Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček

Dů kazové úlohy

Jiří Vaníček

Ná sledující série ú loh je koncipová na tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle ná vodu objeví některý nový poznatek. Ten nejprve otestuje manipulací a dalšími ná stroji programu, poté se však po něm ž á dá , aby doká zal tvrzení standardními dokazovacími prostředky. Při důkazu mu počítač opět můž e pomoci jako experimentá lní prostředí pro tvorbu hypotéz. Ú loha: Parabola Konstruujte podle postupu: 1. V mříž ovém bodě [0;-1] sestrojte bod A. Na ose x zvolte libovolný bod X 2. Bodem X veď te kolmici na ú sečku AX 3. Průsečík této kolmice s osou y nazvěte Y. 4. Body X, Y veď te kolmice na osy x,y, jejich průsečík nazvěte S. 5. Vytvořte stopu (množ inu) bodu S při pohybu bodu X. (obr. qq) Z obrá zku je patrné, ž e bod S svým pohybem generuje parabolu s předpisem y = x2. Dokaž te, ž e y-ová souřadnice bodu S je druhou mocninou jeho x-ové souřadnice.

Ú loha: Obsah pravoúhlého trojúhelníka mě ření , vý počty 1.

Sestrojte

libovolný

pravoú hlý trojú helník ABC s přeponou AB (jedna mož nost: A

zobrazte osy, vyberte ná stroj Mnohoú helník,

bod A volte

libovolně na ose x, bod B na

T

ose y a bod C v průsečíku os) B

2. K trojú helníku sestrojte

O

kruž nici vepsanou C obr. qq - Obsah pravoú hlého trojú helníka se rovná součinu ú seků přepony daných tečným bodem vepsané kruž nice. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3. Sestrojte tečný bod T kruž nice na přeponě trojú helníka 4. Změřte vzdá lenosti |AT|,|BT| 5. Vyberte ná stroj Výpočty, vyná sobte změřené hodnoty mezi sebou, výsledek vytá hněte na rýsovací plochu 6. Změřte obsah trojú helníka 7. Pohybujte vrcholy A, B Obsah pravoú hlého

trojú helní ka se rovná souč inu

ú seků př epony

daných teč ným bodem vepsané kružnice. Dokaž te.

Ú loha: Obsah těžnicové ho trojú helníka naná š enívzdá lenosti, kruží tko, vý počty 1. Sestrojte obecný trojú helník ABC a jeho těž nice ta, tb, tc 2. Z těchto těž nic sestrojte nový trojú helník A’B’C’: 2.1 Mimo trojú helník ABC sestrojte polopřímku 2.2 Změřte délku těž nice ta a naneste ji na polopřímku, vznikne ú sečka B’C’ 2.3 Použ ijte kruž ítko k sestrojení dvou kruž nic k(B’;tc), k’(C’;tb) 2.4 Průsečík k průnik k’ je hledaný vrchol A’ 3. Změřte obsahy obou trojú helníků (u trojú helníku A’B’C’ je třeba nejprvee vyznačit jej ná strojem Mnohoú helník) 4. Vyberte Výpočty a obsah trojú helníka ABC vyná sobte 3 5. Obsah trojú helníka A’B’C’ vyná sobte 4 6. Pohybujte vrcholy trojú helníka ABC Obsahy trojú helní ka a jemu odpoví dají cí ho těžnicového trojú helní ka jsou v poměru 4:3. Dokaž te.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ú loha: Ptolemaiova věta mě ření , vý počty 1. Sestrojte kruž nici a na ní čtyři body A, B, C, D 2. Tyto čtyři body spojte navzá jem všemi mož nými ú sečkami. Dostanete 4 strany a 2 ú hlopříčky tětivového čtyřú helníka ABCD 3. Změřte délky stran čtyřú helníka 4. Vyberte Výpočty a vyná sobte

mezi sebou délky vž dy dvou protilehlých

stran 5. Tyto dva součiny sečtěte (výsledky vž dy vytá hněte na rýsovací plochu) a výsledek popište "strany" 6. Změřte délky ú hlopříček čtyřú helníka ABCD a vyná sobte je mezi sebou. Výsledek popište "ú hlopříčky" 7. Pohybujte body A, B, C, D tak, abyste zachová vvali pořadí bodů A, B, C, D na kruž nici. POzorujte přitom čísla "strany" a "ú hlopříčky" V tětivovém č tyř ú helní ku ABCD platívztah ac + bd = ef, jsou-li a, b, c, d strany a e, f ú hlopř í č ky č tyř ú helní ka Dokaž te.

Trojice úloh na sebe navazujících: I. Přilehlá kruž nice trojú helníka II. Makro "Přilehlá kruž nice" IIIa. Poloměr přilehlé kruž nice IIIb. Obsah trojú helníka z přilehlých kruž nic


I. Přilehlá kružnice trojú helníka stejnolehlost, makro 1. Sestrojte trojú helník ABC (nejprve vytvořte body A, B, C a teprve poté jimi prolož te trojú helník) 2. Sestrojte osu ú hlu BAC 3. Najděte průsečík K osy s protější stranou trojú heelníka 4. Sestrojte kolmici na stranu AC z bodu K a její průsečík L se stranou AC. 5. Sestrojte kruž nici k(K;KL) 6. Sestrojte průsečík M kruž nice k s osou ú hlu BAC (ten bliž ší k bodu A) 7. Změřte vzdá lenosti |AK|, |AM| 8. Vyberte Výpočty a vypočtěte poměr |AK|:|AM|. Výsledek vytá hněte na pracovní plochu a popište jej "poměr" 9.

Vyberte ná stroj

Stejnolehlost

a

zobrazte kruž nici

k ve stejnolehlosti se

středem A a poměrem daným čá slem "poměr" (postupně klepejte myší na tyto objekty). Vzniklý obraz kruž nice k je hledaná přilehlá kruž nice 10. Sestrojte přímku AC a změřte vzdá lenost středu připsané kruž nice od této přímky (toto číslo označte "r". 11. Pohybujte vrcholy A, B, C

II. Makro "Přilehlá konstrukce" makro 1. Vyjděte z předchozí konstrukce ú lohy I, která k trojú helníku sestrojila přilehlou kruž nici 2. Vyberte ná stroj Vstupní objekty (sloupec C3) a označte postupně body A, B, C. 3. Vyberte ná stroj Výstupní objekty a označte přilehlou kruž nici a číslo "r".


4. Vyberte ná stroj Ná zev, ná pověda a do ná zvu makra zapište "Přilehlá kruž nice". 5. Do hlá šení prvního výstupního objektu zapište "přilehlá kruž nice" 6. Do ná povědy napište "označte postupně tři vrcholy trojú helníka proti směru hodinových ručiček". Můž ete změnit tvar ikony. 7. Zaškrtněte volbu Ulož it do souboru a makro ulož te (pod ná zvem např. "prilkruz.mac") 8. Nové makro vyzkoušejte na novém obrá zku (sestrojte trojú helník a ná stroj Přilehlá kruž nice najdete ve sloupci C3)

IIIa. Poloměr přilehlé kružnice použitímakra, vý počty, mě ření 1. Sestrojte trojú helník 2. Pomocí makra Kruž nice připsaná (vytvořeno v minulé ú loze, sloupec C3) vytvořte kruž nici připsanou (není-li polož ka makra viditelná

ve sloupci C3, např. při

příštím spuštění Cabri, je třeba otevřít soubor "prilkruz.mac") 3. Změřte obvod a obsah trojú helníka. 4. Vyberte ná stroj Výpočty a

vypočtěte polovinu obvodu trojú helníka - číslo

vytá hněte na plochu a popište "s" 5. Změřte délku strany trojú helníka, která se dotýká připsané kruž nice (číslo popište "a") 6. Vypočtěte hodnotu zlomku, v jehož čitateli bude obsah trojú helníka a ve jmenovateli rozdíl čísel s - a. 7. Porovnejte výsledek s poloměrem r připsané kruž nice. Pohybujte vrcholy trojú helníka. Poloměr kružnice př ipsané

ρa =

S , kde s je polovina obvodu s−a

trojú helní ka.


Dokaž te.

IIIb. Obsah trojú helníka z poloměrů přilehlých kružnic vý počet odmocniny, ví cená sobné použitímakra 1. sestrojte trojú helník 2. Pomocí makra Kruž nice připsaná (sloupec C3) vytvořte kruž nici připsanou (není-li polož ka makra viditelná ve sloupci C3, např. při příštím spuštění Cabri, je třeba otevřít soubor "prilkruz.mac" nebo makro vytvořit v ú lohá ch I a II) 3. kombinací tří bodů zadá ní vytvořte pomocí maker tři kruž nice připsané (vstupní vrcholy trojú helníka pro

makro je nutno

označovat proti směru

hodinových ručiček) 4. sestrojte kruž nici trojú helníku vepsanou a změřte její poloměr (s výhodou lze použ ít makra Přilehlá kruž nice, ovšem zadat

vstupní tři vrcholy po směru

hodinových ručiček) 5. Vyberte Výpočty a vyná sobte mezi sebou poloměry všech čtyř kruž nic 6. Vypočtěte odmocninu z vypočítaného součinu (tlačítko SQRT na kalkulačce) a výsledek označte "obsah" 7. Změřte obsah trojú helníka a

porovnejte s číslem "obsah". Pohybujte vrcholy

trojú helníka. Obsah

trojú helní ka

S = ρ .ρ a .ρ b .ρ c ,

kde ρ= poloměr kružnice

vepsané, ρi = poloměry kružnic př ipsaných. Dokaž te.


Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček

Recommend Documents