BAB II LANDASAN TEORI A. Analisis Survival Analisis survival atau analisis ketahanan hidup adalah analisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari awal sampai terjadinya suatu peristiwa khusus (Colled, 2003). Jangka waktu dari awal dilakukan pengamatan pada suatu individu (time origin) sampai terjadinya suatu peristiwa khusus (end point atau failure event) disebut dengan waktu survival. Peristiwa khusus (failure event) tersebut dapat berupa kegagalan, kematian, kambuh atau sembuhnya dari suatu penyakit, respon dari suatu percobaan, atau peristiwa lain yang dipilih sesuai dengan kepentingan peneliti. 1. Waktu Survival (Survival Time) Waktu survival (survival time) dalam analisis survival adalah periode amatan berupa interval waktu antara permulaan pengamatan hingga terjadinya kejadian yang diamati.
Gambar 2.1Calendar Time (a) dan Survival Time (b)
7
Pada gambar 2.1 diatas, survival time berbeda dengan calendar time, survival time diukur dan ditetapkan berdasarkan mulainya peristiwa tertentu. Misalkan peneliti sedang menyelidiki penyakit โAโ. Periode amatan dilakukan peneliti selama 6 tahun terhadap masing-masing subjek. Terdapat 3 subjek penelitian yang sudah terserang penyakit tersebut. Subjek (1) mulai diamati pada tahun 2003 dan penelitian berakhir tahun 2009. Subjek (1) meninggal tahun 2011, jadi tahun 2010 dan tahun 2011 subjek ini tidak masuk pada waktu penelitian. Subjek (2) mulai diamati pada tahun 2007 dan meninggal tahun 2012 sebelum penelitian berakhir. Subjek (3) mulai diamati tahun 2008 dan meninggal tahun 2014 sementara peneliti menghentikan penelitian pada tahun 2012, dua tahun lebih awal dari rencana awal periode pengamatan dikarenakan suatu hal. Pada konsep calendar time, ketiga subjek mulai diamati pada waktu yang berbeda, sedangkan pada konsep analisis survival waktu diatur seolah-olah mulai pengamatan pada saat yang bersamaan seperti pada gambar (b). Penentuan start dan stop dalam analisis survival sangat penting untuk menentukan siapa saja subjek yang berisiko untuk suatu kejadian. 2. Penyensoran Penyensoran adalah salah satu langkah yang harus dilakukan untuk mengatasi ketidaklengkapan suatu data pengamatan. Data dikatakan tersensor apabila data tidak dapat diamati secara lengkap karena subjek penelitian hilang atau mengundurkan diri atau sampai akhir penelitian subjek tersebut belum
8
mengalami kejadian tertentu, sedangkan data yang dapat diamati secara lengkap sampai penelitian berakhir disebut data yang tidak tersensor (Lee & Wang, 2003). Menurut Kleinbaum dan Klein (2005) tiga penyebab data dikatakan tersensor antara lain: a. Loss to follow up, yaitu subjek menghilang selama masa pengamatan, misal subjek pindah atau menolak untuk diamati. b. Subjek tidak mengalami kejadian selama penelitian. c. Subjek terpaksa diberhentikan dari pengamatan karena meninggal sebelum pengamatan berakhir atau alasan lain. Menurut David Collet (2003: 2) dalam analisis survival terdapat 3 tipe penyensoran yaitu: a. Sensor kanan ( right censoring) Sensor yang terjadi dikarenakan objek pengamatan belum mengalami kejadian hingga akhir periode pengamatan, sedangkan waktu awal dari objek pengamatan dapat diamati secara penuh. Misalkan suatu individu diamati selama lima tahun dari awal pengamatan, kemudian pada tahun ketiga individu tersebut pindah ke negara lain dan tidak dapat diamati lagi (lost to follow up). Individu ini memiliki waktu survival dalam penelitian setidaknya dua tahun, sehingga waktu pengamatan individu tersebut dikatakan tersensor kanan.
b. Sensor kiri (left censoring)
9
Sensor yang terjadi dikarenakan waktu awal dari subjek pengamatan tidak dapat teramati pada awal pengamatan, sementara kegagalan dapat diamati secara penuh sebelum penelitian berakhir. Sebagai contoh, peneliti mengamati pasien penyakit kanker, peneliti dapat mencatat kejadian tepatnya seseorang tersebut positif kanker di tes pertamanya, namun peneliti tidak memiliki catatan tentang waktu tepatnya seseorang tersebut mulai berpenyakit kanker, dengan demikian pasien kanker tersebut tersensor kiri yaitu ketika mengalami kejadian pertama dengan hasil positif kanker. c. Sensor interval (interval censoring) Sensor interval adalah sensor yang waktu survivalnya berada dalam suatu selang tertentu. Sebagai contohnya, jika catatan medis menunjukkan bahwa pada usia 45 tahun pasien kanker dalam contoh di atas kondisinya sehat dan belum berpenyakit kanker, kemudian pasien melakukan tes pertama saat berumur 50 tahun dan terdiagnosis terkena penyakit kanker, dengan demikian usia saat didiagnosis positif kanker adalah antara 45 dan 50 tahun. B. Dasar Teori Analisis Survival Untuk T suatu variabel acak positif dan menunjukkan waktu survival setiap subjek, maka nilai-nilai yang mungkin untuk T yaitu ๐๐ โฅ 0. Menurut Lee &
Wang (2003: 8), distribusi dari T dapat dinyatakan dalam tiga cara yaitu sebagai berikut: 1. Fungsi Kepadatan Peluang
10
Fungsi kepadatan peluang atau PDF(Probability Density Function) adalah peluang suatu individu mati atau mengalami kejadian sesaat dalam interval waktu t sampai ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก. Fungsi kepadatan peluang ๐๐(๐ก๐ก) dirumuskan sebagai berikut (Lee & Wang, 2003: 10),
๐๐(๐ก๐ก) = lim ๏ฟฝ โ๐ก๐กโ0
๐๐(๐ก๐ก < ๐๐ < (๐ก๐ก + โ๐ก๐ก)) ๐น๐น(๐ก๐ก + โ๐ก๐ก) โ ๐น๐น(๐ก๐ก) ๏ฟฝ ๏ฟฝ = lim ๏ฟฝ โ๐ก๐กโ0 โ๐ก๐ก โ๐ก๐ก
(2.1)
Jika T merupakan variabel acak positif pada interval[0, โ), maka ๐น๐น(๐ก๐ก)
merupakan fungsi distribusi kumulatif kontinu dari T. Didefinisikan sebagai peluang suatu individu mengalami kejadian kurang dari sama dengan waktu t, yaitu, ๐ก๐ก
๐น๐น(๐ก๐ก) = ๐๐(๐๐ โค ๐ก๐ก) = ๏ฟฝ ๐๐(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐
(2.2)
๐๐(๐น๐น(๐ก๐ก)) = ๐น๐น โฒ (๐ก๐ก) ๐๐๐๐
(2.3)
Berdasarkan Persamaan (2.2) diperoleh:
2. Fungsi Survival
๐๐(๐ก๐ก) =
0
Fungsi survival ๐๐(๐ก๐ก)didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat
bertahan hidup dengan waktu survival sampai dengan waktu t(t >
0), yaitu
sebagai berikut: ๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐(๐๐ โฅ ๐ก๐ก)
(2.4)
Sesuai dengan definisi fungsi distribusi kumulatif F(t) dari T, fungsi survival dapat dinyatakan dengan, ๐๐(๐ก๐ก) = 1 โ ๐๐(๐๐ โค ๐ก๐ก)
11
= 1 โ ๐น๐น(๐ก๐ก)
Fungsi survival juga dapat dinyatakan dalam bentukfungsi kepadatan peluang yaitu, โ
๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐(๐๐ โฅ ๐ก๐ก) = ๏ฟฝ ๐๐(๐ก๐ก)๐๐๐๐ ๐ก๐ก
Diperoleh hubungan antara fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dari T, dan fungsi survival yaitu,
=
๐น๐น(๐ก๐ก) = 1 โ ๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐น๐น(๐ก๐ก) ๐๐(1 โ ๐๐(๐ก๐ก)) = ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ = ๐น๐น โฒ (๐ก๐ก) = โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก)
diperoleh,
= ๐๐(๐ก๐ก) = โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก)
(2.5)
3. Fungsi Hazard
๐๐(๐ก๐ก) = ๐น๐น โฒ (๐ก๐ก) = โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก)
(2.6)
Fungsi hazardโ(๐ก๐ก) didefinisikan sebagai kelajuan suatu individu mengalami kejadian dalam interval waktu dari t sampai ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก dengan syarat individu tersebut masih bertahan hidup sampai dengan waktu t, dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: ๐๐(๐ก๐ก โค ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก|๐๐ โฅ ๐ก๐ก) โ๐ก๐กโ0 โ๐ก๐ก
โ(๐ก๐ก) = lim
(2.7)
berdasarkan teori peluang, bahwa peluang kejadian A dengan syarat kejadian B yaitu:
12
๐๐(๐ด๐ด|๐ต๐ต) =
๐๐(๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต) ๐๐(๐ต๐ต)
T merupakan variabel acak, dari Persamaan (2.7) diperoleh:
(2.8)
๐๐(๐ก๐ก โค ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก|๐๐ โฅ ๐ก๐ก) โ๐ก๐กโ0 โ๐ก๐ก
โ(๐ก๐ก) = lim
= lim
โ๐ก๐กโ0
= lim
โ๐ก๐กโ0
= = =
๐๐(๐ก๐ก โค ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก, ๐๐ โฅ ๐ก๐ก) ๐๐(๐๐ โฅ ๐ก๐ก). โ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก โค ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก). โ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก โค ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก) 1 . lim โ๐ก๐กโ0 โ๐ก๐ก ๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก) โ ๐๐(๐๐ < ๐ก๐ก) 1 . lim โ๐ก๐ก ๐๐(๐ก๐ก) โ๐ก๐กโ0 ๐น๐น(๐ก๐ก + โ๐ก๐ก) โ ๐น๐น(๐ก๐ก) 1 . lim โ๐ก๐ก ๐๐(๐ก๐ก) โ๐ก๐กโ0
= โ(๐ก๐ก) =
๐๐(๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก)
Persamaan (2.5) disubtitusikan ke Persamaan (2.9),diperoleh: โ(๐ก๐ก) =
๐๐(๐ก๐ก) โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก)
= โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก)
1 ๐๐(๐ก๐ก)
= โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก)
๐๐ log ๐๐(๐ก๐ก) ๐๐๐๐(๐ก๐ก)
= โ๐๐ โฒ (๐ก๐ก) log ๐๐(๐ก๐ก)
=โ =โ
๐๐๐๐(๐ก๐ก) ๐๐ log ๐๐(๐ก๐ก) . ๐๐๐๐ ๐๐๐๐(๐ก๐ก)
๐๐ log ๐๐(๐ก๐ก) ๐๐๐๐
13
(2.9)
diperoleh persamaan, โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ =
๐๐ log ๐๐(๐ฅ๐ฅ) ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
diintegralkan menjadi, ๐ก๐ก
๐ก๐ก
๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ = โ ๏ฟฝ 0
0
๐ก๐ก
๐๐ log ๐๐(๐ฅ๐ฅ) ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐ก
= โ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ = ๏ฟฝ 0
๐ก๐ก
0
๐๐ log ๐๐(๐ฅ๐ฅ) ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ก๐ก = โ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ = log ๐๐(๐ฅ๐ฅ) ๏ฟฝ 0 0 ๐ก๐ก
= โ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ = log ๐๐(๐ก๐ก) โ log ๐๐(0) 0
Diketahui S(0)=1 dan log S(0)=0, oleh karena itu diperoleh: ๐ก๐ก
โ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ = log ๐๐(๐ก๐ก) 0
๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก) = exp ๏ฟฝโ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ ๏ฟฝ
(2.10)
0
Berdasarkan fungsi hazard yang diperoleh dari Persamaan (2.10), menurut Lee & Wang (2003: 16) fungsi kumulatif hazard(๐ป๐ป(๐ก๐ก)) adalah: ๐ก๐ก
๐ป๐ป(๐ก๐ก) = ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐๐ 0
dan didapatkan hubungan dengan fungsi survival,yaitu, ๐๐(๐ก๐ก) = exp[โ๐ป๐ป(๐ก๐ก)]
14
(2.11) (2.12)
C. Model Cox Proportional Hazard Salah
satu
tujuan
model
Cox
Proportional
Hazardadalah
untuk
memodelkan hubungan antara waktu survival dengan variabel-variabel yang diduga mempengaruhi waktu survival. Model Cox Proportional Hazard memiliki asumsi bahwa fungsi hazard dari individu yang berbedaadalah proporsional, atau rasio fungsi hazarddari dua individu yang berlainanadalah konstan (Lee & Wang, 2003). Risiko kematian individu pada waktu tertentu bergantung pada nilai ๐ฅ๐ฅ1 , ๐ฅ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ฅ๐๐ dari p variabel bebas ๐๐1 , ๐๐2 , โฆ , ๐๐๐๐ . Himpunan nilai variabel bebas pada model Cox dipresentasikan oleh x, sehingga ๐ฅ๐ฅ = (๐ฅ๐ฅ1 , ๐ฅ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ฅ๐๐ ). Model Cox dapat dituliskan sebagai berikut(Kleinbaum & Klein, 2005: 98). โ(๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ) = โ0 (๐ก๐ก) exp๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๏ฟฝ
dengan, โ0 (๐ก๐ก) : fungsi dasar hazard, ๐ฝ๐ฝ1 , ๐ฝ๐ฝ2 , โฆ ๐ฝ๐ฝ๐๐ : parameter regresi, ๐ฅ๐ฅ1 , ๐ฅ๐ฅ2 , โฆ ๐ฅ๐ฅ๐๐ : nilai dari variabel bebas ๐๐1 , ๐๐2 , โฆ ๐๐๐๐ Analisis
survival
mengenal
dua
model,
(2.13)
yaitu
parametrik
dan
semiparametrik. Model parametrik antara lain model Weibull yang berdistribusi weilbull dan model Gamma yang berdistribusi gamma(Kleinbaum & Klein, 2005: 357).
Model
Cox
Proportional
Hazardmerupakan
model
berdistribusi
semiparametrik karena model Coxtidak memerlukan informasi tentang distribusi yang mendasari waktu survival dan parameter regresi dapat diestimasi dari model Cox tanpa harus menentukan fungsi hazard dasar (Lee & Wang, 2003: 298).
15
Kenyataannya, data yang diperoleh tidak dapat memberikan informasi distribusi waktu survival, sehingga bentuk โ0 (๐ก๐ก) dari fungsi hazard dasar juga tidak dapat diketahui.
Model semiparametrik lebih sering digunakan karena walaupun bentuk fungsional โ0 (๐ก๐ก) tidak diketahui, tapi model Cox Proportional Hazard ini tetap
dapat memberikan informasi berupa hazard ratio (HR) yang tidak bergantung
padaโ0 (๐ก๐ก). Hazard ratio didefinisikan sebagai rasio dari hazard rate satu individu dengan hazard rate dari individu lain, hal ini ditunjukkan sebagai berikut.
Misalnya individu A memiliki fungsi hazard dasar โ๐ด๐ด (๐ก๐ก, ๐๐ โ ) dengan
โ ๐๐ โ = (๐๐1โ , ๐๐2โ , โฆ , ๐๐๐๐ ) dan individu B memiliki fungsi hazard dasar โ๐ต๐ต (๐ก๐ก, ๐๐),
dengan ๐๐ = (๐๐1 , ๐๐2 , โฆ , ๐๐๐๐ ), maka diperolehhazard ratio sebagai berikut: ๐ป๐ป๐ป๐ป =
โ โ๐ด๐ด (๐ก๐ก, ๐๐ โ ) โ0 (๐ก๐ก) exp๏ฟฝโ๐๐ ๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ = โ๐ต๐ต (๐ก๐ก, ๐๐ โ ) โ0 (๐ก๐ก) exp๏ฟฝโ๐๐ ๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐
โ
๐๐
= exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐=1 ๐๐
= exp ๏ฟฝ๏ฟฝ
๐๐=1
๐๐=1
๐ฝ๐ฝ๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐๐โ โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ
Persamaan (2.13) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
(2.14)
ln โ(๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ) = ln๏ฟฝ[โ0 (๐ก๐ก)] exp๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ ln
โ(๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ) = log๏ฟฝexp๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก)
ln
โ(๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ) = ๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ โ0 (๐ก๐ก)
16
(2.15)
Pada model Cox, untuk mengestimasi parameter regresi ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 , ๐ฝ๐ฝ2 , โฆ , ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๏ฟฝ
dapat dilakukan tanpa mengestimasi fungsi hazard dasar. Persamaan (2.15) merupakan model hazard ratioyang didefinisikan sebagai hazard (kegagalan) dari satu individu dibagi dengan hazard individu yang berbeda, dapat dinyatakan sebagai berikut (Kleinbaum & Klein, 2005: 24). log[๐ป๐ป๐ป๐ป(๐ฅ๐ฅ)] = ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๏ฟฝ
(2.16)
Saat variabel bebas dengan rasio hazard kurang dari 1, peningkatan nilai
variabel bebas berhubungan dengan menurunnya risiko kematian dan lebih panjangnya waktu bertahan hidup. Ketika rasio hazard lebih besar dari 1, peningkatan nilai variabel bebas berhubungan dengan peningkatan risiko kematian dan lebih pendeknya waktu bertahan hidup. 1. Estimasi parameter model Cox Proportional Hazard Estimasi parameter ๐ฝ๐ฝ๐๐ dengan j= 1, 2, โฆ, p pada model Cox Proportional
Hazarddapat dilakukan salah satunya dengan menggunakan metode Maximum
Partiallikelihood Estimation (MPLE). Terlebih dahulu akan dijelaskan tentang penyusunan fungsi partial likelihood. Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter-parameter ๐ฝ๐ฝyang tidak diketahui nilainya yang menggambarkan peluang bersama dari observasi data (Kleinbaum & Klein, 2005:98).
Fungsi likelihood yang digunakan dalam model Cox adalah fungsi partial likelihood.Fungsi partial likelihoodmemperhatikan peluang untuk subjek yang mengalami kejadian dan urutan kejadian. Misalkan terdapat k waktu kejadian dan
17
pada saat ๐ก๐ก๐๐ terjadi kejadian dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐ dan kejadian yang diperhatikan
adalah meninggal, maka fungsi partial likelihood-nya adalah ๐ฟ๐ฟ๐๐ dengan ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ )
adalah himpunan individu yang berisiko pada waktu ๐ก๐ก๐๐ yang terdiri dari semua individu yang bertahan hidup hingga ๐ก๐ก๐๐ . Fungsi partiallikelihood dinyatakan
sebagai berikut:
๐๐
๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) = ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ( ๐ก๐ก๐๐ , ๐ฝ๐ฝ)
(2.17)
๐๐ =1
Notasi (๐ก๐ก๐๐ , ๐ฝ๐ฝ)menunjukkanlikelihood untuk kejadian saat ๐ก๐ก๐๐ dengan himpunan risiko ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ).
Untuk menggambarkan fungsi partiallikelihood,diberikan contoh berikut.
Akan dilakukan penelitian dengan subjek yang akan diteliti adalah sebanyak 4subjek yang berpenyakit kanker, variabel yang berpengaruh adalah Variabel Umur(๐ฅ๐ฅ1 ) dan Variabel Terapi (๐ฅ๐ฅ2 ). Subjeknya adalah Berry, Meggy, Rossy, dan
Fenny, data diperoleh dari keempat subjek seperti tercantum pada tabel 2.1 berikut: Tabel 2. 1 Data Subjek Penelitian Penyakit Kanker Waktu Survival t
Status
๐ฅ๐ฅ1
๐ฅ๐ฅ2
9
9
1
1
1
9
21
12
1
0
1
21
34
13
0
0
0
Subjek(i) Mulai
Berhenti
Berry
0
Meggy Rossy
18
Fenny
34
50
16
1
1
0
Pada Tabel 2.1 di atas, kolom i adalah kolom untuk individu, t adalah waktu survival (dalam bulan). Pada kolom status, angka 1 menunjukkan subjek mengalami kejadian dan 0 untuk subjek yang tersensor, x1 dan x2 adalah Variabel
Umur dan terapi yang dikategorikan sebagai berikut:
kategori terapi(x2 ): ๏ฟฝ
0, x โค 25 tahun kategori umur(x1 ): ๏ฟฝ 1 1, x1 > 25 ๐ก๐ก๐ก๐กโ๐ข๐ข๐ข๐ข
1, mendapat terapi 0, tidak mendapat terapi
Tabel 2.1 di atas dapat diilustrasikan dengan gambar 2.2 sebagai berikut:
Gambar 2. 2Calendar Time (a) dan Survival Time (b) Pada data dapat diketahui bahwa Berry mengalami kejadian saat t=9, Menggy mengalami kejadian pada waktu t=12, karena Rossy menghilang saat
19
penelitian di t=13, maka Rossy tersensor pada waktu t=13 dan Fenny mengalami kejadian pada waktu t=16. Meggy dan Fenny berusia kurang dari sama dengan 25 tahun, sedang umur Berry dan Rossy lebih dari 25 tahun. Berry dan Meggy melakukan terapi, sedangkan Rossy dan Fenny tidak melakukan terapi. Sesuai dengan Persamaan (2.13), maka persamaan model Cox Proportional Hazardpada kasus di atas adalah sebagai berikut: โ(๐ก๐ก) = โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 umur + ๐ฝ๐ฝ2 terapi)
(2.18)
Pada Tabel 2.1 terlihat bahwa Berry mengalami kekambuhan pada bulan ke 9. Pada bulan ke-9 tersebut semua subjek berisiko. Meggy mengalami kekambuhan pada bulan ke 12, pada waktu ini yang masuk dalam himpunan risiko adalah Meggy, Rossy, dan Fenny, dengan begitu pada ๐ฟ๐ฟ2 penyebutnya
adalah penjumlahan dari tiga fungsi hazard yang masuk pada risiko t=12. Rossy hilang saat penelitian berlangsung, sehingga Rossy dikatakan tersensor jadi Rossy tidak berisiko dan Fenny mengalami kekambuhan saat t=16 sehingga masuk ke risiko pada waktu t=16. Dapat dituliskan fungsi hazard pada masing-masing individu adalah, Tabel 2. 2 Fungsi Hazard ID
Fungsi hazard
Berry
โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 )
Meggy Rossy
โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ) โ0 (๐ก๐ก) exp(0)
20
โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 )
Fenny Berdasarkan
informasi
tersebut,
sesuai
denganPersamaan
(2.13)
fungsipartial likelihoodkasus di atas adalah sebagai berikut: โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) ๐ฟ๐ฟ1 = ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(0) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ) ๐ฟ๐ฟ2 = ๏ฟฝ
โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 ) ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(0) โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 ) ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ3 = ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 )
Fungsipartial
likelihooddapat
dikatakansebagaiperkaliandarilikelihood-
likelihoodyang kejadiannya teramati, sehingga partial likelihooddaricontoh di atas adalahsebagaiberikut: ๐ฟ๐ฟ = ๐ฟ๐ฟ1 ร ๐ฟ๐ฟ2 ร ๐ฟ๐ฟ3
โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) ๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(0) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ) โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 ) ร๏ฟฝ ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 ) + โ0 (๐ก๐ก) exp(0) โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 ) ร๏ฟฝ ๏ฟฝ โ0 (๐ก๐ก) exp(๐ฝ๐ฝ1 ๐ฅ๐ฅ1 )
(2.19)
Pada Cox Proportional Hazard, fungsi baseline hazard๏ฟฝโ0 (๐ก๐ก)๏ฟฝdapat dikeluarkan
dari model, sehingga partial likelihood-nya adalah:
exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) ๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ ๏ฟฝ exp(๐ฝ๐ฝ1 + ๐ฝ๐ฝ2 ) + exp(๐ฝ๐ฝ2 ) + exp(0) + exp(๐ฝ๐ฝ1 ) exp(๐ฝ๐ฝ1 ) exp(๐ฝ๐ฝ2 ๐ฅ๐ฅ2 ) ๏ฟฝร๏ฟฝ ๏ฟฝ ร๏ฟฝ exp(๐ฝ๐ฝ2 ) + exp(๐ฝ๐ฝ1 ) + exp(0) exp(๐ฝ๐ฝ1 )
21
(2.20)
Misalkan terdapat data untuk ๐๐ individu dan masing-masing mempunyai โฒ
vektor kovariat ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐1 , โฆ , ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ . Dari ๐๐ individu tersebut, misalkan terdapat ๐๐
individu yang mengalami kejadian, maka terdapat ๐๐ โ ๐๐ individu yang tersensor. Jika diurutkan, urutannya menjadi ๐ก๐ก1 < ๐ก๐ก2 < โฏ < ๐ก๐ก๐๐ < โฏ < ๐ก๐ก๐๐ , dengan ๐ก๐ก๐๐
merupakan urutan kejadianke-๐๐. Diasumsikan hanya terdapat satu individu yang mengalami kematian pada tiap waktu kegagalan. Apabila vektor variabel bebas dari individu yang mati pada waktu ๐ก๐ก๐๐ dinotasikan dengan ๐ฅ๐ฅ๐๐ , maka peluangnya menjadi sebagai berikut:
๐๐(individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ mati saat ๐ก๐ก๐๐ |satu kematian saat ๐ก๐ก๐๐ ).
(2.21)
JikakejadianA adalah individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ mati saat ๐ก๐ก๐๐ dan kejadianB
adalah satu kematian saat ๐ก๐ก๐๐ , maka peluang Persamaan (2.21) menjadi sebagai berikut:
๐๐(๐ด๐ด|๐ต๐ต) = =
๐๐(๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต) ๐๐(๐ต๐ต)
๐๐(individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ mati saat ๐ก๐ก๐๐ ) ๐๐(satu kematian saat ๐ก๐ก๐๐ )
(2.22)
Diasumsikan bahwa waktu kematian independen satu sama lain, maka penyebut Persamaan (2.22) diatas merupakan penjumlahan dari peluang kematian semua individu yang beresiko mati pada waktu ๐ก๐ก๐๐ . Apabila individu-individu
tersebut dinotasikan dengan ๐๐ dan ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) merupakan himpunan dari individuindividu yang beresiko pada waktu ๐ก๐ก๐๐ , maka Persamaan (2.22) menjadi sebagai
berikut:
22
P(individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ mati saat ๐ก๐ก๐๐ ) . โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) P(individu ๐๐ mati saat ๐ก๐ก๐๐ )
(2.23)
Peluang individu yang mati saat ๐ก๐ก๐๐ dapat diganti dengan peluang individu
yang mati pada interval (๐ก๐ก๐๐ , ๐ก๐ก๐๐ + โ๐ก๐ก), dan kemudian baik penyebut maupun
pembilang pada persaamaan (2.23) tersebut dibagi dengan โ๐ก๐ก, sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut:
P[individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ mati pada (๐ก๐ก๐๐ , ๐ก๐ก๐๐ + โ๐ก๐ก)]/โ๐ก๐ก โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) P[individu ๐๐ mati pada (๐ก๐ก๐๐ , ๐ก๐ก๐๐ + โ๐ก๐ก)] /โ๐ก๐ก
(2.24)
Nilai limit dari Persamaan (2.24) dimana โ๐ก๐ก โ 0 merupakan rasio peluang dari
Persamaan (2.23), sehingga,
Fungsi โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ untuk individu dengan variabel ๐ฅ๐ฅ๐๐ yang mati pada ๐ก๐ก๐๐ . โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ )[Fungsi โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ untuk individu ๐๐ yang matipada ๐ก๐ก๐๐ ]
Apabila individu ke-๐๐ mati pada saat ๐ก๐ก๐๐ , fungsi hazardpada pembilang
persamaan tersebut dapat ditulis โ๐๐ (๐ก๐ก๐๐ ), sedangkan penyebut persamaan tersebut merupakan penjumlahan dari fungsi hazarduntuk individu yang beresiko pada waktu ๐ก๐ก๐๐ yang dapat ditulis โ๐๐ (๐ก๐ก๐๐ ). Peluang bersyarat untuk Persamaan (2.22)
adalah sebagai berikut:
โ๐๐ (๐ก๐ก๐๐ ) . โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) โ๐๐ (๐ก๐ก๐๐ )
Pada Cox likelihood, fungsi baseline hazarddapat dikeluarkan dari model, maka persamaan diatas menjadi sebagai berikut: exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ
23
Setiap kegagalan (failure) menyumbang sebuah faktor, oleh karena itu fungsi partial likelihood-nya adalah sebagai berikut: ๐๐
๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) = ๏ฟฝ ๐๐=1
exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ
(2.25)
diperoleh fungsi log partial likelihood yaitu sebagai berikut: ๐๐
ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) = ln ๏ฟฝ ๐๐
๐๐
๐๐=1
๐๐ =1
๐๐=1
๐๐
exp๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
(2.26)
๐๐
= ๏ฟฝ ๏ฟฝln ๏ฟฝexp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ln ๏ฟฝ ๏ฟฝ exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐
๐๐
๐๐=1
๐๐ =1
๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ )
๐๐ =1
๐๐
= ๏ฟฝ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ โ ๏ฟฝln ๏ฟฝ exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ )
Turunan pertama dari ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) terhadap ๐ฝ๐ฝ๐๐ yaitu, ๐๐
๐๐
๐๐ =1
(2.27)
๐๐
๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ ๏ฟฝโ๐๐=1 ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) ๏ฟฝ โ ln ๏ฟฝโ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ exp๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) = ๏ฟฝ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) โ โ ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ โ exp ๏ฟฝโ ๐ฝ๐ฝ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ )
๐๐=1 ๐๐ =1
๐๐ =1 ๐๐ ๐๐๐๐
(2.28)
Pendugaan ๐ฝ๐ฝ๐๐ dapat diperoleh dengan memaksimumkan turunan pertama fungsi
log partial likelihoodyaitu dengan menyelesaikan persamaan berikut: ๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) =0 ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐
diperoleh,
24
๐๐
๐๐
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) โ ๏ฟฝ =0 ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ exp ๏ฟฝโ ๐ฝ๐ฝ ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ) ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐=1 ๐๐ =1 ๐๐ =1 ๐๐
(2.29)
Persamaan (2.29) tersebut dapat diselesaikan secara numerik yaitu menggunakan metode Newton Raphson. Selanjutnya akan dicari turunan kedua dari ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ), yaitu,
๐๐ ๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) = ๏ฟฝ ๏ฟฝ 2 ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐
๐๐
๐๐
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐๐๐=1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๐๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐๐) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ โ exp ๏ฟฝโ ๐ฝ๐ฝ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ) ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐=1 ๐๐ =1 ๐๐ =1 ๐๐
=๏ฟฝ
๐๐
๐๐=1
๏ฟฝ
๐๐
๐๐
๐๐=1
๐๐
2
2
๏ฟฝโ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ โ
= โ๏ฟฝ
๐๐
๏ฟฝโ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐ =1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
โ
๐๐
๐๐
๏ฟฝ
2
๏ฟฝโ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ๐๐ )๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐ =1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
2
2
๏ฟฝ
Nilai negatif turunan kedua dari log partial likelihoodyaitu sebagai berikut: ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) โ ๐๐ 2 ๐ฝ๐ฝ๐๐
25
(2.30)
= โ ๏ฟฝโ ๏ฟฝ
๐๐
๐๐=1
๏ฟฝ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
โ
โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐
๐๐
๏ฟฝโ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ )๏ฟฝโ๐๐ =1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐ =1 ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก๐๐ ) exp ๏ฟฝโ๐๐๐๐=1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
2
2
๏ฟฝ๏ฟฝ (2.31)
1. Prosedur Newton Raphson untuk Penaksiran Parameter Model Cox Proportional Hazard Prosedur Newton Raphson berperan dalam memaksimalkan fungsi partial likelihooddalam penaksiran parameter model Cox. Untuk memaksimalkan fungsi partial likelihooddalam penaksiran parameter model Cox Proportional Hazard dapat menggunakan prosedur Newton Raphson. Misalkan ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) merupakan fungsi 2
partial likelihoodp dimensi vektor ๐ฝ๐ฝ = ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ1 , ๐ฝ๐ฝ2 , โฆ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๏ฟฝ . Misalkan ๐๐(๐๐)merupakan
vektor berukuran p dari turunan parsial pertama ln ๐ฟ๐ฟ๐๐ (๐ฝ๐ฝ)seperti Persamaan (2.28)
berikut:
๐๐(๐๐) = [U1 (๐๐), U2 (๐๐), โฆ , Up (๐๐)]t
dengan Uj (๐๐) =
๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ๐๐ (๐ฝ๐ฝ ) ๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐
, ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
(2.32)
Misalkan ๐๐(๐๐)adalah matriks Hessian berukuran๐๐ ร ๐๐ dari turunan partial kedua ln ๐ฟ๐ฟ๐๐ (๐ฝ๐ฝ) yaitu,
๐ผ๐ผ(๐ฝ๐ฝ) = ๏ฟฝ๐ผ๐ผ๐๐๐๐ (๐ฝ๐ฝ)๏ฟฝdengan = 1,2, โฆ , ๐๐
dengan ๐๐๐ข๐ข๐ข๐ข (๐๐) =
๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ ) ๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐ ๐ฝ๐ฝ๐๐
26
(2.33)
๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) โก โค โฆ 2 ๐๐๐ฝ๐ฝ1 ๐ฝ๐ฝ2 ๐๐๐ฝ๐ฝ1 ๐ฝ๐ฝ๐๐ โฅ โข (๐๐๐ฝ๐ฝ1 ) โข๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ 2 ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ)โฅ โฆ ๐๐(๐๐) = โข ๐๐๐ฝ๐ฝ2 ๐ฝ๐ฝ1 ๐๐๐ฝ๐ฝ2 ๐ฝ๐ฝ2 ๐๐๐ฝ๐ฝ2 ๐ฝ๐ฝ๐๐ โฅ โข โฅ โฎ โฎ โข 2 โฎ โฅ โฆ 2 2 โข๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) ๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ) โฆ ๐๐ ln ๐ฟ๐ฟ(๐ฝ๐ฝ)โฅ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฝ๐ฝ2 (๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ )2 โฆ โฃ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐ฝ๐ฝ1
Algoritma pada metode Newton Raphson yaitu sebagai berikut: ๏ฟฝ ๐๐+๐๐ = ๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ โ ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ )โ๐๐ ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ ) ๐๐
๏ฟฝ ๐๐ )merupakan invers dari๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ ). dengan c=0,1,2โฆ dan ๐๐ โ๐๐ (๐๐
(2.34)
Langkah iterasi dengan metode Newton Raphson sebagai berikut:
๏ฟฝ ๐๐ = ๐๐ 1. Menetapkan nilai awal ๐๐
๏ฟฝ ๐๐ = ๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ โ ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ )โ๐๐ ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ ) 2. Menghitung ๐๐
๏ฟฝ ๐๐+๐๐ โ
๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ 3. Iterasi dilakukan sampai memperoleh nilai yang konvergen : ๐๐ Varians dari ๐ฝ๐ฝฬ๐๐ yaitu sebagai berikut (Hosmer Lemeshow,1999:72): ๏ฟฝ ) = ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ )โ๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐(๐๐
(2.35)
๏ฟฝ )yaitu akar kuadrat Pada estimasi standar deviasi, dinotasikan dengan ๐๐๐ธ๐ธ๏ฟฝ (๐๐
positif dari varian ๐ฝ๐ฝฬ๐๐ sebagai berikut (Hosmer Lemeshow,1999:72): ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ ) = ๐๐(๐๐ ๏ฟฝ )โ๐๐ ๐๐๐ธ๐ธ๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐
(2.36)
๏ฟฝ ๐ฃ๐ฃ yaitu Standar deviasi dapat digunakan untuk mencari selang kepercayaan ๐๐
๏ฟฝ ๐ฃ๐ฃ ((Hosmer, Lemeshow, & May, ๏ฟฝ(1 โ ๐ผ๐ผ)100%) ๏ฟฝselang kepercayaan untuk ๐๐ 2008: 72) sebagai berikut:
๏ฟฝ ๐ฃ๐ฃ ยฑ ๐ณ๐ณ ๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐ ๐๐
27
(2.37)
2. Pengujian Parameter Menurut David W, Hosmer dan Standley Lemeshow (2008), terdapat tiga cara
untuk
menguji
signifikansi
parameter
yaitu
dengan
uji
partial
likelihoodratio, uji Wald, dan uji Score. Pengujian signifikansi parameter bertujuan untuk memeriksa apakah variabel bebas memiliki pengaruh dalam model. a. UjiPartial likelihood Ratio Uji partial likelihood ratio digunakan untuk menguji hipotesis bahwa satu atau beberapa parameter regresi ๐ฝ๐ฝ๐๐ adalah nol. Berikut langkah-langkah uji partial likelihoodratio: 1. Hipotesis ๐ป๐ป0 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ = 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
2. Taraf signifikansi : ๐ผ๐ผ
๐ป๐ป1 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
3. Statistik uji:
๐บ๐บ = โ2๏ฟฝln ๐ฟ๐ฟ(0) โ ln ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝฬ๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ
(2.38)
dengan, ๐ฟ๐ฟ(0) = log partial likelihood model tanpa variabel bebas (model null) ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝฬ๐๐ ๏ฟฝ = log partial likelihooddari model yang terdiri dari p variabel bebas
4. Kriteria keputusan
2 ๐ป๐ป0 ditolak jika ๐บ๐บ โฅ ๐ณ๐ณ(ฮฑ:db =p) atau p-valueโค ๐ผ๐ผ, dengan p adalah banyaknya
variabel bebas.
28
5. Perhitungan Perhitungan menggunakan bantuan software R 3.1.2, didapatkan nilai log partial likelihood dan nilai p-value dari uji partial likelihood ratio. 6. Kesimpulan Jika ๐ป๐ป0 ditolak, maka ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, mengindikasikan bahwa variabel bebas
berpengaruh terhadap waktu survival. b. Uji Wald
Sama seperti uji partial likelihoodratio, uji Wald juga menggunakan distribusi chi-square dengan derajat bebas p, perbedaannya adalah uji likelihood ratio memberikan hasil yang lebih bagus dan akurat dibandingkan dengan uji WaldKleinbaum dan Klein (2005: 90). Analisis pada uji Wald adalah sebagai berikut:
1. Hipotesis: ๐ป๐ป0 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ = 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
2. Taraf signifikansi : ๐ผ๐ผ
๐ป๐ป1 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
3. Statistik uji:
2
๐ง๐ง = ๏ฟฝ
4. Kriteria keputusan
๐ฝ๐ฝฬ๐๐
๐๐๐๐๐ฝ๐ฝฬ๐๐
29
๏ฟฝ
2
(2.39)
2 ๐ป๐ป0 ditolak jika ๐ง๐ง 2 โฅ ๐ณ๐ณ(ฮฑ:db =p) atau p-valueโค ๐ผ๐ผ, dengan p adalah banyaknya
variabel bebas. 5. Perhitungan
Perhitungan menggunakan bantuan software R 3.1.2, didapatkan nilai dari ๐ง๐ง 2 nilai p-value dari uji Wald.
6. Kesimpulan
Jika ๐ป๐ป0 ditolak maka ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, mengindikasikan bahwa variabel bebas
berpengaruh terhadap waktu survival. c. Uji Score
Uji lain untuk menguji signifikansi parameter yaitu uji score. Statistik ujinya adalah menggunakan rasio dari turunan log partial likelihoodpada Persamaan (2.27), dengan akar kuadrat dari Persamaan (2.33) semuanya dievaluasi terhadap ๐ฝ๐ฝ๐๐ = 0. Uji score sama dengan uji lainnya yaitu menggunakan distribusi chi-square dengan derajat bebas p (Lee & Wang, 2003: 225). Berikut langkah-langkah uji score: 1. Hipotesis: ๐ป๐ป0 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ = 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
2. Taraf signifikansi : ๐ผ๐ผ
๐ป๐ป1 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
3. Statistik uji:
30
๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐
โ โ ๏ฟฝ ๐ง๐ง โ = โ ๐ฝ๐ฝ = 0 โ ๐๐ โ ๏ฟฝฮ(๐ฝ๐ฝ ) ๏ฟฝ โ ๐๐
4. Kriteria keputusan
โ
โ
2
(2.40)
2 ๐ป๐ป0 ditolak jika ๐ง๐ง โ โฅ ๐ณ๐ณ(ฮฑ:db =p) atau p-valueโค ๐ผ๐ผ, dengan p adalah banyaknya
variabel bebas. 5. Perhitungan
Perhitungan menggunakan bantuan software R 3.1.2, didapatkan nilai dari ๐ง๐ง โ nilai p-value dari uji Score.
6. Kesimpulan
Jika ๐ป๐ป0 ditolak, maka ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, mengindikasikan bahwa variabel bebas
berpengaruh terhadap waktu survival. 3. Pemilihan Model Cox Terbaik
Langkah pertama dalam pemilihan model Cox terbaik adalah pemilihan variabel yang masuk atau keluar dari model. Menurut Lee & Wang (2003), pemilihan variabel yang masuk atau keluar dari model dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu seleksi forward, seleksi backward dan prosedur stepwise. Seleksi forward atau seleksi maju yaitu dengan menambahkan variabel satu demi satu dalam setiap langkahnya. Menurut David W. Hosmer dan Stanley Lemeshow (2008: 416), taraf signifikansi yang digunakan dalam seleksi forward disarankan antara 20%-25% untuk memungkinkan lebih banyak variabel yang masuk dalam
31
model. Pada masing-masing tahapan, akan diputuskan variabel mana yang merupakan prediktor terbaik untuk dimasukkan ke dalam model. Prosedur seleksi stepwise merupakan kombinasi dari dua proses yaitu seleksi forward dan seleksi backward. Skripsi ini menggunakan seleksi backward untuk langkah pemilihan model terbaik. Prosedur Seleksi backward adalah dengan proses eliminasi variabel yang masuk kedalam model, dimulai dengan mengeluarkan atau menghapus satu persatu menurut kriteria signifikansi. Pemeriksaan masing-masing variabel digunakan uji Wald. Langkah-langkah
pengujian
yang
dilakukandalam
prosedur
seleksi
backward adalah sebagai berikut: 1. Hipotesis: ๐ป๐ป0 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ = 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐(variabel tidak berpengaruh terhadap model) ๐ป๐ป1 : โ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, dengan ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐(variabel berpengaruh terhadap model)
2. Taraf signifikansi : ๐ผ๐ผ
3. Statistik uji:
2
๐ง๐ง = ๏ฟฝ
4. Kriteria keputusan
๐ฝ๐ฝฬ๐๐
๐๐๐๐๐ฝ๐ฝฬ๐๐
๏ฟฝ
2
2 ๐ป๐ป0 ditolak jika ๐ง๐ง 2 โฅ ๐ณ๐ณ(ฮฑ:db =p) atau p-valueโค ๐ผ๐ผ, dengan p adalah banyaknya
variabel bebas. 5. Perhitungan:
32
Perhitungan menggunakan bantuan software R 3.1.2, didapatkan nilai ๐ง๐ง 2 dan nilai p-value masing-masing variabel.
6. Kesimpulan: Jika ๐ป๐ป0 ditolak maka ๐ฝ๐ฝ๐๐ โ 0, yang artinya variabel bebas tersebut
berpengaruh terhadap model. Sehingga, variabel tersebut tidak perlu dihapus dari model.
Setelah diperoleh variabel yang masuk, kemudian dilanjutkan uji likelihood ratio untuk mengetahui apakah ada interaksi antar variabel tersebut, yaitu dengan membandingkan model Cox tanpa interaksi terhadap model Cox dengan penambahan variabel interaksi. Langkah-langkah pemilihan variabel interaksi yang masuk dalam model dapat dilakukan dengan seleksi forward, seleksi backward maupun prosedur stepwise dengan langkah-langkah sama seperti yang telah dijelaskan dalam pemilihan variabel yang masuk kedalam model untuk mendapatkan model Cox terbaik. D. Pengujian Asumsi Proporsional Hazard Asumsi terpenting yang harus dipenuhi dalam regresi Cox yaitu asumsi Proporsional Hazard yang berarti bahwa rasio fungsi hazard konstan dari waktu
33
ke waktu atau ekuivalen dengan pernyataan bahwa rasio fungsi hazard suatu individu terhadap fungsi hazard individu yang lain adalah proporsional. Menurut Kleinbaum dan Klein (2005), jika rasio fungsi hazard tidak konstan dan asumsi proporsional hazard tidak dipenuhi, maka modelCox tidak valid. Ada 2 cara untuk mengecek asumsi Proportional Hazard yaitu dengan pendekatan grafik menggunakan plot log minus log survival dan dengan menggunakan residual Schoenfeld (Lee&Wang, 2003: 326-330), yaitu sebagai berikut: 1. Pengujian Asumsi Proporsional Hazard Dengan Grafik Log Minus Log Survival Pendekatan grafik yang digunakan yaitu dengan plot log minus log survival. Menurut model regresi Cox, fungsi hazard untuk kegagalan individu ke-i setiap waktu t dapat dituliskan seperti pada Persamaan (2.13) yaitu sebagai berikut: p
h(t, X) = h0 (t) exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
(2.41)
i=1
Notasi ๐๐๐๐ dengan i=1, 2, โฆ, p menunjukkannilai dari sebanyak p variabel
bebas untuk individu tersebut, ๐ฝ๐ฝ merupakan parameter, dan h0 (t) merupakan
fungsi hazard dasar, apabila kedua sisi diintegralkan dari nol hingga t, maka diperoleh sebagai berikut: p
๐ก๐ก
๐ก๐ก
๏ฟฝ h(t, X)๐๐๐๐ = exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ h0 (t)dt 0
j=1
Menggunakan Persamaan (2.11), dapat diperoleh,
34
0
(2.42)
p
H(t, X) = exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ H0 (t) j=1
(2.43)
Selanjutnya dilakukan logaritma pada Persamaan (2.43) pada kedua sisi sebagai berikut: p
log H(t) = log exp ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ + log H0 (t) j=1
(2.44)
Persamaan di atas ekuivalen dengan persamaan berikut: p
log๏ฟฝโ log๏ฟฝS(t)๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๐๐๐๐ + log๏ฟฝโ log๏ฟฝS0 (t)๏ฟฝ๏ฟฝ j=1
(2.45)
Persamaan (2.45) menunjukkan bahwa fungsi log minus log survival tidak bergantung terhadap waktu. Ini berarti bahwa fungsi log minus log survival pada Persamaan (2.15) berlaku jika digambarkan melawan waktu survival dan kurva akan berbentuk pararel. Pada plot log minus log survival, data dikelompokkan sesuai dengan tingkat atau kategori pada masing masing variabel bebas, jika variabel kontinu, maka perlu dikelompokkan menjadi variabel kategori. Jika pada plot log minus log survival menunjukkan kurva yang pararel, maka asumsi proporsional hazard tidak terpenuhi. Kelemahan plot log minus log survival adalah bersifat subjektif, pararel atau tidaknya kurva sangat bergantung pada cara peneliti menilai (Collet, 2003:142).Sebagai contoh menurut Vittinghoff, Glidden, Shiboski, & McCulloch (2005: 235) misalkan pada kasus pengaruh edema pada penderita Primary BiliaryCirrhosis (PBC). PBC adalah penyakit kerusakan saluran-saluran kecil
35
empedu di hati yang menyebabkan empedu menumpuk di hati. Edema merupakan penyakit dimana seseorang mengalami peningkatan volume cairan pada kaki. Terdapat pasien penderita PBC yang mengalami edema dan tidak mengalami edema. Berikut adalah gambar plot log minus log survival untuk variabel edema.
Gambar 2. 3 Plot Log MinusLog Survival Pada Variabel Edema Pada Gambar 2.3 terlihat bahwa plot log minus log survival pada pasien dengan edema dan tidak mengalami edema mendekati paralel, sehingga mengindikasikan bahwa asumsi proporsional hazard pada variabel edema terpenuhi. 2. Pengujian Asumsi Proporsional Hazard dengan Residual Schoenfeld Terdapat beberapa jenis residual antara lain residual Cox Snell, residual Martingale, residual Deviance, residual Schoenfeld, dan residual Score (Lee &Wang, 2003: 331). Skripsi ini juga menggunakan residual schoenfeld untuk mengecek asumsi proporsional hazard. Residual schoenfeld didefinisikan hanya
36
pada waktu survival yang tidak tersensor. Residual schoenfeld untuk individu ke-i pada variabel bebas ke-j adalah sebagai berikut: ๐
๐
๐๐๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ โ
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก (๐๐)) ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ exp๏ฟฝ๐ฝ๐ฝโฒ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๐๐โ๐
๐
(๐ก๐ก ) exp๏ฟฝ๐ฝ๐ฝโฒ
(2.46)
(๐๐)
dengan j=1, 2, โฆ, p; i=1, 2, โฆ, p, dimana ๐ฝ๐ฝฬ adalah MPLE dari ๐ฝ๐ฝ.
Menurut Grambsch dan Therneau (1994) scaled residual schoenfeld dapat
dihitung dari estimator kovarian matriks ๐
๐
๐๐ = (๐
๐
1๐๐ , ๐
๐
2๐๐ ,โฆ,๐
๐
๐๐๐๐ ) dinotasikan ๐๐๏ฟฝ (๐
๐
๐๐ ), yaitu sebagai berikut:
๐
๐
๐๐โ = ๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ (๐
๐
๐๐ )๏ฟฝ
โ1
๐
๐
๐๐ (2.47)
โ1 dengan ๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ (๐
๐
๐๐ )๏ฟฝ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ (๐ฝ๐ฝฬ ), r adalah semua kejadian atau jumlah waktu survival
yang tidak tersensor dan ๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝฬ ๏ฟฝ adalah estimasi kovarian matriks ๐ฝ๐ฝ, dapat ditulis
sebagai berikut:
๐
๐
๐๐โ = ๐๐ ๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝฬ ๏ฟฝ๐
๐
๐๐
(2.48)
Pada residual schoenfeld, apabila plot horizontal maka mengindikasikan bahwa
koefisien
dari
๐๐๐๐
konstan
dan
asumsi
proporsional
hazard
terpenuhi.Sebagai contoh pada kasus penyakit Cardiovaskular(CVD).Diperoleh data pasien dari sebuah wawancara pemeriksaan pada 200 peserta dalam studi kasus penyakit Cardiovaskular (CVD). Peserta berusia antara 50-79 tahun dan belum mengidap kardiovaskular pada saat pemeriksaan awal. Body Mass Index (BMI) pada penyakit CVD merupakan nilai dari salah satu sistem penilaian mengenai kondisi pasien Cardiovaskular seperti yang dikemukakan oleh World
37
Heart Federation. Ketika nilai BMI meningkat, maka risiko berpenyakit CVD juga meningkat. Pada gambar 2.4 terlihat bahwa residual schoenfeld pada variabel BMI memiliki kemiringan mendekati nol atau horizontal, sehingga menunjukkan bahwa asumsi proporsional hazard untuk variabel BMI terpenuhi. Berikut adalah gambar plot residual schoenfeld (Lee & Wang, 2003: 335).
Gambar 2. 4 Plot Residual Schoenfeld model Cox Proportional Hazard untuk Data CVD E. Interpretasi Model Cox Proportional Hazard Ketika model Cox telah terbentuk, maka langkah selanjutnya adalah melakukan interpretasi koefisien regresi. Diperlukan hazard ratio agar koefisien regresi dapat diinterpretasikan. Berdasarkan Persamaan (2.16), untuk variabel bebas ๐๐0 dan ๐๐1 dari dua individu diperoleh,
โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ0 ๐ก๐ก exp(๐ฝ๐ฝ๐๐1 ) exp(๐ฝ๐ฝ๐๐1 ) = = = ๐๐ (๐๐1 โ๐๐0 )ฮฒ , โ๐ก๐ก > 0 โ(๐ก๐ก, ๐๐0 ) โ0 ๐ก๐ก exp(๐ฝ๐ฝ๐๐0 ) exp(๐ฝ๐ฝ๐๐0 )
38
(2.49)
Persamaan (2.49) menunjukkan besarnya rasio relatif dari individu dengan faktor risiko ๐๐1 dibandingkan dengan faktor risiko ๐๐0 dari individu lain (Lee &Wang, 2003: 299), dapat dituliskan sebagai berikut:
log ๏ฟฝ
โ(๐ก๐ก, ๐๐1 ) = ๐๐ (๐๐1 โ๐๐0 )ฮฒ โ(๐ก๐ก, ๐๐0 )
โ(๐ก๐ก, ๐๐1 ) ๏ฟฝ = log๏ฟฝ๐๐ (๐๐1 โ๐๐0 )ฮฒ ๏ฟฝ โ(๐ก๐ก, ๐๐0 ) โ(๐ก๐ก, ๐๐1 ) ๏ฟฝ = (๐๐1 โ ๐๐0 )ฮฒ โ(๐ก๐ก, ๐๐0 )
(2.50)
โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ +1 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
(2.51)
log ๏ฟฝ
Nilai kovariat ๐๐๐๐ lainnya tetap dapat diinterpretasikan seperti berikut: log ๏ฟฝ
Pada Persamaan(2.51), dapat disimpulkan bahwa setiap naiknya nilai ๐ฝ๐ฝ๐๐ akan
memperbesar nilai log hazard ratio, sehingga diperoleh, โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ +1 ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
= ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ +1 โ๐๐ ๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ , โ๐ก๐ก > 0
(2.52)
Dengan demikian nilai exp ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ๏ฟฝ merupakan hazard ratio yang dapat dihubungkan dengan kenaikan nilai ๐ฅ๐ฅ๐๐ .
Jika โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ ๐๐(๐ก๐ก < ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก|๐๐ โฅ ๐ก๐ก, ๐๐), Persamaan (2.52) dapat dituliskan
sebagai berikut:
๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก < ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก๏ฟฝ๐๐ โฅ ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ +1 ๏ฟฝ ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก < ๐๐ < ๐ก๐ก + โ๐ก๐ก๏ฟฝ๐๐ โฅ ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
39
= ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ +1 โ๐๐ ๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ , โ๐ก๐ก > 0
(2.53)
Nilai exp ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ ๏ฟฝjuga dapat diinterpretasikan sebagai rasio dua
peluang bersyarat dari hazard individu yang diketahui masih hidup pada saat t. Persamaan (2.52) ekuivalen dengan berikut ini: โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ +1 ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
โ
โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
= ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ +1 โ๐๐ ๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ โ 1, โ๐ก๐ก > 0
โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ +1 ๏ฟฝ โ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐๐๐ ๏ฟฝ
= ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ +1 โ๐๐ ๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ โ 1, โ๐ก๐ก > 0
(2.54)
Oleh karena itu ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ +1 โ๐๐ ๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ โ 1 dapat diinterpretasikan sebagai presentasi
perubahan naik atau turunnya nilai hazard dari setiap naiknya nilai ๐ฅ๐ฅ๐๐ , dengan
menganggap kovariat yang lain tetap.
Terdapat 3 macam ketentuan tentang bertambahnya atau berkurangnya nilai hazard yaitu sebagai berikut: 1. Jika ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ > 0, maka kenaikan nilai ๐ฅ๐ฅ๐๐ akan memperbesar nilai hazard
atau semakin besar risiko seorang individu untuk meninggal atau mengalami kejadian.
2. Jika ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ < 0, maka kenaikan nilai ๐ฅ๐ฅ๐๐ akan memperkecil nilai hazard
atau semakin kecil risiko seorang individu untuk meninggal atau mengalami kejadian.
3. Jika ๏ฟฝ๐๐๐๐ +1 โ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฝ๐ฝ = 0, maka besar risiko seorang individu untuk hidup sama dengan risiko seorang individu untuk meninggal atau mengalami kejadian.
40
F. Kejadian Berulang Pada umumnya, analisis survival hanya memperhatikan kejadian tunggal yang dialami subjekatau setiap subjek hanya mengalami satu kali kejadian, namun tidak menutup kemungkinan bahwa kejadian yang diinginkan peneliti mungkin terjadi lebih dari satu kali dalam suatu subjek. (Hosmer & Lemeshow, 2008: 307). Kejadian berulang dalam analisis survival terdiri dari dua macam menurutKleinbaum dan Klein (2005: 335), yaitu kejadian berulang identik dan kejadianberulang tidak identik. Kejadian berulang dikatakan identik jika urutan kejadianberulang tidak menimbulkan efek perbedaan tertentu.Sebagai contoh kasus serangan jantung, baik kasus serangan jantung yang pertama, kedua, dan selanjutnya dianggap sama dan tidak mengalami tingkat keparahan yang berbeda. Kejadian berulang dikatakan tidak identik jika ada urutan kejadian berulang atau perbedaan kategori yang lain yang menyebabkan efek perbedaan tertentu pada kejadian berulang. Misal pada kasus penyakit kanker, pada kekambuhan kanker pertama, kedua, dan selanjutnya menunjukkan tingkat keparahan yang berbeda. Analisis yang digunakan pada kejadian berulang identik adalah model Counting Process yang dikembangkan oleh Anderson Gill (Andersen et al., 1993), sedangkan pada kejadian berulang tidak identik, analisis survival menggunakan pendekatan model Cox Stratifikasi salah satunya adalah model Cox Stratifikasi PWP-Total Time yang dikemukakan oleh Prentice, Wiliam dan Peterson.
41
