BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Belajar Pada mulanya teori-teori belajar dikembangkan oleh para psikologi dan dicobakan tidak langsung kepada manusia disekolah, melainkan menggunakan percobaan yang dilakukan pada hewan. Mereka beranggapan bahwa hasil percobaannya akan dapat deterapkan pada proses belajar-mengajar untuk manusia. Menurut Sardiman (2011: 20) belajar adalah merupakan perubahan tingkah laku atau penampilan, dengan serangkaian kegiatan misalnya dengan membaca, mengamati, mendengarkan, meniru dan lain dan sebagainya. Juga belajar itu akan lebih baik, kalau si subyek belajar itu mengalami atau melakukannya. Menurut Slameto (2010: 2) pengertian belajar dapat didefinisikan sebagai suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya. Selanjutnya menurut Uno (2008:59) perubahan tingkah laku dalam proses belajar adalah akibat dari interaksi biasanya berlangsung secara sengaja. Kesengajaan itu sendiri tercermin dari adanya faktor – faktor berikut : a. Kesiapan (Readdines), yaitu kapasitas baik fisik maupun mental melakukan sesuatu. b. Motivasi, yaitu Dorongan dari dalam diri sendiri untuk melakukan sesuatu. c. Tujuan yang ingin dicapai. Ketiga faktor di atas akan mendorong seseorang untuk melakukan proses belajar.
Sementara itu definisi belajar menurut aliran kognitivisme adalah perubahan persepsi dan pemahaman. Perubahan persepsi dan pemahaman ini tidak selalu berbentuk pada perubahan tingkah laku yang bisa diamati. Asumsi dasar dari teori ini adalah bahwa setiap orang telah memiliki pengalaman dan pengetahuan di dalam dirinya. Menurut Good dan Brophy (dalam Uno. 2008: 15) menyatakan bahwa belajar merupakan suatu proses atau interaksi yang dilakukan seseorang dalam memperoleh sesuatu yang baru dalam bentuk perubahan perilaku sebagai hasil dari pengalaman itu sendiri (belajar). Perubahan perilaku tersebut tampak dalam penguasaan
siswa
pada
pola-pola
tanggapan
(respons)
baru
terhadap
lingkungannya yang berupa keterampilan (skill), kebiasaan (habit), sikap atau pendirian (attitude), kemampuan (ability), pengetahuan (knowledge), pemahaman (understanding), emosi (emosional), apresiasi (appreciation), jasmani dan etika atau budi pekerti serta hubungan sosial. Sehubungan dengan itu, menurut Suparno (dalam Sardiman. 2011: 38) ada beberapa ciri atau prinsip dalam belajar yang dijelaskan sebagai berikut: a. Belajar berarti mencari makna. Makna diciptakan oleh siswa dari apa yang mereka lihat, dengar, rasakan dan alami. b. Konstruksi makna adalah proses yang terus menerus. c. Belajar bukanlah kegiatan mengumpulkan fakta, tetapi merupakan pengembangan pemikiran dengan membuat pengertian yang baru. Belajar bukanlah hasil perkembangan,tetapi perkembangan itu sendiri.
d. Hasil belajar dipengaruhi oleh pengalaman subjek belajar dengan dunia fisik dan lingkungannya. e. Hasil belajar seseorang tergantung pada apa yang diketahui, si subjek belajar, tujuan, motivasi yang memengaruhi proses interaksi dengan bahan yang sedang dipelajari. Dari uraian di atas diperoleh suatu pengertian bahwa belajar adalah sebuah proses yang dapat menyebabkan perubahan tingkah laku seseorang yang terjadi sebagai akibat dari usaha atau pengalaman belajar yang dialaminya. Maksud dari perubahan tingakah laku yang tersebut misalnya dari sesuatu yang tidak diketahui menjadi diketahui, perubahan dalam sikap, keterampilan, pengetahuan dan pemahaman dan lain-lain. Belajar juga diharapkan dapat membuat perilaku seseorang menjadi lebih baik. Berikut ini penjelasan dari perubahan yang terjadi akibat proses belajar. 1.
Perubahan akibat belajar dapat terjadi dalam berbagai bentuk perilaku, dari ranah afektif, kognitif, dan psikomotor, tidak terbatas hanya penambahan pengetahuan saja.
2.
Sifat perubahannya relatif permanen, tidak akan kembali kepada keadaan semula. Tidak bisa diterapkan pada perubahan akibat situasi sesaat.
3.
Perubahan tidak harus langsung mengikuti pengalaman belajar. Perubahan yang segera terjadi pada umumnya tidak dalam bentuk perilaku, tapi terutama hanya dalampotensi sesorang untuk berperilaku Setelah mempelajari beberapa pendapat para ahli sebagaimana yang
dikemukakan di atas jelas bahwa yang dikatakan belajar adalah keseluruhan
proses perubahan yang menyangkut aspek kognitif, afektif, dan psikomotor yang diperoleh melalui pengalaman dan latihan secara sadar dalam jangka waktu yang lama. 2.2 Pengertian Matematika Matematika, (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Berdasarkan etimologi perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Di sisi lain matematika dipadang sebagai ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya dan terbagi dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri. Matematika menawarkan diri sebagai alat dalam menyusun perencanaan, evaluasi data percobaan, dan mengurangi kerja serta biaya dengan jalan penemuan jawaban masalah. Menurut Tiro (2010: 18) bahwa salah satu ciri matematika yaitu adanya unsur atau pernyataan tertentu tentang konsep yang tidak terdefenisi dan diambil sebagai aksioma. Beberapa aturan,hukum,pengolahan, atau operasi pada bilangan real dapat diambil sebagai aksioma. Konsep-konsep baru seperti fungsi, integral, limit, kemalaran (continuity) dan turunan kemudian didefinisikan dalam bentuk-bentuk bilangan real. Sifat-sifat dari konsep-konsep ini kemudian diturunkan menjadi teorema yang diperoleh dari aksioma tadi. Jadi, begitu
sederhananya matematika dengan bermodalkan seperangkat modal dasar melalui penalaran dapat menghasilkan informasi atau teori yang demikian banyaknya dan pada akhirnya menjadi suatu alat yang ampuh dalam kehidupan manusia. Lebih lanjut Tiro (2010:19) juga mengemukakan bahwa matematika adalah suatu sistem aksiomatis yang memiliki ciri sebagai berikut: 1. Ada unsur primitif (undefined terms) sebagai komponen utama; 2. Seperangkat
aksioma
(unproven
statements) juga sebagai
suatu
komponen; 3. Semua definisi atau teorema dibuat dengan menggunakan unsur primitif, aksioma, definisi atau teorema yang sudah ada sebelumnya; 4. Nilai benar dan salah ditentukan atau diukur oleh hukum-hukum yang sudah ada. Dari gambaran diatas, semakin terasa bahwa matematika memainkan peranan dalam memberikan kemampuan kepada manusia untuk menguasai dunia fisik, dan memberikan pengaruh dalam hampir setiap segi dari kebudayaan manusia. Matematika yang diajarkan dijenjang persekolahan yaitu sekolah dasar, sekolah menengah pertama dan sekolah menengah atas. Menurut Anonim (2008:7) sering juga dikatakan bahwa “matematika sekolah adalah unsur-unsur atau bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK”. Konsep matematika yang dipilih adalah matematika yang dapat menata nalar, membentuk kepribadian,
menanamkan nilai, memecahkan masalah dan melakukan tugas tertentu pada suatu aspek. Soedjadi (2000 :11) mengungkap definisi tentang matematika yaitu: a. Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara sistematik; b. Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan kalkulasi; c. Matematika adalah pengetahuan tentang pembenaran logik dan berhubungan dengan bilangan; d. Matematika adalah pengetahuan tentang fakta – fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk; e. Matematika adalah pengetahuan tentang struktur – struktur yang logika; f. Matematika adalah pengetahuan tentang aturan – aturan yang ketat. Dengan berbagai uraian di atas menunjukkan pada kita bahwa pengertian matematika begitu luas dan kompleks. Dengan demikian untuk memahami dan menangkap pengertian matematika sepertinya kita membenarkan ucapan Cournt dan Robin (dalam Suherman, 2003 : 18) bahwa untuk mengetahui matematika itu seseorang harus mempelajari sendiri ilmu matematika itu. 2.3 Pengertian Belajar Matematika Matematika yang dipelajari di sekolah adalah matematika yang materinya dipilih sedemikian rupa agar mudah dialih fungsikan kegunaannya dalam kehidupan siswa yang mempelajarinya. Menurut Uno (2008 : 15) belajar dapat diartikan sebagai proses perubahan perilku setelah mempelajari suatu objek yang terjadi pada diri setiap orang sepanjang hidup. Sedangkan menurut Soedjadi (2000
: 24) pada saat orang belajar , maka responnya menjadi lebih baik, sebaliknya bila ia tidak belajar maka responnya menurun. Menurut Gagne (dalam Uno 2008 : 12) belajar adalah perubahan disposisi atau kemampuan yang dicapai seseorang melalui aktivitas. Perubahan disposisi tersebut bukan diperoleh langsung dari proses pertumbuhan seseorang secara alamiah. Menurut Gagne belajar terdiri dari tiga komponen penting yaitu kondisi eksternal, kodisi internal dan hasil belajar. Berdasarkan pendapat para ahli diatas tentang pengertian belajar, maka dapat disimpulkan bahwa belajar adalah proses perubahan tingkah laku yang dialami oleh setiap individu sebagai akibat dari interaksi dengan lingkungan. 2.4 Pengertian Kesulitan Belajar Matematika Menurut Abdurrahman (2012: 1) kesulitan belajar merupakan terjemahan dari istilah bahasa inggris learning disability. Terjemahan tersebut sesungguhnya kurang
tepat
karena
learning
artinya
belajar
dan
disability
atrinya
ketidakmampuan; shingga terjemahan yang sebenarnya adalah ketidakmampuan belajar. Istilah kesulitan belajar digunakan karena dirasakan lebih optimistik. Kesulitan belajar adalah suatu gangguan dalam satu atau lebih dari proses psikologis dasar yang mencakup pemahaman dan penggunaan bahasa ujaran atau tulisan. Gangguan tersebut mungkin menampakkan diri dalam bentuk kesulitan mendengarkan, berpikir, berbicara, membaca, menulis, mengeja atau menghitung. Menurut Syah (dalam Candraningrum, 2010: 21) siswa tidak pernah lepas dari kesulitan yang dialami selama belajar. Secara umum, faktor-faktor penyebab timbulnya kesulitan belajar terdiri atas dua macam yakni:
a. Faktor Intern Siswa, yakni hal-hal atau keadaan-keadaan yang muncul dalam
diri
siswa
sendiri.
Seperti
rendahnya
kapasitas
intelektual/intelegensi siswa, labilnya emosi dan sikap, dan terganggunya alat-alat indera penglihat dan pendengar. b. Faktor Ekstern Siswa, yakni hal-hal atau keadaan yang datang dari luar diri siswa. Biasanya berasal dari lingkungan keluarga, lingkungan perkampungan/masyarakat dan lingkungan sekolah. Hal tersebut juga seperti yang diungkapkan oleh Cooney, Davis, dan Henderson (dalam Candraningrum, 2010: 22-27) yang mengelompokkan sumber kesulitan itu menjadi lima faktor yaitu : 1. Faktor Fisiologis Kesulitan belajar siswa dapat ditimbulkan oleh faktor fisiologis. Diantaranya adalah karena gangguan penglihatan dan pendengaran. Suatu kenyataan yang terjadi adalah siswa yang mengalami gangguan penglihatan dan pendengaran akan banyak mengalami kesulitan apabila dibandingkan dengan siswa yang normal pada umumnya. Siswa akan
mengalami kesulitan untuk
melihat tulisan di papan tulis atau pada saat guru sedang menjelaskan tentang konsepnya. Hal yang serupa juga terjadi pada siswa yang mempunyai gangguan neurologis (sistem syaraf). Sistem koordinasi sistem syaraf yang terganggu merupakan kendala dalam siswa belajar. Apabila terdapat siswa yang mempunyai gangguan fisiologis, yang dapat dilakukan guru hanyalah memberikan kesempatan kepada siswa yang mengalami gangguan tersebut untuk duduk lebih dekat dengan meja guru. Selain itu,
hambatan tersebut hendaknya di atasi melalui kerjasama yang baik dengan pihak yang memiliki kompetensi (seperti psikolog, atau dari bimbingan dan konseling) bahkan terdapat sekolah khusus seperti sekolah luar biasa sehingga dapat menanganinya dengan baik. 2. Faktor Sosial Hubungan orang tua dengan anak, dan tingkat kepedulian orang tua tentang masalah belajarnya di sekolah, merupakan faktor yang dapat memberikan kemudahan, atau sebaliknya menjadi faktor kendala bahkan penambah kesulitan belajar siswa. Termasuk dapat memberikan kemudahan antara lain : kasih sayang, pengertian, dan perhatian atau kepedulian (misalnya “menyertai anaknya belajar”, dan tersedianya tempat belajar yang kondusif). Di samping itu ekonomi juga merupakan faktor baik positif maupun negatif. Siswa yang mengalami masalah sosial di rumahnya biasanya dari kalangan keluarga yang kurang menaruh perhatian pada perkembangan anaknya. Hal ini mungkin akibat dari kepedulian yang rendah terhadap belajar anak/siswa, permasalahan tersebut dapat terjadi baik dari kalangan yang ekonominya sudah mapan maupun ekonominya masih lemah. Keluarga yang mempunyai kemudahan dalam memberikan alat permainan dan bacaan edukatif kepada anaknya yang masih belajar di tingkat pendidikan dasar, memberikan kesempatan lebih baik untuk anak-anaknya untuk berkembang dan mengatasi kesulitan mereka di kelas. Faktor sosial di dalam dan di luar kelas dalam lingkungan sekolah juga berpengaruh terhadap kelancaran atau kesulitan belajar siswa. Interaksi antar siswa yang kurang dibiasakan dalam kegiatan di kelas dapat menyebabkan
masalah sosial. Secara umum siswa yang terlalu tertutup atau terlalu terbuka mungkin adalah siswa yang mengalami masalah di rumah atau tekanan dari teman atau mungkin orang tuanya. Jadi lingkungan belajar di sekolah juga merupakan salah satu faktor sosial kesulitan belajar siswa. Masalahnya perlu dikaji dan penyelesaiannya mungkin memerlukan bantuan wali kelas, guru bimbingan atau pihak luar yang lebih memahami masalah siswa tersebut. 3. Faktor Emosional Siswa yang sering gagal dalam matematika lebih mudah berpikir tidak rasional, takut, cemas, benci pada matematika. Jika demikian maka hambatan itu dapat “melekat” pada diri anak / siswa. Masalah siswa yang termasuk dalam faktor emosional dapat disebabkan oleh : 1) Obat-obatan tertentu, seperti obat penenang, ekstasi dan obat lain yang sejenis 2) Kurang tidur 3) Diet yang tidak tepat 4) Hubungan yang renggang dengan teman terdekat 5) Masalah tekanan dari situasi keluarganya di rumah Siswa yang mengkonsumsi obat-obatan akan menunjukkan perangai yang tidak rasional, depresi bahkan kesehatan akan menurun. Akibatnya siswa akan kurang menaruh perhatian terhadap pelajaran, atau mudah mengalami depresi mental, emosional, kurang ada minat membaca buku maupun menyelesaikan pekerjaan rumah. Penanganan kesulitan belajar yang disebabkan oleh hal-hal di
atas sebaiknya dilakukan oleh orang-orang yang memiliki kompetensi, baik psikologis, medis maupun agamis. 4. Faktor Intelektual Siswa yang mengalami kesulitan belajar disebabkan oleh faktor intelektual, umumnya kurang menguasai konsep, fakta, operasi dan prinsip atau algoritma, walaupun telah berusaha mempelajarinya. Siswa yang mengalami kesulitan menabstraksi, menggeneralisasi, berpikir deduktif, dan mengingat konsep-konsep atau prinsip-prinsip biasanya selalu merasa bahwa matematika itu sulit. Siswa yang demikian juga mengalami kesulitan dalam memecahkan masalah terapan atau soal cerita. Ada juga siswa yang kesulitannya terbatas dalam materi tertentu, tetapi merasa mudah dalam materi lain. Adapun yang menjadi indikator kesulitan belajar matematika dalam penelitian ini pada faktor intelektual siswa mencakup 4 aspek yakni: a. Kesulitan belajar fakta Menurut Soedjadi (2000 : 37) Fakta merupakan perjanjian atau pemufakatan yang dibuat dalam matematika, misalnya lambang, nama, istilah, serta perjanjian. Kaitannya dengan kesulitan belajar matematika siswa, maka siswa sering mengalami kesulitan disebabkan dari adanya lambang-lambang atau simbol, huruf dan kata. Contohnya pada materi himpunan adalah siswa kurang tahu bagaimana cara penulisan tanda kurung kurawal, simbol bilangn asli seperti apa dan lain sebagainya.
b. Kesulitan belajar konsep Menurut Soedjadi (2000 : 37) Konsep merupakan pengertian abstrak yang memungkinkan
seseorang
menggolong-golongkan
objek
atau
peristiwa.
Hubungannya dengan kesulitan belajar matematika, maka siswa sering mengalami kesulitan untuk menangkap konsep dengan benar. Contohnya pada materi himpunan yaitu siswa belum bisa membedakan mana yang termasuk himpunan dan mana yang bukan himpunan. c. Kesulitan belajar operasi Menurut Soedjadi (2000 : 38) Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain. Operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Contohnya dalam materi himpunan adalah siswa tidak tahu bagaimana cara menyatakan himpunan dalam bentuk kata-kata, notasi himpunan dan mendaftarkan anggotanya. d. Kesulitan belajar prinsip Menurut Soedjadi (2000 : 38) Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu. Berkaitan dengan kesulitan belajar yang dialami siswa dalam belajar matematika, maka sering siswa tidak memahami asal usul suatu prinsip, ia tahu rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapa digunakan. Contohnya pada materi himpunan yaitu misalnya siswa tahu pengertian himpunan dan menyatakan himpunan akan tetapi ketika masuk pada
materi himpunan semesta dan himpunan bagian siswa sudah tidak memahami lagi konsep yang sebelumnya. 5. Faktor Pedagogis Di antara penyebab kesulitan belajar siswa yang sering dijumpai adalah faktor kurang tepatnya guru mengelola pembelajaran dan menerapkan metodologi. Misalnya guru masih kurang memperhatikan kemampuan awal yang dimiliki siswa, guru langsung masuk ke materi baru. Ketika terbentur kesulitan siswa dalam pemahaman, guru mengulang pengetahuan dasar yang diperlukan. Kemudian melanjutkan lagi materi baru yang pembelajarannya terpenggal. Jika ini berlangsung dan bahkan tidak hanya sekali dalam suatu tatap muka, maka akan muncul kesulitan umum yaitu kebingungan karena tidak terstrukturnya bahan ajar yang mendukung tercapainya suatu kompetensi. Di antara lima faktor kesulitan belajar yang diungkapkan oleh Cooney, Davis, dan Henderson, yang dikaji oleh peneliti adalah kesulitan belajar yang dialami siswa berkaitan dengan faktor intelektual, Hal tersebut dilihat dari hasil wawancara dengan guru mata pelajaran matematika di SMP Negeri 15 kota Gorontalo sehingga kesulitan yang dimaksud adalah kesulitan siswa berkaitan dengan kesulitan belajar konsep, kesulitan belajar fakta, kesulitan belajar operasi dan kesulitan belajar prinsip dalam mempelajari materi himpunan. Contohnya dalam materi himpunan yaitu C adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10, bagaimana menyatakan himpunan A dengan cara kata-kata, notasi himpunan dan mendaftarkan anggotanya maka penyelesaiannya adalah C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 10, maka menyatakan dengan kata-kata yaitu C = {
bilangan cacah kurang dari 10}, menyatakan dengan notasi pembentuk himpunan yaitu C = { 𝑥 < 10, 𝑥 ∈ bilangan cacah} dan menyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya yaitu C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 2.5 Tinjauan Materi Himpunan 2.5.1
Himpunan
2.5.1.1 Pengertian Himpunan Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 164) Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Berikut adalah beberapa contoh yang termasuk himpunan dan bukan himpunan: a. Kumpulan hewan berkaki dua. b. Kumpulan warna lampu lalu lintas. c. Kumpulan lukisan indah. d. Kumpulan wanita cantik di Indonesia. Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan hijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan, karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya. Sedangkan kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain.
Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indonesia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan. 2.5.1.2 Notasi dan Anggota Himpunan Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 165) Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}. Contoh: Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal. a) A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. b) P adalah himpunan huruf-huruf vokal. c) Q adalah himpunan tiga binatang buas. Penyelesaian: a) A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b) P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}. c) Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.
Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 165) Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan ∈. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan ∉. Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis 0 ∈ A, 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A, 4 ∈ A, dan 5 ∈ A. Karena 6, 7, dan 8 bukan anggota A, maka ditulis 6 ∉ A, 7 ∉ A, dan 8 ∉ A. Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan sehingga n(A) = 6. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A) Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 166) Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut: Huruf A : lambang himpunan bilangan asli. A = {1, 2, 3, 4, ... } Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat. B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah. C = {0, 1, 2, 3, ... } Huruf L : lambang himpunan bilangan ganjil. Huruf N : lambang himpunan bilangan genap. Huruf P : lambang himpunan bilangan prima.
Huruf 𝑄 : lambang himpunan bilangan rasional. 𝑄=
𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐴 𝑏
dimana 𝑎 anggota himpunan bilangan bulat dan 𝑏 anggota himpunan bilangan asli. 2.5.2
Menyatakan Suatu Himpunan
Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 167) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut. a. Dengan kata-kata. Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}. b. Dengan notasi pembentuk himpunan. Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < 𝑥 < 40, 𝑥 ∈ bilangan prima}. c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya. Dengan
cara
menyebutkan
anggota-anggotanya,
menuliskannya
dengan
menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
2.5.3
Himpunan Kosong Dan Himpunan Semesta
2.5.3.1 Himpunan Kosong dan Himpunan Nol Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 169) Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau 𝜙. Jika R = {𝑥|𝑥 < 1, 𝑥 ∈ 𝐶} maka R = {0} atau n(R) = 1. Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong. Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu nol (0). 2.5.3.2 Himpunan Semesta Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 170) Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buahbuahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan S memuat semua anggota himpunan P. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang
dibicarakan.
Himpunan
dilambangkan dengan S.
semesta
(semesta
pembicaraan)
biasanya
2.5.4
Himpunan Bagian
2.5.4.1 Pengertian Himpunan Bagian Menurut Nuharini dan Wahyuni (2008 : 172) berikut adaalah beberapa contoh tentang himpunan bagian. Contoh:
A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6} C = {1, 2, 3, 4, 6}
Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakanhimpunan bagian dari C, ditulis A ⊂ C . Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga Sekarang perhatikan himpunan B danAhimpunan C. menjadi anggota B dan dinotasikan ⊂ B. B = {4, 5, 6} C = {1, 2, 3, 4, 5} Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6 ∉ C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis B ⊄ C. ( B ⊄ C dibaca: B bukan himpunan bagian dari C). Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A ⊄ B.
