BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Umum Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran-getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu. Gerakan tanah akibat gempa bumi umumnya sangat tidak teratur dan hanya terjadi beberapa detik sampai puluhan detik saja, walaupun kadang-kadang dapat terjadi lebih dari satu menit. Namun demikian gempa yang durasinya lebih dari satu menit ini sangat jarang terjadi, karena sifat getarannya yang acak dan tidak seperti beban statik pada umumnya maka efek beban gempa terhadap respon struktur tidaklah dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Hasil penelitian para ahli menyimpulkan bahwa massa bangunan akan berpengaruh terhadap percepatan tanah di bawah bangunan yang bersangkutan (umumnya lebih kecil). Penyederhanaan yang

31 Universitas Sumatera Utara

dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)

2.2

Konsep Perencanaan Struktur Konsep perencanaan struktur diperlukan sebagai dasar teori bagi perencanaan

dan perhitungan struktur. Konsep ini meliputi pemodelan struktur, pembebanan, pengaruh gempa pada struktur, pemodelan tanah sebagai tumpuan dasar, evaluasi parameter dan daya dukung tanah.

2.3

Tinjauan perencanaan struktur tahan gempa Tinjauan ini diperlukan untuk mengetahui metode analisis yang akan

digunakan untuk perencanaan struktur terhadap pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengauh beban gempa terhadap struktur adalah sebagai berikut : 2.3.1 Metode analisis statik Metode perancangan struktur bangunan terhadap pegaruh beban gempa secara statis, pada prinsipnya adalah menggantikan gaya-gaya horizontal yang bekerja pada


struktur akibat pergerakan tanah dan gaya-gaya statis yang ekivalen, dengan tujuan peyederhanaan dan ke,udahan dalam perhitungan. Metode ini diasumsikan bahwa gaya horizontal akibat beban gempa yang bekerja pada suatu elemen struktur, besarnya ditentukan berdasarkan hasil perkalian antara suatu konstanta berat atau massadaari elemen struktur tersebut.

2.3.2 Metode analisis dinamis Analisis dinamis untuk perancangan struktur tahan gempa dilakukan jika diperlukan evaluasi yang lebih akurat dari gaya-gaya gempa yang bekerja pada struktur, serta untuk mengetahui perilaku dari struktur akibat pengaruh gempa. Pada struktur bangunan tingkat tinggi atau struktur dengan bentuk atau konfigurasi yg tidak teratur. Analisis dinamis dapat dilakukan dengan cara elastis dibedakan Analisis Ragam Riwayat Waktu (Time History Modal Analysis), dimana pada cara ini diperlukan rekaman percepatan gempa, dan Analsis Ragam Spektrum Respon (Response Spectrum Modal Anaysis), dimana pada cara ini respon masksimum dari tiap ragam getar yang terjadi didapat dari Spektrum Respon Rencana (Design Spectra). Sedangkan pada analisis dinamis inelastis digunakan untuk mendapatkan respon struktu akibat pengaruh gempayang sangat kuat dengan cara integrasi langsung (Direct Integration Method).


2.3.3 Pembebanan Besar dan macam beban yang bekerja pada struktur sangat tergantung dengan jenis struktur. Berkut ini akan disajikan jenis-jenis beban, data beban serta faktorfaktor dan kombinasi pembebanan sebagai dasar acuan bagi perhitungan struktur. Jenis-jenis beban yang biasa diperhitungkan dalam perencanaan struktur bangunan gedung adalah sebagai berikut : 1. Beban mati (Dead Load) Beban mati merupakan beban yang bekerja akibat gravitasi yang bekerja tetap pada posisinya secara terus menerus dengan arah ke bumi tempat struktur didirikan. Yang termasuk beban mati adalah berat struktur sendiri dan juga semua benda yang tetap posisinya selama struktur berdiri

2. Beban hidup (Live Load) Beban hidup merupakan beban yang terjadi akibat penghunian atau penggunaan suatu gedung dan barang-barang yang dapat berpindah, seperti mesin dan peralatan lain yang dapat digantikan selama umur gedung.

3.

Beban gempa Menurut

Peraturan

Pembebanan

Indonesia

tentang

Gedung,

pengertian mengenai beban angin dan gempa adalah beban angin ialah semua beban yang bekerja pada gedung atau bagian gedung yang disebabkan oleh selisih dalam tekanan udara dan Beban gempa ialah semua beban statik ekivalen yang bekerja pada gedung atau bagian 34 Universitas Sumatera Utara

gedung yang menirukan pengaruh dari gerakan tanah akibat gempa itu. Dalam hal pengaruh gempa pada struktur gedung ditentukan berdasarkan suatu analisa dinamik, maka yang diartikan dengan beban gempa disini adalah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh gerakan tanah akibat gempa itu. Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)

2.4 Karakteristik Struktur Bangunan Pada persamaan differensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan struktur adalah salah satu-


satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak terpakai.

2.4.1 Massa Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang sama. Terdapat

dua

pemodelan

pokok

yang

umumnya

dilakukan

untuk

mendeskripsikan massa struktur. 2.4.1.1 Model lumped mass Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) joint atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan /degree of fredom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian offdiagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa(rotation degree of freedom), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa


dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol. Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja. 2.4.1.2 Model consistent mass matrix Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu. Apabila

tiga

derajat

kebebasan

(horizontal,

vertikal

dan

rotasi)

diperhitungkan pada setiap mode maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matriks yang offdiagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada model lumped mass tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan.


Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiaptiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai. 2.4.2 Kekakuan Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut 𝜔𝜔, dan

periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur. Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anngapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus yang telah ada.


2.4.3 Redaman Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh suatu struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastik , pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.5 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relatif anatara dua tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiaptiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection). Simpangan lateral dari suatu sistem struktur akibat beban gempa adalah angat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim (1989): 1. Kestabilan struktur (structural stability) 2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur 3. Kenyamanan manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.


Selain itu juga, Richard n. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oleh kekuatan (strength). Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relatif terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan anatar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0,005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momenmomen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta) Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story drift atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut: Untuk periode bangunan yang pendek T < 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat ∆≤ 0,00251ℎ atau 2,5 % dari tinggi bangunan. Untuk periode bangunan yang pendek T > 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat ∆𝑚𝑚 ≤ 0,0021ℎ atau 2,0 % dari tinggi bangunan.

2.6 Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF) Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Pada masalah


dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif atau bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpngan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu u(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF). Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekauan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhrnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.6.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF Sistem derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah contoh derajat kebebasan tunggal. Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF. Tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti 41 Universitas Sumatera Utara

yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom, dan redaman.

Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF (sumber: Widodo, 2000)

Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti gambar 2.1.c. gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan, 𝑝𝑝(𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑠𝑠 − 𝑓𝑓𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑓𝑓𝐷𝐷 + 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑝𝑝(𝑡𝑡)

(Pers. 2.1)

Dimana:

𝑓𝑓𝐷𝐷 = 𝑐𝑐. 𝑢𝑢̇ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑘𝑘. 𝑢𝑢

(Pers. 2.2)

Apabila persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan (2.2), maka akan

diperoleh: 𝑚𝑚𝑢𝑢̈ + 𝑐𝑐𝑢𝑢̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑝𝑝(𝑡𝑡)

(Pers. 2.3)


Persamaan (2.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). Pada problem dinamik, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah u(t).

2.6.2 Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselerogram. Tanah ini bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar terutama struktur bangunan. Untuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan differensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.


Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion

(sumber: Widodo , 2000)

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar diatas maka deformasi total yang terjadi adalah 𝑢𝑢𝑡𝑡 (𝑡𝑡) = 𝑢𝑢(𝑡𝑡) + 𝑢𝑢̈ 𝑔𝑔 (𝑡𝑡)

(Pers. 2.4)

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia 𝑓𝑓1 tampak bahwa

persamaan kesetimbangannya menjadi

𝑓𝑓𝐼𝐼 + 𝑓𝑓𝐷𝐷 + 𝑓𝑓𝑆𝑆 = 0

(Pers. 2.5)

𝑓𝑓𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑢𝑢𝑡𝑡

(Pers. 2.6)

Dimana inersia adalah,

Dengan mensubsitusikan pers. (2.2) dan (2.3) ke (2.5) dan (2.4), sehingga diperoleh persamaannya sebagai berikut,


𝑚𝑚𝑢𝑢̈ + 𝑐𝑐𝑢𝑢̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = −𝑚𝑚𝑢𝑢̈ 𝑔𝑔 (𝑡𝑡)

(Pers. 2.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas kanan pada pers. (2.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa: Peff (t) = −mü g (t)

(Pers. 2.8)

2.6.3 Persamaan differensial struktur MDOF 2.6.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman Untuk menyatakan persamaan differensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti pada prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF. Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan differensial gerakan tersebut umumnya 45 Universitas Sumatera Utara

disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. Maka akan diperoleh: 𝑚𝑚1 𝑢𝑢̈ 1 + 𝑐𝑐1 𝑢𝑢̇ 1 + 𝑘𝑘1 𝑢𝑢1 − 𝑐𝑐2 (𝑢𝑢̇ 2 − 𝑢𝑢̇ 1 ) − 𝑘𝑘1 (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 ) = 𝑃𝑃1 (𝑡𝑡)

(Pers. 2.9)

𝑚𝑚2 𝑢𝑢̈ 2 + 𝑐𝑐2 (𝑢𝑢̇ 2 − 𝑢𝑢̇ 1 ) + 𝑘𝑘2 (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 ) − 𝑐𝑐3 (𝑢𝑢̇ 3 − 𝑢𝑢̇ 2 ) − 𝑘𝑘3 (𝑢𝑢3 − (𝑡𝑡𝑡𝑡2 ) = 𝑃𝑃2 (𝑡𝑡) (Pers. 2.10)

𝑚𝑚3 𝑢𝑢̈ 3 + 𝑐𝑐3 (𝑢𝑢̇ 3 − 𝑢𝑢̇ 2 ) + 𝑘𝑘3 (𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2 ) = 𝑃𝑃3 (𝑡𝑡)

(Pers.2.11)

Disederhanakan menjadi:

𝑚𝑚1 𝑢𝑢̈ 1 + (𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 )𝑢𝑢̇ 1 − (𝑐𝑐2 𝑢𝑢̇ 2 ) + (𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 )𝑢𝑢1 − 𝑘𝑘2 𝑢𝑢2 = 𝑃𝑃1 (𝑡𝑡) (Pers. 2.12)

𝑚𝑚2 𝑢𝑢̈ 2 + (𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐3 )𝑢𝑢̇ 2 − 𝑐𝑐2 𝑢𝑢̇ 1 − 𝑐𝑐3 𝑢𝑢̇ 3 + (𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3 )𝑢𝑢2 − 𝑘𝑘2 𝑢𝑢1 − 𝑘𝑘3 𝑢𝑢3 = 𝑃𝑃2 (𝑡𝑡) (Pers. 2.13)

𝑚𝑚3 𝑢𝑢̈ 3 + 𝑐𝑐3 𝑢𝑢̇ 3 − 𝑐𝑐3 ̇𝑢𝑢2 + 𝑘𝑘3 𝑢𝑢3 − 𝑘𝑘3 𝑢𝑢2 = 𝑃𝑃3 (𝑡𝑡)

(Pers. 2.14)

Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝑚𝑚1 �0 0

0 𝑚𝑚2 0

0 𝑢𝑢̈ 1 𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 0 � �𝑢𝑢̈ 2 � + � −𝑐𝑐2 0 𝑚𝑚3 𝑢𝑢̈ 3

−𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐3 −𝑐𝑐3

𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 𝑢𝑢̇ 1 0 −𝑐𝑐3 � �𝑢𝑢̇ 2 � + � −𝑘𝑘2 𝑐𝑐3 𝑢𝑢̇ 3 0

−𝑘𝑘2 𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3 −𝑘𝑘3

𝑢𝑢1 𝐹𝐹1 (𝑡𝑡) 0 −𝑘𝑘3 � �𝑢𝑢2 � = �𝐹𝐹2 (𝑡𝑡)� 𝑘𝑘3 𝑢𝑢3 𝐹𝐹3 (𝑡𝑡)

(Pers. 2.15) Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks, [𝑀𝑀]�𝑈𝑈̈� + [𝐶𝐶]�𝑈𝑈̇� + [𝐾𝐾]{𝑈𝑈} = {𝑃𝑃(𝑡𝑡)}

(Pers. 2.16)

Yang mana [𝑀𝑀], [𝐶𝐶] 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 [𝐾𝐾] berturut-turut adalah matriks massa, matriks

redaman dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi, 𝑚𝑚1 [𝑀𝑀] = � 0 0

0 𝑚𝑚2 0

0 𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 0 �, [𝐶𝐶] = � −𝑐𝑐2 𝑚𝑚3 0

−𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐3 −𝑐𝑐3

0 𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 −𝑐𝑐3 � , [𝐾𝐾] = � −𝑘𝑘2 𝑐𝑐3 0

−𝑘𝑘2 𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3 −𝑘𝑘3

0 −𝑘𝑘3 � 𝑘𝑘3


(Pers .2.17) Sedangkan {𝑢𝑢̈ }, {𝑢𝑢̇ }, {𝑢𝑢} 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑{𝑃𝑃(𝑡𝑡)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,

𝑢𝑢1 𝑃𝑃1 (𝑡𝑡) 𝑢𝑢̈ 1 𝑢𝑢̇ 1 {𝑢𝑢̈ } = �𝑢𝑢̈ 2 � , {𝑢𝑢̇ } = �𝑢𝑢̇ 2 � , {𝑢𝑢} = �𝑢𝑢2 � , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑{𝑃𝑃(𝑡𝑡)} = �𝑃𝑃2 (𝑡𝑡)� 𝑢𝑢3 𝑢𝑢̈ 3 𝑢𝑢̇ 3 𝑃𝑃3 (𝑡𝑡)

(Pers .2.18)

Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan 𝑓𝑓𝑆𝑆 , 𝑓𝑓𝐷𝐷 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝐼𝐼

(Sumber: Chopra, 1995)

2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF 2.6.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem) Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang 47 Universitas Sumatera Utara

bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut 𝜔𝜔, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes. Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas kanan sama dengan nol, [𝑀𝑀]�𝑈𝑈̈� + [𝐶𝐶]�𝑈𝑈̇� + [𝐾𝐾]{𝑈𝑈} = 0

(Pers .2.19)

Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) 𝜔𝜔𝑑𝑑 nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada

struktur yang dianggap tanpa redaman 𝜔𝜔. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio 𝜉𝜉 relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers (2.19) akan menjadi, [𝑀𝑀]�𝑈𝑈̈� + [𝐾𝐾]{𝑈𝑈} = 0

(Pers .2.20)

Karena pers. (2.19) adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk, 𝑈𝑈̈ = {Φ}𝑖𝑖 sin⁡ (𝜔𝜔𝜔𝜔)

𝑈𝑈̇ = −𝜔𝜔 {Φ}𝑖𝑖 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔)

𝑈𝑈 = −𝜔𝜔2 {Φ}𝑖𝑖 sin⁡ (𝜔𝜔𝜔𝜔)

(Pers .2.21)


Yang mana {Φ}𝑖𝑖 adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.(2.21) kedalam pers. (2.20) selanjutnya akan diperoleh,

−𝜔𝜔2 [𝑀𝑀]{Φ}𝑖𝑖 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) + [𝐾𝐾] sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) = 0 {[𝐾𝐾] − 𝜔𝜔2 [𝑀𝑀]}{Φ}𝑖𝑖 = 0

(Pers .2.22)

Pers. (2.22) adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. (2.22) tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Φ}𝑖𝑖 adalah nol, sehingga,

{[𝐾𝐾] − 𝜔𝜔2 [𝑀𝑀]} = 0

(Pers .2.23)

Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam getaran / goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang


berhubungan langsung dengan jenis/ nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang selanjutnya akan menhasilkan 𝜔𝜔𝑖𝑖2 untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing-

masing frekuensi 𝜔𝜔𝑖𝑖 maka akan diperoleh nilai-nilai Φ1 , Φ2 , … . , Φ𝑛𝑛 .

2.6.4.2 Frekuensi sudut (𝝎𝝎) dan normal modes Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika (sumber: Widodo, 2000)

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam/ pola goyangan. Normal modes adalah


suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan. Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan differensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.4.c dan diperoleh, 𝑚𝑚1 𝑢𝑢̈ 1 + 𝑘𝑘1 𝑢𝑢1 − 𝑘𝑘2 (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 ) = 0

𝑚𝑚2 𝑢𝑢̈ 2 + 𝑘𝑘2 (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 ) = 0

(Pers. 2.24)

Pers. (2.24) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu, 𝑚𝑚1 𝑢𝑢̈ 1 + (𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 )𝑢𝑢1 − 𝑘𝑘2 𝑢𝑢2 = 0

(Pers. 2.25)

𝑚𝑚2 𝑢𝑢̈ 2 − 𝑘𝑘2 𝑢𝑢1 + 𝑘𝑘2 𝑢𝑢2 = 0)

(Pers. 2.26)

Pers. (2.25) dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,

�

𝑚𝑚1 0

(𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 ) 0 𝑢𝑢̈ 1 �� + � 1 𝑚𝑚2 𝑢𝑢̈ 2 −𝑘𝑘2

−𝑘𝑘2 𝑢𝑢1 0 � �𝑢𝑢 � = � � 𝑘𝑘2 0 2

(Pers. 2.27)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. (2.26) adalah,

�

(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 ) − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚1 −𝑘𝑘2

−𝑘𝑘2 𝜃𝜃 0 � � 1� = � � 2 0 𝑘𝑘2 − 𝜔𝜔 𝑚𝑚2 𝜃𝜃2

(Pers. 2.28)

Dengan Φ1 adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. (2.28) akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

�

(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 ) − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚1 −𝑘𝑘2

−𝑘𝑘2 �=0 𝑘𝑘2 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚2

(Pers. 2.29)


Apabila pers. (2.29) tersebut diteruskan nilai determinannya adalah, 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝜔𝜔4 − {(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 )𝑚𝑚2 −𝑘𝑘2 𝑚𝑚1 }𝜔𝜔2 + (𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 )𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘2 2 = 0

(Pers. 2.30)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari

sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan (ingat 𝜔𝜔𝑑𝑑 < 𝜔𝜔 sehingga 𝑇𝑇 < 𝑇𝑇𝑑𝑑 ). Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai masssa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah: a. Bebas dari pengaruh redaman, b. Bebas dari pengaruh waktu, c. Bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. Hanya untuk struktur yang elastik.


II.6.5 Getaran bebas pada struktur MDOF II.6.5.1 Modal Analisis (Mode Superposition Methods) Modal Analsis adalah salah satu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan pada struktur bangunan derajat kebebasan (MDOF). Metode ini dipakai khusus untuk menyelesaikan problem dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah bahwa respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar modes shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur mempunyai standar modes shapes adalah struktur elastik dan struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya. Penyelesaian persamaan diferensial gerakan struktur MDOF dengan cara ini, pertama-tama yang harus dicari adalah nilai-nilai koordinat modes shapes ɸ𝑖𝑖𝑖𝑖 . Dengan memakai prinsip-prinsip hubungan orthogonal maka

persamaan diferensial coupling atau persamaan diferensial dependent dapat ditransfer menjadi persamaan diferensial yang independent atau persamaan

diferensial uncoupling. Dengan berubahnya sifat persamaan tersebut maka penyelesaian persamaan untuk massa dan mode tertentu akan saling independen terhadap persamaan yang lain. Persamaan diferensial tiap mode yang saling independen akan seperti persamaan diferensial struktur SDOF.


Simpangan struktur total merupakan kontribusi dari respon setiap mode (modal displacement). Simpangan kontribusi setiap mode dapat dihitung dengan melalui integrasi numerik atas persamaan independen seperti disampaikan diatas. Apabila simpangan untuk setisp mode pada massa tertentu sudah diperoleh maka simpangan total massa yang bersangkutan merupakan superposisi atau penjumlahan dari simpangan tiap-tiap mode tersebut. Simpangan massa yang lain dapat dicari dengan cara yang sama.

2.6.5.1.1 Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier 2.6.5.1.1.1 Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam Pesamaan gerak untuk sistem linear MDOF tanpa teredam diturunkan dalam : 𝑚𝑚𝑢𝑢̈ + 𝑘𝑘𝑢𝑢̇ = 𝑝𝑝(𝑡𝑡)

(Pers. 2.31)

Solusi simultan dari persamaan gerak coupled yang telah dijelaskan sebelumnya untuk sistem dua –DOF mengalami gerak harmonik yang tidak efisien untuk sistem DOF yang banyak, juga tidak layak untuk sistem yang baik oleh jenis kekuatan yang lain. Akibatnya, hal ini menguntungkan untuk mengubah persamaan ini ke koordinal modal, seperti yang akan kita liat selanjutnya. Seperti yang telah dijelaskan, perpindahan u dari sistem MDF dapat diperluas dalam hal kontribusi modal. Dengan demikian respon dinamik dari sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:

u(t) = ∑Nr=1 ϕr qr (t) = ɸ𝐪𝐪(t)

(Pers. 2.32)


Menggunakan persamaan ini, coupled persamaan (2.1) pada uj(t) dapat diubah menjadi satu set persamaan uncoupled dengan koordinat modal qn(t) yang diketahui. Memasukkan pers.(2.2) kedalam pers.(2.1) memberikan ∑Nr=1 𝐦𝐦 ϕr q̈ r (t) + ∑Nr=1 𝐤𝐤 ϕr qr (t) = 𝐩𝐩(t)

Perkalian setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕTn memberikan

∑Nr=1 ϕTn 𝐦𝐦 ϕr q̈ r (t) + ∑Nr=1 ϕTn 𝐤𝐤 ϕr qr (t) = ϕTn 𝐩𝐩(t)

Karena hubungan orthogonal, semua persyaratan disetiap penjumlahan menjadi hilang, kecuali panjang r = n,maka persamaan ini menjadi: (ϕTn 𝐦𝐦 ϕn ) q̈ n (t) = (ϕTn 𝐤𝐤 ϕn )qn (t) = ϕTn 𝐩𝐩(t)

(Pers. 2.33)

Atau 𝐌𝐌n q̈ n (t) + 𝐊𝐊 n qn (t) = 𝐏𝐏n (t)

(Pers. 2.34)

Dimana: Mn = ϕTn 𝐦𝐦 ϕn

𝐊𝐊 n = ϕTn 𝐤𝐤 ϕn

(Pers. 2.35)

𝐏𝐏n (t) = ϕTn 𝐩𝐩(t)

Gambar 2.5 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami (sumber: Chopra, 1995)


Persamaan (2.33) dapat ditafsirkan sebagai persamaan yang mengatur respon qn(t) dari sistem SDF ditunjukkan dalam pers.(2.35) dengan massa Mn, kekakuan Kn, dan kekuatan yang menarik 𝐏𝐏n (t). Oleh karena itu, Mn disebut massa umum untuk

mode alami n, Kn kekakuan umum untuk mode n, 𝐏𝐏n (t) kekuatan umum untuk mode n. Parameter ini hanya tergantung pada mode n. Jadi jika kita hanya mengetahui

mode n, kita bisa menulis persamaan untuk qn dan menyelesaikannya tanpa mengetahui mode lain. Membaginya dengan Mn dan menggunakan pers.(2.33) dapat ditulis kembali menjadi: q̈ n + ω2n qn =

P n (t) Mn

)

(Pers. 2.36)

Persamaan (2.33) atau (2.35) mengatur nilai n koordinat modal qn(t), hanya diketahui dari persamaan, dan ada persamaan seperti N, satu untuk setiap mode. Jadi susunan N digabungkan ke persamaan differensial (2.31) dalam perpindahan nodal uj (t) −

j = 1,2, … , N − telah berubah ke susunan dari persamaan uncoupled (2.33) dalam koordinat-koordinat modal

qn (t) − n = 1,2, … , N. Ditulis dalam bentuk matriks

susunan kedua dari persamaan adalah

𝐌𝐌𝐪𝐪̈ + 𝐊𝐊𝐊𝐊 = 𝐏𝐏(t)

(Pers. 2.37)

Dimana M adalah matriks diagonal massa modal umum M. K adalah matriks diagonal dari Kekakuan modal umum K , dan P ( t ) adalah vektor kolom pasukan modal umum P.


2.6.5.1.1.2 Persamaan Modal untuk Sistem teredam Ketika redaman disertakan , persamaan gerak untuk sistem MDF adalah 𝐦𝐦𝐮𝐮̈ + 𝐜𝐜𝐮𝐮̇ + 𝐤𝐤𝐤𝐤 = 𝐩𝐩(𝐭𝐭) Menggunakan transformsi dari pers.(2.32), dimana

(Pers. 2.38) ϕr adalah mode alami dari

sistem tanpa redaman, persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk koordinat modal.

Berbeda dengan kasus sistem undamped, persamaan modal dapat ditambah melalui persyaratan redaman. Namun, untuk bentuk-bentuk tertentu redaman yang bersifat ideal wajar untuk struktur yang banyak , persamaan menjadi uncoupled, seperti untuk sistem teredam. Kita harus menunjukkan kesalahannya berikutnya . Dengan mensubstitusi persamaan(2.32 ) dalam Pers.(2.28) memberikan N

N

N

r=1

r=1

r=1

� 𝐦𝐦 ϕr q̈ r (t) + � 𝐜𝐜 ϕr q̇ r (t) = + � 𝐤𝐤 ϕr qr (t) = 𝐩𝐩(t) Mengalikan setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕTn menjadi N

N

N

r=1

r=1

r=1

� ϕTn 𝐦𝐦 ϕr q̈ r (t) + � ϕTn 𝐜𝐜 ϕr q̇ r (t) = + � ϕTn 𝐤𝐤 ϕr qr (t) = ϕTn 𝐩𝐩(t) Yang dapat ditulis kembali sebagai 𝐌𝐌n q̈ n + ∑Nr=1 Cnr q̇ r + K n qn = Pn (t) )

(Pers. 2.39)

Dimana Mn, Kn, dan 𝐏𝐏n (t) didefinisikan dalam Pers .( 2.34) dan Cnr = ϕTn 𝐜𝐜 ϕr )

(Pers. 2.40)


Persamaan (2.39) ada untuk setiap n = 1 sampai N dan set N persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks : 𝐌𝐌𝐪𝐪̈ + 𝐂𝐂𝐪𝐪̇ + 𝐊𝐊𝐊𝐊 = 𝐏𝐏(𝐭𝐭)

(Pers. 2.41)

Dimana M, K dan P(t) diperlihatkan dalam Pers . (2.36) dan C adalah matriks yang tidak

diagonal

dari

koefisien

Cnr.

persamaan

dalam

koordinat

N

modal qn (t) digabungkan melalui redaman karena Persamaan (2.39) berisi lebih dari satu kecepatan modal .

Persamaan modal akan uncoupled jika sistem memiliki redaman klasik. Untuk sistem seperti ini, Cnr = 0 jika n ≠ r dan Persamaan (2.39) tereduksi menjadi 𝐌𝐌n q̈ n + 𝐂𝐂n q̇ n + K n qn = Pn (t)

(Pers. 2.42)

Dimana umum redaman Cn didefinisikan oleh Persamaan sebelumnya. Persamaan ini mengatur respon sistem SDF ditunjukkan dalam gambar II.7 . Membagi Persamaan (2.42) oleh M memberikan q̈ n + 2 ξ ωn q̇ n + ω2n qn =

P n (t)

(Pers. 2.43)

Mn

Dimana ζ n adalah rasio redaman untuk mode n . Rasio redaman biasanya tidak

dihitung dengan menggunakan Persamaan namun diperkirakan berdasarkan data

eksperimental untuk struktur yang mirip dengan salah satu yang sedang dianalisis. Persamaan

(2.42)

mengatur

n

modal

koordinat

qn (t),

dan

parameter

Mn , K n , Cn dan Pn (t) hanya tergantung pada modus n ϕn , bukan pada mode lainnya. Dengan demikian kita memiliki N persamaan uncoupled seperti Pers. (2.42), satu


untuk setiap mode alami . Singkatnya, himpunan N ditambah persamaan diferensial (2.38) di nodal perpindahan uj (t) telah berubah ke set dari N uncoupled pers.(2.42)

dalam koordinat modal qn (t).

Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami (sumber: Chopra, 1995)

2.6.5.1.1.3 Respon Perpidahan

Untuk memberikan kekuatan dinamik eksternal yang didefinisikan oleh p(t), respon dinamik dari sistem MDF

dapat ditentukan dengan

memecahkan persamaan(2.42) atau (2.43) untuk koordinat modal qn (t).

Setiap persamaan modal adalah dalam bentuk yang sama dengan persamaan

gerak untuk sistem SDF . Dengan demikian metode solusi dan hasil yang tersedia untuk sistem SDF dapat disesuaikan untuk mendapatkan solusi qn (t) untuk persamaan modal . Setelah koordinat modal qn (t) telah ditentukan , Persamaan(2.43) menunjukkan bahwa kontribusi mode n dengan perpindahan u (t) adalah 𝐮𝐮n (t) = ϕn qn (t)

(Pers. 2.44)

Dan menggabungkan kontribusi modal ini memberikan perpindahan total:


N

N

n=1

n=1

𝐮𝐮(t) = � 𝐮𝐮n (t) + � ϕn qn (t)

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒)

Prosedur ini dikenal sebagai analisis modal klasik atau metode superposisi modus klasik karena individu (uncoupled) persamaan modal yang diselesaikan untuk dan respon modal𝐮𝐮n (t), dan latterare

menentukan koordinat modal qn (t)

dikombinasikan untuk mendapatkan total respon 𝐮𝐮(t) Lebih tepatnya , metoda yang ini disebut modus metode superposisi perpindahan klasik karena perpindahan modal yang disuperposisikan . Untuk singkatnya kita biasanya merujuk pada prosedur ini sebagai metode analisis modal dibatasi untuk linear systemswith redaman klasik. Linearitas sistem ini implisit i menggunakan prinsip superposisi , Persamaan. (2.32) . Redaman harus dari bentuk klasik untuk mendapatkan persamaan modal yang uncoupled, fitur utama dari analisis modal.

2.6.5.1.1.4 Gaya elemen

Dua prosedur yang tersedia untuk menentukan gaya dalam berbagai elemen balok , kolom , dinding, dll - struktur pada waktu t instan dari perpindahan

u(t)

pada saat yang bersamaan . Dalam modal anakisis ini adalah instruktif untuk menentukan kontribusi

dari

mode

yang individu ke kekuatan elemen. Pada

prosedur pertama, kontribusi mode n 𝐫𝐫n (t) untuk kekuatan elemen 𝐫𝐫(𝐭𝐭) ditentukan

dari pemindahan modal un (t) menggunakan sifat kekakuan elemen . Kemudian gaya elemen mempertimbangkan kontribusi dari semua mode adalah N

𝐫𝐫(𝐭𝐭) = � 𝐫𝐫n (t) n=1

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒) 60 Universitas Sumatera Utara

Pada prosedur kedua , kekuatan statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n didefinisikan dengan menghapus subskrip : fn (t) = kun (t). Subsitusikan pers. (2.44) dan menggunakan Persamaan sebelumnya memberikan: 𝐟𝐟n (t) = ω2n 𝐦𝐦 ϕr qn


Analisis statis dari struktur mengalami gaya-gaya eksternal pada setiap waktu yang singkat memberikan gaya elemen 𝐫𝐫n (t). Kemudian gaya total 𝐫𝐫n (t) diberikan oleh

Pers.(2.46).

2.6.5.1.2 Analisis Gempa pada Sistem Linier 2.6.5.1.2.1 Analisis Modal (Response History Analysis) Pada bagian ini kita mengembangkan prosedur analisis modal untuk menentukan respon struktur terhadap gempa yang disebabkan gerakan tanah ü g (t), identik pada

semua titik dukung struktur.

2.6.5.1.2.2 Persamaan gerak Persamaan diferensial yang mengatur respon sistem MDOF gempa yang disebabkan gerakan tanah: 𝐦𝐦𝐮𝐮̈ + 𝐜𝐜𝐮𝐮̇ + 𝐤𝐤𝐤𝐤 = 𝐩𝐩eff (t)

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒) 61

Universitas Sumatera Utara

dimana 𝐩𝐩eff (t) = −𝐦𝐦𝐦𝐦ü g (t)


Massa dan kekakuan matriks , m dan k , dan vektor pengaruh ι ditentukan oleh

metode sebelumnya . Redaman matriks c tidak akan diperlukan dalam analisis modal respon gempa , melainkan rasio redaman modal cukup dan nilai-nilai numerik nya. Prosedur analisis modal yang untuk memecahkan pers.( 2.38) berlaku untuk solusi dari pers.(2.52 ) .

2.6.5.1.2.3 Ekspansi Modal dari Perpindahan dan gaya Perpindahan 𝐮𝐮 sistem N - DOF dapat dinyatakan , seperti dalam persamaan (2.32) ,

sebagai superposisi dari kontribusi modal :

N

u(t) = � ϕn qn (t)

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓)

r=1

Distribusi spasial dari gaya gempa efektif 𝐩𝐩eff (t)adalah didefinisikan oleh 𝐬𝐬 = 𝐦𝐦𝐦𝐦. Distribusi gaya ini dapat diperluas sebagai penjumlahan inersia distribusi 𝐬𝐬𝐧𝐧 .

N

𝐦𝐦𝐦𝐦 = � Γn 𝐦𝐦ϕn n=1

modal untuk


Dimana,

Γn =

Ln Mn

Ln = ϕTn 𝐦𝐦𝐦𝐦

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓) 62 Universitas Sumatera Utara

Mn = ϕTn 𝐦𝐦ϕn

Persamaan ( 2.52) untuk koefisien Γn dapat diturunkan dengan mengalikan kedua sisi

dari persamaan (2.51) dengan ϕTr dan menggunakan properti mode orthogonal, atau

untuk 𝐬𝐬 = 𝐦𝐦𝐦𝐦. Kontribusi mode ke-n eksitasi vektor 𝐦𝐦𝐦𝐦 adalah redaman. 𝐬𝐬n = Γn 𝐦𝐦ϕn


Yang independen tentang bagaimana mode dinormalisasi

2.6.5.1.2.4 Persamaan Modal Persamaan ( 2.43) adalah khusus untuk eksitasi gempa dengan mengganti 𝐩𝐩( t )

pada persamaan(2.34) oleh 𝐩𝐩eff (t) untuk memperoleh

Solusi

qn (t)

q̈ n + 2ζn ωn q̇ n + ω2n qn = −Γn ü g (t)

dapat

dengan

mudah

diperoleh

dengan

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓) membandingkan

persamaan(2.54) ke persamaan gerak untuk mode ke-n sistem SDOF , sistem SDOF dengan sifat frekuensi getar alami 𝛚𝛚n dan rasio redaman ζn – mode ke-n dari sistem MDOF. dengan ζ = ζn

,yang mengatur gerakan sistem SDOF ini mengalami

pergerakan tanah ü g (t), diulang disini dengan u digantikan oleh Dn

untuk

menekankan hubungannya dengan mode ke-n :

D̈ n + 2ζn ωn Ḋ n + ω2n Dn = −ü g (t)

Membandingkan persamaan (2.54) dan (2.55 ) memberikan qn (t) = Γn Dn (t)

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓) (𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓) 63


Jadi qn (t) sudah tersedia persamaan (2.27) yang telah diselesaikan untuk Dn (t),,

menggunakan metode numerical time-stepping untuk sistem SDOF .

2.6.5.1.2.5 Modal Response Kontribusi mode ke-n dengan perpindahan 𝐮𝐮(t) adalah :

un (t) = ϕn qn (t) = Γn Dn (t)


Prosedur analisis dua statis telah tersedia untuk menentukan gaya di berbagai

struktur elemen balok , kolom , dinding, dll - dari perpindahan un (t). Pada prosedur

kedua , menggunakan gaya statik ekuivalen , lebih disukai dalam analisis gempa karena memfasilitasi perbandingan prosedur analisis dinamis dengan gaya gempa

ditentukan dalam kode bangunan.pers. (2.49) mendefinisikan gaya statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n , dimana

qn (t) diberikan oleh

persamaan (2.47) . Menempatkan persamaan ini bersama-sama dan menggunakan sn mengarah ke

𝐟𝐟n (t) = 𝐬𝐬n 𝐀𝐀 n (t)

(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔)

Dimana , mirip dengan persamaan , 𝐀𝐀 n (t) = ω2n Dn


Gaya statik ekuivalen 𝐟𝐟n (t) adalah produk dari dua kuantitas : (1) kontribusi mode

ke-n 𝐬𝐬n ke distribusi spasial 𝐦𝐦𝐦𝐦 pada 𝐩𝐩eff (t) , dan (2) respon percepatan pseudo 64 Universitas Sumatera Utara

pada mode ke-n sistem SDOF ke ü g (t). kontribusi mode ke-n rn (t) untuk setiap

kuantitas respon r(t) ditentukan oleh analisis statis dari struktur yang mengalami

gaya eksternal 𝐟𝐟n (t). Respon statis modal rnst menunjukkan nilai statis r karena gaya eksternal sn , ini bisa positif atau negatif dan tidak tergantung bagaimana mode menjadi

normal

kembali.

Kemudian:

rn (t) = Γnst An (t)


Persamaan ( 2.63) juga berlaku untuk respon perpindahan , meskipun turunannya telah termotivasi oleh keinginan untuk menghitung gaya dari perpindahan. Perpindahan statis karena gaya 𝐬𝐬n memenuhi 𝐤𝐤𝐮𝐮st n = 𝐬𝐬n . Mengganti pers.(2.56 )

untuk 𝐬𝐬n dan menggunakan persamaan memberikan −1 𝐮𝐮st n = 𝐤𝐤 (Γn 𝐦𝐦ϕn ) =

Γn ϕ ω2n n

Mengganti ini pada persamaan memberikan 𝐮𝐮n (t) =

Γn ϕ A (t) ω2n n n


Yang setara dengan pers. (2.63)

2.6.5.1.2.6 Response Total Menggabungkan kontribusi respon dari semua mode memberikan respon total struktur untuk gerakan tanah . Jadi perpindahan nodal menjadi


N

N

n=1

n=1

u(t) = � un (t) = � Γn ϕn Dn (t)

Dimana pada pers. (2.60) telah menggantikan un (t).


Menggunakan pers. (2.61)

memberikan hasil yang umum berlaku untuk setiap kuantitas respon : N

N

n=1

n=1

r(t) = � rn (t) = � rnst An (t)


Kontribusi respon dari beberapa mode yang mungkin tinggi , dalam keadaan yang tepat , ditentukan oleh analisis statis sederhana , bukan analisis dinamis. Untuk sistem SDOF dengan periode yang sangat singkat percepatan pseudo A(t) pada dasarnya identik dengan percepatan tanah ü g (t).) Untuk spektrum desain , A =

ü go (t) for Tn ≤

1

33

detik. Untuk spektrum desain pada mode Nd + 1 sampai N , maka

persamaan (2.66) dapat dinyatakan sebagai

r(t) =

Nd

� rnst An

n=1

N

(t) − ü g (t) �r − � rnst � st

n=1

(𝐏𝐏𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞. 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔)

Dimana r st adalah nilai statis r karena gaya eksternal dan N

r st = � rnst n=1

Solusi ini dalam dua bagian : istilah pertama adalah respon dinamik mengingat mode Nd pertama dan kedua adalah respon statis dari mode yang lebih tinggi . Persamaan ( 2.67) adalah metode koreksi statis dan dapat diturunkan .


2.6.5.1.2.7 Interpretasi Analisis Modal Pada tahap pertama prosedur ini analisis dinamis, sifat frekuensi getar alami dan mode - struktur dihitung dan vektor 𝐦𝐦ι distribusi gaya diperluas ke komponen modal

𝐬𝐬n . Sisa dari prosedur analisis secara skematis diperlihatkan pada gambar (II.8) untuk

menekankan konsep dasar . Kontribusi mode ke-n untuk respon dinamik diperoleh dengan mengalikan hasil dua analisis : (1) analisis statis dari struktur dengan gaya yang diterapkan 𝐬𝐬n ,, dan (2) analisis dinamis dari mode ke-n sistem SDOF senang

dengan uü g (t). Sehingga analisis modal memerlukan analisis statis dari struktur

untuk susunan N pada gaya: : 𝐬𝐬n , n = 1,2, … , N, dan analisis dinamik N sistem SDF

berbeda . Menggabungkan respon modal memberikan respon gempa struktur.


Gambar 2.7 Konsep Modal Analysis (sumber: Chopra, 1995)


2.6.5.1.2.8 Analysis of Response to Base Rotation Peff (t) = −mιθ̈g


Dimana 𝜄𝜄 adalah vektor perpindahan statik pada semua DOF untuk base rotation .

2.6.5.1.3 Persamaan Diferensial Independen (Uncoupling) Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat kebebaan akan mempunyai n-modes atau n-pola ragam goyangan. Pada prinsip ini masingmasing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horisontal tiap-tiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada Gambar 2.8 (Clough dan Penzien, 1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau 𝑌𝑌𝑖𝑖 dapat diperoleh dengan menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode ke-j terhadap simpangan horisontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk ɸ𝑖𝑖𝑖𝑖

dengan suatu modal amplitudo 𝑍𝑍𝑗𝑗 atau seluruh kontribusi tersebut kemudian dinyatakan dalam,

𝑌𝑌1 = ∅11 𝑍𝑍1 + ∅12 𝑍𝑍2 + ∅13 𝑍𝑍3 + … . +∅1𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛

𝑌𝑌2 = ∅21 𝑍𝑍1 + ∅22 𝑍𝑍2 + ∅23 𝑍𝑍3 + … . +∅2𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛 𝑌𝑌3 = ∅31 𝑍𝑍1 + ∅32 𝑍𝑍2 + ∅33 𝑍𝑍3 + … . +∅3𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛 (Pers. 2.69)

.................................................................................

𝑌𝑌𝑛𝑛 = ∅𝑛𝑛1 𝑍𝑍1 + ∅𝑛𝑛2 𝑍𝑍2 + ∅𝑛𝑛3 𝑍𝑍3 + … . +∅𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛 69 Universitas Sumatera Utara

Persamaan(2.69) juga dapat ditulis menjadi, 𝑍𝑍1 ∅11 ∅12 ∅13 … ∅1𝑛𝑛 ⎡ ⎤ 𝑍𝑍 ⎫ ∅21 ∅22 ∅23 … ∅2𝑛𝑛 ⎧ ⎢ ⎥⎪ 2 ⎪ [𝑌𝑌] = ⎢ ∅31 ∅32 ∅33 … ∅3𝑛𝑛 ⎥ 𝑍𝑍3 … … … ⎥⎨ … ⎬ ⎢… ⎪ ⎪ ∅ ∅ ∅ ∅ 𝑛𝑛2 𝑛𝑛3 … 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎦ ⎩𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎭ ⎣ 𝑛𝑛1

(Pers.2.70)

Gambar 2.8 Prinsip Metode Superposisi (sumber: Chopra ,1990)

Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas kanan pers. (2.37) di atas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai kontribusi mode ke-n. Sebagai perjanjian, massa struktur MDOF diberi indeks mi dengan i = 1, 2, 3, .... m, sedangkan mode diberi indeks ɸ𝑗𝑗 degan j = 1, 2, 3, ....n. Dengan demikian notasi umum mode shape ɸ𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah ordinat mode ke-j untuk massa ke-i.

Pers. (2.70) tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak, {𝑌𝑌} = [∅][𝑍𝑍]

(Pers. 2.71)


Derivatif pertama dan kedua pers.( 2.71) tersebut adalah, �𝑌𝑌̇� = [∅]�𝑍𝑍̇�

(Pers. 2.4)

�𝑌𝑌̈� = [∅]�𝑍𝑍̈�

(Pers. 2.72)

Substitusi pers. (2.71) dan pers. (2.72) kedalam pers. (2.69), maka akan diperoleh, [𝑀𝑀][∅]�𝑍𝑍̈� + [𝐶𝐶][∅]�𝑍𝑍̇� + [𝐾𝐾][∅][𝑍𝑍] = −[∅][1]𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡

(Pers. 2.73)

Pers. (2.73) sebetulnya adalah 1-set persamaan simultan dependent nonhomogen. Untuk dapat mentransfer persamaan dependen menjadi persamaan independen, maka pers. (2.73) di premultiply dengan transpose suatu mode {ɸ}𝑇𝑇 sehingga diperoleh,

{∅}𝑇𝑇 [𝑀𝑀][∅]�𝑍𝑍̈� + {∅}𝑇𝑇 [𝐶𝐶][∅]�𝑍𝑍̇� + {∅}𝑇𝑇 [𝐾𝐾][∅][𝑍𝑍] = −{∅}𝑇𝑇 [∅][1]𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡

(Pers. 2.74)

Untuk pembahasan awal akan ditinjau pengaruh mode ke-1 saja. Misalnya diambil struktur yang mempunyai 3-derajat kebebasan, maka perkalian suku pertama persamaan (2.74) sebenarnya adalah berbentuk,

{∅11

∅21

𝑚𝑚1 ∅31 } � 0 0

0 𝑚𝑚2 0

0 ∅11 0 � �∅21 𝑚𝑚3 ∅31

∅12 ∅22 ∅32

∅13 𝑍𝑍̈1 ∅23 � �𝑍𝑍̈2 � ∅33 𝑍𝑍̈3

(Pers. 2.75)

Menurut suatu pembahasan telah terbukti bahwa hubungan orthogonal akan terbukti apabila i tidak sama dengan j. Dengan demikian untuk mode ke-1 pers. (2.75) akan menjadi,


{∅11

∅21

𝑚𝑚1 ∅31 } � 0 0

0 𝑚𝑚2 0

0 ∅11 0 � �∅21 𝑚𝑚3 ∅31

∅12 ∅22 ∅32

∅13 ∅23 � 𝑍𝑍̈1 ∅33

(Pers. 2.76)

Untuk mode ke-j maka secara umum persamaan (2.76) juga dapat ditulis dengan, {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑗𝑗̈

(Pers. 2.77)

Cara seperti di atas juga berlaku untuk sku ke-2, dan ke-3 pada persamaan (2.72) Dengan demikian setelah diperhatikan hubungan orthogonal pers. (2.74) akan menjadi, {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑗𝑗̈ + {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑗𝑗̇ + {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑗𝑗 = −{∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{1}𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡 (Pers. 2.78) Pers. (2.78) adalah persamaan diferensial yang bebas/independen antara satu dengan yang lain. Persamaan tersebut diperoleh setelah diterapkannyahubungan orthogonal, baik orthogonal untuk matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sekali lagi bahwa apabila i tidak sama dengan j maka perkalian suku-suku pada pers. (2.74) akan sama dengan nol, kecuali i = j. Dengan demikian untuk nderajat kebebasan dengan n-persamaan diferensial yang dahulunya bersifat coupling sekarang menjadi independent/ uncoupling. Dengan sifat-sifat seperti itu maka penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan untuk setiap pengaruh mode. Berdasarkan pers. (2.78) maka dapat didefinisikan suatu generelisasi massa (generalized mass), redaman dan kekakuan sebagai berikut, 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗ = {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗 72 Universitas Sumatera Utara

𝐶𝐶𝑗𝑗 ∗ = {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝐶𝐶]{∅}𝑗𝑗

(Pers. 2.79)

𝐾𝐾𝑗𝑗 ∗ = {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝐾𝐾]{∅}𝑗𝑗 Misalnya bangunan bertingkat-3, maka orde perkalian matriks pada pers. (2.79) adalah 1x3, 3x3, 3x1 = 1x1. Artinya pers. (2.79) adalah satu persamaan indepeden untuk mode ke-j. Dengan demikian dengan memakai pers. (2.79) maka persamaan (2.78) akan menjadi, 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗ 𝑍𝑍̈ 𝑗𝑗 + 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗ 𝑍𝑍𝑗𝑗̇ + 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗ 𝑍𝑍𝑗𝑗 = −𝑃𝑃𝑗𝑗 ∗ 𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡

(Pers. 2.80)

dengan, 𝑃𝑃𝑗𝑗 ∗ = {∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]

(Pers. 2.81)

Pada pembahasan sebelumnya diperoleh suatu hubungan bahwa,

𝜉𝜉𝑗𝑗 =

𝐶𝐶𝑗𝑗 ∗ 𝐶𝐶𝑗𝑗 ∗ 𝐶𝐶𝑗𝑗 ∗ = , 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2𝜉𝜉𝑗𝑗 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗ 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗

𝜔𝜔𝑗𝑗2 =

𝐾𝐾𝑗𝑗 ∗

𝑀𝑀𝑗𝑗 ∗

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Γ𝒋𝒋 =

𝑃𝑃𝑗𝑗 ∗


(Pers. 2.82)

Dengan hubungan-hubungan seperti pada pers. (2.82) tersebut, maka pers. (2.80) akan menjadi,

𝑍𝑍̈ 𝑗𝑗 + 2 𝜉𝜉𝑗𝑗 𝑍𝑍̇𝑗𝑗 + 𝜔𝜔𝑗𝑗2 𝑍𝑍𝑗𝑗 = −Γ𝒋𝒋 𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.83)

dan


Γ𝒋𝒋

=

𝑃𝑃𝑗𝑗 ∗


=

{∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]

∑𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 ∅𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑖𝑖

= ∑𝑚𝑚

{∅}𝑇𝑇𝑗𝑗 [𝑀𝑀]{∅}𝑗𝑗

𝑖𝑖=1 ∅𝑗𝑗

2

𝑚𝑚 𝑖𝑖

(Pers. 2.84)

Pers. (2.84) sering disebut dengan partisipasi setiap mode atau mode participation factor. Selanjutnya pers. (2.83) juga dapat ditulis menjadi, 𝑍𝑍̈𝑗𝑗

Γ 𝒋𝒋

+ 2𝜉𝜉𝑗𝑗 𝜔𝜔𝑗𝑗

𝑍𝑍̇𝑗𝑗

Γ 𝒋𝒋

+ 𝜔𝜔𝑗𝑗2

𝑍𝑍𝑗𝑗

Γ 𝒋𝒋

= − 𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡

(Pers. 2.85)

Apabila diambil suatu notasi bahwa,

𝑔𝑔̈ 𝑗𝑗 =

𝑍𝑍̈𝑗𝑗

Γ 𝒋𝒋

, 𝑔𝑔̇ 𝑗𝑗 =

𝑍𝑍̇ 𝑗𝑗 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Γ𝒋𝒋

𝑔𝑔𝑗𝑗 =

𝑍𝑍𝑗𝑗 Γ𝒋𝒋

(Pers. 2.86)

Maka pers. (2.86) akan menjadi,

𝑔𝑔̈ 𝑗𝑗 + 2𝜉𝜉𝑗𝑗 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑔𝑔̇ 𝑗𝑗 + 𝜔𝜔2𝑗𝑗 𝑔𝑔𝑗𝑗 = − 𝑦𝑦̈ 𝑡𝑡

(Pers. 2.87)

Pers. (2.87) adalah persamaan diferensial yang independent karena persamaan tersebut hanya berhubungan dengan tiap-tiap mode. Pers. (2.87)adalah mirip dengan persamaan diferensial SDOF. Nilai partisipasi setiap mode akan dapat

dihitung dengan mudah setelah

koordinat setiap mode ɸ𝑖𝑖𝑖𝑖 telah diperoleh. Nilai 𝑔𝑔̈ 𝑖𝑖 , 𝑔𝑔̇𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑖𝑖 dapat dihitung dengan integrasi secara numerik. Apabila nilai tersebut telah diperoleh maka nilai 𝑍𝑍𝑖𝑖 dapat dihitung. Dengan demikian simpangan horizontal setiap tingkat akan dapat dihitung.


2.6.5.1.4 Respon Struktur 2.6.5.1.4.1 Upperbound Response Simpangan massa yang dihitung berdasarkan pers. (2.87) adalah simpangan semua massa kontribusi mode ke-i. Simpangan massa sebagai kontribusi mode-mode yang lain dapat dicari dengan cara yang sama. Karena simpangan yang dicari adalah simpangan menurut waktu pembebanan yang ditinjau, maka simpangan setiap massa dan setiap kontribusi mode juga merupakan fungsi dari waktu. Pada setiap simpangan massa dan kontribusi setiap mode tersebut dapat dicari dengan nilai yang maksimum Persoalannya sekarang adalah bagaimana menghitung simpangan suatu massa setelah memperhitungkan kontribusi setiap mode, karena nilai-nilai maksimum kontribusi setiap modetersebut tidak terjadi pada waktu yang bersamaan, misalnya seperti pada Gambar 2.9. Oleh karena itu beberapa usulan berdasarkan kesepakatan para ahli telah disampaikan. Usulan yang pertama adalah simpangan maksimum (upperbound) yaitu bahwa simpangan suatu massa dapat diperoleh dengan menjumlahkan nilai absolut atas kontribusi setiap mode yaitu,

𝑌𝑌1 = �∅11 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅12 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … … + �∅1𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �

𝑌𝑌2 = �∅21 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅22 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … … + �∅2𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � ......................................................

(Pers. 2.88)

𝑌𝑌𝑛𝑛 = �∅𝑛𝑛1 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅𝑛𝑛2 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … … + �∅𝑛𝑛𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 75 Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.9 Kontribusi Setiap Mode pada Simpangan Masa ke-3 (sumber: Widodo, 2000)

Suku-suku pada ruas kanan pers. (2.88) pada hakekatnya adalah simpangan hasil kontribusi pada setiap mode. Nilai 𝑔𝑔𝑖𝑖 ,maks tersebut adalah nilai maksimum absolut (baik positif maupun negatif) yang diperoleh dari seleksi/sorting menurut hasil integrasi secara numerik. Sedangkan nilai partisipasi tiap mode adalah bergantung pada koordinat mode ɸ𝑖𝑖𝑖𝑖 . Pers. (2.88) juga dapat ditulis menjadi bentuk yang lebih kompak yaitu,

𝑌𝑌𝑖𝑖 = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1�∅𝑖𝑖𝑖𝑖 Γ𝑗𝑗 𝑔𝑔𝑗𝑗 ,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1�∅𝑖𝑖𝑖𝑖 Z𝑗𝑗 �

(Pers. 2.89)

Prinsip cara menghitung simpangan dengan cara ini kadang-kadang juga disebut the sun of the absolute values.


2.6.5.1.4.2 Reasonable Response Metode atau cara di atas dianggap kurang rasional dengan alasan seperti disebut sebelumnya bahwa nilai-nilai maksimum kontribusi setiap mode tidak terjadi pada waktu yang sama/bersamaan. Oleh karena itu dengan menjumlahkan nilai-nilai kontribusi absolut dapat menghasilkan nilai batas atas (upperbound). Ada cara lain yang oleh para peneliti dianggap lebih rasional , yaitu bahwa respon struktur adalah akar dari jumlah kuadrat setiap mode atau ditulis dalam bentuk, 2

2

2

2

2

2

𝑌𝑌1 = ��∅11 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅12 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … + �∅1𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �

𝑌𝑌2 = ��∅21 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅22 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … + �∅2𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � ...................................................... 2

(Pers. 2.90)

2

2

𝑌𝑌𝑛𝑛 = ��∅𝑛𝑛1 Γ1 𝑔𝑔1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + �∅𝑛𝑛2 Γ2 𝑔𝑔2,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � + … … … + �∅𝑛𝑛𝑛𝑛 Γ𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � Pers. (2.90) juga dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak yaitu,

𝑌𝑌𝑗𝑗 = �∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 ��∅𝑖𝑖𝑖𝑖 Γ𝑗𝑗 𝑔𝑔𝑗𝑗 ,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ��

2

(Pers. 2.91)

Prinsip seperti tersebut di atas juga disebut The square roots of the sun of the square of the mode contributions atau SRSS method.


2.6.5.1.5 Getaran Bebas Tanpa Redaman Untuk membahas pemakaian modal analisis pada struktur getaran bebas tanpa redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan dilakukan. Seperti telah disampaikan pada pers. (2.69) bahwa simpangan struktur dapat diperoleh dengan menjumlahkan produk antara koordinat normal modes dengan faktor amplitudo Z untuk setiap mode yang ada. Untuk itu disamping normal modes, faktor amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip tersebut dapat diyatakan seperti pada pers. (2.70) di atas yaitu, {𝑌𝑌} = {∅}{𝑍𝑍}

(Pers. 2.92)

{𝑍𝑍} = {∅}−𝟏𝟏 {𝑌𝑌}

(Pers. 2.93)

Dengan demikian maka faktor amplitudo Z adalah,

Dengan {∅}−𝟏𝟏 adalah nilai invers atas modal matriks dan {𝑌𝑌} adalah

vektor simpangan horizontal.

Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analisis ini dapat dilakukan dengan membberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam vektor simpangan {𝑌𝑌} pada pers. (2.93) tersebut. Apabila faktor

amplitudo Z akibat adanya simpangan awal seperti pada pers. (2.93)telah dihitung, maka respons struktur/simpangan struktur dapat diperoleh dengan substitusi kembali persamaan tersebut kedalam pers. (2.91). Secara manual, yang menjadi masalah umumnya adalah bagaimana memperoleh nilai invers atas modal matriks {∅}−𝟏𝟏 seperti pada pers. (2.93). Nilai 78 Universitas Sumatera Utara

tersebut salah satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan generalized mass matrix sebagai berikut: [𝑀𝑀∗ ] = [ɸ]𝑇𝑇 [𝑀𝑀][ɸ]

(Pers. 2.94)

Dengan [ɸ] adalah modal matriks.

Dari pers. (2.62) maka akan diperoleh, [ɸ]−1 = [𝑀𝑀−]−1 [ɸ]𝑇𝑇 [𝑀𝑀]

(Pers. 2.95)

Suatu alasan mengapa generalized mass matrix dipakai karena matriks massa adalah matriks digonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan dengan mudah. Generalized mass matrix seperti tersebut pada pers. (2.95) juga merupakan matriks diagonal sehingga nilai invers matriksnya dapat dilakukan dengan mudah. Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada pers. (2.95) dapat dihitung.

2.6.5.1.7 Getaran Bebas dengan Redaman (Damped Free Vibration Systems) Untuk menghitung nilai invers modal matriks [ɸ]−1 , sebetulnya dapat

dipakai cara yang lain yang relatif lebih mudah. Untuk itu pembahasan akan dimulai dari persamaan, 𝑌𝑌 = ∅1 𝑍𝑍1 + ∅2 𝑍𝑍2 + ∅3 𝑍𝑍3 + … … + ∅𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛

(Pers. 2.96)

Apabila pers. (2.96) dikalikan awal (premultiply) dengan ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀 maka,

∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀∅1 𝑍𝑍1 + ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀∅2 𝑍𝑍2 + ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀∅3 𝑍𝑍3 + … … + ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀∅𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑛𝑛 (Pers. 2.97) 79 Universitas Sumatera Utara

Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian pada suku-suku ruas kanan pers. (2.97) akan sama dengan nol kecuali untuk koordinat ɸ yang subskribnya sama. Dengan demikian pers. (2.97) akan menjadi, ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∅𝑇𝑇𝑗𝑗 𝑀𝑀 ∅𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑗𝑗 , 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑍𝑍𝑗𝑗 =

∅𝑗𝑗 𝑀𝑀

∅𝑇𝑇𝑗𝑗

𝑀𝑀 ∅𝑗𝑗

𝑌𝑌

(Pers. 2.98)

Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan,

𝑍𝑍𝑗𝑗̇ =

∅𝑗𝑗 𝑀𝑀

∅𝑇𝑇𝑗𝑗

𝑀𝑀 ∅𝑗𝑗

𝑌𝑌̇

(Pers. 2.99)

Dengan memperhatikan pers. (2.93) maka vektor modal amplitudo {𝑍𝑍}𝑗𝑗

dapat diperoleh dengan,

{Z}𝐣𝐣 = {∅}−𝟏𝟏 {Y}𝐣𝐣

(Pers. 2.100)

Pers. (2.100) juga berarti bahwa melalui nilai invers modal atriks maka akan dapat diperoleh modal amplitudo, 𝑍𝑍𝑗𝑗 yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode. Selanjutnya dengan memperhatikan pers. (2.98) dan (2.100) maka diperoleh hubungan, [∅]T [M]

[∅]T [M][∅]

= [∅]−1

(Pers. 2.101)

Maka untuk struktur MDOF yang mempunyai redaman , modal amplitudo 𝑍𝑍𝑗𝑗 dapat dihitungg berdasarkan, 80 Universitas Sumatera Utara

𝑍𝑍𝑗𝑗 = 𝑒𝑒 −𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉 �𝑍𝑍𝑗𝑗 (0) cos�𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑡𝑡� +

𝑍𝑍̇𝑗𝑗 (0) 𝜔𝜔 𝑑𝑑 .𝑗𝑗

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑡𝑡��

(Pers. 2.102)

Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal 𝑍𝑍𝑗𝑗 (0)

dan modal kecepatan awal 𝑍𝑍𝑗𝑗 (0).

2.6.5.2 Persamaan differrensial pada integrasi numerik Seperti yang telah dibahas pada bab 1, pada struktur bangunan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom/ MDOF) umumnya mempunyai persamaan differensial gerakan sebanyak derajat kebebasan yang ada. Persamaan differensial gerakan pada struktur MDOF akibat beban dinamik dapat ditulis dalam bentuk matriks yang kompak yaitu, [𝑀𝑀]�𝑌𝑌̈� + [𝐶𝐶]�𝑌𝑌̇� + [𝐾𝐾]{𝑌𝑌} = 𝑃𝑃(𝑡𝑡)

(Pers. 2.103)

Dengan [𝑀𝑀], [𝐶𝐶], 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 [𝐾𝐾] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman

dan matriks kekakuan, �𝑌𝑌̈�, �𝑌𝑌̇�, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 {𝑌𝑌} berturut-turut adalah vektor percepatan, vektor kecepatan dan vektor simpangan dan P(t).

Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai dengan beban gerakan tanah atau beban gempa bumi maka persamaan differensial gerakan yang ada menjadi, [𝑀𝑀]�𝑌𝑌̈� + [𝐶𝐶]�𝑌𝑌̇� + [𝐾𝐾]{𝑌𝑌} = −[𝑀𝑀]{1}𝑦𝑦𝑏𝑏̈

(Pers. 2.104)


Baik persamaan 1 dan 2 sebetulnya terdiri atas beberapa/banyak persamaan yang saling terkait antara persamaan itu disebut coupled equations atau dependent equations.

2.6.5.2.1 Penyelesaian Persamaan Differensial Gerakan Sebagaimana disampaikan sebelumnya bahwa respon yang paling penting didalam persoalan analisis dinamik struktur (baik SDOF maupun MDOF) adalah simpangan horizontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horizontal tingkat, maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang dipakai pada penyelesaian persamaan diferensial suatu permasalahan yang sudah kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap (step-by step). Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi ∆𝑡𝑡 maka jumlah derajat

kebebasan akan bertambah volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang panjang, step integrasi yang kecil dn derajat kebebasan yang banyak akan menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa/derajat kebebasan juga akan

berakibat pada munculnya banyak pola/ragam goyangan/mode shapes sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan yang kesemuanya memunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing.


2.6.5.2.2 Metode Time-stepping Tujuannya adalah untuk memecahkan numerik sistem persamaan diferensial yang mengatur respon sistem MDOF: 𝑚𝑚𝑢𝑢̈ + 𝑐𝑐𝑢𝑢̇ + 𝑓𝑓𝑠𝑠 (𝑢𝑢, 𝑢𝑢)̇ = 𝑝𝑝(𝑡𝑡)

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)

𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(0) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢̇ = 𝑢𝑢̇ (0)

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)

Dengan kondisi awal

Pada 𝑡𝑡 = 0 . Solusi ini akan memberikan perpindahan vektor 𝑢𝑢(𝑡𝑡) sebagai fungsi waktu .

Skala waktu dibagi menjadi serangkaian langkah-langkah waktu , biasanya durasi konstan ∆𝑡𝑡 . Eksitasi didefinisikan pada diskrit waktu singkat 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 ∆𝑡𝑡 , pada

saat itu , menunjukkan sebagai waktu 𝑖𝑖 , vektor eksitasi𝑝𝑝𝑖𝑖 ≡ 𝑝𝑝(𝑡𝑡𝑖𝑖 ). Respon akan

ditentukan pada waktu singkat yang sama dan dilambangkan dengan 𝑢𝑢𝑖𝑖 ≡ 𝑢𝑢(𝑡𝑡𝑖𝑖 ),

𝑢𝑢̇ 𝑖𝑖 ≡ 𝑢𝑢̇ (𝑡𝑡𝑖𝑖 ), 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢̈ 𝑖𝑖 ≡ 𝑢𝑢̈ (𝑡𝑡𝑖𝑖 ).

Dimulai dengan respon yang dikenal dari sistem pada waktu 𝑖𝑖 yang memenuhi pers(2.105) pada waktu 𝑖𝑖:

𝑚𝑚𝑢𝑢̈ 𝑖𝑖 + 𝑐𝑐𝑢𝑢̇ 𝑖𝑖 + (𝑓𝑓𝑠𝑠 )𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑖𝑖

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)

Metode Time-stepping memungkinkan kita untuk melangkah ke depan untuk menentukan respon 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢̇ 𝑖𝑖+1 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢̈ 𝑖𝑖+1 dari sistem pada waktu 𝑖𝑖 + 1 yang memenuhi pers. (2.105) pada saat 𝑖𝑖 + 1 :

𝑚𝑚𝑢𝑢̈ 𝑖𝑖+1 + 𝑐𝑐𝑢𝑢̇ 𝑖𝑖+1 + (𝑓𝑓𝑠𝑠 )𝑖𝑖+1 = 𝑝𝑝𝑖𝑖+1

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)


Bila diterapkan berturut-turut dengan 𝑖𝑖 = 0,1,2,3 , . . ., prosedur Time-

stepping memberikan respon yang diinginkan sama sekali instants waktu 𝑖𝑖 = 0,1,2,3 , . . .. Kondisi awal yang diketahui pada saat 𝑖𝑖 = 0 , memberikan informasi

yang diperlukan untuk memulai prosedur.

Prosedur numerik memerlukan tiga persamaan matriks untuk menentukan tiga vektor diketahui 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢̇ 𝑖𝑖+1 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢̈ 𝑖𝑖+1 . Dua persamaan ini berasal dari salah satu persamaan

yang berbeda hingga untuk kecepatan dan vektor percepatan atau dari asumsi tentang bagaimana respon bervariasi selama langkah waktu . Yang ketiga adalah pers.(2.73)pada waktu singkat yang dipilih . Jika waktu saat ini 𝑖𝑖 , metode integrasi

dikatakan waktu menjadi metode eksplisit . Jika waktu 𝑖𝑖 + 1 pada akhir langkah waktu yang digunakan , metode ini dikenal sebagai metode implisit .

Untuk prosedur numerik menjadi berguna , itu harus (1) konvergen ke solusi yang tepat saat ∆𝑡𝑡 menurun , (2) stabil di hadapan round- off error numerik , dan (3)

akurat . Kriteria stabilitas yang ditampilkan tidak menjadi ketat dalam analisis respon sistem SDOF karena ∆𝑡𝑡 harus jauh lebih kecil dari batas stabilitas untuk memastikan

akurasi yang memadai dalam hasil numerik . Stabilitas metode numerik adalah pertimbangan penting , namun, dalam analisis sistem MDOF , seperti akan kita lihat dalam bab ini . Secara khusus, prosedur kondisional stabil dapat digunakan secara efektif untuk analisis respon linear sistem MDOF besar, tetapi prosedur tanpa syarat stabil umumnya diperlukan untuk analisis respon nonlinier dari sistem tersebut. Dalam bagian berikut kita menyajikan beberapa metode numerik untuk setiap jenis analisis respon .


2.6.5.2.3 Analisis sistem linear dengan redaman nonclassical diferensial 𝑁𝑁 .... yang harus diselesaikan untuk perpindahan modal u , khusus untuk sistem linear , yang

𝐦𝐦𝐮𝐮̈ + 𝐜𝐜𝐮𝐮̇ + 𝐤𝐤𝐤𝐤 = 𝐩𝐩(t) sistem ini

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)

memiliki beberapa DOF , mungkin tepat untuk memecahkan

persamaan ini dalam bentuknya yang sekarang . Untuk sistem yang besar biasanya menguntungkan untuk mengubah pers.(2.105) untuk satu set yang lebih kecil dari persamaan dengan menjelaskan perpindahan dalam beberapa hal pertama getar alami mode 𝜙𝜙𝑛𝑛 dari sistem tidak teredam atau set sesuai vektor Ritz . Pada bagian ini kita

menggunakan transformasi modal , perluasan konsep untuk menggunakan vektor transformasi Ritz sangatlah mudah.

Penurunan besar dalam jumlah persamaan mungkin jika perpindahan nodal dari sistem dapat didekati dengan kombinasi linear dari mode alami beberapa : 𝐽𝐽

𝒖𝒖(𝑡𝑡) ≃ � 𝜙𝜙𝑛𝑛 𝒒𝒒𝑛𝑛 (𝑡𝑡) = 𝚽𝚽𝒒𝒒(𝑡𝑡) 𝑛𝑛=1

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)

Menggunakan transformasi ini , seperti yang ditunjukkan pada pers.(2.109) menjadi

dimana 𝑴𝑴 = 𝚽𝚽 T 𝐦𝐦𝐦𝐦

𝐌𝐌𝐪𝐪̈ + 𝐂𝐂𝐪𝐪̇ + 𝐊𝐊𝐊𝐊 = 𝐏𝐏(t) 𝐂𝐂 = 𝚽𝚽 T 𝐜𝐜 𝚽𝚽

𝐊𝐊 = 𝚽𝚽 T 𝐤𝐤𝐤𝐤

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 𝐏𝐏(t) = 𝚽𝚽 T 𝐩𝐩(t)

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏. (𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 85


Pers.(2.111) adalah sistem persamaan 𝐽𝐽 pada 𝑞𝑞𝑛𝑛 (𝑡𝑡), diketahui (𝑡𝑡) , dan jika 𝐽𝐽 jauh

lebih kecil dari 𝑁𝑁 , mungkin menguntungkan untuk menyelesaikannya numerik pers.(2.109)Penghematan komputasi yang dihasilkan dapat lebih dari kompensasi untuk upaya komputasi tambahan yang diperlukan untuk menentukan mode 𝐽𝐽

pertama.

𝐽𝐽 pada persamaan(2.111) mungkin digabungkan atau uncoupled tergantung

pada bentuk matriks redaman . uncoupled untuk sistem dengan redaman klasik , dan masing-masing dengan redaman nonclassical, 𝐶𝐶 bukan matriks diagonal dan persamaan yang digabungkan . Dalam bagia ini metode numerik disajikan untuk

memecahkan persamaan yang digabungkan tersebut untuk dapat diperpanjang ke susunan pengurangan menggunakan vektor Ritz . Metode numerik pada kondisi stabil dapat digunakan untuk memecahkan pers.(2.111) , yaitu, kita tidak perlu bersikeras pada prosedur tanpa syarat stabil .pada time-step Δ𝑡𝑡 harus dipilih sehingga Δ𝑡𝑡/𝑇𝑇𝑛𝑛 cukup kecil untuk memastikan solusi yang akurat untuk setiap mode disertakan , 𝑛𝑛 = 1,2, … ., 𝐽𝐽; 𝑇𝑇𝑛𝑛 adalah periode alami

dari mode ke- n dari sistem tidak teredam . Pilihan untuk Δ𝑡𝑡 akan ditentukan oleh periode mode ke- 𝐽𝐽 karena memiliki periode terpendek , dengan demikian Δ𝑡𝑡/𝑇𝑇𝐽𝐽

harus kecil , katakanlah les dari 0,1 . Pilihan ini menyiratkan bahwa Δ𝑡𝑡 < 0,1 𝑇𝑇𝐽𝐽 , untuk semua mode rendah disertakan . Δ𝑡𝑡 dipilih untuk memenuhi kebutuhan akurasi

, mengatakan Δ𝑡𝑡 < 0,1 𝑇𝑇𝐽𝐽 , jelas akan memenuhi kebutuhan stabilitas . Sebagai

contoh, Δ𝑡𝑡 = 0,1 𝑇𝑇𝐽𝐽 jauh lebih kecil dari batas stabilitas 𝑇𝑇𝐽𝐽 /𝜋𝜋 dan0,551 𝑇𝑇𝐽𝐽 untuk metode beda pusat dan metode percepatan linier , masing-masing.


Solusi langsung dari pers.(2.109) tanpa mengubah ke koordinat modal- mungkin lebih baik untuk sistem dengan beberapa DOFs atau untuk sistem dan Eksitasi di mana sebagian besar mode kontribusi yang signifikan terhadap respon , karena dalam situasi ini ada sedikit yang bisa diperoleh dengan transformasi modal . Metode numerik yang disajikan selanjutnya dapat segera beradaptasi dengan solusi langsung seperti selama waktu langkah ∆𝑡𝑡 dipilih untuk memenuhi persyaratan stabilitas relatif terhadap

𝑇𝑇𝑁𝑁

periode

alami

terpendek

dari

sistem

tidak

teredam

.

Dua prosedur kondisional stabil disajikan berikutnya untuk analisis respon linear sistem MDOF . Ini adalah metode beda pusat dan metode Newmark. 2.6.5.2.4 Metode 𝜷𝜷- Newmark

Metode 𝛽𝛽- Newmark dapat dipakai untuk keperluan integrasi persamaan

diferensial coupled struktur MDOF secara langsung. Metode 𝛽𝛽-Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang berdasar pada incremential method.

Sebagaimana dibahas pada Sub-bab tersebut bahwa untuk struktur yang berperilaku linier inelastik maupun non-linier inelastik , maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat mensimulasikan perubahan kekakuan menurut fungsi dari waktu. Pada metode 𝛽𝛽-Newmark, persamaan diferensial yang berlaku pada interval

yang ditinjau adalah,

𝑚𝑚∆𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + 𝑐𝑐∆𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + 𝑘𝑘∆𝑦𝑦 = ∆𝑝𝑝𝑖𝑖

(Pers. 2.113)


Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur MDOF tersebut adalah, [𝑀𝑀]∆𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + [𝐶𝐶]∆𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + [𝐾𝐾]∆𝑦𝑦 = [𝑀𝑀]∆𝑦𝑦̈ 𝑏𝑏,𝑖𝑖

(Pers. 2.114)

Perlu diingat bahwa metode 𝛽𝛽-Newmark memakai perjanjian notasi untuk

perubahan simpangan ∆𝑦𝑦, perubahan kecepatan ∆𝑦𝑦̇ dan perubahan percepatan ∆𝑦𝑦̈ adalah,

∆𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 − 𝑦𝑦𝑖𝑖 , ∆𝑦𝑦𝑖𝑖̇ = 𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖+1 , ∆𝑦𝑦𝑖𝑖̈ = 𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖+1

(Pers. 2.115)

Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau adalah, ∆𝑝𝑝𝑖𝑖 = ∆𝑝𝑝𝑖𝑖+1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖

(Pers. 2.116)

Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka ∆𝑝𝑝𝑖𝑖 = {𝑀𝑀}�𝑦𝑦̈ 𝑏𝑏,𝑖𝑖+1 − 𝑦𝑦𝑏𝑏,𝑖𝑖 �

(Pers. 2.117)

Untuk memulai integrasi numerik , persamaannya adalah ∆𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖 =

1 2 (∆𝑡𝑡) 𝛽𝛽

∆𝑦𝑦𝑖𝑖 −

1 𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 (∆𝑡𝑡) 𝛽𝛽

−

1

2𝛽𝛽

𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.118)

Yang mana ∆𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖 adalah perubahan percepatan pada langkah ke-i. Sedangkan

perubahan kecepatan pada langkah yang sama ∆𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 adalah, ∆𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 =

1

𝛽𝛽 (∆𝑡𝑡)

𝛾𝛾

∆𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 − (∆𝑡𝑡) �1 − 𝛽𝛽

𝛾𝛾

2𝛽𝛽

� 𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.119)

Kemudian perubahan simpangan dapat dicari dengan persamaan,


∆𝑦𝑦𝑖𝑖 =

𝑝𝑝�𝑖𝑖 𝑘𝑘�

(Pers. 2.120)

Dimana, 𝑘𝑘� = �𝑘𝑘 +

𝛾𝛾𝛾𝛾

𝛽𝛽 ∆𝑡𝑡

+

𝑚𝑚

𝛽𝛽 (∆𝑡𝑡)2

�

(Pers. 2.121)

∆𝑝𝑝̂ 𝑖𝑖 = (𝑝𝑝𝑖𝑖+1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 ) + 𝑎𝑎𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.122)

Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka pers. (2.122) menjadi, ∆𝑝𝑝̂ 𝑖𝑖 = {𝑀𝑀}�𝑦𝑦̈ 𝑏𝑏,𝑖𝑖+1 − 𝑦𝑦̈ 𝑏𝑏,𝑖𝑖 � + 𝑎𝑎𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.123)

Nilai a dan b pada pers. (2.122) tersebut adalah, 𝑎𝑎 = �

1

𝛽𝛽 ∆𝑡𝑡

𝛾𝛾

𝑚𝑚 + 𝑐𝑐� , 𝑏𝑏 = � 𝛽𝛽

1

2𝛽𝛽

𝑚𝑚 + ∆𝑡𝑡 �

𝛾𝛾

2𝛽𝛽

− 1� 𝑐𝑐�

(Pers. 2.124)

Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah, 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 + ∆𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + ∆𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖

(Pers. 2.125)

𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + ∆𝑦𝑦𝑖𝑖̈

2.6.5.2.3 Metode Wilson-𝜽𝜽 Humar

(1990)

mengatakan

bahwa

metode

ini

merupakan

pengembangan dari metode aselerasi linier. Selanjutnya, Chopra (1995) 89 Universitas Sumatera Utara

mengatakan bahwa metode ini juga pengembangan pada integrasi yang bersifat conditionally stable (supaya stabil/tidak terjadi amplifikasi kesalahan diperlukan suatu persyaratan) yang dikembangkan sedemikian rupa sehingga bersifat unconditionally stable (tidak terjadi amplifikasi kesalahan selama pembebanan). Metode ini mempunyai asumsi bahwa aselerasi berubah secara linier selama 𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝜃𝜃(∆𝑡𝑡) adalah ∆𝑡𝑡 adalah integrasi dan 𝜃𝜃 > 1. Sesuai dengan namanya metode ini dikembangkan oleh E.L Wilson.

Metode ini hampir sama dengan metode 𝛽𝛽-Newmark yaitu

pendekatan incremental. Metode ini cocok dipakai pada struktur yang mempunyai perilaku tidak linier. Hubungan linier hanya terbatas pada tiap-

tiap interval pembebanan yang ditinjau, sedangkan secara keseluruhan belum tentu bersifat linier. Metode Wilson-𝜃𝜃 ini diturunkan berdasar pada prinsip akselerasi linier pada Gambar 2.11. Sejenis dengan formulasi incremental seperti pada metode 𝛽𝛽-

Newmark, maka pada metode ini adalah,

𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + 𝑐𝑐 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + 𝑘𝑘 𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝛿𝛿𝑝𝑝𝑖𝑖

(Pers. 2.126)

Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur MDOF pada pers. (2.126) tersebut adalah, [𝑀𝑀]𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + [𝐶𝐶]𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + [𝐾𝐾]𝛿𝛿𝛿𝛿 = [𝑀𝑀]𝛿𝛿𝑦𝑦̈ 𝑏𝑏,𝑖𝑖

(Pers. 2.127)


Gambar 2.10 Prinsip Integrasi Wilson-𝜃𝜃 (Sumber: Widodo, 2000)

Perubahan percepatan pada interval ke –i adalah, 𝛿𝛿𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖 =

6

𝛿𝛿𝛿𝛿 2

𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖 −

Perubahan kecepatan adalah, 𝛿𝛿𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 =

3

𝛿𝛿𝛿𝛿

6

𝛿𝛿𝛿𝛿

𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 − 3𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖 − 3𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 −

𝛿𝛿𝛿𝛿 2

(Pers. 2.128)

𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖

(Pers. 2.129)

Formulasi ini adalah formulasi icremental seperti pada metode 𝛽𝛽-

Newmark. Selanjutnya Perubahan simpangan dapat dihitung dengan,

𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖 =

dengan catatan,

𝑘𝑘� = �

6𝑚𝑚

(𝜃𝜃 𝛿𝛿𝛿𝛿 )2

dan,

𝛿𝛿𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑘𝑘�

+

(Pers. 2.130)

3𝑐𝑐

𝜃𝜃 𝛿𝛿𝛿𝛿

+ 𝑘𝑘�

(Pers. 2.131)

𝛿𝛿𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝜃𝜃 ∆𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝑎𝑎 𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖 6𝑚𝑚

𝑎𝑎 = �(𝜃𝜃

𝛿𝛿𝛿𝛿 )

+ 3𝑐𝑐� , 𝑏𝑏 = �3𝑚𝑚 +

(Pers. 2.132)

(𝜃𝜃 𝛿𝛿𝛿𝛿 ) 2

𝑐𝑐�

(Pers. 2.133)


Untuk menjalankan integrasi tersebut diatas, maka perlu dihitung 𝛿𝛿𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖 menurut persamaan (2.128) dan 𝛿𝛿𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖 menurut persamaan (2.129). Selanjutnya,

𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖̇ + 𝛿𝛿𝑦𝑦̇ 𝑖𝑖

(Pers. 2.134)

𝑦𝑦̈ 𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖̈ + 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑖𝑖̈

Proses integrasi dilanjutkan

dengan cara yang sama seperti pada

langkah-langkah diatas.


BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat

Recommend Documents