BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal untuk memprediksikan ragam dan bias dalam sampel berhingga secara akurat. Untuk menambah ketepatan aproksimasi pada ragam dan bias, kita tambahkan bentuk orde kedua dalam pengembangan yang diberikan pada persamaan
sebelumnya.
menambahkan ,
Pengembangan
bentuk orde sedangkan
pada
ragam
dilakukan
dengan
pada aproksimasi semula dari orde pengembangan
menambahkan bentuk dari orde
pada
bias
dilakukan
dan juga bentuk orde
dengan
. Kita batasi
perhatian kita pada kasus diketahui.
Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
ntuk
asalkan s adalah titik Lebesgue dari
adalah konstanta Euler.
Bukti:
dan
, maka
, dimana
24
berdasarkan persamaan (31) pada bukti Teorema 2, suku pertama pada ruas kanan persamaan (44) dapat ditulis menjadi
(45) Suku pertama pada ruas kanan persamaan (45) adalah sama dengan
25
Kita perhatikan bahwa
untuk
. Karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1, 1],
dengan menggunakan persamaan (3) dan (47) suku pertama pada ruas kanan persamaan (46) sama dengan
, untuk
. Sedangkan suku
kedua pada ruas kanan persamaan (46) menjadi sama dengan
untuk
. Suku kedua pada persamaan (45) dapat ditulis sebagai berikut
26
Dengan menggunakan persamaan (47) suku pertama pada persamaan (49) menjadi
untuk
.
Dengan menggunakan fakta bahwa
suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) menjadi
27
(52) untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (48), (50) dan (52), suku
pertama pada persamaan (44) menjadi
Dengan asumsi (K.3), maka
Berdasarkan persamaan (37) pada bukti Teorema 2, suku kedua pada persamaan (44) adalah sama dengan
untuk
. Suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan diatas adalah
sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (44) adalah
28
untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (53), (54), dan (55) kita
peroleh persamaan (43). Jadi terbukti Teorema 4.
Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), mempunyai turunan ke empat
ntuk
n
dan
,
pada s, maka
dimana
adalah konstanta Euler, dan dan
untuk semua
pada
dan Teorema
.
Bukti: Karena
mempunyai turunan ke empat
Taylor, kita peroleh
29
untuk
Berdasarkan persamaan (20) pada bukti Teorema 1, suku pertama pada ruas kanan persamaan (58) sama dengan
Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan peersamaan (59) dapat ditulis menjadi
Dengan menggunakan persamaan (51) dan (57), maka suku pertama pada persamaan di atas sama dengan
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
. Karena kernel
simetrik, maka
Sehingga persamaan di atas menjadi
Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (59) menjadi sama dengan
30
Karena kernel
simetrik, maka
Sehingga suku pertama pada
persamaan (61) sama dengan nol. Suku kedua pada persamaan (61) menjadi sama dengan
untuk
.
Sedangkan suku ketiga pada persamaan (61) dapat ditulis menjadi
dengan mengganti variabel, persamaan di atas menjadi
31
dengan Suku kedua pada ruas kanan persamaan (58) adalah sama dengan
Dengan menggabungkan persamaan (60), (62), (63),dan (64) maka diperoleh persamaan (56). Jadi terbukti Teorema 5.
32
4.2. Perumusan Penduga dengan Reduksi Bias dan Sifat-sifat Statistikanya Dari hasil simulasi pada Helmers dan mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, terlihat bahwa aproksimasi orde kedua pada ragam dan bias dari Teorema 4 dan Teorema 5 cukup bagus mendekati ragam dan bias, tetapi biasnya masih cukup besar sehingga perlu direduksi. Dari hasil simulasi pada paper yang sama, dengan menggunakan penduga yang biasnya telah dikoreksi ternyata berhasil mereduksi bias penduga sebelumnya secara substansial. Hal serupa diharapkan terjadi untuk kasus kernel umum.
Reduksi Bias : Bias dari
pada Helmers dan mangku (2007) betul-betul
besar. Meskipun demikian kita dapat reduksi bias ini dengan mengurangi dan menambahkan secara berurutan penduga dari bentuk kedua dan ketiga pada ruas kanan persamaan (56) pada penduga dari
dimana untuk
dan
Untuk mereduksi bias, kita rumuskan
secara berurutan sebagai berikut:
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu , dan
Penduga bagi
telah didefinisikan pada persamaan (5). Selanjutnya ide dibalik
konstruksi penduga
dan nilai harapan
dapat dilihat pada Helmers dan
Mangku (2005).
untuk
Maka kita peroleh bias dikoreksi dari penduga
sebagai berikut:
Berdasarkan Teorema 5, kita dapat rumuskan bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut:
33
Teorema 6 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
,
untuk
, dimana
asalkan
maka
adalah konstanta
Euler.
Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan persamaan (69). Penduga bias dikoreksi yang diberikan pada (68) dapat ditulis sebagai berikut
Dengan menggunakan persamaan (67) diperoleh untuk
Helmers dan Mangku (2005)
dengan
menggunakan persamaan (13), (43), dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, ragam dari suku ketiga pada (70) dapat ditentukan sebagai berikut Misalkan
dan
,
34
untuk Sehingga ragam dari suku ketiga pada persamaan (67) menjadi sama dengan
dan
kovarian
dari
suku
tersebut
dengan
dua
suku
lainnya
adalah
untuk Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ragam jumlah dua suku pertama pada persamaan (70) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Misalkan merupakan suku pertama pada persamaan (6) dan
merupakan
suku kedua persamaan (6), dengan kata lain, Dengan aljabar sederhana dapat ditunjukkan bahwa jumlah suku pertama dan suku kedua pada (70) dapat ditulis sebagai berikut
35
Dari bukti Teorema 4, diperoleh bahwa
Dengan cara yang sama, dan fakta bahwa ,
kontinu pada , dapat dilihat bahwa dan
adalah sama
dengan
untuk
Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa ragam dari suku terakhir
persamaan (71) dan kovarian suku tersebut dengan suku lainnya adalah untuk
Dari adalah
bukti
Teorema
untuk
yang sama,
4
diperoleh
Dengan argumen
dan
sama dengan
untuk
Karenanya, ragam pada suku terakhir
(71) dan kovarian dari suku tersebut dengan suku lainnya pada (71) adalah untuk Dapat disimpulkan bahwa ragam jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Untuk mudah diperiksa bahwa dan juga
dan
yang cukup besar, dan
adalah saling bebas.
Karenanya, ragam dari jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan
36
jumlah ragam empat suku pertama pada (71) ditambah dua kali kovarian dari suku pertama dan ke empat. Dari persamaan (43), terlihat bahwa ragam dari suku pertama pada (71) adalah sama dengan
Dengan mensubstitusikan persamaan (73) pada persamaan diatas, maka diperoleh
Sedangkan dua kali kovarian dari suku pertama dan suku keempat pada persamaan (71) adalah sama dengan
Dari persamaan (71), jumlah ragam suku kedua, ketiga, dan keempat adalah sama dengan
Dengan menggabungkan persamaan (74), (75), dan (76), diperoleh ruas kanan persamaan (69). Jadi terbukti Teorema 6.
37
Teorema 7 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas adalah
simetrik
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel dan
memenuhi
sifat
( 1),
( 2),
mempunyai turunan ke empat
dan
( 3),
di sekitar s,
maka
untuk
Bukti : Karena
dan mempunyai turunan keempat berhingga dan Teorema Taylor, kita peroleh
Sehingga nilai harapan dari
dapat ditentukan sebagai berikut
disekitar ,
38
dengan mensubstitusi persamaan (78) – (83) ke persamaan (84), maka diperoleh
untuk Dengan menggunakan persamaan (66), diperoleh untuk
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (68), nilai harapan dapat ditentukan sebagai berikut
39
Jadi Teorema 7 terbukti.
Akibat 8 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3) , mempunyai turunan ke empat
ntuk
dimana
di sekitar s, maka
adalah konstanta Euler.
Bukti : Dari persamaan (77) pada Teorema 7, diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan (69) dan (87) ke persamaan (41), maka diperoleh persamaan (86).