1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem

Algebra I RNDr. Libor Polk.

Z
pisky z pedn
ky zpracoval:

Ji
 Dobe

20. dubna 1995

Obsah

1 Grupy 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Grupy zbytkovch td : : : : : : : : : : : Zkladn vlastnosti grup : : : : : : : : : : Podgrupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : Mor smy : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cayleho vty : : : : : : : : : : : : : : : : Klasi kace cyklickch grup : : : : : : : : Souiny grup : : : : : : : : : : : : : : : : Klasi kace konench komutativnch grup Lagrangeova vta : : : : : : : : : : : : : : Faktorov grupy : : : : : : : : : : : : : :

2 Okruhy a polynomy

Zaveden pojmu okruh : : : : : : : : : Zkladn vlastnosti : : : : : : : : : : : Vtan vlastnost okruh : : : : : : : : Podokruhy : : : : : : : : : : : : : : : Homomor smy okruh, podlov tleso Polynomy : : : : : : : : : : : : : : : : Koeny polynom : : : : : : : : : : : : Polynomy nad C, R, Q : : : : : : : :

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

: : : : : : : :

: : : : : : : :

1

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: 3 : 6 : 7 : 8 : 8 : 9 : 9 : 9 : 9 : 10

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

11

11 12 13 13 14 15 17 18

1 Grupy Nejdve uvedeme nkter zkladn pojmy: Binrn operace na mnoin A je zobrazen : A A A . Msto (a b) peme a b. (A ) Mnoina A s operac se nazv grupoid. Operace je komutativn, plat-li a b A : a b = b a. Operace je asociativn, plat-li a b c A : (a b) c = a (b c). Pologrupa je grupoid s asociativn operac. Lev neutrln prvek e A spluje a A : e a = a.




8

2

!























8

2

8

1

2

2






















1 GRUPY

2

Prav neutrln prvek e A spluje a A : a e = a. Neutrln prvek je lev neutrln a prav neutrln. Monoid je pologrupa s neutrlnm prvkem. Vta 1.1 2

8

2




Nech e je lev neutrln prvek a f prav neutrln prvek grupoidu (A ). Pak


e = f. D
kaz:

e=e f =f


grupoid me mt vce nap. levch neutrlnch prvk, m-li i njak prav neutrln prvek, pak m jedin neutrln prvek, tedy i jedin lev neutrln prvek. 2

Denice 1.2

Nech (A ) je grupoid s neutrlnm prvkem e, a A. b A se nazv lev (resp. prav) inverzn prvek k a, plat-li b a = e (a b = e). Prvek b se nazv inverzn, spluje-li a b = b a = e.


2







2







Vta 1.3

Nech (A  e) je monoid, a A, nech b je lev inverzn k a, c je prav inverzn k a. Pak b = c.


2

D
kaz:

c = e c = (b a) c = b (a c) = b e = b














Denice 1.4

Permutace na mnoin X je bijekce f : X vech permutac na mnoin X. Zejm plat f g S (X ), pak g f S (X ). 2



!




2

X . S (X ) ozname jako mnoinu

2

Denice 1.5

Grupa je pologrupa s neutrlnm prvkem takov, e ke kadmu prvku existuje prvek inverzn.

Poznmka 1.6

Grupa (S (X ) ) se nazv symetrick grupa na mnoin X. Jde o grupu vech permutac na mnoin X. Je komutativn prv, kdy X 2. Pro X konenou lze pedpokldat, e X = 1 2 : : : n , peme Sn . Sn = n! 

j

f

g

j

j 

j

Denice 1.7

Nech (i1  i2  : : :  ik ), k 2 jsou po dvou rzn prvky z 1 : : : n . Permutaci danou pedpisem: f (ij ) = ij+1  pro j = 1 : : :  k 1 f (ik ) = i1  f (i) = i pro i 1 2 : : : n i1 i2  : : :  ik nazvme cyklem. Cyklus dlky 2 nazvme transpozic
. Cykly (i1  : : :  ik ) a (j1  : : :  jl ) nazvme nezvisl, plat-li i1  : : :  ik j1  : : :  jl = 

f

g

;

2 f

f

g\ f

g;f

g

g

Vta 1.8

Libovolnou neidentickou permutaci f mnoiny X = 1 2 : : : n lze pst jako souin po 2 nezvislch cykl. Tento rozklad je jednoznan a na poad initel. f

g

1 GRUPY

3

Vta 1.9

Kad f Sn je souinem transpozic. 2

Denice 1.10

Nech f Sn , 1 i < j n. Dvojice (i j ) je inverz
v f, plat-li f (i) > f (j ). Permutace se sudm (lichm) potem inverz se nazv sud (lich). 2





Vta 1.11

Permutace je sud prv, kdy je souinem sudho potu transpozic.

D
kaz: Identick permutace je sud a je souinem nula transpozic. Sta ukzat, e nsoben transpozic mn paritu. 2

1.1 Grupy zbytkovch t
d Denice 1.12

Z, a b (a dl
b) prv,kdy c Z : c a = b. Poznmka 1.13 Jen na okraj: a 0 pro a Z Nech a b

j

8

2

j

9

2




2

0 a prv pro a = 0. j

Vta 1.14

Nech a N b Z. Pak existuje q Pitom q i r jsou ureny jednoznan. 2

2

2

Z, r

2 f

0 1 : : : a 1 tak,e b = q a + r. ;

g




D
kaz: 1. b 0 indukc vzhledem k b (a) b < a sta pst b = 0 a + b, kde q = 0 r = b: (b) b a podle induknho pedpokladu b a = q a + r q Z r 0 : : :  a 1 b = (q + 1) a + r 2. b < 0 podle prvnho bodu b = q a + r b = ( q) a r pro r = 0 b = ( q 1) a + (a r) pro r > 0






;




2

2 f

;

g




;




;




;

;

;




;

Jednoznanost:

b=q a+r =q a+r  0




0




q q

0

2

Z r r

0

0 : : : a 1

2 f

;

g

Lze pedpokldat, e r r .

0

r r = (q ;

0

0

;

q) a


r r ;

0

2 f

0 1 : : : a 1 ;

g

jedin cel nsobek a v mnoin na pedchzejcm dku je 0, tedy r = r  q = q 0

0

2

1 GRUPY

4

Denice 1.15

Nech a b Z. d nazveme spolenm dlitelem sel a,b, plat-li d a d b. d nazveme nejvt
m spolenm dlitelem sel a,b, je-li mezi spolenmi dliteli nejvt. Oznaujeme (a b). 2

j

^

j

Vta 1.16 Euklid
v algoritmus Nech a b N. 2

a = q1 b + r1 b = q2 r1 + r2 r1 = q3 r2 + r3 ::: rn 2 = qn rn 1 + rn rn 1 = qn+1 rn







; ;

Plat r1

0 b),r2

2 h

0 r1 ),r3

2 h

2 h

;




0 r2 ), atd. Pak rn = (a b).

D
kaz: 1. dokeme, e rn je spolen dlitel a,b z posledn rovnosti rn rn z pedposledn r n rn .. .. . . 3. r n r1 2. rn b 1. rn a

;

j

;

1 2

j

j j j

2. a e rn je nejvtm spolenm dlitelem: Nech d a a zrove d b, j

j

rn N

z 1.rovnosti d r1 z 2. d r2 .. .. . . z pedp. d rn j

2

,

d rn 

j

j

2

Vta 1.17

Bezoutova rovnost Nech a b 2 N. Pak existuje u v 2 Z tak,e u
a + v
b = (a b).

D
kaz: Vyplv z Euklidova algoritmu.

2

Denice 1.18

Z nazvme nesoudln, plat-li, e (a b) = 1 Dsledek 1.19 sla a b Z jsou nesoudln prv, kdy u v Z takov, e u a + b v = 1. Dsledek 1.20 Nech a b c N, a b c, (a b) = 1. Pak a c. sla a b

2

2

9

2

j




j

2







1 GRUPY

5

Denice 1.21 a 2 a N se nazv prvo
slo, plat-li: a = b c, b c N b = 1 nebo c = 1. Lemma 1.22 Nech a N a 2. Pak lze vyjdit a jako souin prvosel. Tento rozklad je

2




2

2

)



jednoznan a na poad initel.

D
kaz: existence indukc vzhledem k a, jednoznanost indukc

2

Denice 1.23

Nech a b Z n N. a b (mod n) n (a b) je kongruentn
modulo ("a je kongruentn s b modulo n"). Ozname a]n := k n + a k Z . 2

2



,

j

;

f




j

2

g

Lemma 1.24

Je ekvivalentn : 1. a b (mod n) 2. a,b dvaj pi dlen n stejn zbytek. 3. a]n = b]n 

Denice 1.25 De nujeme nsledujc mnoinu: Zn := a]n a Z = 0]n 1]n : : :  n 1]n v prvn mnoin vypotvme i prvky, kter jsou shodn, zato druh u je pesnm vtem (vzjemn rzn tdy tvoc rozklad Zn ), obsahuje jen zbytky po dlen. Na Zn de nujeme operaci + pedpisem: a]n + b]n := a + b]n , a dle operaci f

j

2

g

f

;

g




takto: a]n b]n := a b]n .





Vta 1.26

Pro libovoln n

2

Vta 1.27

Pro libovoln n

2

N je (Zn +) komutativn grupa.

N je (Zn ) komutativn monoid. a]n m inverzi (a n) = 1.


,

Dsledek 1.28 (Zn = 1]n 2]n  : : :  n 1]n  ) je pro prvoseln n grupou. Poznmka 1.29 znamen, e jde o mnoinu bez nulov tdy. Pouze je-li n prvoslo, je pslun Zn uzaven na operaci a je tedy grupou. Denice 1.30 Pro n N de nujeme tzv. Eulerovu funkci '(n) jako poet sel z mnoiny 

f

;

g









2

f

1 2 : : : n 1 , kter jsou nesoudln s n. ;

g

Vta 1.31

Pro prvoseln p plat '(pn ) = pn 1 :(p 1). Pro a,b nesoudln plat '(a b) = '(a) '(b)


Pklad 1.1

'(1000) = '(23 :53) = 22 :1:52:4

;

;




1 GRUPY

6

1.2 Zkladn vlastnosti grup Vta 1.32

Nech (s ) je pologrupa, n N, a1  a2  : : :  an S . Pak souin prvk a1  a2  : : :  an v danm poad nezvis na uzvorkovn.


2

2

D
kaz: indukc vzhledem k n 1. pro n = 1 2 nen co dokazovat 2. pro n 3 a tvrzen plat pro men n: nech a1  a2  : : :  an S , uvaujme souin (a1 : : : ak ) (ak+1 an ) =

2







podle induknho pedpokladu nezvis obsah 1. zvorky na uzvorkovn ( ani 2. zvorky), = (a1 (a2 : : : ak )) (ak+1 : : : an ) = a1 (a2 : : : ak ) (ak+1 : : : an )











pro k 2 nemusme pouvat zvorek a pro k = 1 u mme poadovan tvar.

2

Vta 1.33

Je-li (S ) komutativn pologrupa, n N a1  a2  : : :  an souinu prvk a1  a2  : : :  an nezvis na jejich poad.


2

Denice 1.34

Bu! (s ) pologrupa a


2

S, n

2

Zejm n m 8

2

N0 plat

S . Pak vsledek

N. De nujeme an := a| a{z a}. Pokud m







n initel

pologrupa neutrln prvek 1, klademe t a0 := 1.

Lemma 1.35

2

am an = am+n (am )n = am n




Lemma 1.36

Maj-li a,b inverzi, eknme a 1  b 1 , plat, e b ;

;

;

1




a 1 je inverze a b. ;




Denice 1.37 Pro n N klademe a n := (a 1)n . Co je samozejm rovno (an ) 1 . Lemma 1.38 Opt se snadno vid, e m n Z 2

;

;

8

;

2

am an = am+n (am )n = am n




Denice 1.39

d prvku a grupy (G
) je nejmen pirozen slo n takov, e an = 1. Pokud takov n neexistuje, pravme, e a m d 0.

Pklad 1.2 V (Z +) m a = 2 d 0. V (Z6  +) je to takto:

1 GRUPY

7

0]6 m d 1.

1]6 m d 6.

2]6 m d 3.

3]6 m d 2.

4]6 m d 1.

5]6 m d 6.

Lemma 1.40

Nech (G ) je grupa, a G. 1. Nech a je du n, k Z, k = qn + r q


2

2

2

Z 0 r < n, pak 

ak = ar 1 a a2 : : :  an 1 jsou po 2 rzn. 2. Nech a je du 0, pak pro libovoln k l ;

2

Z k = l je ak = al 6

6

1.3 Podgrupy

Denice 1.41

Nech (G ) je grupa a H 1 H


  



G. H nazvme nosiem podgrupy grupy (G ), je-li


2

a H a 1 H a b H a b H 2

;

)

2

)

2




2

Denice 1.42

Grupu (H ) nazveme podgrupou grupy (G ) plat-li: H 

a b = a b. 




G a b

2

H

)

Pak 1G = 1H : 1H 1G = 1H = 1H 1H = 1H 1H . Pro libovoln a H je inverze







a 1 v (H ) rovna inverzi a 1 v (G ). Odvozen je analogick. ;






;



2




Vta 1.43

V dalm nebudeme mezi tmito pojmy rozliovat.

Lemma 1.44

T

Nech (G ) je grupa. (Hi )i I je systm podgrup, I = . Pak H = i I Hi je opt podgrupa.


6

2

2

Vta 1.45

Nech (G ) je grupa, M G. Pak existuje T(vzhledem k inkluzi) nejmen podgrupa grupy obsahujc mnoinu M. Je rovna i I Hi , kde (Hi )i I je systm vech podgrup, kter obsahuj mnoinu M.




2

2

D
kaz: I T= , nebo samo G je takovou podgrupou. H = i I Hi je podgrupa podle pedchozho lemmatu. Zejm M 6

H . Chci dokzat, e H je nejmen takov. Nech H' je podgrupa obsahujc M . A zejm T i0 I : H = Hi0 , ale plat, e i I Hi Hi0 . 2 2

9

2

0

2





1 GRUPY

8

Denice 1.46

Podgrupu z pedchzejc vty nazvme podgrupou generovanou mno inou M, oznaujeme M . h

i

Pklad 1.3 (Z +) je generovna napklad mnoinou 2 . Ta generuje jen podgrupu sudch sel.

1 nebo 2 3 . Nesta mnoina

f; g

f

g

f g

Denice 1.47

Grupa generovan jednoprvkovou mnoinou se nazv cyklick.

Vta 1.48

Nech (G ) je grupa, M


h



G. Pak

M = a"11 a"22 : : : a"nn n N0 a1  : : : an M "1  : : :  "n i

f







j

2

2

1 1

2 f

; gg

Souin dlky 0 interpretujeme jako jedniku 1.

Dsledek 1.49

a = ak k Z . Msto a peme a .

h i

f

j

2

g

hf gi

h i

1.4 Morsmy Denice 1.50

Nech (G ), (H ) jsou grupy. Zobrazen  : G H se nazv homomorsmem grupy (G ) do grupy (H ), plat-li a b G : (a b) = (a) (b). Peme  : (G ) (H ) Dle oznaujeme vno en
jako prost homomor smus, izomorsmus jako bijektivn homomor smus. "kme, e (G ) je izomorfn s (H ), existuje-li izomor smus (G ) na (H ), peme (G ) = (H ).




!









!

8














2












Lemma 1.51 Pirozen logaritmus ln : (R+  ) (R +) je izomor smus. Plat tak (Z6  ) = (Z7  ) Vta 1.52




!









Nech  : (G ) (H ) je homomor smem grup. Pak (1G ) = 1H , pro lib. a G (a 1 ) = ((a)) 1


2

;

!



;

Poznmka 1.53 Sloen homomor sm je opt homomor smus. Zobrazen inverzn k izomor smu je izomor smus. Je-li H podgrupa grupy (G ), pak inkluze je vnoenm (a a).


7!

1.5 Cayleho v ty

Budeme pracovat s touto strukturou: nech A je mnoina. (AA  ) je pologrupa. 

Vta 1.54

Libovoln pologrupa je izomorfn podpologrup pologrupy (AA  ) pro vhodnou mnoinu A.


1 GRUPY

9

D
kaz: Nech (S ) je pologrupa. De nujeme pro a S zobrazen a : S S vztahem fa(x) = a x pro libovoln x S . je vnoen (S ) do (S S  ). Chceme dokzat, e je homomor smus: Pro a b S , x S , pak a b (x) = a:b:x. Plat a b (x) = a ( b (x)) = a (b:x) = a:b:x. Tedy jde skuten o homomor smus. Chceme navc, e je prost: a b S , a = b . Lze pedpokldat, e nae pologrupa S je monoid, nen-li, pak pidme 1. Plat a (1) = b (1), z toho a:1 = b:1, a tedy a = b. A mme


2




2

!

2

2










2

izomor smus.

2

Vta 1.55

Libovoln grupa (G ) je izomorfn s podgrupou (=lze vnoit do) grupy (PermA ) pro vhodnou mnoinu A. Za A lze vzt G.




1.6 Klasikace cyklickch grup

Vta 1.56

Libovoln nekonen cyklick grupa je izomorfn grup (Z +). Libovoln n-prvkov (n N) cyklick grupa je izomorfn grup (Zn  +). 2

1.7 Souiny grup

Denice 1.57

Nech (G ), (H ) jsou grupy. Na mnoin G H de nujeme operaci takto: (a b) (a  b ) := (a a  b b ). (nsoben po slokch)


0





0




0







0

Lemma 1.58

(G H ) je grupa. Zobrazen : G H G (a b) a,  : G H H (a b) b jsou surjektivn homomor smy grupy (G H ) na (G ) respektive (H ). 





!

7!

7!







!






Vta 1.59

Nech (G ) je komutativn grupa, H a K jej podgrupy. Nech H 1  G H K (= h k h H k K ) Pak (G ) = (H ) (K ).


f g






f




j

2

2

g











\

K =




1.8 Klasikace konench komutativnch grup Vta 1.60

Nech (G ) je konen komutativn grupa, G


j

j

2. Pak

(G ) = (Zpk11  +) : : : (Zpkmm  +) kde m k1  : : :  km N p1  : : :  pm jsou prvosla. Tento rozklad je jednoznan a na poad initel.








2

1.9 Lagrangeova v ta

Denice 1.61

Nech (G ) je grupa, H jej podgrupa, de nujme aH := a h h H , G=H := aH a G .


f

j

2

g

Lemma 1.62

Pro a b G je ekvivalentn : 1. aH = bH 2

f




j

2

g

1 GRUPY

10

2. a bH 3. b 1 a H 2

;

2

Vta 1.63

G=H je rozklad na mnoin G. Libovoln dv tdy jsou stejn mohutn.

D
kaz:  

S

a G aH

G, nebo a aH . nech c aH bH , pak h k H tak,e 

2

2

2

\

9

2

c = ah = b k a = b k h



j


;




1

h 1 zprava bH  k h ;

2




1

;

2

H

Tedy aH = bH a jde o rozklad. Nech a G,  : H aH h ah.  je surjektivn a injektivn. Tedy bijekce a mezi lib. dvma tdami. Proto jsou lib. dv tdy stejn velk. 2

!

7!

2

Dsledek 1.64

Nech (G ) je komutativn grupa, G = n. Pak 1. G = G=H H , pro libovolnou podgrupu H. 2. (Lagrangeova vta) H dl G , pro libovolnou podgrupu H. 3. a G du m, pak m n. 4. je-li n prvoslo, je (G ) cyklick. 5. (Fermatova vta) a G, pak an = 1.


j

j

j

j

j
j

j

j

j

2

j

j

j

j




2

Dsledek 1.65 (Euler) Nech a n N, (a n) = 1. Pak a'(n) 1 (mod n). D
kaz: uvaujme grupu invertibilnch prvk v (Zn  ). Tato grupa m '(n) prvk ( 2






a]n m inverzi , (a n) = 1) a]'n(n) = 1]n

2

1.10 Faktorov grupy Denice 1.66 H.

Podgrupa H grupy (G ) se nazv normln
, plat-li a G : h H : a 1 ha


8

2

G=H := aH a G - lev rozklad H G := Ha a G - prav rozklad n

f

j

2

g

f

j

2

g

Lemma 1.67

Je ekvivalentn: 1. H je normln grupa. 2. a G : aH = Ha( G=H = H G) 3. Na G/H de nujeme takto operaci: aH bH := (a b)H . 8

2

,

n







8

2

;

2

2 OKRUHY A POLYNOMY

11

Vta 1.68

Je-li (G ) grupa, H jej normln podgrupa, pak G=H s operac de novanou ve je grupa. Zobrazen natH : G G=H a aH je surjektivn homomor smus grupy (G ) na grupu (G=H ).


!




Denice 1.69

Nech  : (G ) G (a) = 1 .


j

7!




!

(H ) je homomor smus grup, klademe J () := a


f

2

g

Lemma 1.70

Nech (G ) je grupa. Normln podgrupy v (G ) jsou prv jdra homomor sm vedoucch z (G ).








D
kaz: nech H je normln podgrupa v (G ). natH : (G ) J (natH ) = a G (natH )(a) = H = a G aH = H = H


f

2

j

f

2

j




!

(G=H )


g

g

Naopak, bu!  : (G ) (H ) homomor smus, dokeme, e J () je normln podgrupa v (G ) : 1 J () a b J () (a) = (b) = 1 (ab) = (a) (b) = 1 (a 1 ) = ((a)) 1 = 1 1 = 1 a mme podgrupu. Normlnost: a G, b J (). Chceme a 1 ba J (). (a 1 b a) = ((a)) 1 (b) (a) = 1. 2





2

!




2

)

)

;

;




;

2

;

2

2

;




;










Lemma 1.71

J () = 1

 je prost.

f g ,

Vta 1.72

Nech  : (g ) (H ) je homomor smus grup. G' je normln podgrupa (G ), nech G J (). Pak existuje jedin homomor smus : (G=G  ) (H ) takov, e natG = .


0






!




0






!




0

Dsledek 1.73

Nech  : (G ) (H ).


!

(H ) je surjektivn homomor smus. Pak (G )=J () =










2 Okruhy a polynomy

2.1 Zaveden pojmu okruh Denice 2.1

Uspodanou trojici = (R + ) nazvme okruh, je-li (R +) komutativn grupa, (R ) monoid a jsou-li splnny tzv. distributivn zkony: R







a b c R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc: se nazv komutativn okruh, je-li (R ) komutativn. 8

R

2




Oznaen: 0 . . . je neutrln prvek vzhledem k +, a . . . inverzi prvku a vzhledem k + nazvme opan prvek, 

 ;

2 OKRUHY A POLYNOMY 

1 . . . je neutrln prvek vzhledem k , se nazv triviln
, je-li R = 1, a b := a + ( b).


 R 

12

j

;

j

;

Lemma 2.2

Nech = (R + ) je okruh. Pak 1. 0a = a0 = 0 2. ( a)b = a( b) = (ab) 3. a(b c) = ab ac 4. je triviln 0 = 1 R

;




;

;

;

;

R

,

Denice 2.3 Okruh

R : (ab = 0

R )

se nazv obor integrity, je-li netriviln, komutativn a plat a b a = 0 b = 0). 8

2

_

Tedy v oboru integrity se nevyskytuj dlitel nuly nebo tak, analogicky, nenulov prvky jsou uzaveny vzhledem k nsoben.

Lemma 2.4 (Zn  + ) je obor integrity n je prvoslo. Denice 2.5


Okruh

R

,

se nazv tleso, je-li (R  ) komutativn grupa. 




Q R C jsou tlesa. Naprosto zejm je, e je-li tleso, pak je i oborem integrity. R

R

2.2 Zkladn vlastnosti Denice 2.6

Charakteristika okruhu R je d 1 v (R +). Zname charR.

Pklad 2.1 charZn = n, seln okruhy maj charakteristiku 0. Lemma 2.7

z

Nech char = n, a R, pak plat n a = 0. (n a znamen a + a R

2




n

}|









{

+ a).

Lemma 2.8

Charakteristika oboru integrity je 0 nebo prvoslo.

Denice 2.9

Bu! komutativn okruh, a b R. a dl
b, jestlie c R : a c = b. Peme a b. Prvky a,b nazvme asociovan, je-li a b b a. Peme a b. Prvek e R nazvme jednotkou (v libovolnm okruhu), m-li v (R  ) inverzi. R

j

2

9

j

j

2








2




V R jsou jednotky vechna sla mimo 0 a asociovan prvky jsou vechny dvojice nenulovch sel.

Lemma 2.10 Plat:

1.



je relace ekvivalence na R.

2 OKRUHY A POLYNOMY 2.

R

13

obor integrity. Pak a b prv, kdy existuje jednotka c tak, e b = a c. 




Denice 2.11

Bu! komutativn okruh, a b c d R. Prvek c je spolen dlitel prvk a,b, plat-li c a c b. Prvek c je nejvt
spolen dlitel, je-li spolen dlitel a pro libovoln jin spolen dlitel d plat d c. R

2

j

j

j

Denice 2.12

Libovoln prvek a R je dliteln libovolnou jednotkou a libovolnm prvkem asociovanm s a, tyto dlitele nazvme nevlastn
dlitele. 2

Denice 2.13

Prvek a R se nazv ireducibiln
, je-li rzn od 0, nen jednotkou a m jen nevlastn dlitele. 2

Lemma 2.14

Nech je komutativn okruh, pak 1. pokud existuje nejvt spolen dlitel prvk a,b je uren jednoznan a na asociovanost. 2. je-li a ireducibiln, a b, pak je prvek b tak ireducibiln. R



2.3 Vtan vlastnost okruh

Vlastnost, kter je u okruh tak cenn, je jednoznanost rozkladu. Uvedeme si de nici, kter tento pojem zavd pesn.

Denice 2.15 Libovoln prvek a R , kter nen jednotkou, lze pst ve tvaru a = p1 : : : pk , kde k N, p1  : : :  pk jsou ireducibiln prvky. Pokud t a = q1 ql , kde l N, 

2

2






2

q1  : : :  ql jsou ireducibiln, potom l = k a zrove existuje permutace  mnoiny 1  k tak, e qi p(i) . f






g



Pklad 2.2 Okruh (Z + ) je s jednoznanm rozkladem, libovoln tleso je okruhem s jed


noznanm rozkladem.

2.4 Podokruhy

Denice 2.16

Nech = (R + ) je okruh, mnoina M se nazv podokruhem okruhu , plat-li M R, 0 1 M , a jestlie a b M , pak plat a + b a b a M . R






R

2

2




;

2

Poznmka 2.17

Zejmna (M +) je podgrupa grupy (R +). Zejm i (M +=M M =M M ) je okruh. 

Lemma 2.18






T

Nech Si pro i I I =  je podokruh okruhu = (R + ). Pak tak i I Si je podokruh. Zavedeme nsledujc oznaen: Pro libovolnou mnoinu M R existuje nejmen podokruh okruhu R obsahujc M. Nazveme ho podokruh generovan mnoinou M, ozname M ]. Dle nech S je podokruh okruhu , a R msto S a ] peme S a]. 2

6

R




2



R

2

f g

Lemma 2.19

S a] = 0 + 1 a + 2 a2 + : : : + n an n N0  0  : : :  n S . f

j

2

2

g

2 OKRUHY A POLYNOMY

14

2.5 Homomorsmy okruh, podlov t leso Denice 2.20

Nech R = (R +
), S = (S +
) jsou okruhy. Zobrazen  : R ! S se nazv homomorsmus okruhu R do okruhu S , plat-li:   

(a + b) = (a) + (b) (a b) = (a) (b) (1) = 1 , kde a b R.





2

R

Zejmna se jedn o homomor smus grupy (R +) do grupy (S +). Dle  se nazv izomorsmus, je-li  bijektivn. a se nazvaj izomorfn
, existuje-li izomor smus na . R

R

S

S

Lemma 2.21 Nech  :

R ! S

je homomor smus okruh.



 je prost



Libovoln homomor smus tles je prost a pro a R plat (a 1 ) = ((a))

,

J () := a R (a) = 0 = 0 f

2

j

g

f g 2



Lemma 2.22 Nech takto:

R

= (R + ) je obor integrity. Na mnoin R R de nujeme relaci




(a b) (c d) je relace ekvivalence. 

Pak



;

,



1

;



a d = b c:





Ozname tdu ekvivalence takto: ab = (a b)]



Denice 2.23

a + c := ad + bc a c := ac b d bd b d bd a Q( ) := b (a b) R R


R

f

j

2





g

Mnoina Q( ) se oznauje tak jako pod
lov tleso. R

Vta 2.24

+ jsou korektn de novan operace na Q( ). (Q( ) + ) je tleso.


R

R




Denice 2.25 Racionln sla Q := Q((Z + )) Vta 2.26


Nech = (R + ) je obor integrity, : R Q( ) a a1 je prost homomor smus do Q( ). Je-li  : prost homomor smus do tlesa , existuje jedin homomor smus : Q( ) takov, e = . R

R




R



!

R

R ! T

R

! T

7!

T

 

Denice 2.27 zaveden pirozen ch sel N0 je nejmen mnoina obsahujc  a uzaven vzhledem k (unrn) operaci a

7!

a

a.

f g

2 OKRUHY A POLYNOMY

Denice 2.28

Zavedeme relaci



na N0

15



N0 takto:

(a b) (c d) 

a+d =b+c

,

Jde zejm o relaci ekvivalence.

Denice 2.29

Z := (N0 N0)= 

Prvek tto mnoiny vyjdme jako a takto: (a b) + (c d) := (a + c) (b + d) ;

;

;



b := (a b)] . Operace budou zavedeny 

(a b) (c d) := (ac + bd) (ad + bc)

;

;




;

;

2.6 Polynomy

Denice 2.30

Nech = (R + ) je okruh. Polynomem nad nazvme posloupnost f = (f0  f1 : : :) prvk z R takovou, e skoro vechny jsou rovny 0 (tzn. vechny a na konen poet nebo od jistho msta jsou vechny nulov). R x] & je mnoina vech polynom na . Na R x] de nujeme operace + takto: R




R

R




(f0  f1 : : :) + (g0  g1  : : :) = (f0 + g0  f1 + g1  : : :) (f0  f1  : : :) (g0  g1  : : :) = (h0  h1  : : :) kde hi := j=0 fj gi j pro i = 0 1 : : :. Zejm je h0 = f0 g0 h1 = f0 g1 + f1 g0 . . .


Pi

;

Lemma 2.31

x] = (R x] + ) je okruh. Je-li komutativn, je i x] komutativn. Je-li obor integrity, je i x] obor integrity (toto neplat pro tleso !). R




R

R

R

R

Denice 2.32

Stupe polynomu f, st(f ) je nejvt n N takov, e fn = 0, kde fn je vedouc koe cient polynomu f. Stupe polynomu (0 0 : : :) klademe . 2

6

;1

Lemma 2.33

Nech f,g jsou polynomy.

st(f + g) max st(f ) st(g) st(f:g) st(f ) + st(g) 

f

g



Je-li R obor integrity, plat ve 2. ppad rovnost.

Lemma 2.34

Nech R je obor integrity,f R x] . f je jednotka v R x] prv tehdy, kdy je konstantn a je jednotkou v R. (jen na okraj: ztotoujeme prvky z R a konstantn polynomy) 2

Pklad 2.3

v okruhu (Zn  + ) plat: (2x + 1)(2x + 1) = 1 & tento nekonstantn polynom je jednotkou


2 OKRUHY A POLYNOMY

16

Lemma 2.35

Nech R je obor integrity, f g R x]. Nech vedouc koe cient polynomu g je jednotkou v R. Pak existuj, a to jednoznan polynomy q r R x] takov, e f = q q + r, st(r) < st(g) . 2

2




Pklad 2.4

Nejsme-li nad oborem integrity, nen jednoznanost: 2x + 1 = 1(2x + 1) + 0 = 2x(2x + 1) + 1

Vta 2.36

Je-li R tleso, f g R x]. Pak existuje nejvt spolen dlitel h tchto polynom a existuj polynomy u,v tak,e u f + v g = h 2







D
kaz: viz Euklidv algoritmus a dkaz Bezoutovy rovnosti

2

Lemma 2.37

Nech R je obor integrity. f g R x] jsou asociovny prv tehdy,kdy existuje jednotka c R tak, e g = c f . 2

2




Denice 2.38

Normovan polynom m vedouc koe cient roven 1 (jedn).

Vta 2.39

Nech R je tleso, f g R x] 0 . Pak existuje jedin jejich normovan nejvt spolen dlitel, oznaujeme ho (f g). 2

nf g

D
kaz: plyne z pedchoz vty a lemmatu o jednoznanosti NSD

2

Denice 2.40

Polynomy f,g se nazvaj nesoudln, plat-li (f g) = 1.

Vta 2.41

Nech R je tleso, f g h R x]. Jestlie f g h, (f g) = 1, pak plat f h. 2

j




j

D
kaz: viz Bezoutova rovnost

2

Denice 2.42

Polynom f se nazv ireducibiln
, je-li nekonstantn a nen-li souinem dvou nekonstantnch polynom.

Pklad 2.5

V polynomech Z x]: 2 & je ireducibiln prvek (nad Z), nen ireducibiln polynom. 2x & je ireducibiln polynom, nen ireducibiln prvek.

Lemma 2.43

Nech R je tleso. Pak f R x] je ireducibiln polynom 2

,

je ireducibiln prvek.

Poznmka 2.44

Nad oborem integrity je libovoln linern polynom ireducibiln.

Vta 2.45

Nech R je tleso. Pak R x] je okruh s jednoznanm rozkladem. ( f R x] nekonstantn, f lze pst ve tvaru f = a p1 p2 : : : pk a to jedinm zpsobem a na poad initel a R, p1 p2 : : : pk jsou normovan ireducibiln polynomy) 2




2

2 OKRUHY A POLYNOMY

17

D
kaz: Existence: f R x] nekonstantn indukc vzhledem ke n:= st(f) n = 1, f se normuje n 2 bu! f je ireducibiln, pak se f normuje, nebo f = g h, st(g) st(h) 1 2












a pouiji indukn pedpoklad. Jednoznanost: f = a p1 : : : pk = b q1 : : : ql Zejm a = b jako koe cienty nejvy mocniny. Kdyby pk = q1  : : :  ql bylo by (pk  q1 ) = : : : (pk  ql ) = 1, (pk  b) = 1 a NSD je konstantn polynom. (Plat f gh (f g) = 1 f h) l-krt aplikovat, dostali bychom pk 1 tedy spor. Proto mus pk = qm  (1 m l)





6

j

)

j



j



p1 : : : pk 1 = q1 : : : qm 1 qm+1 : : : ql Pouijeme dle indukci vzhledem ke k. ;

;

2

2.7 Ko
eny polynom Denice 2.46

Nech je R okruh, c R, f ko enem polynomu f, plat-li 2

2

R x], f = fn xn + : : : + f1 x + f0 . c se nazv

f (c) := fncn + : : : + f1 c + f0 = 0:

Lemma 2.47

Nech R je komutativn okruh, c R, f g R x]. Pak plat: 1. (f + g)(c) = f (c) + g(c) 2. (fg)(c) = f (c) g(c) 2

2




Vta 2.48

Nech R je komutativn okruh, c R, f kdy plat (x c) f . 2

;

2

R x]. Pak c je koen f prv tehdy,

2

R x], k 1. c je k-nsobn ko en f,

j

Denice 2.49

Nech R je komutativn okruh, c R, f plat-li (x c)k f , a zrove (x c)k+1 f . 2

;

j

;



6 j

Vta 2.50

Nech R je tleso, f nenulov polynom nad R, pak f m nejve n = st(f ) koen, potme-li kad tolikrt, co jeho nsobnost.

Poznmka 2.51

Vtu je mono zobecnit a na okruh integrity.

Denice 2.52

Nech R je okruh, f R x], de nujme '(f ) : R 2

Vta 2.53

!

R a

7!

f (a )

Nech R je nekonen obor integrity. Pak f = g prv tehdy, kdy '(f ) = '(g).

Denice 2.54

Nech f = an xn + : : : + a1 x + a0 De nujeme f = nan xx 1 + : : : + a1 a nazvme derivace f.

Lemma 2.55

0

;

Plat (f + g) = f + g , (f g) = f g + f g . 0

0

0




0

0







0

2 OKRUHY A POLYNOMY

18

Vta 2.56

Nech R je tleso charakteristiky 0, f R x], c R. Jestlie c je k-nsobn koen f, k 2, pak c je (k-1)-nsobn koen f . Jestlie c je jednoduch koen (nsobnosti jedna) f, pak c nen koen f . 2

2

0



0

Denice 2.57

Tleso R se nazv algebraicky uzav en, m-li kad nekonstantn polynom nad R v R koen.

Vta 2.58

(dn konen tleso nen algebraicky uzaven.

Pklad 2.6

pro R = a1 : : : an polynom f = (x a1 ) : : : (x an ) + 1 nem v R koen. f

g

;

Vta 2.59

Tleso R je algebraicky uzaven polynomy.

,

;

ireducibiln polynomy jsou prv linern

2.8 Polynomy nad C, R, Q

Vta 2.60 Zkladn vta algebry Tleso C je algebraicky uzaven. Lemma 2.61 Nech c C je koen f R x]. Pak x je koen f. Vta 2.62 Nad R jsou ireducibiln polynomy prv linern polynomy a kvadratick poly2

2

nomy se zpornm diskriminantem.

Vta 2.63

Nech f = an xn + : : : + a1 x + a0 Z x]. pq je koen f, p (p q) = 1. Pak p a0 , q an . Pro r Z plat (p rq) f (r). 2

j

Vta 2.64

Polynom f

2

j

2

;

2

Z, q Z 0 , 2

n f g

j

Z x] je ireducibiln je ireducibiln nad Q. ,

Vta 2.65 Eisensteinovo kriterium

Nech mme polynom f = an xn + : : : + a1 x + a0 Z x]. Jestlie existuje prvoslo p tak, e p a0  : : : p an 1  pnedlan  p2 nedla0 potom f je ireducibiln nad Q. 2

j

Pklad 2.7 n

j

;

x + 2 je ireducibiln nad Q (pro prvoslo p=2).