5
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks (Anton, 2000:45). Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Suatu matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom atau vektor kolom dan suatu matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris atau vektor baris. Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai a ij . Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B, K, dan sebagainya. Bentuk matriks secara umum,
a11 a12 a a22 21 Amxn = ... ... am1 am2
... a1n ... a2n ... ... ... amn
Anggota suatu matriks berindeks rangkap, misalnya pada matriks A di atas a12 menyatakan anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2, sedangkan matriks A berordo m x n di tulis Amxn. (Anton, 2000:45) 5
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
6
2. Macam-macam matriks Macam-macam matriks diantaranya sebagai berikut: a. Matriks persegi Suatu matriks disebut matriks persegi, jika banyaknya baris dan banyaknya kolom sama. Disebut juga matriks persegi berorde n. (Anton, 2000:46) Contoh II.A.1 : Matriks persegi 3 x 3
1 1 2 1 0 A3x3 = 3 2 0 5 Pada matriks persegi unsur-unsur yang terletak pada garis penghubung
a11 dengan a nn dinamakan diagonal utama. b. Matriks identitas Suatu matriks persegi dimana anggota-anggotanya mempunyai niai 1 pada diagonal utama dan 0 pada anggota selain diagonal utamanya. (Anton, 2000:63) Contoh II.A.2 :
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
7
c. Matriks Diagonal Suatu matriks persegi dimana semua anggota di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu anggota pada diagonal utama tidak sama dengan nol, biasanya diberi simbol D. (Anton, 2000:94) Contoh II.A.3 :
1 0 0 D 0 2 0 0 0 3 3. Kesamaan matriks Definisi II.A.3 Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian sama. (Anton, 1998 : 23) Contoh II.A.4 : Diberikan matriks : 2 1 A 3 4 maka
2 1 B 3 5
=
2 1 3 4
0 0
A ≠ C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama, dan B ≠ C karena B juga tidak mempunyai ukuran yang sama. Matriks A dan B tidak sama karena tidak semua anggota-anggotanya yang bersesuaian sama.
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
8
4. Operasi Matriks a. Penjumlahan matriks Definisi II.A.4 Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah matriks A + B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota B dengan anggota-anggota
A
yang
bersesuaian.
Matriks-matriks
berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan (Anton, 1998 : 23). Contoh II.A.5 : Diberikan matriks :
1 0 3 2 A 1 0 2 4 4 2 7 0
1 4 3 5 B 2 2 0 1 3 2 4 5
1 1 C 2 2
Maka :
1 3 05 3 1 2 (4) A B (1) 2 02 20 4 (1) 4 3 (2) 2 7 (4) 0 5 2 4 5 4 A B 1 2 2 3 7 0 3 5
Sedang A + C dan B + C tidak didefinisikan karena matriks C ukurannya berbeda dengan matriks A dan matriks B (Anton, 1998: 23-24).
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
9
b. Perkalian skalar dengan matriks Definisi II.A.5 Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali ( product ) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c (Anton, 1998 : 24). Contoh II.A.6 : Diberikan matriks : = maka
4 1 −1
2 3 0
4 2 2 =2 1 3 −1 0 2 = dan
8 4 2 6 −2 0
4 2 (−1) = −1 1 3 −1 0 −4 −2 (−1) = −1 −3 1 0
Jika B adalah sebarang matriks, maka – B akan menyatakan hasil kali (– 1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A – B didefinisikan sebagai jumlah A + (–B) = A + (–1)B.
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
10
Contoh II.A.7 : Diberikan matriks : =
2 3 1 2
4 1
dan
Dari definisi-definisi di atas maka –B= dan A–B= =
=
0 2 1 −3
7 5
0 −2 −7 −1 3 −5 0 −2 −7 2 3 4 + −1 3 −5 1 2 1 2 1 0 5
−3 −4
Jadi A – B dapat diperoleh secara langsung dengan mengurangkan anggota B dari anggota A yang bersesuaian. (Anton, 1998 : 24) c. Perkalian matriks dengan matriks Definisi II.A.6 Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari anggota dalam baris i dalam kolom j dari AB , pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan anggota-anggota yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. (Anton, 1998 : 25)
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
11
Contoh II.A.8 : Diberikan matriks : 1 2 4 A 2 6 0
4 1 4 3 B 0 1 3 1 2 7 5 2
Karena A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4, maka hasil kali AB adalah sebuah matriks 2 x 4. (1.4) (2.0) (4.2) (1.1) (2.1) (4.7) (1.4) (2.3) (4.5) (1.3) (1.2) (4.2) AB (2.4) (6.0) (0.2) (2.1) (6.1) (0.7) (2.4) (6.3) (0.5) (2.3) (6.1) (0.2)
12 27 30 13 AB 8 4 26 12
B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi II.B.1 Jika A adalah sebuah matrik n n , maka sebuah vektor yang tak nol x di dalam R n dinamakan sebuah vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = x Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan
(Anton, 1998: 277). Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang berukuran
n n maka dituliskan kembali
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
12
Ax = x
A x = I x ( I A) x = 0
(II.B.1)
Agar menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tidak nol dari persamaan (II.B.1) dan persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian tidak nol apabila det I A 0.
(II.B.2)
Persamaan (II.B.2) dinamakan persamaan karakteristik dari A, skalar yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai eigen dari A. Apabila
det I A dijabarkan, maka akan membentuk polinomial
yang
dinamakan polinomial karakteristik dari A. (Anton, 1998: 278) Contoh II.B.9: Carilah nilai-nilai eigen dari matriks 3 2 A 1 0 Penyelesaian: det I A 0
1 0 3 2 det =0 0 1 1 0 0 3 2 =0 0 1 0
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
13
3 2 0 1 ( 3) (2) 0 2 3 2 0
(II.B.3)
Persamaan (II.B.2) merupakan polinomial karakteristik dari matriks A. Dari persamaan (II.B.2) diperoleh:
2 3 2 0 ( 1)( 2) 0
1 1 dan 2 2 Jadi nilai eigen matriks A adalah 1 dan 2 . (Anton, 1998: 279)
C. Populasi, Ekosistem dan Pertumbuhan Populasi Populasi adalah sehimpunan individu atau kelompok individu suatu jenis makhluk hidup yang tergolong dalam satu spesies (atau kelompok lain yang
dapat
melangsungkan
interaksi
genetik
dengan
jenis
yang
bersangkutan), dan pada suatu wilayah tertentu menghuni suatu wilayah atau tata ruang tertentu. Adapun sifat-sifat khas yang dimiliki oleh suatu populasi adalah kerapatan (densitas), laju kelahiran (natalitas), laju kematian (mortalitas), sebaran (distribusi) umur, potensi biotik, sifat genetik, perilaku dan pemencaran (dispersi). Populasi dari suatu spesies tertentu dapat melangsungkan hidup dalam jangka waktu tertentu dan menghuni suatu wilayah tertentu atau tempat terbatas dan tertentu. Populasi hidup pada suatu
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
14
ekosistem yaitu suatu unit fungsional yang terdiri dari berbagai ukuran yang tersusun dari bagian-bagian hidup (lingkungan biotik) dan bagian-bagian tak hidup (lingkungan abiotik) yang saling berinteraksi. Dalam suatu ekosistem pada waktu dan tempat tertentu populasi akan mengalami perubahan. Perubahan populasi dapat berupa penambahan maupun pengurangan jumlah individunya. Pengurangan maupun penambahan jumlah individu ke dalam populasi disebut sebagai pertumbuhan populasi. (Tarumingkeng, 1994:10)
D. Populasi Kambing 1. Pertumbuhan populasi kambing Kambing yang banyak dikembangkan di Indonesia umumnya kambing Peranakan Etawa (PE), yang umumnya masih lebih dominan sebagai sumber daging dibandingkan sebagai sumber air susu. Permintaan daging kambing di Indonesia dan dunia mengalami peningkatan. Indonesia mengkonsumsi daging kambing sebagai salah satu sumber protein hewani yang utama setelah sapi dan ayam. Pasokan daging kambing relatif terbatas karena usaha peternakan kambing di Indonesia didominasi oleh usaha rumah tangga (Smith, 1988:170). 2. Mortalitas Mortalitas (kematian), yang dimaksud dengan mati ialah peristiwa menghilangnya tanda-tanda kehidupan secara permanen, yang bisa terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup (Mantra, 1985:79). Umur maksimal
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
15
kambing antara 8-10 tahun, prosentase kematian kambing rata-rata 2% perdua tahun (Smith, 1988:172). 3. Fertilitas Fertilitas dihubungkan dengan jumlah kelahiran hidup yang dipunyai oleh seekor betina atau kelompok betina. Suatu kelahiran disebut lahir hidup (live birth) apabila pada waktu lahir terdapat tanda-tanda kehidupan misalnya, bersuara, bernapas, jantung berdenyut. Apabila pada waktu lahir tidak ada tanda-tanda kehidupan disebut dengan lahir mati (still birth) (Mantra, 1985:128). Umur kambing betina yang baik untuk dikawinkan adalah 15-18 bulan, sedangkan umur kambing jantannya adalah 10 bulan. Jumlah anak yang dilahirkan oleh seekor betina 1-4 ekor per satu kali melahirkan, tetapi kebanyakan 2 ekor.
Dalam waktu 2 tahun seekor kambing dapat
melahirkan anak sebanyak 3 kali (Smith, 1988:172).
E. Matriks Leslie Definisi II.E.1 Matriks Leslie merupakan matriks persegi yang digunakan dalam pertumbuhan populasi dikembangkan oleh Sir Paul Leslie (Leslie, 1948) yang sebelumnya dikemukakan oleh Lewis (1942). Karena dikembangkan
oleh
Leslie
maka
disebut
Matriks
Leslie
(Tarumingkeng, 1994 : 75).
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
16
Bentuk umum dari Matriks Leslie dapat didefinisikan sebagai berikut :
Dengan,
ai
L= 0 ⋮ 0
dan bi
0 ⋮ 0
0 0 ⋮
0 0 ⋮ 0
0 0 ⋮ 0
merupakan faktor-faktor yang menentukan laju
pertumbuhan populasinya.
ai = laju kedewasaan individu pada kelompok umur ke-i bi = peluang banyaknya individu dari populasi dalam kelompok umur ke-i yang mampu bertahan hidup sampai memasuki kelompok umur ke-i+1. Misalkan ai adalah rata-rata banyaknya anak betina yang lahir dari setiap kelompok i dan bi adalah perbandingan antara banyaknya betina yang bertahan hidup sehingga mampu masuk kedalam kelompok i+1, dengan banyaknya betina dalam kelompok i. Oleh karena itu: 1. ai ≥ 0, untuk i = 1, 2, 3, ...., n 2. 0 < bi ≤ 1, untuk i = 1, 2, 3, …., n-1. Nilai bi tidak boleh sama dengan nol, karena jika bi sama dengan nol maka tidak ada betina yang bertahan masuk kedalam kelompok i+1. Untuk ai sedikitnya ada satu nilai yang positif sehingga akan terjadi kelahiran.
Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011
