Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Spojité náhodné veličiny


Definice spojité náhodné veličiny – zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R → R taková, že pro každé a, b ∈ R ∪ {∞}, a < b, platí Z P(a < X < b) =

b

f (x) dx. a

Funkce f se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X .

Některé vlastnosti hustoty I I

f (x) ≥ 0, R∞ f (x) dx = 1. −∞


Důležitá vlastnost spojitých náhodných veličin Jestliže má náhodná veličina X spojité rozdělení pravděpodobnosti, pak je pro každé x ∈ R P(X = x) = 0.

Význam hodnoty hustoty v určitém bodě f (x) 6= P(X = x) !!! Pro malé ∆x > 0 platí přibližně . P(x < X < x + ∆x) = f (x) · ∆x.


Distribuční funkce spojitých náhodných veličin Připomenutí definice Distribuční funkce náhodné veličiny X se definuje jako F (x) = P(X ≤ x).

Výpočet F (x) pro spojité náhodné veličiny a vztah s hustotou f Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f , pak Z x F (x) = P(X ≤ x) = P(−∞ < X ≤ x) = f (t) dt. −∞

Díky tomu platí F 0 (x) = f (x) ve všech bodech x ∈ R, kde má funkce F derivaci.


Důležitá vlastnost distribuční funkce spojité náhodné veličiny Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je spojitá.

Výpočty různých pravděpodobností pomocí F Je-li X libovolná náhodná veličina (tj. ne nutně spojitá) s distribuční funkcí F , pak I

P(X ≤ b) = F (b),

I

P(X > a) = 1 − F (a),

I

P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a).

Je-li X spojitá náhodná veličina, pak díky vztahu P(X = x) = 0 můžeme všechny neostré nerovnosti nahradit ostrými a naopak.


Střední hodnota a rozptyl pro spojité náhodné veličiny Pro spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f je střední hodnota Z ∞ EX = x · f (x) dx −∞

a rozptyl Z

∞ 2

Z

∞

(x − EX ) · f (x) dx =

DX = −∞

−∞

x 2 · f (x) dx − (EX )2 .


Kvantily

Kvantil pro spojitou náhodnou veličinu Jestliže X je náhodná veličina se spojitým rozdělením a její distribuční funkce F je prostá, pak pro α ∈ (0, 1) je α-kvantil to číslo xα , pro které platí F (xα ) = P(X ≤ xα ) = α. Jinak řečeno, je to hraniční hodnota, pod kterou zůstane α · 100% hodnot.


Kvantil obecně Pro jakoukoli náhodnou veličinu X a α ∈ (0, 1) je α-kvantil to číslo xα , pro které platí P(X ≤ xα ) ≥ α

a současně

P(X < xα ) ≤ α

neboli, zhruba řečeno, je to nejmenší možná hodnota hranice, pod kterou zůstane alespoň α · 100% hodnot.

Medián Medián náhodné veličiny X je její 0,5-kvantil – u spojitých náhodných veličin je to hranice, pod kterou zůstává polovina hodnot.


U mnoha významných spojitých rozdělení pravděpodobnosti je hustota f složitá, primitivní funkci k ní nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Hodnoty distribuční funkce a někdy i kvantily lze nalézt ve statistických tabulkách nebo pomocí vhodného programu. Na ukázku: I Normální rozdělení: f (x) = √

I

(x−µ)2 1 e− 2σ2 , 2π · σ

x ∈R

(µ ∈ R je střední hodnota, σ > 0 je směrodatná odchylka) Pearsonovo χ2 rozdělení:  ν −1 − x  x 2ν e 2 pro x > 0, 2 2 Γ( ν2 ) f (x) = 0 pro x < 0 (ν ∈ {1,R2, . . . } je tzv. počet stupňů volnosti, ∞ Γ(z) = 0 t z−1 et dt)

Exponenciální rozdělení


Exponenciální rozdělení Nechť platí stejné předpoklady jako u Poissonova rozdělení. Náhodná veličina X , která udává dobu mezi dvěma výskyty určité události (nebo též dobu čekání na další událost), když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má exponenciální rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme X ∼ Exp(λ) Hustota exponenciálního rozdělení je ( λe−λx pro x ≥ 0, f (x) = 0 pro x < 0. Distribuční funkce je ( 1 − e−λx F (x) = 0

pro x ≥ 0, pro x < 0.


Střední hodnota a rozptyl exponenciálního rozdělení EX =

1 , λ

DX =

1 . λ2


Příklad Životnost regulátoru napětí v automobilu má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 6 let. a) Jaká je pravděpodobnost, že regulátor vydrží alespoň 2 roky? b) Jestliže regulátor už 6 let vydržel, jaká je pravděpodobnost, že vydrží další dva roky? c) Jakou životnost můžeme očekávat s pravděpodobností 0,9?

Exponenciální rozdělení „nemá paměťÿ Pro náhodnou veličinu X s exponenciálním rozdělením platí P((X > a + t)|(X > a)) = P(X > t), tj. pravděpodobnost, že další událost přijde od této chvíle později než za t jednotek času, nezávisí na tom, jak dlouho už čekáme.

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Recommend Documents