeme dle napˇr. Fubiniovy vˇety souˇcinovou mˇeˇritelnost. O procesu Ht ∈ A(Ft ) ˇrekneme, ˇze je Ft -progresivnˇ e (postupnˇ e) mˇ eˇ riteln´ y , pokud postupnˇe pro kaˇzd´e t ≥ 0 m´ame n´asleduj´ıc´ı mˇeˇritelnost H|t : B[0, t] ⊗ Ft → B(R),

t ≥ 0,

kde pro jednoduchost a pˇrehlednost z´apisu m´ısto mˇeˇriteln´ ych prostor˚ u p´ıˇseme pouze σ-algebry. Tvrzen´ı Je-li (Xt , t ≥ 0) zleva ˇci zprava spojit´ y Ft -adaptovan´ y proces, pak je Ft -progresivn´ı. D˚ ukaz: Bud’ t ≥ 0 pevn´e a {0, t} ⊆ Tn ⊆ [0, t] rostouc´ı posloupnost lok´alnˇe koneˇcn´ ych podmnoˇzin ’ postupnˇe zahuˇst uj´ıc´ı interval [0, t]. Pro zprava resp. zleva spojit´ y Ft -adaptovan´ y proces Xt postupnˇe dostaneme X|t = lim (XdseTn , s ∈ [0, t]) ∈ L(B[0, t] ⊗ Ft ) n→∞

X|t = lim (XbscTn , s ∈ [0, t]) ∈ L(B[0, t] ⊗ Ft ), n→∞

18

nebot’ pro lok´alnˇe koneˇcnou {0, t} ⊆ T ⊆ [0, t] pˇri pouˇzit´ı z´astupn´eho symbolu [ s ]T m´ısto dseT , bscT plat´ı [ {(s, ω) ∈ [0, t] × Ω : X([ s ]T , ω) < c} = {s ∈ [0, t] : [ s ]T = r} × [Xr < c] ∈ B[0, t] ⊗ FtX ⊆ B[0, t] ⊗ Ft . r∈T Q.E.D. Lemma Necht’ Xt je Ft -martingal s kvadratick´ ym kompenz´atorem σ 2 t. Bud’ H(n) posloupnost jednoduch´ ych (n) Ft -predikovateln´ ych proces˚ u takov´ ych, ˇze pro kaˇzd´e t ≥ 0 je posloupnost H |t cauchyovsk´a v L2 (Pt ). Pak H t (n) pro kaˇzd´e t ≥ 0 je posloupnost 0 Hs ds cauchyovsk´a v L2 (P ). Je-li nav´ıc pro kaˇzd´e t ≥ 0 P∞ (n) (13) |t ||L2 (Pt ) < ∞, n=1 ||H kde H (n) = H(n) − H(n−1) , pak pˇredpis H = ∃ lim H(n)

(14)

n→∞

(n)

definuje Ft -predikovateln´ y proces takov´ y, ˇze H |t → H|t v L2 (Pt ) i Pt -sj. kdykoli t ≥ 0 a pˇredpisem Rt H t (n) (15) Hs dXs = ∃ lim 0 Hs dXs 0 n→∞

definujeme Ft -adaptovan´ y proces, takov´ y, ˇze aˇz na P -nulovou mnoˇzinu plat´ı H t (n) Rt (16) Hs dXs → 0 Hs ds lok´alnˇe stejnomˇernˇe na [0, ∞). 0 D˚ ukaz: Prvn´ı ˇca´st tvrzen´ı plyne okamˇzitˇe z rovnosti H t (n) H t (m) H t (n) R t (n) (m) (m) E| 0 Hs dXs − 0 Hs dXs |2 = var( 0 [Hs − Hs ] dXs ) = σ 2 E 0 [Hs − Hs ]2 ds. Bud’ t ≥ 0 pevn´e, dle pˇredpokladu a na z´akladˇe vztahu mezi Lp -normami na pravdˇepodobnostn´ım prostoru dostaneme P P P P Et n |H (n) |t | = n Et |H (n) |t | = n ||H (n) |t ||L1 (Pt ) ≤ n ||H (n) |t ||L2 (Pt ) < ∞. P Pro Pt -sv. (s, ω) ∈ [0, t] × Ω je tak suma n H (n) |t absolutnˇe konvergentn´ı. Z definice plyne, ˇze H jakoˇzto limitn´ı souˇcet predikovateln´ ych proces˚ u tam, kde odpov´ıdaj´ıc´ı ˇrada (neabsolutnˇe) konverguje, je opˇet predikovateln´ y proces. D´ale R t (n) 2 1/2 P H t (n) P P 2 = σ 2 n ||H (n) |t ||L2 (Pt ) < ∞. n || 0 Hs dXs ||L2 (P ) = σ n [E 0 (Hs ) ds] A z momentov´e maxim´aln´ı nerovnosti pro zprava spojit´e L2 -martingaly pro t ≥ 0 dostaneme H · (n) P H t (n) P P H · (n) E n | 0 Hs dXs |∗t ≤ n || | 0 Hs dXs |∗t ||L2 (P ) ≤ 2 n || 0 Hs dXs ||L2 (P ) < ∞. Opˇet tak dostaneme, ˇze pˇredpis (15) korektnˇe definuje Ft -adaptovan´ y proces splˇ nuj´ıc´ı (16).

Q.E.D.

Rt 2 ˜ t Ft -progresivn´ı proces takov´ ˜ ds je integrovateln´ Tvzrzen´ı Je-li H y, ˇze 0 H y proces, pak existuje posloups (n) nost Ft -predikovateln´ ych proces˚ u H splˇ nuj´ıc´ı (13) tak, ˇze pro Ft -predikovateln´ y a Ft -progresivn´ı pro˜ ces Ht z (14) plat´ı H|t = H|t v prostoru L2 (Pt ). Proces Ht z pˇredchoz´ıho lemmatu nazveme Ft -predikabiln´ım ekvivalentem Ft -progresivn´ıho procesu H. D˚ ukaz: Je zaloˇzen na n´asleduj´ıc´ım lemmatu. Pro n ∈ N najdeme posloupnost H(n) jednoduch´ ych Ft predikovateln´ ych proces˚ u splˇ nuj´ıc´ıch ˜ − H(n) ||L (Pn ) ≤ 2−n . ||H 2

(n) ˜ (n) ˜ Pak zˇrejmˇe H ych Fs -predikovateln´ ych proces˚ u konverguj´ıch k H s = Hs · 1[s≤n] je posloupnost jednoduch´ v L2 (Pt ) kdykoli t ≥ 0 a to dostaneˇcnˇe rychle ve smyslu P ˜ (n) ˜ (n) − H ˜ (n−1) ˜ (n) = H ||H ||L (Pt ) < ∞, kde H n

2

Volba H z (14) dle odpov´ıdaj´ıc´ıho lemmatu d´av´a hledan´ y proces splˇ nuj´ıc´ı deklarovan´e vlastnosti. Q.E.D. Rt 2 ˜ t Ft -progresivn´ı proces takov´ ˜ ds je integrovateln´ Lemma Bud’ H y, ˇze 0 H y proces. Je-li r ≥ 0 a ε > 0, s pak existuje jednoduch´ y Ft -predikovateln´ y proces H takov´ y, ˇze ˜ − H||L (Pr ) < ε. ||H 2

D˚ ukaz: Prozat´ım odkl´ad´am.

19

Korektnost definice: Jsou-li H (n) , H [n] dvˇe posloupnosti jednoduch´ ych Ft -predikovateln´ ych proces˚ u splˇ nuj´ıc´ıch (13), pak plat´ı H t (n) H t [n] sj (∃ lim 0 Hs dXs , t ≥ 0) = (∃ lim 0 Hs dXs , t ≥ 0), n→∞

n→∞

coˇz znamen´a, ˇze pˇredpis (15) korektnˇe definuje proces Rt I = ( 0 Hs dXs , t ≥ 0), kter´ y je aˇz na mnoˇzinu m´ıry nula urˇcen jednoznaˇcnˇe, a tento proces je skoro jistˇe opˇet zprava spojit´ y, jakoˇzto sj.-limita zprava spojit´ ych proces˚ u v lok´alnˇe stejnomˇern´e konvergenci. Protoˇze je to Ft -adaptovan´ y proces, kter´ y je L2 -limitou Ft -martingal˚ u, je to opˇet L2 Ft -martingal. Nad´ale budeme v´ yˇse zaveden´ ym oznaˇcen´ım rozumˇet naopak zprava spojit´ y Gt -adaptovan´ y proces, kter´ y je skoro jistˇe roven p˚ uvodn´ımu procesu, kde Gt = Ft ∨ σ(N ), N = {F ∈ F∞ : P (F ) = 0}. Protoˇze je σ(N ) ⊥⊥ F∞ , je Ft nez´avisl´ ym rozˇs´ıˇren´ım filtrace Ft , je proces It tak´e L2 Gt -martingalem. A tot´eˇz plat´ı i pro novˇe posunut´ y v´ yznam procesu, kter´ y znaˇc´ıme symbolem R Rt Rt H dX = ( 0 H dX, t ≥ 0) = ( 0 Hs dXs , t ≥ 0). Na z´avˇer je pˇreci jen vhodn´e pˇripomenout souvislost proces˚ u H(n) s procesem H. Procesy H(n) jsou voleny (n) tak, aby H |t → H|t v L2 (Pt ) konvergovaly dostateˇcnˇe rychle pro kaˇzd´e t ≥ 0. D˚ ukaz korektnosti: Jsou-li H(n) , H[n] dvˇe alternativn´ı posloupnosti konverguj´ıc´ı v L2 (Pt ) dostateˇcnˇe rychle ve smyslu (13) k Ft -progresvn´ımu predikabiln´ımu procesu H pro kaˇzd´e t ≥ 0, pak H{n} = H(n) −H[n] konverguje dostateˇcnˇe rychle k nule, jak uk´aˇzeme. Oznaˇcme H {n} = H{n} − H{n−1} ,

H (n) = H(n) − H(n−1) ,

H [n] = H[n] − H[n−1] .

Pak H {n} = H (n) − H [n] a plat´ı P P P {n} ||L2 (Pt ) ≤ n ||H (n) ||L2 (Pt ) + n ||H [n] ||L2 (Pt ) < ∞. n ||H H H H Dle lemmatu procesy H{n} dX = H(n) dX − H[n] dX konverguj´ı lok´alnˇe stejnomˇernˇe skoro jistˇe. Protoˇze Ht R t {n} E| 0 H{n} dX|2 = σ 2 E 0 (Hs )2 ds → 0, n → ∞, je takovou limitou napˇr´ıklad identick´a nula.

Q.E.D.

Cviˇ cen´ı: (i) Bud’te Yk , k ∈ N nez´avisle stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny a N Poisson˚ uv proces s Y intenzitou λ > 0 nez´avisl´ y s F∞ . Ukaˇzte (pomoc´ı charakteristick´ ych funck´ı), ˇze pak proces (17)

St =

Nt X

Yk

k=1

m´a nez´avisl´e pˇr´ır˚ ustky a spoˇctˇete jeho stˇredn´ı hodnotu, pokud Y1 ∈ L1 a rozptyl, pokud Y1 ∈ L2 . (ii) Ukaˇzte, ˇze, je-li proces St centrovan´ y s koneˇcn´ ym rozptylem, je to Ft -martingal s line´arnˇe kvadratick´ ym kompenz´atorem. Proces St z (17) se naz´ yv´a sloˇ zen´ y Poisson˚ uv proces s intenzitou skok˚ u λ > 0 a s velikostmi skok˚ u s rozdˇelen´ım PY1 . Pozn´ amka: Kompenzovan´ y Poisson˚ uv proces a stejnˇe tak sloˇzen´ y Poisson˚ uv proces jsou pˇr´ıklady proces˚ u s lok´alnˇe koneˇcnou variac´ı a pro tyto procesy nen´ı tˇreba zav´adˇet speci´aln´ı stochastick´ y integr´al. V´ yˇse zaveden´ y integr´al v tˇechto pˇr´ıpadech souhlas´ı s integr´alem definovan´ ym po trajektori´ıch skoro jistˇe. V limitn´ım pˇr´ıpadˇe ze sloˇzen´eho Poisssonova procesu jsme vˇsak schopni obdrˇzet jak´ ykoli proces s nez´avisl´ ymi homogenn´ımi pˇr´ır˚ utky splˇ nuj´ıc´ı n´ıˇze uveden´e kvalitativn´ı vlastnosti, kter´e zahrnuj´ı i pˇr´ıpad Wienerova procesu. O procesu Lt startuj´ıc´ım z L0 = 0 se zprava spojit´ ymi trajektoriemi ˇrekneme, ˇze je to L´ evyho proces, pokud m´a nez´avisl´e pˇr´ır˚ ustky a homogen´ı ve smyslu Lt+h − Lt ∼ Lh kdykoli h, t ≥ 0. Cviˇ cen´ı Ukaˇzte, ˇze centrovan´ y L´eviho proces s koneˇcn´ ym rozptylem σ 2 = var(L1 ) je jednoduch´ y Ft 2 martingal normovan´ y na hodnotu σ . Pozn´ amka: L´evyho proces je obecnˇe ve tvaru, kter´ y se d´a vyj´adˇrit jako souˇcet tˇr´ı nez´avisl´ ych sloˇzek. Prvn´ı sloˇzkou je line´arn´ı trend, druh´ y je aˇz na multiplikativn´ı konstatnu Wiener˚ uv proces a tˇret´ı je ˇcistˇe skokov´ y proces, kter´ y je limitou sloˇzen´ ych Poissonov´ ych proces˚ u a pr´avˇe tato tˇret´ı ˇc´ast je pˇr´ıkladem

20

skokov´eho procesu, kter´ y nemus´ı m´ıt koneˇcnou variaci, a pro kter´ y tak m´a smysl zav´adˇet stochastick´ y integr´al ne po trajektori´ıch, ale lze to udˇelat na z´akladˇe L2 -izometrie, je-li tento proces L2 -integrovateln´ y. Je zˇrejm´e, ˇze nekoneˇcn´e variace m˚ uˇze skokov´ y proces dos´ahnout pouze za cenu nekoneˇcn´eho poˇctu skok˚ u na koneˇcn´em intervalu. Aproximuj´ıc´ı sloˇzen´e Poissonovy procesy tak mus´ı m´ıt ˇc´ım d´al t´ım vˇetˇs´ı intenzitu. ˆ ovy procesy, Ito ˆ ova formule 9. Ito (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

rozˇs´ıˇren´ı definice stochastick´eho integr´alu pomoc´ı zastavov´an´ı kvadratick´e variace Wienerova procesu kvadratick´a variace Itoova lok´aln´ıho martingalu, indetifikace L2 -martingalu Stochastick´e Per Part´es, Itoova formule (staˇc´ı v jednorozmˇern´em pˇr´ıpadˇe pro C 2 -funkce) Ornstein Uhlembeck˚ uv proces, Geometrick´ y Brown˚ uv pohyb, Brown˚ uv most stochastick´e diferenci´aln´ı rovnice (jednoznaˇcnost stochastick´e exponenci´aly a OU procesu) Black Scholes fromule a odpov´ıdaj´ıc´ı δ-hedging pro Evropskou call opci