Diterbitkan secara mandiri melalui Nulisbuku.com

PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL UNTUK SAINS DAN TEKNIK

Komputasi Metode Beda Hingga untuk Tipe Parabolik dan Hiperbolik Menggunakan FreeMat/MATLAB

Dr. Putu Harry Gunawan1

2016

Diterbitkan secara mandiri melalui Nulisbuku.com 1 Corresponding

author. Tel.+6287 762 434 081. Email: [email protected]; [email protected] Computational Sciences, School of Computing, Telkom University.

Pengantar Persamaan Diferensial Parsial untuk Sains dan Teknik c Hak cipta �2016 oleh Dr. Putu Harry Gunawan

Desain Cover: Dr. Putu Harry Gunawan

Editor Tulisan: Friska Fristella, S.Si., M.Si., M.Sc. Penerbit: www.nulisbuku.com ILP Center Lt. 3S01 Jl. Raya Pasar Minggu No. 39A Pancoran, Jakarta Selatan 12780

Kata Pengantar

Puji syukur penulis panjatkan ke hadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat dan rahmat Beliau, buku ini dapat diselesaikan dan diterbitkan tepat waktu. Buku ini merupakan pengantar persamaan diferensial parsial (PDP) untuk level strata 1 dan yang setara. Materi yang disampaikan pada buku ini merupakan bagian terkecil dari materi PDP keseluruhan. Hanya PDP tipe parabolik dan hiperbolik berdimensi satu (1D) dan dua (2D) saja yang akan dibahas. Algoritma dan contoh program dengan bahasa pemrograman gratis FreeMat (mirip MATLAB) juga dibahas. Kode program Freemat mirip dengan MATLAB, sehingga pembaca dapat menjalankan kode program pada dua perangkat lunak yang berbeda. Penulis mengucapkan terima kasih banyak atas masukan dan saran yang sudah diberikan oleh beberapa kolega untuk memperbaiki dan meningkatkan kualitas isi dari buku ini. Terima kasih juga saya ucapkan kepada jurusan Ilmu Komputasi, Telkom University, karena memberikan kesempatan kepada penulis untuk dapat mengajar PDP sehingga muncul ide untuk membuat buku ini. Terakhir tapi bukan yang paling akhir, penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada orangtua dan saudara-saudara yang senantiasa memberikan doa yang tidak mungkin penulis dapat membalasnya. Penulis juga memberikan kesempatan kepada pembaca untuk memberikan masukan, pertanyaan atau ide jika ada yang perlu diperbaiki dari segala sisi buku ini. Silakan mengirimkan email ke [email protected] untuk saran dan pertanyaan.

Dr. Putu Harry Gunawan 2016

Bab 0:

Dr. Putu Harry Gunawan

ii

Daftar Isi Kata Pengantar

i

Daftar Isi

iii

Daftar Gambar

vii

Daftar Algoritma

xi

Daftar Program FreeMat/MATLAB 1 Tentang Buku

xiii 1

1.1

Motivasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Panduan Pembaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Catatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Pengantar PDP 2.1

Konsep Dasar PDP

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1

Kehomogenan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.3

Kelinieran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Klasifikasi PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3

Aplikasi PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Bab 0: Daftar Isi 3 Separasi Variabel

19

3.1

Masalah Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2

Separasi Variabel untuk Persamaan Panas . . . . . . . . . . . . 20

3.3

Koefisien Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4

Separasi Variabel untuk Persamaan Gelombang . . . . . . . . . 29

3.5

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Metode Beda Hingga untuk 1D Parabolik

37

4.1

Masalah Persamaan Panas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2

Skema Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3

Program FreeMat/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Metode Beda Hingga untuk 1D Hiperbolik

51

5.1

Masalah Persamaan Gelombang 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2

Skema Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3


5.4

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6 Metode Beda Hingga 2D Parabolik

65

6.1

Masalah Persamaan Panas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2

Skema Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3


6.4

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7 Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik

79

7.1

Masalah Persamaan Gelombang 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2

Skema Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3

Program FreeMat/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.3.1

Batas Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


iv

Bab 0: Daftar Isi 7.3.2 7.4

Batas Neumann

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8 Implementasi PDP 8.1

97

Aliran Air Tanah (Groundwater flow) . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.1

Model Groundwater flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.1.2

Program FreeMat/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 100

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2

Gelombang Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.2.1

Model SWE dan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2.2

Program FreeMat/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 105

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Daftar Pustaka Lengkap

115

Tentang Penulis

121


v

Bab 0: Daftar Isi


vi

Daftar Gambar 1.1

Flowchart pembahasan materi PDP . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.1

Sketsa masalah difusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Gangguan vertikal senar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Peregangan senar dengan sudut kecil . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1

Konfigurasi fisik sebuah batang besi dengan panjang L [Gun16]. 21

3.2

Solusi dari persamaan panas dengan f (x) = 3 sin(πx)+5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3

Solusi dari persamaan panas dengan f (x) = 1 . . . . . . . . . . 28

3.4

Solusi u(x, t) pada Contoh 3.4.1 untuk (x, t) ∈ ([0, 1] × [0, 3]). . 32

3.5

Solusi dari persamaan gelombang u(x, t) pada Contoh 3.4.2 untuk (x, t) ∈ ([0, 1] × [0, 3]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1

Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi. . . . . . . . . . . . 38

4.2

Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial. . . . 39

4.3

Stencil untuk skema explicit FTCS (Forward Time Central Space). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4

Perbandingan numerik persamaan panas stabil dan tidak stabil 41

4.5

Hasil plot program untuk Contoh 4.2.2 dengan waktu t = 0 (atas) sebagai nilai awal dan t = 40 × Δt (bawah) sebagai nilai

akhir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Bab 0: Daftar Gambar 5.1

Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial untuk (5.2.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2

Perbandingan hasil numerik persamaan gelombang stabil dan tidak stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3

Hasil dari simulasi numerik dengan menggunakan Δt = 5 ×

10−2 dari awal sampai waktu akhir t = 60Δt. . . . . . . . . . . 61

6.1

Contoh penyebaran panas pada wajan yang panaskan. . . . . . 66

6.2

Daerah perhitungan dalam dua-dimensi. Daerah dalam dino¯ dan daerah batas / boundary dengan ∂Ω. . . 66 tasikan dengan Ω

6.3

Daerah diskrit untuk spasial 2D yaitu x dan y. . . . . . . . . . 67

6.4

Perbandingan hasil numerik 2D persaman panas stabil dan tidak stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5

Hasil simulasi numerik 2D persamaan panas . . . . . . . . . . . 74

6.6

Posisi awal domain bentuk L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.7

Sebaran panas pada titik-titik diskrit domain bentuk L pada waktu akhir t = 0.025 (atas) dan t = 0.25 (bawah). . . . . . . . 77

7.1

Alat musik gendang menghasilkan suara dari vibrasi selaput gendang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2

Daerah diskrit untuk spasial 2D yaitu x dan y. . . . . . . . . . 81

7.3

Perbandingan hasil numerik 2D persamaan gelombang stabil dan tidak stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.4

Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang dengan syarat batas Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.5

Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang dengan syarat batas Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.6

Gelombang yang ditimbulkan oleh tetesan air. . . . . . . . . . . 91

7.7

Ilustrasi vektor normal n(x) pada daerah batas. . . . . . . . . . 92

7.8

Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang batas Neumman 93

7.9

Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang batas Neumman 94

8.1

Ilustrasi air tanah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


viii

Bab 0: Daftar Gambar 8.2

Terjadi aliran air tanah karena turunnya ketinggian air sungai.

8.3

Hasil simulasi numerik pada model aliran air tanah. . . . . . . 102

8.4

Ilustrasi linier SWE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.5

Hasil simulasi numerik standing wave. . . . . . . . . . . . . . . 108

8.6

Hasil simulasi numerik dam-break. . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.7

Hasil simulasi numerik breaking wave. . . . . . . . . . . . . . . 114


99

ix

Bab 0: Daftar Gambar


x

Daftar Algoritma 1

Algoritma persamaan panas 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

Algoritma persamaan gelombang 1D. . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

Algoritma persamaan panas 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4

Algoritma persamaan gelombang 2D. . . . . . . . . . . . . . . . 86

Bab 0: Daftar Algoritma


xii

Daftar Program 4.1

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan panas 1D . . . . . 46

5.1

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang 1D . . . 60

6.1

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan panas 2D . . . . . 73

7.1

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang 2D . . . 88

8.1

Kode FreeMat/MATLAB untuk model aliran air tanah

8.2

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air ka-

. . . . 101

sus standing wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.3

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air kasus dam-break

8.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air kasus breaking wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Bab 0: Daftar Program


xiv

Bab 1

Tentang Buku 1.1

Motivasi

Buku ini ditulis sebagai catatan kuliah Persamaan Differensial Parsial (PDP) di jurusan S1 Ilmu Komputasi, Telkom University. Dalam bab-bab selanjutnya, mulai dari konsep dasar PDP, pencarian solusi analitik dengan menggunakan separasi variabel, sampai solusi numerik dengan metode beda hingga (finite difference method) pada PDP tipe parabolik dan hiperbolik akan dijelaskan. Untuk tipe parabolik dan hiperbolik, Algoritma dan contoh program komputer menggunakan bahasa pemrograman FreeMat (open source) yang mirip dengan MATLAB (berbayar). Perlu diketahui bahwa MATLAB adalah perangkat lunak yang berbayar dan membutuhkan license. Sedangkan FreeMat adalah perangkat lunak open software yang bebas kita unduh tanpa menggunakan license. Untuk melihat FreeMat lebih jauh, silakan kunjungi webiste http://freemat.sourceforge.net/. Tidak memungkiri bahwa buku ini merupakan bagian yang sangat kecil dari materi PDP yang sebenarnya. Beberapa hal menarik pada materi kuliah PDP lainnya seperti solusi PDP tipe Eliptik, pembahasan konservasi massa, metode karakteristik, dan lain sebagainya tidak dibahas dalam buku ini. Buku ini dirancang untuk mahasiswa s1 jurusan teknik dengan memperkenalkan

Bab 1: Tentang Buku notasi-notasi matematika yang biasanya digunakan untuk memodelkan PDP. Mengingat bahwa materi PDP sangat luas, maka penulis hanya memberikan beberapa materi khusus untuk tipe PDP. Pada PDP tipe parabolik, persamaan konduktivitas panas 1D dan 2D saja yang akan dibahas. Sedangkan pada tipe hiperbolik, hanya persamaan gelombang orde dua 1D dan 2D yang akan dikupas lebih detail.

Gambar 1.1: Alur atau flowchart materi yang akan dijelaskan pada buku ini. Panah bergaris tebal menyatakan materi yang akan dibahas pada buku. Sedangkan panah bergaris putus-putus menyatakan materi yang berkaitan dengan PDP, akan tetapi tidak dibahas dalam buku.


2

Bab 1: Tentang Buku Penulis membuat buku ini ditujukan kepada semua kalangan pembaca, dalam hal ini, bisa dari kalangan praktisi dan ilmuwan. Secara khusus, target pembaca buku ini adalah mahasiswa atau peneliti yang bekerja dengan PDP di jurusan teknik maupun sains, khususnya Matematika dan Fisika. Tidak menutup kemungkinan buku ini juga dapat digunakan sebagai pegangan dosen dalam mengajar pengantar PDP di jurusan yang menyediakan mata kuliah ini. Bagan atau flowchart untuk memandu pembaca dalam menggunakan buku ini dapat dilihat pada Gambar 1.1.

1.2

Panduan Pembaca

Pada Bab 2, konsep dasar dari PDP seperti klasifikasi, orde, dan linierias akan diberikan. Beberapa apliaksi dari PDP juga diberikan untuk menambah pengetahuan pembaca dalam memodelkan fenomena alam menjadi persamaan PDP. Bab 3 bercerita tentang bagaimana mencari solusi analitik dengan menggunakan metode separasi variabel. Dalam hal ini, digunakan asumsi bahwa nilai awal diberikan oleh sebuah fungsi smooth yakni sinusoidal. Bab 4 membahas metode numerik untuk mencari solusi dari persamaan konduktivitas panas. Metode numerik yang diusulkan adalah metode beda hingga. Algoritma secara umum beserta contoh numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB juga diberikan. Metode numerik untuk persamaan gelombang dengan menggunakan metode beda hingga, beserta algoritma dan contoh kode program dalam FreeMat/MATLAB dipaparkan pada Bab 5. Metode numerik untuk PDP tentang persamaan panas dan gelombang dua-dimensi diberikan pada Bab 6 dan 7 secara berurutan. Terakhir, beberapa contoh proyek dalam pemodelan PDP dibahas pada Bab 8.

1.3

Catatan

Sebagian dari bab-bab yang ada di buku ini dibahas dengan sangat singkat. Mengingat buku ini tidak hanya diperuntukkan untuk matematikawan, Dr. Putu Harry Gunawan

3

Bab 1: Tentang Buku banyak beberapa lema tidak dibuktikan secara rinci. Untuk itu, penulis menyarankan untuk melihat beberapa pustaka yang penulis gunakan. Dalam pembahasan bab metode numerik, penulis menyertakan algoritma yang dapat diimplementasikan ke bahasa pemrograman yang pembaca kuasai atau pahami. Pada buku ini hanya diberikan contoh program komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB. Kode program yang ada pada buku ini dapat diunduh pada tautan berikut ini https://bcomps.telkomuniversity.ac.id/putu-harry-gunawan/. Akan tetapi, penulis menyarankan pembaca untuk mencoba menulis program FreeMat/MATLAB sendiri. Hal ini akan mempermudah pembaca untuk memahami keseluruhan kode program. Teknik mengkoding dalam semua program FreeMat/MATLAB yang ada di buku ini belum seluruhnya optimal dari sisi fungsi-fungsi yang dimiliki oleh FreeMat/MATLAB. Hal ini dikarenakan kode program disesuaikan dengan algoritma umum yang dapat diimplementasikan pada bahasa pemrograman lainnya seperti Fortran, C/C++, Python, dll. Sehingga, penulis memberikan kesempatan pembaca untuk dapat mengimprovisasi program yang ada pada buku ini, sesuai dengan teknik pemrograman atau penggunaan fungsi-fungsi yang ada atau pembaca kuasai.


4

Bab 2

Pengantar PDP 2.1

Konsep Dasar PDP

Definisi 2.1.1 (PDP). Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x1 , x2 , · · · , xn ) berdimensi n ≥ 2, dan turunan parsial

fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya [TW04]. Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut: F

�

x1 , x2 , · · · xn , u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂2u ,··· , , ,··· , ,··· ∂x1 ∂xn ∂x1 x1 ∂x1 xn

�

= 0.

PDP biasanya memiliki variabel bebas untuk ruang dan/atau waktu. Variabel bebas untuk ruang biasanya dinotasikan sebagai (x, y, z) atau dengan tambahan variabel waktu menjadi (x, y, z, t). Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: ∂2u ∂2u + = 0, ∂2x ∂2y

(2.1.1)

∂u ∂2u − α 2 = 0, ∂t ∂ x

(2.1.2)

Bab 2: Pengantar PDP 2 ∂2u 2∂ u − c = 0, ∂2t ∂2x

(2.1.3)

dengan ∂u/∂t, ∂ 2 u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan. Persamaan (2.1.1-2.1.3) merupakan persamaan diferensial parsial satudimensi mengacu pada domain spasial. Persamaan (2.1.1) secara umum dikenal dengan nama persamaan Laplace, persamaan (2.1.2) adalah persamaan difusi atau konduktivitas panas, dan persamaan (2.1.3) dikenal sebagai persamaan gelombang. Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP dapat juga ditulis dalam bentuk:

uxx + uyy = 0,

(2.1.4)

ut − αuxx = 0,

(2.1.5)

utt − c2 uxx = 0,

(2.1.6)

dengan subscript menyatakan turunan parsial. Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas adalah ut + ux = 0, ut + ux − αuxx = 0, ut + uux = 0, uxx + uyy = f (x, y), ut + uux + uxxx = 0, iut + uxx = 0.

persamaan transport

(2.1.7)

persamaan reaksi-difusi

(2.1.8)

persamaan inviscid Burger

(2.1.9)

persamaan Poisson

(2.1.10)

persamaan KdV

(2.1.11)

persamaan Schr¨ odinger

(2.1.12)

Selain contoh diatas, beberapa referensi di dalam buku atau jurnal saintifik, biasanya menggunakan notasi-notasi seperti berikut ini:

• Gradien grad(u) = ∇u:

Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x1 , x2 , · · · , xn )


6

Bab 2: Pengantar PDP pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: �

∇u(x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂ ∂ ∂ , ,··· , ∂x1 ∂x2 ∂xn

�

u.

Misalkan terdapat persamaan u(x, y), maka ∇u(x, y) = (ux , uy ). • Divergent div(u) = ∇ · u:

Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi berdimensi n u(x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: ∇ · u(x1 , x2 , · · · , xn ) =

�

∂ ∂ ∂ + + ··· + ∂x1 ∂x2 ∂xn

�

u.

Misalkan terdapat persamaan u(x, y, z), maka didapat ·u(x, y, z) =

�

∂u ∂u ∂u + + ∂x ∂y ∂z

�

.

• Laplace operator Δu = ∇2 u = ∇ · ∇u: Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1 , x2 , · · · , xn ) pada ndimensi ruang Euclidean. Contohnya: Δu(x1 , x2 , · · · , xn ) =

�

∂2 ∂2 ∂2 + + · · · + ∂x21 ∂x22 ∂x2n

�

u.

Misalkan terdapat persamaan u(x, y, z), maka didapat Δu(x, y, z) =

�

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z

�

.

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = et−x merupakan solusi dari persamaan gelombang (2.1.6), secara sederhananya fungsi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga Dr. Putu Harry Gunawan

7

Bab 3

Separasi Variabel 3.1

Masalah Nilai Eigen

Dalam subbab ini, akan dibahas mengenai masalah nilai eigen berkaitan dengan operator kontinu L. Subbab ini hanya akan memberikan definisi dan lema sebagai senjata/alat yang dapat digunakan dalam mencari solusi PDP dengan metode separasi variabel. Bukti dari lema tidak akan dibahas dengan detail. Jika pembaca tertarik untuk melihat bukti dari lema-lema yang diberikan, pembaca disarankan untuk membaca pustaka yang dilampirkan pada catatan setelah lema dipaparkan.

Definisi 3.1.1. Bilangan riil λ disebut nilai eigen berkaitan dengan masalah nilai batas − u�� (x) = f (x),

x ∈ (0, L),

u(0) = u(L) = 0

(3.1.1)

jika Lu = λu

(3.1.2)

untuk fungsi tak nol u ∈ C02 ((0, 1)) dan Lu = −u�� . Fungsi u selanjutnya

disebut sebagai fungsi eigen.

Bab 3: Separasi Variabel Lema 3.1.2. Nilai dan fungsi eigen dari masalah (3.1.2) diberikan sebagai berikut λk =

�

kπ L

�2

k = 1, 2, · · · ,

f or

and uk (x) = sin

�

kπx L

(3.1.3)

�

(3.1.4)

Bukti. Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku [TW04] untuk lebih lengkapnya. Lema 3.1.3. Fungsi eigen {sin < sin

�

kπx L

�

� kπx �

, sin

L

}k≥1 memenuhi persamaan berikut

� mπx � L

>=

 0

1/2

k �= m,

,

(3.1.5)

k = m,

dengan < ·, · > menyatakan hasil kali dalam (inner product). Bukti. Bukti dari lema ini dapat ditemukan di [TW04] untuk lebih jelasnya.

3.2

Separasi Variabel untuk Persamaan Panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni 00 C (lihat Gambar 3.1). Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan. Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut Dr. Putu Harry Gunawan

20

Bab 3: Separasi Variabel Lebih jelasnya, dari Lema 3.1.3,kita peroleh

< sin

�

kπx L

�

, sin

� mπx � L

>=

 0

k �= m,

1/2

(3.3.2)

k = m.

Dengan mengggunakan properti dasar di atas, kita dapat dengan mudah menentukan koefisien {Ak } sehingga f (x) =

∞ �

Ak sin

k=1

�

kπx L

�

.

(3.3.3)

Untuk setiap index m ≥ 1, kita ambil nilai hasil kali dalam m fungsi eigen � mπx � . Kemudian menggunakan (3.3.2) akan diperoleh L

dengan sin

< f (x), sin

� mπx � L

>= Ak < sin

�

kπx L

�

, sin

� mπx � L

>=

Am . 2

(3.3.4)

Sehingga kita peroleh Ak = 2 < f (x), sin

� mπx � L

>

dan

k = 1, 2, · · · .

(3.3.5)

Koefisien inilah yang kita sebut sebagai koefisien Fourier (Fourier coefficient) dan deret yang bersesuaian disebut sebagai deret Fourier (Fourier series). Terakhir, solusi umumnya adalah u(x, t) =

∞ �

k=1

Ak e

2 −( kπx L ) t

sin

�

kπx L

�

,

(3.3.6)

dengan Ak merupakan koefisien yang didapat dari (3.3.5). Mari kita lihat contoh sebelumnya pada kasus persamaan panas.

Contoh 3.3.1. Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x) = 1 dengan panjang kawat L = 1 m. Dengan Dr. Putu Harry Gunawan

27

Bab 3: Separasi Variabel menggunakan (3.3.5), kita peroleh Ak = 2

�

1

(1) sin(kπx) dx = 0

Sehingga didapat Ak = dan 1=

 

4 kπ

0

2 (1 − cos(kπ)). kπ

for k = 1, 3, 5, · · · , for k = 2, 4, 6, · · · ,

∞ 4� 1 sin((2k − 1)πx). π 2k − 1

(3.3.7)

(3.3.8)

(3.3.9)

k=1

Gambar 3.3: Solusi dari persamaan panas dengan f (x) = 1 = �∞ 1 4 k=1 π 2k−1 sin((2k − 1)πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1 dengan berhingga deret N = 100. Jadi solusi umumnya adalah u(x, t) =

∞ 2 4� 1 e−((2k−1)π) t sin((2k − 1)πx). π 2k − 1

(3.3.10)

k=1


28

Bab 5

Metode Beda Hingga untuk 1D Hiperbolik 5.1

Masalah Persamaan Gelombang 1D

Mengingat kembali persamaan (2.3.8) yang ada pada Subbab 2.3, jika gaya badan (body forces) per unit massa hanya merupakan gaya gravitasi, maka Q(x, t) = −g pada persamaan (2.3.8). Seringkali, gaya ini sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya tarik senar (ρ0 q << |T0 ∂ 2 u/∂x2 |) dan dapat

diabaikan. Sehingga menurut [Hab12], gaya badan diberikan Q(x, t) = 0, ∂ 2 u(x, t) T0 ∂ 2 u(x, t) = , ∂t2 ρ0 ∂x2

(5.1.1)

∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = c2 , 2 ∂t ∂x2

(5.1.2)

atau dapat ditulis sebagai

Bab 5: Metode Beda Hingga untuk 1D Hiperbolik n = 0 dengan vk0 = f (xk ),

k ∈ M + {0, M }.

(5.2.3)

Sedangkan, untuk mencari nilai pada level waktu n = 1, kita dapat menggunakan expansi Taylor orde dua terhadap waktu dan persamaan ut = g(x) pada (5.1.5) yaitu � � Δt2 utt (x, 0) + O (Δt)3 2 � � Δt2 �� f (x) + O (Δt)3 . = f (x) + (Δt)g(x) + 2

u(x, Δt) = u(x, 0) + (Δt)ut (x, 0) +

dengan f �� (x) dapat dicari melalui persamaan (5.1.3) yaitu utt (x, 0) = uxx (x, 0) = f �� (x). Sehingga kita dapat menghitung nilai vk1 untuk menghampiri u(xk , Δt) dengan vk1 − vk0 Δt n = g(xj ) + (v 0 − 2vk0 + vk−1 ), Δt 2Δx2 k−1

k ∈ M.

(5.2.4)

Jadi, dapat kita urutkan langkah-langkah pengerjaan skema eksplisit untuk menghampiri persamaan gelombang (5.1.3-5.1.5) sebagai berikut: 1. Hitung (5.2.3) untuk mencari nilai v pada level waktu 0. 2. Hitung (5.2.4) untuk mencari nilai v pada level waktu 1. 3. Hitung (5.2.1) untuk mencari nilai v pada daerah dalam perhitungan dan level waktu n ≥ 2. 4. Hitung (4.2.2) untuk mencari nilai batas. Algoritma dari skema eksplisit beda hingga persamaan gelombang dapat dilihat pada Algoritma (2) di subbab berikutnya. Lema 5.2.1. Skema numerik eksplisit (5.2.1-5.2.4) untuk menghampiri solusi persaman panas (5.1.3-5.1.5) akan stabil jika dan hanya jika memenuhi cΔt ≤ 1. Δx Dr. Putu Harry Gunawan

(5.2.5) 54

Bab 5: Metode Beda Hingga untuk 1D Hiperbolik

1

1

t=0

0.8 0.6

0.6

t=7 xΔ t

0.4

0.2

v(x,t)

v(x,t)

t=7 xΔ t

0.4

0.2

t=10 xΔ t

0 −0.2

t=10 xΔ t

0 −0.2

t=13 xΔ t

−0.4

−0.4

−0.6

t=13 xΔ t

−0.6

t=60 xΔ t

−0.8 −1

t=0

0.8

0

0.2

0.4

0.6

−0.8 0.8

1

−1

t=60 xΔ t 0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

x

Gambar 5.2: Perbandingan hasil numerik dengan menggunakan Δt = 5×10−2 (kiri) dan Δt = 5.26 × 10−2 (kanan). kiri skema numerik eksplisit stabil dengan menggunakan Δt = 5 × 10−2 se-

dangkan di kanan, skema numerik menghasilkan osilasi yang artinya skema numerik tidak stabil dengan Δt = 5.26 × 10−2 . cΔt Δx

Sesuai dengan Lema 5.2.5, dengan Δt = 5 × 10−2 dan Δx = 1/20, maka = 1 sehingga skema stabil. Sebaliknya, dengan Δt = 5.26 × 10−2 dan

Δx = 1/20, maka

5.3

cΔt Δx

= 1.108 > 1 sehingga skema pastinya tidak stabil.

Program FreeMat/MATLAB

Berikut akan diberikan algoritma untuk menghitung solusi persamaan gelombang dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Algoritma 2, dibentuk agar sesuai dengan bahasa pemrograman yang pembaca kuasai (contoh Fortran, C/C++, Python, FreeMat/MATLAB dll). Berikut diberikan kode dari program komputer sesuai dengan Algoritma 2 menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB. Catatan bahwa, pada Algoritma 2 indeks untuk larik/arrays dimulai dari k = 0 sampai dengan k = M . Akan tetapi, bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB tidak mendukung adanya indeks 0, indeks dimulai dari 1. Sehingga perlu dilakukan pengaturan untuk menyamakan program FreeMat/MATLAB dengan Algoritma 2. Dr. Putu Harry Gunawan

57

Bab 5: Metode Beda Hingga untuk 1D Hiperbolik

Algoritma 2 Algoritma persamaan gelombang 1D. 1: procedure Wave1D(f (x), g(x), M, L, c, T, Δt, a = b = 0) 2: Start Δt2 3: Define dx = L/M , r = c2 (Δx)2 4: For k = 0 : M do 5: x[k] = k × dx, vold2 [k] = f (x[k]), � n=0 6: EndFor 7: For k = 1 : M − 1 do 8: vold [k] = vold2 [k] + Δtg(x[k]) + r (vold2 [k + 1] − 2vold2 [k] + vold2 [k − 1]) � n=1 2 9: EndFor 10: time=0 11: while time < T do 12: time = time + Δt 13: For k = 1 : M − 1 do 14: v[k] = 2vold [k] − vold2 [k] + r (vold [k + 1] − 2vold [k] + vold [k − 1]) 15: EndFor 16: v[0] = 0 = v[M ] 17: For k = 0 : M do 18: vold2 [k] = vold [k] � update nilai vkn−1 19: vold [k] = v[k] � update nilai vkn 20: EndFor 21: end while 22: OUTPUT v[0 : M ]; Plot(x, v) 23: End 24: end procedure


58

Bab 7

Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik 7.1

Masalah Persamaan Gelombang 2D

Gambar 7.1: Alat musik gendang menghasilkan suara dari vibrasi selaput gendang. Gendang merupakan salah satu alat musik yang banyak ditemukan di berbagai daerah di Indonesia. Gendang sendiri memiliki bentuk, ukuran dan bahan yang sangat beragam sesuai dengan kebudayaan yang ada pada daerah masing-masing (lihat Gambar 7.1). Bagaimana gendang dimainkan? dengan memberikan gangguan pada kulit/selaput gendang, maka selaput gendang

Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik akan bervibrasi sehingga suara akan terdengar. Vibrasi dari selaput gendang dapat dimodelkan dengan PDP yaitu persamaan gelombang. Misalkan notasi untuk seluruh daerah perhitungan Ω = � � ¯ =∈ (0, Lx ) × (0, Ly ) menyatakan dae¯ ∪ ∂Ω ∈ [0, Lx ] × [0, Ly ], dengan Ω Ω rah dalam dan ∂Ω menyatakan daerah batas (lihat Gambar 6.2). Persamaan konduktivitas panas dua-dimensi diberikan sebagai berikut: ∂ 2 u(x, y, t) = c2 ∂t2

�

∂ 2 u(x, y, t) ∂ 2 u(x, y, t) + ∂x2 ∂y 2

u(x, y, 0) = f (x, y), u(x, y, t) = 0,

�

ut (x, y, 0) = g(x, y),

(x, y) ∈ ∂Ω,

,

¯ (x, y) ∈ Ω, (x, y) ∈ Ω

t≥0

t > 0 (7.1.1) (7.1.2) (7.1.3)

dengan u(x, y, t) menyatakan ketinggian gelombang pada posisi (x, y) dan waktu t. Kecepatan gelombang dinotasikan sebagai suatu konstanta c. Solusi analitik dari persamaan diatas dapat ditemukan pada pustaka [Asm05], dan [Hab12].

7.2

Skema Numerik

Sejalan dengan skema numerik untuk persamaan panas 2D pada Bab 6, maka penggunaan notasi akan disamakan. Untuk membentuk skema numerik dengan menggunakan metode beda hingga, tentu saja kita harus membentuk daerah diskrit dari masalah PDP (7.1.1-7.1.3). Untuk daerah spasial, andaikan kita memiliki daerah seperti pada Gambar 6.2, maka dengan membentuk daerah diskrit, daerah dibagi-bagi menjadi persegi-persegi yang memiliki ukuran Δx × Δy, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.2.

Andaikan kita membagi daerah spasial perhitungan arah x sebanyak Mx

partisi dan arah y sebanyak My partisi dengan (Mx , My ) ∈ Z+ , maka diskrit ¯y = ¯ x = 1, 2, · · · Mx − 1 dan M domain dalam dapat kita notasikan dengan M

1, 2, · · · My − 1. Ingat bahwa, grid batas 0 dan Mx atau My tidak termasuk

dalam diskrit domain dalam, jadi untuk diskrit keseluruhan domain (dalam � � � � ¯ y + {0, My } . Se¯ x + {0, Mx } × M + batas) didefinisikan sebagai M = M Dr. Putu Harry Gunawan

80

Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik diurutkan menjadi: 1. Hitung (7.2.3) untuk n = 0. 2. Hitung (7.2.4) untuk n = 1. 3. Hitung (7.2.2) untuk n ≥ 2. Berikut akan diberikan contoh masalah gelombang dengan menggunakan skema numerik beda hingga serta menggunakan dua nilai Δt yang berbeda. Contoh 7.2.1. Misalkan diberikan masalah gelombang pada domain Ω = [0, 1] × [0, 1] seperti berikut ∂ 2 u(x, y, t) = c2 ∂t2

�

∂ 2 u(x, y, t) ∂ 2 u(x, y, t) + ∂x2 ∂y 2

�

u(x, y, 0) = f (x, y),

ut (x, y, 0) = g(x, y),

u(x, y, t) = h(x, y),

(x, y) ∈ ∂Ω,

¯ (x, y) ∈ Ω,

,

t > 0 (7.2.5)

(x, y) ∈ Ω

(7.2.6)

t≥0

(7.2.7)

dengan c = 1, f (x, y) = max(0, 1 − 20((x − 0.5)2 + (y − 0.5)2 )) dan g(x, y) =

h(x, y) = 0. Menggunakan Mx = My = 20 sebagai partisi spasial, maka √ hasil plot menggunakan dua langkah waktu berbeda Δt = ds/ 2 dan Δt = √ ds/ 1.5 dengan Δs = Δx = Δy, dapat dilihat pada Gambar 7.3. time= 3 x Δ t

1

1

0.5

0.5

v(x,y,t)

v(x,y,t)

time= 3 x Δ t

0

−0.5 1

0

−0.5 1 1 0.8

0.5

0.6

1 0.8

0.5

0.6

0.4

y

0

0.4

0.2 0

x

y

0

0.2 0

x

√ Gambar 7.3: Perbandingan hasil numerik dengan menggunakan Δt = Δs/ 2 √ (kiri) dan Δt = Δs/ 1.5 (kanan).


83

Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik

7.3

Program FreeMat/MATLAB

Untuk membuat program menggunakan bahasa pemrograman komputer, perhatikan Algoritma 4 berikut ini. Algoritma 4 dapat diaplikasikan sesuai dengan bahasa pemrograman yang ada seperti Fortran, C/C++, Python, dll, untuk mengerjakan Contoh 7.2.1. Pada Algoritma 4, baris (4-9) menyatakan definisi dari xk dan yl . Baris (10-14) digunakan untuk mendefinisikan nilai awal yaitu pada persamaan 0 dinotasikan dengan vold2 [k][l] yang selanjutnya akan digu7.2.3. Di sini, vk,l

nakan untuk menyatakan level waktu n − 1. Baris (15-20) mempresentasikan persamaan (7.2.4) untuk menghitung level waktu n = 1 yaitu vold [k][l] yang berikutnya akan digunakan untuk menyatakan level waktu n. Selanjutnya baris (22-41) menyatakan perulangan waktu untuk menyelesaikan masalah sampai waktu akhir T yang ditentukan. Dalam perulangan waktu, baris (23) digunakan untuk memperbarui nilai waktu, baris (24-28) n+1 , dan baris (30-35) digunakan untuk ditujukan untuk menghitung nilai vk,l

menghitung nilai batas. Prosedur update untuk level waktu n − 1 dan n diberikan pada baris (36-40).

%-----------------------------------------------------------% Program FreeMat for the 2D wave problem by PHN % % u_tt = c^2 (u_xx + u_yy), (x,y) \in (0,1)^2 % u(x,y,0)=f(x,y), u_t(x,y,0)=g(x,y) % u(x,0,t)=u(x,L_y,t)=0 % u(0,y,t)=u(L_x,y,t)=0 %-----------------------------------------------------------clc; clear all; % clear all variables in memory close all; f= @(x,y) max(0,1-20*((x-0.5)^2 + (y-0.5)^2));% fungsi f(x,y) g= @(x,y) 0; h= @(x,y) 0; %Batas Dirichlet Lx Ly Mx My dx dy ds

= = = = = = =

1; 1; 20; 20; Lx/ Mx; Ly/ My; dx;


% % % % % % %

set set set set set set set

panjang domain x panjang domain y titik grid x titik grid y spasial step dx spasial step dy ds=dx=dy 85


7.3.1

Batas Dirichlet

Untuk syarat batas Dirichlet, nilai batas diberikan dengan sebuah fungsi h(x, y). Sebagai contoh sebelumnya, PDP yang diberikan adalah PDP de(x, y) ∈

ngan syarat batas Dirichlet yaitu h(x, y) = 0 sehingga u(x, y, t) = 0, t ≥ 0.

∂Ω,

time= 3 x Δ t

1

1

0.5

0.5

v(x,y,t)

v(x,y,t)

time= 0 x Δ t

0

−0.5 1

0

−0.5 1 1

1

0.8

0.5

0.8

0.5

0.6

0.6

0.4

y

0

0.4

0.2 0

y

x

0.2 0

x

time= 9 x Δ t

1

1

0.5

0.5

v(x,y,t)

v(x,y,t)

time= 6 x Δ t

0

0

−0.5 1

0

−0.5 1 1 0.8

0.5

0.6

1 0.8

0.5

0.6

0.4

y

0

0.4

0.2 0

x

y

0

0.2 0

x

Gambar 7.4: Plot hasil simulasi persamaan panas 2D dengan deret waktu t = 0 × Δt sampai dengan t = 9 × Δt, dengan kenaikan t = 3 × Δt untuk tiap gambarnya. Hasil simulasi numerik dengan syarat batas Dirichlet dapat dilihat pada Gambar 7.4. Dengan menggunakan syarat batas h(x, y) = 0, terlihat bahwa vibrasi hanya terjadi pada daerah dalam setelah gangguan diberikan. Simulasi di atas analogi dengan alat musik gendang yang diberikan gangguan pada daerah tengah. Sedangkan daerah pinggir gendang, kulit atau selaput yang menghasilkan suara pada gendang terikat dengan kencang. Ilustrasi dapat Dr. Putu Harry Gunawan

89


time= 15 x Δ t

1

1

0.5

0.5

v(x,y,t)

v(x,y,t)

time= 12 x Δ t

0

−0.5 1

0

−0.5 1 1

1

0.8

0.5

0.8

0.5

0.6

0.6

0.4

y

]

0

0.4

0.2 0

y

x

0.2 0

x

time= 21 x Δ t

1

1

0.5

0.5

v(x,y,t)

v(x,y,t)

time= 18 x Δ t

0

0

−0.5 1

0

−0.5 1 1 0.8

0.5

0.6

1 0.8

0.5

0.6

0.4

y

0

0.4

0.2 0

x

y

0

0.2 0

x

Gambar 7.5: Plot hasil simulasi persamaan panas 2D dengan deret waktu t = 12 × Δt sampai dengan t = 21 × Δt, dengan kelipatan t = 3 × Δt untuk tiap gambarnya.


90

Bab 8

Implementasi PDP 8.1 8.1.1

Aliran Air Tanah (Groundwater flow) Model Groundwater flow

Bab ini akan membahas model sederhana berupa model aliran air tanah beserta metode numerik untuk menghampiri solusi model. Misalkan terdapat aliran air tanah pada lapisan dalam tanah seperti pada Gambar 8.1. Sesuai dengan sumber acuan di buku [Vre12], persamaan massa pada kolom tanah sama dengan persamaan massa untuk suatu aliran sungai, sehingga persamaan massa dapat ditulis sebagai berikut: w ∂h ∂(hu) + = ∂t ∂x p

(8.1.1)

dengan h = ketebalan air tanah, u = kecepatan rata-rata aliran air tanah, w = air hujan dalam volum per luas area, p = porositas tanah. Asumsi tambahan pada model yang akan kita kembangkan adalah air huj-

Bab 8: Implementasi PDP dengan D adalah konstanta difusi berdimensi m2 /s. Persamaan ini mirip dengan persamaan konduktivitas panas seperti yang sudah dibahas pada Subbab 2.3. Persamaan (8.1.4) merupakan PDP orde satu terhadap waktu t dan orde dua terhadap spasial x.

Gambar 8.2: Terjadi aliran air tanah karena turunnya ketinggian air sungai. Berikut akan diberikan satu contoh kasus, yang diambil dari buku [Vre12]. Contoh 8.1.1. Andaikan lapisan air tanah berada di dekat sebuah sungai. Pada keadaan awal, semuanya dianggap setimbang (tidak ada hujan, permukaan air tanah lurus horisontal). Pada sesuatu keadaan, permukaan air sungai tiba-tiba menjadi rendah (yang pada akhirnya akan segera mempengaruhi permukaan air tanah) dan pada ketinggian yang rendah tersebut air sungai menjadi konstan lagi. Sehingga akan terjadi aliran air tanah menuju sungai sebagaimana diakibatkan oleh kemiringan permukaan air (Pers. 8.1.2), lihat Gambar 8.2. Selanjutnya, kita misalkan panjang domain air tanah sebelah kanan sungai adalah L = 200 m. Level air sungai pada awalnya terletak di 10 m, lalu tiba-tiba jatuh ke level 0 m. Dan tetap berada di level 0 sampai pada waktu tertentu. Misalkan besaran difusi diberikan konstan D = 10−3 . Dengan memDr. Putu Harry Gunawan

99

Daftar Pustaka Lengkap [Asm05]

N.H. Asmar. Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems. Pearson Prentice Hall, 2005. isbn: 9780131480964.

[CY98]

Yong-Sik Cho and SUNG BUM YOON. “A modified leap-frog scheme for linear shallow-water equations”. In: Coastal Engineering Journal 40.02 (1998), pp. 191–205.

[DD91]

R.G. Dean and R.A. Dalrymple. Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists. Advanced series on ocean engineering. World Scientific, 1991. isbn: 9789810204211.

[DG14]

David Doyen and Putu Harry Gunawan. “An explicit staggered finite volume scheme for the shallow water equations”. In: Finite Volumes for Complex Applications VII-Methods and Theoretical Aspects. Springer, 2014, pp. 227–235.

[GR13]

Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart. Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws. Vol. 118. Springer Science & Business Media, 2013.

[Gun16]

P.H. Gunawan. “Scientific Parallel Computing for 1D Heat Diffusion Problem Based on OpenMP”. In: Information and Communication Technology (ICoICT ), 2016 4th International Conference on. IEEE. 2016.

Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap [Hab12]

Richard Haberman. Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Valve Problems. Pearson Higher Ed, 2012.

[Han+05]

Emmanuel Hanert et al. “An efficient Eulerian finite element method for the shallow water equations”. In: Ocean Modelling 10.1 (2005), pp. 115–136.

[HF01]

Joe D Hoffman and Steven Frankel. Numerical methods for engineers and scientists. CRC press, 2001.

[Käm09]

Jochen Kämpf. Ocean Modelling for Beginners: Using Open-Source Software. Springer Science & Business Media, 2009.

[Käm10]

Jochen Kämpf. Advanced Ocean Modelling: Using Open-source Software. Springer Science & Business Media, 2010.

[LC08]

Jichun Li and Yi-Tung Chen. Computational partial differential equations using MATLAB. Crc Press, 2008.

[LeV02]

Randall J LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems. Vol. 31. Cambridge university press, 2002.

[LL92]

Randall J LeVeque and Randall J Leveque. Numerical methods for conservation laws. Vol. 132. Springer, 1992.

[LY90]

Randall J LeVeque and Helen C Yee. “A study of numerical methods for hyperbolic conservation laws with stiff source terms”. In: Journal of computational physics 86.1 (1990), pp. 187–210.

[MQS99]

Edie Miglio, Alfio Quarteroni, and Fausto Saleri. “Finite element approximation of quasi-3D shallow water equations”. In: Computer methods in applied mechanics and engineering 174.3 (1999), pp. 355–369.

[MRTB05]

Robert MM Mattheij, Sjoerd W Rienstra, and Jan HM ten Thije Boonkkamp. Partial differential equations: modeling, analysis, computation. Siam, 2005.

[Str92]

Walter A Strauss. Partial differential equations. Vol. 92. Wiley New York, 1992.


118

Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap [Tho13]

James William Thomas. Numerical partial differential equations: finite difference methods. Vol. 22. Springer Science & Business Media, 2013.

[TRA05]

A Tokgozlu, M Rasulov, and Z Aslan. “Modeling and Classification of Mountain Waves”. In: Technical Soaring 29.1 (2005), pp. 22–30.

[TTI97]

Mark Taylor, Joseph Tribbia, and Mohamed Iskandarani. “The spectral element method for the shallow water equations on the sphere”. In: Journal of Computational Physics 130.1 (1997), pp. 92– 108.

[TW04]

Aslak Tveito and Ragnar Winther. Introduction to partial differential equations: a computational approach. Vol. 29. Springer Science & Business Media, 2004.

[Vre12]

Cornelis B Vreugdenhil. Computational hydraulics: an introduction. Springer Science & Business Media, 2012.

[Vre13]

Cornelis Boudewijn Vreugdenhil. Numerical methods for shallowwater flow. Vol. 13. Springer Science & Business Media, 2013.

[WA95]

Herbert F Wang and Mary P Anderson. Introduction to groundwater modeling: finite difference and finite element methods. Academic Press, 1995.


119

Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap


120

Tentang Penulis Dr. Putu Harry Gunawan, S.Si., M.Si., M.Sc., lahir di Singaraja - Bali merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Mengenyam pendidikan S1 jurusan Matematika Komputasi di Univeritas Udayana dan mendapatkan beasiswa double degree program S2 jurusan Sains Komputasi ITB dan Kanazawa University, Jepang. Lanjut studi S3, beasiswa double degree Indonesia Prancis diraih dengan mengambil jurusan Applied Mathematics, ITB dan Universite Paris-est, France. Penulis kini aktif sebagai pengajar dan peneliti di jurusan Computational Sciences, School of Computing, Telkom University. Penulis tertarik pada penelitian di bidang Computational Fluid Dynamics, pemodelan dan simulasi Matematika & Fisika.

Diterbitkan secara mandiri melalui Nulisbuku.com

Recommend Documents