Bab I. Pendahuluan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Pengantar Logika dan Himpunan Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya kompak (singkat dan padat). Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif dan induktif. Penalaran deduktif bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif. Proses induktif – deduktif dapat digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelajari suatu konsep matematika.
1.1.1. Sistem Aksioma Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu sistem matematika merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika atas sekelompok unsur, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang dibuat konsisten akan menentukan suatu sistem secara utuh. Dalam proses penalaran matematika, suatu rumus (teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik sistem logika dapat dipahami berdasarkan sifat sistem dan operasi yang dirancang di dalamnya. Sistem aksioma terdiri dari empat bagian penting, yaitu istilah tak terdefinisi, terdefinisi, aksioma, dan teorema.
Matematika Dasar 1
1
Bab I. Pendahuluan
Istilah Tak Terdefinisi Istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada suatu sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi, seperti titik, garis, bidang, himpunan dan sebagainya. Istilah Terdefinisi Istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi, istilah jika berarti jika dan hanya jika.
Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut : jelas, tepat dan mempunyai suatu makna; hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari sistem. Aksioma atau Postulat Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun sistem tersebut dan tidak saling bertentangan. Teorema Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi, aksioma dan pernyataan benar lainnya.
Matematika Dasar 1
2
Bab I. Pendahuluan
Pernyataan Suatu pernyataan matematika (disingkat pernyataan) adalah rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah.Diantara benar dan salah hanya berlaku salah satu : benar saja atau salah saja dan tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan tidak didasarkan atas opini atau pendapat. Contoh 1.1 (a) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B) (b) Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B) (c) Jika x 2 9, maka x 3 (S) (d) Pada sistem bilangan riil, persamaan x 2 3x 4 0 tidak mempunyai jawab (B) (e) Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka , bukan pernyataan) (f) x 3 8 (kalimat tebuka ,bukan pernyataan)
Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut bukan pernyataan (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Salah satu dasar dalam Matematika yang harus dipahami adalah konsep sebuah himpunan. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Mahasiswa-mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika dasar, buku-buku yang dijual dalam suatu toko, hewan-hewan yang ada di kebun binatang, dan lain-lain adalah contoh suatu himpunan. Biasanya himpunan dinotasikan dengan huruf capital, seperti A, B, C, … Objek dalam himpunan disebut elemen/anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf kecil. 1.2. Sistem Bilangan Riil Kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawab, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana.
Matematika Dasar 1
3
Bab I. Pendahuluan
Bilangan Bulat dan Rasional Di antara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli, yakni 1, 2, 3, 4,5, 6, ... .
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, uang kita. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita peroleh bilangan bulat, yakni: ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...
Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan listrik, bilanganbilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu renggang untuk memberikan cukup kecermatan. Kita dituntun untuk juga mempertimbangkan hasi bagi (rasio) dari bilanganbilangan bulat yaitu bilangan-bilangan seperti
3 7 22 17 , , , 4 9 6 3 Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m , dengan m dan n adalah n
bilangan-bilangan bulat dengan n 0 , disebut bilangan-bilangan rasional. Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani Kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun
2 merupakan panjang sisi miring
sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi-sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat . jadi Demikian juga
2 adalah suatu bilangan tak rasional.
3, 5 , , dan sekelompok bilangan lain.
Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut bilangan real. Bilangan-bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar (garis real). Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas-kelas bilangan yang telah kita bahas.
menyatakan himpunana bilangan asli (bilangan bulat positif),
menyatakan himpunan bilangan bulat, Q menyatakan himpunan bilangan rasional, dan
menyatakan himpunana bilangan real. Dari pengenalan beberapa bilangan, maka Q ,
disini adalah lambang himpunan bagian; dibaca ”adalah himpunana bagian dari”.
Matematika Dasar 1
4
Bab I. Pendahuluan
Operasi Aritmetika Diberikan dua bilangan real x dan y , kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni x y dan xy . Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut ,yang kita kenal dengan sifat-sifat medan.
Sifat-sifat Medan 1. Sifat komutatif. x y y x dan xy yx. 2. Sifat asosiatif. x ( y z) ( x y) z dan x( yz ) ( xy ) z. 3. Sifat distributif. x( y z) xy xz 4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yakni 0 dan 1 yang memenuhi x 0 x dan x .1 x 5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan, yakni x , yang memenuhi x ( x) 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian , yakni x 1 , yang memenuhi x . x 1 1.
Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dengan x y x ( y )
dan
x x. y 1 y
Urutan Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah, yakni bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan (dibaca ”kurang dari ”), yaitu x y jika dan hanya jika y x adalah positif.
Tafsiran geometri bahwa x y berarti bahwa x berada di sebelah kiri y pada garis real.
Matematika Dasar 1
5
Bab I. Pendahuluan
Sifat-Sifat Urutan 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan , maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x y atau x y atau x y 2. Transitif. Jika x y dan y z , maka x z 3. Penambahan. Jika x y , maka x z y z 4. Perkalian. Misalakan z positif ,jika x y , maka x z yz , tetapi bilamana z negatif, jika x y , maka x z yz Relasi urutan (dibaca ” kurang dari atau sama dengan”) didefinisikan sebagai
x y jika dan hanya jika y x positif atau nol Selang (Interval) Beberapa jenis selang dan cara penulisan akan diperkenalkan. Ketidaksamaan mendeskripsikan selang buka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. Kita nyatakan dengan lambang ketaksamaan
. Sebaliknya,
mendeskripsikan selang tutup yang terdiri dari semua bilangan
antara a dan b, termasuk titik-titik ujung a dan b. Kita nyatakan dengan lambang
.
Tabel berikut sejumlah besar kemungkinan selang dan cara penulisannya. Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas Notasi Himpunan
No
Notasi Interval
Grafik
1
x | a x b a, b
2
x | a x b a, b
a
b
3
x | a x b a, b
a
b
4
x | a x b a, b
Matematika Dasar 1
a
a
b
b
6
Bab I. Pendahuluan
Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas No
Notasi Himpunan
Notasi Interval
Grafik
1
x | x a
a,
a
2
x | x a [ a, )
a
3
x | x b ( , b)
4
x | x b ( , b]
b b
Tanda Akar dan Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, oleh karenanya perlu terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan dengan didefinisikan sebagai x
x
x x
jika x
0
jika x
0
.
Misalnya, 5 5, 0 0, 5 ( 5) 5 . Dari definisi terlihat bahwa, untuk setiap bilangan real x , berlaku x 0. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah jarak (tak berarah). Khususnya , x adalah jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga, x a adalah jarak antara x dengan a .
Matematika Dasar 1
7
Bab I. Pendahuluan
Sifat-sifat nilai mutlak (i)
ab a b
(ii)
a b
(iii)
a b
(iv)
a b a b
a b
a b
(ketidaksamaan segitiga)
Ketidaksamaan yang Menyangkut Nilai Mutlak (i)
x a berarti a x a
(ii)
x a berarti x a atau x a Kita dapat menggunakan fakta diatas untuk menyelesaikan yang menyangkut nilai
mutlak. Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan x 4 1,5 Penyelesaian.
x 4 1,5 , berarti 1,5 x 1,5 . Kemudian masing-masing ruas ditambahkan 4, maka ketidaksamaan menjadi 2,5 x 5,5 . Jadi Himpunan penyelesaiannya dalam bentuk selang adalah 2,5, 5,5 Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan 3x 5 1 Peyelesaian. Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai 3x 5 1 atau 3x 5 1 3x 4 atau 3x 6
x
4 atau x 2 3
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah berupa gabungan dua buah selang yaitu :
2, ,4 3
Matematika Dasar 1
8
Bab I. Pendahuluan
Akar Kuadrat Misalkan a adalah bilangan real tak negatif. Akar dari a (ditulis : a ) adalah bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan a . Karena hanya ada satu bilangan tak negatif yang memenuhi definisi ini, definisi ini dikatakan well-defined Catatan Jangan mendefinisikan
a dengan a 0 sebagai penyelesaian dari x 2 a 0 ,
karena penyelesaian persamaan ini bisa bernilai negatif, yaitu x
a dan x
a.
Tetapi kita bisa mendefinisikannya sebagai penyelesaian tak negatif dari persamaan tersebut. Perhatikan, untuk setiap bilangan non negatif a , berlaku
a2
a 0
dan
a.
Sifat-sifat Akar kudrat (i) (ii)
ab
a
b
a b jika dan hanya jika
a
b
Contoh 3. Di antara ketiga bilangan real
2 1 1 , 2 , 3 , bilangan manakah yang 3 2 3
terbesar dann terkecil? Untuk menjawab pertanyaan ini, kuadratkan saja ketiga bilangan tersebut. Kuadrat masing-masing bilangan tersebut adalah 4 9 , 2 4 , 3 9 . Karena 3 9 4 9 4 8 , maka
1 1 3 2 3 2. 3 2 Berikut kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat bahwa
Matematika Dasar 1
x2
x.
9
Bab I. Pendahuluan
SOAL-SOAL 01. Bilangan-bilangan seperti
1 7 dan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua 2 4
bilangan bulat disebut bilangan ................. ? 02. Apa yang disebut bilangan real? 03. Sederhanakan sesederhana mugkin berikut ini:
(iv)
1 2 1 2
3 4 3 4
7 8 7 8
(v)
7 1 4 2
(i)
4 – 2(8 – 11) + 6
(ii)
5 1 7 13
(iii)
2 14 2 1 5 (vi) 1 21 2 2 2 5 3
2
2
04. Cari nilai masing-masing yang berikut ; jika tak terdefinisi katakan demikian. a. 0.0
b.
2 0
d.
0 0
e. 0 6
06. a. Misalkan a 0 , perlihatkan bahwa b. Perlihatkan bahwa
c.
0 15
f.
60
a tidak mempunyai arti (tak terdefinisi) 0
0 tidak mempunyai arti. 0
07. Nyatakan apakah masing-masing yang berikut benar atau salah a. 3 7 c. 3 e.
6 34 7 39
Matematika Dasar 1
22 7
b. 1 10 d. 5 f.
26
5 44 7 59
10
Bab I. Pendahuluan
08. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis real. a. 1, 1
b. 4, 1
c. 4, 1
d. 1, 1
e. 1,
f.
, 0
09. Tuliskan dalam notasi selang sebagai berikut : a.
x : 1 x 5
b.
x : x 2
10. Dalam soal berikut carilah himpunan peyelesaiannnya (i)
x 1 4
(iv) 2 x 7 3
Matematika Dasar 1
(ii)
x 2 5
(iii)
3x 4 8
(v)
x 2 6 3
(vi)
3x 1 4 5
11
