BAB I ALJABAR. Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

1

BAB I ALJABAR

Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar

A. DASAR-DASAR OPERASI BILANGAN 1.Hukum-Hukum Operasi Bilangan Hukum Penjumlahan dan perkalian Komutatif a+b =b+a a.b = b.a Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) a(b.c) = (ab)c Distributif terhadap perkalian : a ( b+c) = ab + ac ( b+c)a = ba + ca a ( b-c) = ab - ac ( b-c)a = ba – ca Hukum-Hukum Perpangkatan 1. a p a q

ap 2. q a

ap ap

q

a

3. (a p ) q

a pq

4. ( ab) p

a pbq

a b

p

1

q

q p

ap ; jika b bp

jika a

0

0


5. a 0

2

1; a ± 0 1 ap

p

6. a

Contoh: 1. a 2 .a

5

a2

( 5)

2. a 6 : a 2

a6

2

1 a3

3.

a

4. ab

3

a

3

a4

3

(ab).(ab)(ab)

a 3b 3

2. Akar Akar pangkat ke n dari a ditulis Jika

n

n

a.

a = b maka bn = a. Dengan kata lain

n

a akan menghasilkan suatu bilangan, jika

bilangan tersebut dipangkatkan n maka hasinya a. Aturan akar sama dengan aturan pemangkatan karena,

n

a

a

1 n

Hukum Pengakaran Jika a dan b adalah genap dan positip, maka: 1.

n

a

2.

n

3.

n

4.

n

5.

m n

n

ab a b am a

a

(n a )(n b ) n

a

n

b n

mn

a

m

a

Contoh Menyederhanakan bentuk akar 1.

75

25. 3

5 3


2.

3

( x 1) 3 ( y 2) 6

3

( x 1) 3

3

6

( y 2)

(33 ) 4

3

(x 1 ( y 2) 2

3.

3

27 4

4.

3

8x 5 y 6

3

(2 3 x 3 y 6 )( x 2 )

5. 4

7a 3 y 2 8b 6 x 3

4

7a 3 y 2 2b 2 x . . 2 3 b 6 x 3 2b 2 x

6

2 3 2 3 5 3 5 2

3

34

81 2 xy3 x 2

14a 3 y 2 b 2 x 2 4 b8 x 4

4

18

12

(3 5) 2

7. 3 4 ( x 2 y) 2

xy

4

3 4 x5 y3 2

8. 9.

3

4 . 2

3

5

3

10.

3

3

3

5 3

22 . 2 3

5 32 . 3 32

5

5

2 3

2

2 3 5

2

2 1 2

1

45 3 .

(2 3 2) 12 2

75

50

( 2 5) 3

8 2

7 3

26

26 2

3 4 xy 3

2 3 .2 2 3

1 4 14a 3 y 2 b 2 x 2b 2 x

4 3 6

23

26

7

26

7

13 45 3 2 3

2

2 3

2

5

(2 3 2) 10

(2 3

2) 5

3. Logaritma. Jika bx = n dimana n adalah bilangan positif dan b bilangan positif bulat yang tidak sama dengan 1, maka eksponen x dalah logaritma n dengan bilangan pokok b, dan ditulis.

x

b

log n

bx = n dengan x

b

eksponensial, dan x

log n adalah merupakan hubungan ekivalen , bx = n disebut bentuk b

log n disebut bentuk logaritma.

Hukum-hukum Logaritma.


4

Jika m dan n adalah bilangan positif dan b ≠ 1, maka: 1.

b

log mn = blog m + blog n

2.

b

log

3.

b

log mp = p. blog m

4.

b

log 1 = 0

5.

b

log b = 1

6.

b

log a =

7.

b

m b = log m – blog n n

a

1 logb c

log m n =

c

log m n c=≠1 log m n

8. (blog c)(clog d) = blog d ; c = ≠ 1 Catatan 10

log x ditulis log x

Contoh 1. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log 22 – log 6 + log 32 = log 4 – log 6 + log 9 = log

4 .9 6

= log 6 2. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log x log 22 – log 6 + log 32 = log x log 4 – log 6 + log 9 = log x log

4.9 6

log x

log 6 = log x x=6


5

Contoh Penerapan

1. Perbandingan tegangan kerapatan (Tt) dan kelendutan (Ts) suatu sabuk yang menggerakkan puli, dinyatakan dengan rumus gesekan antara sabuk dan puli, = 60 N;

= 0,2 dan

Tt Ts

2,718

, dimana

= koefisien

= sudut putaran dalam radian. Tentukanlah Tt ketika Ts

= 120 0

Penyelesaian: = 1200 =

1200 .2π rad 2,094 radian 3600

= 2. 2,094 = 0,4188 Tt 60

2,7180, 4188

Kedua ruas dinyatakan ke dalam logaritma. Maka: log

Tt 60

log 2,7180, 4188

Log Tt – log 60 = 0,4188 log 2,718 Log Tt – 1,7782 = 0,4188 . 0,4343 Log Tt = 1,9601 Tt = antilog 1,9601 = 91,22 91 Jadi tegangan kerapatan sabuk = 91 N 2. Penyimpangan Energi dalam kapasitor dinyatakan dengan E

1 CV 2 joule . 2

Hitunglah Energi, jika kapasitansi C = 5 x 10 -6 farad dan tegangan V = 240 v Penyelesaian:

E

1 CV 2 2

E

1 5.10 6. 2402 2

E = 1440. 10-4 E = 144. 10-3 E = 0,144 Joule

1 5.10 6. 242.10 2 2


Latihan Soal-Soal

1. Hitunglah a. 163/4 b. 27 c. 8

2 3

2

1 3

d. 16

1 3

e. (25 x 2-1) : 22 f. 3-1 ( 33 + 32) g.

( 2) 3 .2 3 3(2 2 ) 2

3( 3) 2 h. 23 57 i. 4 5 j.

3 pq 3 pq

4( 2) 3 32

210 8 2 ( 2) 3 q

:

p

4( 3) 4

32 p 32 q

k. 2log 32 l. log 4 10 m. 3log

1 9

3. Tentukanlah harga x dari: a.

2

log x = 3

b. Log x = -2 c.

3

d.

4

e.

(x-1)

log (2x + 1) =1 log x3 =

3 2

log (4x - 4) = 2

6


7

4. Tentukanlah harga y dari: a. 2 log y = log 16 b. 3 log y + 2 log 2 = log 32 c.

3

log y = 3log 4 – 2. 3log x

d.

2

log (30 – y) = 2log (30 – 2t)

5. Ubahlah ke dalam bentuk yang paling sederhana a.

3

640

b.

2 50a 2 5

c.

a 75a 2 b 3 b

d. 3

3

2 3

e. 3

4

4 9 4 45

d. 60 6. Hitunglah :

a. 2 54 6

2 3

96

b. 2 150 4 54 6 48 = c. 2 3 d. e.

f.

g.

6 3 3 3 6 =

3

5

2 3 1 3

2

6

7

=

10

12

18

x y x y 2x 2 y 2 3

3

=

xy 3

5

7 =


5

h.

8

3

y3

x

4

3

z2

x2

4

i.

-2

3

=

y y5

x

8

1 z = z

7. Dari hasil suatu hasil perhitungan ilmu ukur didap[atkan panjang x, y, dan z dari sisi sebuah segitiga sebagai berikut.

x

14 5 8 3

8

; y

5

1 3 8

dan z

2 5 1

2

a. Sebutkan sisi terpanjang b. Apakah segitiga tersebut siku-siku.

9.

Hitunglah pernyataan berikut, jika diberikan x = -2; y = 4; z = 1/3; a = -1; dan b = ½ a. 2xy 6az 3y 2 4x b. ax by

c.

x 2 y (x y) 3x 4y

y d. x

3

a 4 b

2

xy z2

10. Rumus-rumus berikut merupakan terapan praktis dari ilmu keteknikan. Selesaikanlah sampai 3 angka di belakang koma. a. S = A ekt jika A = 300; k = 0,05; t = 14 b. T1 = T2 e

jika T2 = 80;

= 0,4;

c. g

4π 2 L jika L = 3,5 ; T = 3,4 T2

d. S

55 d f

0,14 0,42

jika d = 3,5;

f = 0,2

5 6


p1 p2

e. K

f.

S

g. r

h. C

A 1

n 1

9

n 1 n

jika p1= 2; p2 = 4; n = 1,4 r 100

n

jika A = 500; r = 6; dan n = 4

b jika n = 9; b = 600; a = 24 a

d

p2

4D 2 4

d2

jika d = 4; p = 10; D = 22

10. Hilangkan simbol-simbol pengelompokan dari tiap-tiap pernyataan berikut dan sederhanakan hasilnya dengan penggabungkan suku-suku yang sejenis. a. (x + 3y –z) – ( 2y – x - +2z) + (4z – 3x +2y) b. 3(x2 – 2yz + y2) – 4(x2 – y2 – 3yz) + x2 y2 c. 3x + 4y + 3{x – 2(y – x) – y} d. 3 – {2x –[1 – ( x + y )] + [x – 2y]}

11.

Jumlahka pernyataan aljabar dari tiap-tiap kelompok berikut. a. 2x2 + y2 – x + y; 3y2 + x – x2 ; x – 2y + x2 - 4y2 b. a2 – ab + abc + 3c2 ; 2ab + b2 - 3bc – 4c2; ab – 4bc + c2 – a2; a2 + 2c2 + 5bc – 2ab c. 2a2bc – 2cb2 + 5c2ab; 4b2ac + 4 bca2 – 7 ac2b; 4abc2 – 3a2bc – 3ab2c; b2ac – abc2 – 3a2bc

12. Kurangkan pernyataan aljabar yang kedua dari yang pertama. a. 3xy – 2yz + 4zx; 3zx + yz – 2xy b. 4x2 + 3y2 – 6x + 4y -2; 2x – y2 + 3x – 4y + 3 c. r3 – 3r2s + 4rs2 – s2; 2s3 + 3s2r -2sr2 -3r3


10

13. Tentukan hasil kali pernyataan aljabar di tiap-tiap kelompok berikut. a. -4x2y; 3xy2 – 3xy2 – 4xy b. r2s + 3rs3 – 4rs + s3; 2r2s4 c. y – 4; y + 3 d. x3 + x2y + xy2 + y3; x – y e. x2 + 4x + 8; x2 – 4x + 8 f. 3r –s – t2 ; 2s + r + 3t2 g. 3 – x – y; 2x + y + 1; x – y

14. Kerjakanlah pembagian yang doberikan berikut.

18r3s 2 t 4r 5 st 2

a. b. c.

4ab 3 4x 3

3a 2 bc 12a 3 b 2 c 4 2ab 2 c 3 5x 2 3x 2 x 1

1 x2 x4 d. 1 x 2y3 y 5 3y 2 e. y 2 3y 1 f.

4x 3 y 5x 2 y 2 x 4 2xy 3 x 2 2y 2 3xy

15. Kerjakan operasi berikut dengan menggunakan harga-harga x = 1; y = 2 a. (x4 + x2y2 + y4) ( y4- x2y2 + x4) b.

x4

xy 3 x 3 y 2x 2 y 2 xy x 2 y 2

y4


11

B. HASIL KALI KHUSUS Beberapa hasil perkalian yang sering terjadi dalam matematika, diberikan sebagai berikut. Mahasiswa harus mengenal dan pembuktiannya dapat ditunjukkan dengan mengalikan bentuk tersebut.

1. a(c + d) = ac + ad 2. (a – b)(a + b) = a2 - b2 3. (a + b)(a + b) = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4. (a - b)(a - b) = ( a - b)2 =

a2 - 2ab + b2

5. (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab 6. (ax + b)(cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd 7. (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd 8. (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 9. (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 10. ( a - b )( a2 + ab + b2 = a3 – b3 11. ( a + b )( a2 - ab + b2 = a3 + b3 12. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2 ac + 2 bc 13. Bentuk – bentuk berikut dapat dibuktikan dengan perkalian (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 (a – b )(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 – b4 (a – b )(a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4 ) = a5 – b5 (a – b )(a5 + a4 b + a3b2 + a2b3 + ab3 + b5 ) = a6 – b6

Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum: (a – b )(an-1 + an-2 b + an-3b2 + ..............+ abn - 2 + b n

-1

) = a n – bn

n adalah sembarang bilangan positif ( 1, 2, 3, ..........) Dengan cara yang sama didapatkan: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b )(a4 - a3 b + a2b2 - ab3 + b4 ) = a5 + b5 (a + b )(a6 – a5 b + a4b2 – a3b3 + a2 b4 – a b5 + b6 ) = a7 + b7

............. (14)


12

Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum: (a + b )(an-1 - an-2 b + an-3b2 - ..............- abn - 2 + b n

-1

) = a n + bn

............. (15)

n adalah sembarang bilangan ganjil( 1, 3, 5, 7, ..........)

Contoh Penerapan. 1. (3x +5y)2 = (3x)2 + 2(3x)(5y) + (5y)2 = 9x2 + 30 xy + 25y2 (sifat 3) 2. (7x2 - 2xy)2 = (7x2)2 – 2 (7x2)( 2xy) + (2xy)2 = 49x2 – 28 x3y + 4x2y2 (sifat 4) 3. (x + y + 3)(x + y - 3) = (x + y)2 – 32 = x2 + 2xy + y2 -9 4. (2x – y – 1)(2x – y + 1) = (2x – y )2 – 12 = 4x2 – 4xy + y2 – 1 5. ( xy – 2)3 = (xy)3 – 3(xy)2.2 + 3 xy. 22 - 23 = x3y3 – 6x2y2 + 12 xy – 8 6. (x – 1)( x2 + x + 1) = x3 -1 7. (2x + 3y + z)2 = (2x)2 + (3y)2 + z2 + 2 (2x)(3y) + 2 ( 2x)z + 2(3y).z = 4x2 + 9y2 + z2 + 12 xy + 4 xz + 6 yz 8. ( x + y + z + 1)2 = [(x + y) + ( z + 1)]2 = (x + y)2 + 2(x + y) ( z + 1) + ( z + 1)2 = x2 + 2xy + y2 + 2(xz + x + yz + y) + z2 + 2z + 1 = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2x + 2yz + 2y + z2 + 2z + 1 9. (u – v)3 (u + v)3 = {(u – v)(u + v)}3 = ( u2 – v2)3 = (u2)3 - 3 (u2)2 v2+ 3 u2(v2)2 –(v2)3 = u6 – 3 u4v2 + 3u2v4 – v6 10. (x2 – x + 1)2( x2 + x + 1)2 = {(x2 – x + 1)( x2 + x + 1)}2 = {(x2 + 1– x)( x2 + 1+ x)}2 = {(x2 + 1)2– x2)} 2 = (x4 + 2x2 + 1 – x2)2 =( x4 + x2 + 1)2 = (x4)2 +( x2)2 + 12 + 2 x6 + 2x4 + 2x2 = x8 + 2x6 + 3x4 + 2x2 +1


Latihan Carilah tiap – tiap hasil kali berikut 1. a. (2st3 – 4rs2 + 3s3t)(5rst2) b. (5xy + 4)(5xy – 4) c. ( 3 – 2x2)2 d. (xy + 6)(xy - 4 ) e. (2t2 + s)(3t2 + 4s) f. (x2 + 4y)(2x2 y – y) g. (r + s – 1)( r + s +1) h. (x – 2y +z)(x - 2y – z) i. (x2 + 2x +4)(x2 – 2x + 4) 2.

a. (2x + 1)3 b. (2x + 2y)3 c. (r - 2s)3 d. (x2 -1)3 e. (ab2 – 2b)3 f. (t – 2)(t2 + 2t + 4) g. (z – x)(x2 + xz + z2) h. (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2)

3. a. (x – 2y + z)2 b. (s – 1)(s3 + s2 + s + 1) c. (1 + t2)(1 - t2 + t4 – t6) d. (3x + 2y)2(3x – 2y)2 e. (x2 + 2x +1)2(x2 - 2x + 1)2 f. (y -1)3(y + 1)3 g. (u + 2)(u – 2)(u2 + 4)(u4 + 16)

4. Faktorkanlah Bentuk Berikut a. 3x2y4 + 6x3y3 =

13


14

b. 12s2t2 – 6s5t4 + 4s4t = c. 4y2 – 100 = d. x2y2 – 8xy +16 = e. 4x3y + 12x2y2 + 9xy3 = f. m4 – 4m2 – 21 = g. 4s4t – 4s3t2 – 24s2t3 = h. 36z6 + 6a2b2 + 3b4 = i. y3 + 27 = j. x3y3 – 8 = k. 8x4y – 64xy4 =

5. Sederhanakanlah Pecahan Berikut

a.

b.

x 3 y y3x = x 2 y xy 2 x2

4xy 3y 2 = y2 x 2

c.

r 3s 3r 2 s 9rs = r 3 27

d.

(8xy 4y 2 ) 2 = 8x 3 y y 4

e.

6 x 12 4 xy 4 x

y2 1 = 2 3x x 2

ax ab cx bc g. a2 x2

x2 x2

2x 2 5x 2 h. = 2x 1 3

i.

3 y 2

2 y 2

y y

2

4

2ax a 2 = (b a)x ab


j.

3x 6 2 4x 12x 16

k.

a a

b b 1

a a a a

2x 5 6x 2 6

b b b b

2 y y 2 y 2

1

l.

3y

y

m. 1

n.

2y y 2 = 4 y2 4

2

2

2

1 2

o.

2 x2 1

1 2

1 2a 1 3 2a 1

15

3x 2 3 8x 2 10x 32


16

BAB II MATRIK DAN DITERMINAN

Kompetensi Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1.Melakukan operasi hitung pada matrik 2. Mencari invers sebu ah matrik 3.Menyelesaikan sebuah sistem persamaan lenier dg menggunakan matrik 4. Menulis bentuk determinan ordo 2 6. Menghitung determinan ordo 2 7. Menghitung determinan nan ordo 3 dengan cara sarrus 8. Menentukan minor dan kofaktor matrik 9. Menghitung determinan ordo n dengan mengunakan Minor dan kofaktor 10.Menyelesaikan sistem liner n variabel dengan determinan

A. Matriks Difinisi: Matriks adalah suatu kumpulan dari pada angka-angka atau huruf-huruf yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbrntuk empat persegi panjang, di mana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan barisbaris. Sebuah matriks dinyatakan dengan huruf besar sedang elemen atau anggotanya apabila merupakan huruf dinyatakan dengan huruf kecil. Apbila sebuah matrik A terdiri dan m baris dan n kolom, maka A bisa ditulis sebagai berikut:


Amxn

a11

a12

...

a 21 a31

a 22 a32

... a 2 n ... a3n

. . a m1

. . am2

. . . . ... a mn

17

a1n

(dibaca matriks A ; m kali n, atau A bigitu saja) aij merupakan elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j , i dan j dinamakan index yaitu petunjuk letak ( posisi) bagi setiap elemen. Misalnya:

A

1 3 1 0 2 5 3 2 4 7 5 4

a12 = 3, a22 = 5, dan a43 = 7

6 8 7 6 1. Ordo matriks Ordo suatu matriks A adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks A. Jika matrik A memiliki m baris dan n buah kolom, maka matrik A dikatakan matriks berordi m x n dan ditulis A mxn Contoh

A

1 3 1 0 2 5 3 2 4 7 5 4 6 8 7 6

adalah matriks berordo 4x4


18

2. Jenis-jenis Matris Matriks kwadrad ( Squre Matriks), ialah matriks di mana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom ( m = n ). Apabila m = n maka matrik A disebut matris kwadrat ordo n atau matriks jajaran genjang . Misalnya: A

2 4 3 5 2 1

B

3 1

3 2 4 4 4 5 5 3 1 2 3 4

Matriks identitas (Identity Matrix), Ialah suatu matrik di mana-mana elemen-elemennya mempunyai nilai 1 pada diagonal pokok dan 0 pada tempat lain di luar diagonal pokok. Jadi kalau matrik A = (aij), i = j = 1, 2, 3, …, n dan apabila : aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i

j

maka matriks adalah matriks Identitas dan biasa dinyatakan dengan In Misalnya:

I4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Matriks Nol ( Null Matrix), ialah suatu matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol dan biasanya dinyatkan dengan simbul O Contoh:

O

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


19

Tanspose Dari Suatu Matriks . Difinisi: Transpose dari suatu matriks A =(a ij) ialah suatu matriks baru yang mana elemenelemennya diperoleh dari elemen-elemen matrik A dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru. , dengan kata lain baris ke –i dari matrik A menjadi kolom ke j dari matrik baru. Biasanya transpose dari Maytrik A dinyatkan dengan A/ ( dibaca A aksen) dan ditulis A/ =(a /ij) =(aji) Contoh:

1. A

a11

a12

a13

a14

a 21

a 22

a 23

a 24

a31

a32

a33

a34

a 41

a 42

a 43

a 44

maka

1 2 2 2. B

3 4 3

A

a11

a 21

a31

a 41

a12

a 22

a32

a 42

a13

a 23

a33

a 43

a14

a 24

a34

a 44

1 3 5 maka

5 6 5

B

2 4 6 2 3 5

3 Operasinal Matriks. Difinisi: Dua matrik A dan B dikatakan sama yaitu A = B apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama ( aij = bij ) untuk semua nilai i dan j , dimana : aij = elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j. bij = elemen matriks B dari baris ke i dan kolom ke j. Apabila A tidak sama dengan B ditulis A beberapa nilai i dan j .

B ini berarti aij

bij untuk semua

Penjumlahan Matriks. Kalau matriks A = (aij) dengan m baris dan n kolom, dan matriks B = (b ij) juga dengan m baris dan n kolom, dijumlahkan (dikurangkan) maka diperoleh matriks C =(c ij) dengan m baris dan n kolom dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen matriks A dengan elemen matriks B yaitu : c ij = aij untuk semua i dan j, dimana cij merupakan elemen dari baris ke i dan kolom ke j.

bij,


A B

a11

a12

a 21

a 22

. .

. .

.... a1n a2n . . . . . . . ... a mn

. . a m1 a m 2

20

b11

b12

b21

b22

. .

. .

. . bm1 bm 2

.... b1n b2 n . . . . . . . ... bmn

c11

c12

c 21

c 22

. .

. .

. . c m1 c m 2

.... c1n c2n . . . . . . . ... c mn

C

Contoh: A

1 2 2 3 4 5 5 6 7

1 2 5 4 6 7 6 8 9

B

1 2 2 3 4 5 5 6 7

A B

1 2 5 4 6 7 6 8 9

2 4 7 7 10 12 11 14 16

Pengurangan Matriks. A – B = A +(-1)B Contoh: A

1 2 2 3 4 5 5 6 7

A B

A ( 1) B

B

1 2 5 4 6 7 6 8 9 1 2 2 3 4 5 5 6 7

1 4 6

2 6 8

5 7 9

0

0 1 1

2 2

3 2 1

Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan matriks B, kedua matriks tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama atau dimensinya sama Hukum assosiatif dan komutatif berlaku juga bagi penjumlahan matriks> a. A + B = (aij+bij)=(bij+aij)= B + A. b. (A + B ) + C = ((aij + bij) +cij) = (aij + (bij +cij)) = A + (B + C). Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k,


21

Contoh:

A

4 2 8 3

dan k 2 maka 2 A

2

4 2 8 3

8 4 16 3

Perkalian Matriks Dengan Matriks. Difinisi: Apabila Amxn = (aij) yaitu matriks Bnxp = bij matriks dengan n baris dan p kolom, kemudian dengan perkalian matriks A x B = A.B = AB (tampa tanpa tanda hasil kali), kita maksudkan suatu matriks Cmxp; (AB=C), yaitu matriks dengan m baris dan p kolom, di mana elemen C dari baris ke i kolom ke j diperoleh dengan rumus: cij= ai1b1j + ai2b2j + …+ ainbnj n

ait btj dimana i = 1, 2, 3,……, n dan j = 1, 2, 3, ….,p

cij t 1

AB = C

a11

a12

a 21

a 22

.

.

. .

. .

a m1

am2

.... a1n a2n .

b11

. .

.

.

.

. .

. .

. .

a mn

bn1

bn 2

. ...

b12

b21 b22

.... b1 p . bp

c11

c12

c 21

c 22

. .

. .

.

.

. ...

. bnp

. .

. .

c m1

cm 2

.... c1 p c2 p . . .

. .

. ...

. c mp

C

Jika diperhatikan benar-benar, maka agar hasil kali AB bisa dicari, syarat utama yang perlu dipenuhi ialah bahwa jumlah kolom dari matriks A, atau matriks pertama, harus sama dengan jumlah baris matriks B atau matrik kedua. Jadi dalam menentukan apakah dua buah matriks bisa dikalikan atau tidak dan sekaligus untuk menentukan jumlah baris dan dan kolom dari hasil kalinya, kita harus yakin benar bahwa jumlah kolom dari matriks sebelah kiri ( matriks A) harus sama dengan jumlah baris dari matriks sebelah kanan (matriks B). Am x n Bn x p = Cm x p


22

Contoh: 1. A AB

2. A AB

3. A

a11

a12

a 21

a 22

dan B

b12

b21

b22

a11

a12

b11

b12

a11b11

a12 b21

a11b12

a12 b22

a 21

a 22 b21

b22

a 21b11

a 22 b21

a 21b12

a 22 b22

1 3 2 4

1 3 2 1 2 4 3 5

3 0 1 1 3 0 1 1 5 2

2 1 3 5

dan B

dan B

5 2 AB

b11

4 7 6 8

1.2 3.3 1.1 3.5 2.2 4.3 2.1 4.5

11 17 16 22

C

4 7 6 8 3.4 0.6 3.7 0.8 1.4 1.6 1.7 1.8 5.4 2.6 5.7 2.8

12 21 10 15 32 51

Perlu juga disebutkan disini bahwa perkalian matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB ≠ BA, didalam hal khusus dimana AB = BA maka kedua matriks itu dikatakan Commute . Suatu hal yang perlu diperhatikan ialah bahwa didalam mengalikan dua buah matriks harus benar-benar diketahui matriks mana yang berada di sebelah kiri mana berada disebelah kanan tanda perkalian. AB memang tidak selalu sama dengan BA.

Perkalian Matriks Dengan Scalar Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k, Contoh: Jika A

2 3 4 dan B

5 3 1


23

AB

5 2 3 4 3 1

2.5 3.3 4.1

BA

5 3 2 3 4 1

10 15 20 6 9 12 2 3 4

26

Hasil kali diatas AB ≠ BA.

Latihan

1. Diketahui Matriks:

A

3 4 5 8 7 6

dan B

9 8 4

3 6 4 4 2 5 5 7 3

Carilah A + B dan A – B

2 Diketahui Matriks A

1 3 2 4 2 4 , 2 1

B

8 3 5 1 4 7

5

dan C

2 6 6

2 4 6

Carilah: a. A + ( B + C ) b. ( A + B ) + C c. A + B + C

3. Dikethui matriks

A

2 4 , 3 6

Carilah: a. A (BC) b. (AB)C

5 4 1 6

dan C

4 1 2 3 5 1

8 2 4 3


24

3 Diketahui Matriks 8 4 5 7 6 4

X

dan Y

3 7 2

4 6 2 3 4 1 1

2 3

Carilah: a. 2( X + Y ) b. ( X + Y )2 c. 2X + 2Y 5. Diketahui Matriks:

4 3 5 6

A

dan

B

3 2 1 2

Carilah: a. ( A + B ) 2 b. A2 + 2 AB + B2

6. Diketahui Matriks 3 4

X

Y

5

3 9 8

Carilah: a. X.X/ ( X/ adalah transpose dari X ) b. X/X c. XY/ d. X/Y

8. Carilah AB jika A dan B A

1 2

0 2 1 3

4

1 8

B

11 4

2 0

2 1

6

1

1


9. Jika A

10. Jika

2

2

4

1

3

4 Tunjukkan bahwa A2 = A

1

2

3

1 5

1 2

3 6

2

1

3

Carilah A3

11. . Diketahui matrik A

12. Jika

x y

3 1

2 2 p dan B q 5

2 a a dan 1 b b

13. Bila determinan matrik A

14. Jika A =

25

2 5

x

4 2q , jika A = B tentukan nilai p 3 5

3 p x maka carilah 2 q y

x 2 x 2 x 2

2 maka nilai x

1 0,5 1 2 dan B = , tentukanlah: 0,5 1 2 3

a) B-1 b) B. A c) B-1.A

2 3 5 15. Jika A = 1 7 4 , bentuklah matriks tranpose AT dan tentukanlah AT.I 8 0 6


26

B. SIFAT-SIFAT ELEMENTER DARI DETERMINAN

1. Determinan dari suatu matriks Kwadrat.

Detrminan yang paling mudahialah determinan dari suatu matriks yang mempunyai 2 baris dan 2 kolom. Determinan dari matriks A ditulis /A/ atau det (A).

Jika A

a11

a12

a21

a22

maka det( A)

a11a22

a12 a21 ( yaitu hasil kali elemen-elemen yang

berada di diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen yang berada di dagonal dari kanan atas ke kiri bawah).

4 3 2 5

Misalnya: Jika A

maka det( A)

4.5 3.2 14

Salah satu kegunaan dari determinan adalah untuk menyesaikan sistem persamaan linier. Untuk dua persamaan linier dengan dua variabel dapat diselesaikan dengan determinan matriks ordo 2 Misalanya: Untuk persamaan

a1 x b1 y

c1

a2 x b2 y

c2

ditulis

a1

b1

x

c1

a2

b2

y

c2

AX

C

Matriks A disebut matriks koefisien dan C disebut matriks konstanta Harga x dan y dapat dihitung sbb:

x y

det( Ax ) det( A) det( Ay ) det( A)

det( A)

a1

b1

a2

b2

dan det( Ax )

c1

b1

c2

b2

dan det( Ay )

a1

c1

a2

c2

Misalnya carilah harga x dan y pada sistem persamaan berikut:

4x 2 y 3x 2 y

4 2


27

Pennyesaian dengan determinan:

4x 2 y 3x 2 y det(A)

det( Ax ) x y

4 2

4 2 x 3 2 y

4 2 3 2

4.2 2.3

4 2 2 2

det( Ax ) det( A) det( Ay )

4.2 2.2

4 2

2

4

dan det( Ay )

4 4 3 2

4.2 4.3

2

2

4 2

det( A)

4 2

2

2. Mencari Determinan Dengan Menggunakan Kofaktor. Difinisi: Kalau dari matriks A dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke i dan kolom ke j, maka determinan dari matriks kwadrat dengan ( n-1) baris dan (n – 1) kolom, yaitu sisa matrik yang tinggal disebut matriks Matriks minor dari elemen aij. Dan dinyatakan dengan Aij Apabila setiap minor ditambahkan tanda + (plus) atau – (minus) sebagai tanda pada determinant dan selanjutnya dinyatakan dengan simbul: (-1)i+j Aij , selanjutnya disebut Kofaktor dari elemen aij dan biasanya dinyatkan dengan Kij. Jadi kofaktor dari elemen aij yaitu Kij = (-1)i+j Aij . Ini berarti setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri. Nilai determinan dari matriks A sama dengan penjumlahan dari hasil kali semua elemen daru sesuatu baris (kolom) dari matriks A tersebut dengan kofaktor masing-masing, yaitu: 1. Dengan menggunakan elemen-elemen dari baris ke-i Det(A) = A = ai1Ki1 + ai2Ki2 + ……+ ainKin n

Det ( A)

ait K it ,

i 1, 2, 3,......., n

t 1

2. Dengan menggunakan elemen-elemen dari kolom ke j Det(A) = A = a1jK1j + a2jK2j + ……+ anjKnj n

Det ( A)

atj K tj , t 1

j 1, 2, 3,......., n


28

Contoh: 1. Tentukan determinan dari matriks 1 A

2 4

5 1

2

3 2 1

(i).Dengan menggunakan baris ke 1 ( i = 1). det( A) A a11 K11 a12 K12 a13 K13 K 11

( 1)1 1 A11

K 12

( 1)1

2

1 2 2 1 5 2 3 1

A12

1 4

3

(5 6) 1

5 1 10 3 7 3 2 Det(A)=1.(-3) + 2(1) + 4(7) = -3 +2 + 28 Det(A) = 27 ( 1)1 3 A13

K 13

(ii). Dengan mepergunakan kolom ke 1 ( j = 1) det( A) A a11 K11 a 21 K 21 a31 K 31 K 11

( 1)1 1 A11

K 21

( 1) 2 1 A21

1 2 2 1 2 4 2 1

1 4

3

(2 8)

6

2 4 4 4 0 1 2 Det(A)=1.(-3) + 5(6) + 3(0) = -3 +30 + 0 Det(A) = 27 ( 1) 3 1 A31

K 31

3. Carilah Determinant dari matriks

A

3 4 2 7 2 3 3 2 5 7 3 9 2 3 2 3


29

Penyelesaian: Dengan menggunakan baris pertama ( i = 1 ) det( A) A a11 K11 a12 K12 a13 K13 a14 K14 3 3 2 1 1

7 3 9 3 2 3

3

3 9 2 3

( 1)

K 11

3(9 18) 3(21 27) 2(14 9) 27 18 10 1 2 3 2

K 12

( 1)

1 2

5 3 9 2 2 3

2

3 9 2 3

3

2

7 3 3 2

5 9 2 3

2

5 3 2 2

[2(9 18) 3(15 18) 2(10 6)] ( 18 9 8) 1

K 12

2 3 2 K13

3

7 9 3 3

K 11

( 1)

1 3

5 7 9 2 3 3

2

7 9 3 3

3

5 9 2 3

2

5 7 2 3

[2(21 27) 3(15 18) 2(15 14)] K13

( 12 9 2)

1

2 3 3 K 14

( 1)1 4 5 7 3 2 3 2

K 14 det( A)

2

7 3 3 2

3

5 3 2 2

3

5 7 2 3

[2(14 9) 3(10 6) 2(15 14)] (10 12 3) 1 A

a11 K11

a12 K12

a13 K13

a14 K14

det(A) = 3(1) + 4(1) + 2(-1) + 7(-1) det(A) = -2 ( Cobalah dihitung dengan menggunakan kolom pertama (j = 1)


30

3. Sifat-Sifat Determinant. Kadang-kadang determinant tingkat n ditulis: a11 a12 a13 .... a1m a 21

a 22

a 23

.... a 2 m

a31

a32

a33

.... a3m

...

...

...

.......... .

... a n3

.......... . .... a nm

... ... a n1 a n 2

Sifat-sifat determinant yaitu: I.

Pertukaran baris dengan kolom dari determinat tidak mengubah nilai determinant a1 b1 c1 a1 a 2 a3

II.

a2

b2

c2

b1

b2

b3

a3

b3

c3

c1

c2

c3

Apabila setiap elemen disebuah baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai determinan adalah nol. a1 0 c1 a2

0 c2

a3

0 c3

0

III. Pertukaran sembarang dua baris ( atau kolom) akan mengubah tanda determinant. a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2

b2

c2

a2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1

IV Apabila dua baris (atau kolom) determinan identik, maka nilai determinant adalah nol. a1 b1 a1 a2

b2

a2

a3

b3

a3

0

V. Apabila tiap-tiap elemen pada sebuah baris ( atau kolom ) determinant dikalikan dengan bilangan yang sama p, maka nilai determinant dikalikan dengan p. pa1 b1 c1 a1 b1 c1 pa2

b2

c2

p a2

b2

c2

pa3

b3

c3

a3

b3

c3


31

VI. Apabila setiap elemen dari sebuah baris ( atau kolom ) determinan dinyatkan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih ) suku-suku, maka determinan dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih) determinan. a1

a '1

b1

'

a2

a2

a3

'

c1

b2

c2

b3

a3

a1 a2

c3

a3

b1 b2 b3

c1

a '1

b1

c1

c2

'

a2

b2

c2

c3

'

b3

c3

a3

VII. Apabila pada setiap elemen dari sebuah baris (atau kolom) determinan ditambah m kali elemen yang bersesuaian dari sembarang baris ( atau kolom) lain, maka nilai determinan tidak berubah. a1

mb1

b1

c1

a1

b1

c1

a2

mb2

b2

c2

a2

b2

c2

a3

mc3

b3

c3

a3

b3

c3

Minor dari sebuah elemen pada determinant tingkat n adalah determinan tingkat n – 1 yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang diberikan.Minor dari sebuah elemen dinyatakan dengan huruf besar. Jadi minor dari elemen b 3 dinyatakan oleh B3. Nilai determinan dapat diperoleh dalam suku-suku minor sebagai berikut: 1. Pilih sembarang baris ( atau kolom) 2. Kalikan setiap elemen di baris (atau kolom) dengan minor yang bersesuaian didahului dengan tanda tanda positif atau negatif sesuai dengan jumlah nomor kolom dan nomor baris genap atau ganjil. 3. Jumlahkan secara aljabar hasil kali yang diperoleh (2).

Sebagai contoh, mari kita ekspansikan determinan a1 b1 c1 d 1 a2

b2

c2

d2

a3

b3

c3

d3

a4

b4

c4

d4

dengan elemen-elemen dibaris ketiga. Minor-minor dari a3, b3, c3, d3 masing-masing adalah A3, B3, C3, D3. Tanda yang bersesuaian pada elemen a 3 adalah + karena tampak dikolom pertama dan baris ketiga dan 1 + 3 = 4 adalah genap. Begitu juga tanda-tanda yang bersesuaian dengan elemen-elemen b3, c3, d3 masing-masing adalah - , + , - . Jadi nilai determinannya adalah: a3A3 – b3B3 + c3C3 – d3D3. Sifat VII berguna dalam menghasilkan nol dalam kolom atau baris yang diberikan. Sifat ini digabungkan dengan ekspansi dalam-dalam suku-sukur minor membuat perhitungan nilai determinan lebih mudah.


32

Misalnya, gunakan sifat VII untuk mentransformasikan determinan

1 2

2 3 1 4 ke dalam

2 3 1 determinan yang nilainya sama dengan nol dibaris pertama kolom kedua dan ketiga.

Penyelesaian: Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan 2 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke dua, maka diperoleh 1 (2)(1) 2 (2)(2)

2 3 1 4

1 2

0 3 3 4

2 (2)( 2) 3 1 2 1 1 Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan -3 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke tiga, maka diperoleh 1 0 ( 3)(1) 3 1 0 0 2 3 ( 3)(2) 4 2 3 2 2 1 ( 3)( 2) 1 2 1 7 Hasil tersebut bisa diperoleh dalam satu langkah dengan menulis 1 2

2 (1) - 2 ( 3)(1) (2)(2) - 1 ( 3)(2)

2 (2)( 2) 3

3 4

1 2

0 3

0 2

( 3)( 2) 1

2

1

7

Jika dihitung determinannya diperoleh: 1 2 3 1 2 (1) - 2 ( 3)(1)

2 2

1 4 3 1

2 (2)(2) - 1 2 (2)( 2) 3 (1)

3 -2 1 7

(0)

3 ( 3)(2) 4 ( 3)( 2) 1

2 -2 2 7

{(3.7) ( 2)( 1)} 19

(0)

1 2 2 2 2

3 1

0 3 1

0 2 7


33

Latihan Hitunglah nilai diterminan berikut: 4 1. 2

2 6 1 3

2

4.

1

8 2. 5

3

2 6 1 3

4

2 3 1

1 1 3

3 2 1

2 4 3

1

2

2

3

1

5.

a 1 2 a 1 a

4. Bila matrik A

3.

3

4 2

3 1

2 3

5

5

1

3 4 2

1 2 1

2 0 3

1 3 2

1

3

1

4

tentukanlah harga a

5. Carilah harga yang memenuhi persamaan:

2

2

0

2

6. Selesaikanlah persamaan

x 2 2 x 3 3

4

3 6 x 6

0

2 3 1

1 2 1

1 1 4

3

4

3

2

disebut sebagai matrik singular, yaitu Det (A) = 0,

5 6 7

x 3 x 2 x 3 3 1

6.

1 2 3


34

C. INVERSE DARI SUATU MATRIKS KWADRAT

1. Arti Dan Keguanaan Dari Pada Inverse.

Pada suatu persamaan

ax b

x

b a

a 1b

a-1 disebut kebalikan atau inverse dari pada a sebab jika dikalikan yaitu a. a -1= a-1 .a = 1.( sifat identitas perkalian).Dari persamaan matriks AX = H, jelaslah untuk mencari X (= vektor kolom) diperlukan inverse dari matriks A yaitu 1/A atau A-1 jadi X jadi X = H/A atau X = A-1H. Jadi inverse dipergunakan untuk mencari pemecahan suatu sistem persamaan.

2. Difinisi Inverse Dari Suatu Matriks.

Difinisi. Misalkan A merupakan suatu matriks kwadrat dengan n baris dan n kolomdan I n suatu matriks identity. Apabila ada square matriks A –1 sedemiakian sehingga berlaku hubungan sebagai berikut A.A-1 = A-1.A = I, maka A-1 ini disebut inverse dari matriks A Selanjutnya bagaimana caranya untuk menghitung suatu inverse. Dalam uraiannya berikutnya akan dibahas akan tetapi sebelumnya diberikan suatu ilustrasi sederhana untuk menghitung inverse dengan cara yang amat sederhana.

Jika diketahui suatu matriks A

Misalkan A

1

a b c d

2 3 3 5

cari A

1


Maka

A. A

1

2 3 a b . 3 5 c d

I.

2a 3c 1

(1)

2b 3d

0

(2)

3a 5c

0

(3)

3b 5d

1

(4)

35

1 0 0 1

Dari persamaan (1) dan (3) dengan mengeminasi a diperoleh harga c = -3 Dari persamaan (2) dan (4) dengan mengeminasi b diperoleh harga d = 2 Dengan mensubstitusi harga c = -3 ke (1) diperoleh harga a = 5 Dengan mensubstitusi harga d = 2 ke (2) diperoleh harga b = -3 Jadi harga a = 5, b = -3, c = -3, dan d = 2. Singga ahkirnya A

1

a b c d

5 3

3 2

3. Mencari Inverse Suatu Matriks Dengan Mempergunakan Adjoint.

Misalkan A suatu matriks kwadrat dengan baris dan kolomnya masing-masing sebesar n. Jadi A = (aij),

i, j = 1,2, 3, ….., n. Dan setiap elemen dari matriks masing-masing

mempunyai kofaktor, yaitu elemen a ij mempunyai kofaktor Kij. Apabila semua kofaktor itu dihitung untuk semua elemen dari matriks A, kemudian dibentuk suatu matriks K dengan kofaktor dari semua elemen matriks A sebagai elemnya, maka:

K

( K ij )

K 11

K 12

K 21

K 22

.... .... K n1 K n 2

... ... ... ...

K 1n K 2n .... K nn

disebut matriks kofaktor

Difinisi: Yang disebut adjoint dari matriks A ialah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari transpose dari semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu


36

apabila K = Kij, dimana Kij ialah kofaktor dari elemen aij, maka adjoint dari matriks A yaitu: adj (A) = K/ = (K ij/ = Kji). Jadi Adj (A) = ialah tranpose dari matriks kofaktor K, yaitu: K 11 K 21 ... K n1 Adj ( A)

K/

K 12

K 22

.... K 1n

.... K 2n

... K n 2 ... .... ... K nn

Contoh: Diketahui suatu matriks A sebagai berikut: 2 1 2 A

1

2 3

4 2 1 Maka adj (A) diperoleh sebagai berikut: K 11

( 1)1 1 M 11

K 11

(1).

K 12

( 1)1 2 M 12

dan M 12

K 12

1 3 ( 1). 4 1

1(1 12) 11

K 13

( 1)1 3 M 13

dan M 13

K 13

1 2 (1). 2 1

K 21

( 1) 2 1 M 21

K 21

1 2 ( 1). 2 1

2 3 2 1

dan M 11 1(2 6)

1(2 8)

4

1 3 4 1

1 2 4 2

6

dan M 21 1(1 4)

2 3 2 1

3

1 2 2 1


K

K 22

( 1) 2

2

K 22

(1).

K 23

( 1) 2 3 M 23

K 23

( 1).

K 31

( 1) 3 1 M 31

K 31

1 2 (1). 2 3

K 32

( 1) 3 2 M 32

K 32

2 2 ( 1). 1 3

K 33

( 1) 3 3 M 33

K 33

2 1 (1). 1 2

K 13

K 21

K 22

K 23

K 31

K 32

K 33

K

/

dan M 22

1(2 8)

2 1 4 2

K 12

Jadi Adj ( A)

M 22

2 2 4 1

K 11

37

6

dan M 23 1(4 4)

1(3 4)

1 2 2 3

1

dan M 32 1(6 2)

2 2 1 3

4

dan M 33

K/

2 1 4 2

0

dan M 31

1(4 1)

2 2 4 1

2 1 1 2

3

K 11

K 21

K 31

K 12

K 22

K 32

K 13

K 23

K 33

4 3 1 11 6 4 6 0 3


38

Difinisi: Apabila matriks A adalah matriks kwadrat n baris dan n kolom, dan merupakan matriks yang non singular yaitu det (A) tidak nol dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka inverse matriks A yaitu A-1 dirumuskan sebagai berikut: 1 K/ 1 A Adj( A) / A/ / A/ K 11 K 21 ... K n1 / A / / A / ... / A / K 11 K 21 ... K n1 K 12 K 22 K n2 ... 1 K 12 K 22 ... K n 2 1 A / A/ / A/ / A/ ... .... ... / A / .... .... .... .... .... .... K 1n K 2 n ... K nn K n1 K n 2 K nn / A/ / A/ / A/ Contoh 1. Carilah inverse dari matriks A berikut: 4 1 A 3 2 /A/ = 4.2 – 1.3 = 5 1 K11 K 21 A1 / A / K12 K 22 K 11

( 1) 2 (2)

K 12

( 1) 3 (3)

3

K 21

( 1) 3 (1)

1

K 22

( 1) 4 (4)

4

Jadi A

1

2

1 5

2 3

1 4

2/5 1/ 5 3/ 5 4 / 5

2. Carilah inverse dari matriks X berikut: a c X b d /X/ = ad - cd 1 K11 K 21 X 1 / X / K12 K 22


( 1) 2 (d )

K 11 K 12

d

3

b

3

c

( 1) (b)

K 21

( 1) (c) 4

K 22

( 1) (a )

39

a d

Jadi X

1

d

b

ad cb

c

a

1

ad cb c ad cb

4 3 2

3. Jika A

2 1 1 carilah A-1 1

2 2

Penyelesaian: 1 1 M 11 , 2 2

2 1 , 1 2

M 12

K11

( 1) 2 / M 11 /

( 1) 2 (2 2)

K12

( 1) 3 / M 12 /

( 1) 3 (4 1)

K13

( 1) 4 / M 13 /

( 1) 4 (4 1)

M 21

3 2 , 2 2

4 2 , 1 2

M 22

K 21

( 1) 3 / M 21 /

( 1) 3 (6 4)

K 22

( 1) 4 / M 22 /

( 1) 4 (8 2)

K 23

( 1) 5 / M 23 /

( 1) 5 (8 3)

M 31

3 2 , 1 1

4 2 , 2 1

M 32

M 13 0 3 3

M 23

6 5

M 33

( 1) 4 / M 31 /

( 1) 4 (3 2) 1

K 32

( 1) 5 / M 32 /

( 1) 5 (4 1)

K 33

( 1) 6 / M 33 /

( 1) 6 (4 6)

/ A/

a11 K11

a13 K13

4(0) 3( 3) 2(3)

3

4 3 1 2

2

K 31

a12 K12

2 1 1 2

0 2

4 3 2 1

b ad cb a ad cb


Adj ( A)

Jadi A

-1

K 11

K 21

K 31

K 12

K 22

K 32

K 13

K 23

K 33

1 Adj ( A) / A/

40

0 3 3 1 3

0 3 3

2 6 5 2 6 5

1 0 2 1 0 2

0 1

2/3 1/ 3 2 0 1 5/3 2/3

4. Mencari Inverse Dengan Metode Kounter.

Metode ini didasarkan atas teori transformasi elementer terhadap baris dari matriks yang inversenya akan dicari. Dalil: Apabila A suatu matriks kwadrat yang non singular yaitu determinanya tidak nol, baris dan kolom masing-masing sebanyak n dan In diletakkan disebelah kanan matriks A, maka diperoleh suatu matiks M yang disebut Augmented matriks sebagai berikut: M = A In. Selanjutnya apabila terhadap baris-baris baik pada matriks A maupun matriks In, jelasnya terhadap baris-baris augmented matriks M, dilakukan troansformasi elementer sedemikian sehingga matriks A berubah menjadi matriks In maka akan diperoleh inverse dari matriks A yaitu A-1 yang berada ditempat dari mana In berasal, dengan kata lain setelah A berubah menjadi In maka In berubah menjadi A-1.

Contoh: Carilah inverse matriks dengan menggunakan metode kounter, jika matriks A adalah sebagai berikut: A

1 2

3 5

2 1

6

7 23

Dibentuk augmented M sebagai berikut: M = A I3


M

41

1

3

21

0 0

2

5

10 1

6

7

0

23 0 0 1

a. Terhadap matriks M, baris yang kedua ditambah dengan 2 kali yang pertama, baris yang ketiga dikurangi denga 6 kali yang pertama, maka diperoleh mariks M1.sebagai berikut:

M

1

3

2 6

5 7

21

0 0

10 1 0 23 0 0 1

2 R1 6 R1

M1

1

3

2 1 0 0

0 0

1 11

3 2 1 0 35 6 0 1

b. Terhadap matriks M1, baris yang pertama dikurangi dengan 3 kali yang kedua, baris yang ketiga ditambah 11 kali yang kedua, maka diperoleh mariks M2.sebagai berikut

M1

1

3

2 1 0 0

0 0

1 11

3 2 1 0 35 6 0 1

3 R2 M2 11R2

1 0

7 7

3 0

0 1 0 0

3 2 1 0 2 16 11 1

c. Terhadap matriks M2, baris yang pertama dikurangi dengan 7/2 kali yang ketiga, baris yang kedua ditambah 3/2 kali yang ketiga, maka diperoleh mariks M3.sebagai berikut M2

1 0

7 7

3 0

(7 / 2) R3

0 1 0 0

3 2 1 0 2 16 11 1

(3 / 2) R3 x1 / 2

M3

1 0 0 49

71/ 2

7/2

0 1 0 26 0 0 1 8

35 / 2 11/ 2

3/ 2 1/ 2

Oleh karena A sudah berubah menjadi I3, maka matriks yang berada disebelah kanan A yaitu I3 menjadi A-1. Jadi A

1

49 26

71/ 2 35 / 2

7/2 3/ 2

8

11/ 2

1/ 2


42

Latihan 3 1. Dengan menggunakan Adjoint carilah inverse dari matriks berikut a.

A

b. B

1 0 2 3 4 1

2

0 1

0

8 4 5

c.

X

5 7 8 9 4 2 1 3 1 4 5 7 6 7 2 1

2. Carilah inverse dari matrik A, B dan C dengan metode kounter, Apabila matriks A, B dan C adalah sebagai berikut:

A

4 6 , 5 7

B

4 3 6 1 5 7 2 9 1

dan C

3 4 2 7 2 3 3 2 5 7 3 9 2 3 2 3


43

D. SISTEM PERSAMAAN LINIER

Didalam persamaan linier untuk mengetahui berapa besarnya dari variavel-variabel yang belum diketahui bisa diselesaikan dengan bermacam-macam sistem penyelesaian. Sistem persamaan linier dengan n buah persamaan dan n bilangan anu (variabel) bisa diselesaikan dengan bermacam-macam metode. Diantara metode tersebut yang umum dipergunakan yaitu: metode eleminasi Gauss –Jordan dan metode Aturan Cramer. Bentuk Umum sistem n persamaan linier dengan n buah variabel adalah: a11 x11

a12 x12

a13 x13

...... a1n x1n

h1

a 21 x 21

a 22 x 22

a 23 x 23

...... a 2 n x 2 n

h2

a31 x31

a32 x32

a33 x33

...... a3n x3n

h3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... a n1 x n1 a n 2 x n 2 a n 3 x n 3 ...... a nn x nn hn

Dalam bentuk persamaan matriks: a11

a12

......

a1n

x1

h1

a 21

a 22

....... a 2 n

x2

h2

a31

a32

....... a3n

x3

h3

....

....

......

....

....

....

a 1 a n 2 ...... a nn xn n     A

Atau AX = H A= matriks koefisien X= matriks Variabel H = matriks konstanta

X

hn  H


44

1. Metode Elimenasi Gauss-Jordan

Pemecahan dengan metode Gauss-Jordan didasarkan atas teori Row Operation ( Elementary transformation) terhadap matriks augmegted AH sedimikian sehingga A menjadi I AH = A H] matriks augmented dari persamaan AX = H

Contoh: Tentukan harga x1, x2 dan x3 pada sistem persamaan berikut:

2 x1

x2

4 x3

16

3 x1

2 x2

x3

10

3 x3

16

x1

3x 2

Penyelesaian: AX = H 2 1 4 x1 3 2 1 x2

16 10

1

16

AH

3 3 x3 AH 2 1

AH

4 16

3 2 1 10 1

M

3 3 16

Dengan melakukan operasi baris/ row operation ( lihat metode cuonter) sehingga matriks A berubah menjadi matriks I dan H berubah menjadi X. Jadi I.X = H X = H * ( H yang telah berubah karena row operation)

2 1 M

M2

4 16

3 2 1 10 1 3 3 16

x1 / 2 (3 / 2) R1 (1 / 2) R1

1 1/ 2

2 8

0 1/ 2 0 5/ 2

5 14 1 8

M1

R2 x2 5 R2

1 1/ 2

2 8

0 1/ 2 0 5/ 2

5 14 1 8

1 M2

0

0 1 0 0

R2 x2 5 R2

7 22

(7 / 24) R3

10 28 24 78

(10 / 24) R3 x(1 / 24)


1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3  

M3

I

x1

45

Jadi IX

H

H

1 2 3

x2 x3

2. Aturan Cramer.

Untuk menyelesaikan n persamaan linier yang simultan dalam n variabel adalah analog dengan aturan dalam bab sebelumnya untuk kasus n = 3 ataupun n = 3. Jika diketahui n persamaan linier dengan n variabel x1, x2, x3, ………, xn sebagai berikut a11 x11

a12 x12

a13 x13

...... a1n x1n

h1

a 21 x 21

a 22 x 22

a 23 x 23

...... a 2 n x 2 n

h2

a31 x31

a32 x32

a33 x33

...... a3n x3n

h3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... a n1 x n1 a n 2 x n 2 a n 3 x n 3 ...... a nn x nn hn

Misalkan

(1)

adalah determinan dari koefisien-koefisien x1, x2, x3, ………, xn,yaitu:

a11

a12

a 21

a 22

a31

a32

..... a1n ..... a1n ...... a1n

..... ...... ..... a n1 a 2 n .....

.... a nn

Determinan dengan kolom ke k ( yang bersesuaian dengan koefisien-koefisiendari variebel xk ) diganti dengan kolom dari koefisien-koefisien pada sisi sebelah kanan (1) dinyatakan dengan k, maka: x1

1

,

x2

2

,

x3

3

,

.......... xn

n

;

Apabila 0 ada satu dan hanya satu penyelesaian. Dan apabila mempunyai penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian.

0

= 0 maka persamaan bisa


46

Contoh: 1. Selesaikanlah sistem persamaann berikut dengan menggunakan determinan: 2x y z w 4

x 2 y 2 z 3w 3x

y

6

z 2w

2x 3y

0

z 4w

5

Penyelesaian:

2 1

1 2

1 2

1 3

3 2

1 3

1 1

2 4

1

3

x

1

86 86

86

4 6

1 2

1 2

1 3

0 5

1 3

1 1

2 4

2

1

4

1

1 3

2 1

6 0

3 2

2

3

5

4

1; y

2

86

258

172 86

2

4

2; z

2 1

4 6

1 2

1 3

3 2

0 5

1 1

2 4

2

1

1

4

1 3

2 1

2 1

6 0

2

3

1

5

3

258 86

172

86

3; dan w

4

86 86

1

2. Arus-arus i1 , i 2 , i3 , i 4 , i5 ( diukur dalam amper) dapat ditentukan dari sistem persamaan rangkaian berikut. Carilah besarnya i3


i1

2i2

i3

i2

3i4

i5

i1

i2

2i2 i1

i3

3

3 5

i3 i3

i5

1

2i4

2i5

2i4

i5

0 3

1 0 1

2 1 1

3 5 1

0 3 0

0 1 1

0 1

2 0

0 3

2 2

2 1

38 19

3

i3

47

38;

1 0 1

2 1 1 0 1 1

0 3 0

0 1 1

0 1

2 1 0 1

2 2

2 1

19

2 amper

Latihan 1. Dengan menggunakan cara matrik selesaikanlah persamaan berikut x1

2 x2

3 x3

5

3x1

x2

2 x3

8

4 x1

6 x2

4 x3

2

1. Selesaikan Setiap sistem persamaan berikut dengan menggunakan determinan:

x 2 y z 3w 4 2 x 3 y z 2w 4 a). 3x 4 y 2 z 4w 12 2x

y 3z 2w

b).

2

2 x y 3z 5 3y z w 5 2z w 4x 0 w 3x

y

4

2.Carilah i1 dan i4 untuk sistem persamaan arus pada suatu rangkaian: 2i1 3i3 i4 4

3i1 i1

i2

2i3

3i2

2i4

2i4

i1

2i3

i5

2i1

i2

5

9

3i5

2i5 2

0


48

BAB III GEOMETRI

Kompetensi Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menunjukan hubungan antara derajat dengan radian 2. Mengetahui sifat-sifat segitiga 3. Menghitung luas luas segitiga 4. Mengetahui sifat-sifat segi empat 5. Menghitung luas segi empat(persegi empat, bujur sangkar, jajaran genjang, belah ketupat dan trapesium) 6. Mengit:kll,luas, dan luas bagian lingkaran 7. Menghitung luas daerah dengan aturan Tarapesium 8. Menggambar betuk prisma, limas, . bola dan elipsoida 9. Menghit luas permukaan prisma kubus,baluk,tabung, limas, kerucut dan bola 10. Menghit volume sebuah prisma, balok,tabung, kerucut, bola dan elipsoida

1. Sudut Datar dan Garis Sudut datar adalah daerah yang dibentuk oleh perpotongan dua garis pada satu titik.

A O . B AOB


49

Bisa juga diartikan sebagai daerah yang dibentuk bila sinar garis diputar, sudut besarnya positif bila arah putaran berlawanan denga arah jarum jam dan sudut besarnya negatif bila arah putaran searah dengan jarum jam.

+

Satuan sudut yang sering digunakan adalah derajat dan radian 1 putaran = 3600 (derajat) 1 derajat = 60’ (menit) 1 menit = 60 “ (detik)

Sudut dalam radian

Panjang busur lingkaran jari jari lingkaran

Hubungan antara radian dan derajat adalah sebagai berikut Keliling lingkaran = 2

r

Sudut dalam radian =

2 r r

2

1 putaran = 3600 ( sama dengan keliling limgkaran), berarti 2

radian = 3600 radian = 1800

1 radian =

1800

57,30

Contoh 1 : Nyatakan sudut 1,5 radian dalam derajat dan menit Jawab:

1,5rad 1,5

1800

85,560


50

Contoh 2: Nyatakan sudut 1100 kedalam radian

1100

Jawab:

1100

1800

1,92rad.

Ada beberapa jenis sudut yaitu: Sudut lancip 00< <900 Sudut siku =900 Sudut tumpul 900< <1800 Sudut lurus =18900 Sudut refleks 1800< <3600 Dua sudut yang 900 merupakan sudut penyiku atau komplemen, dan dua sudut yang jumlahnya 1800 merupakan sudut pelurus atau suplemen . Komplemen dari 35 0 adalah 450 dan suplemennya adalah 1450 Jika dua garis lurus berpotongan, ada dua sudut bertolak belakang yang sama.

2

A1

A3

A2

A4

Sudut

1 A 3

4

sudut bertolak belakang

Jika ada dua garis sejajadipotong oleh satu garis lurus, maka ada sudut-sudut yang sama, yaitu: Sudut sehadap Sudut dalam berseberangan Sudut luar bersebrangan


3 A4

3 B 4

51

2 1

2 1

A1

B1

A2

B2

A3

B3

A4

B4

A1

B3

A4

B2

A2

B4

A3

B1

Sudut

sudut sehadap

Sudut

sudut dalam bersebrangan

Sudut

sudut luar bersebrangan

Contoh Hitunglah

pada gambar berikut:

1240 1000

Jawab Untuk mempermudah penyelesaian buat perpanjangan setiap garis

124o 100o

= 1800 +( x + y ) = 1800 +( 800+ 860 ) = 440

x

y


52

2. Bentuk bidang dalam demensi dua 1. Segitiga Bentuk-bentuk segitiga Dilihat dari sisi dan sudutnya ada beberapa jenis segitiga, yaitu: a. Segitiga lancip, semua sudutnya lebih kecil dari 90 0 b. Segitiga siku-siku, salah satu sudutnya 900 c. Segitiga tumpul, salah satu sudutnya lebih dari 90 0 d. Segitiga samakaki, ada dua sisi dan dua sudut yang sama e. Segitiga sama sisi, ketiga sisinya mempunyai panjang yang sama. Dalam setiap segitiga berlaku sifat-sifat sebagai berikut: a). Jumlah sudut dalamnya sama dengan 1800.( + + = 1800) b). Jumlaj sudut luar sama dengan 3600 (.( 1+

1

+

1

c). Hubungan antara sudut luar denga dalam 1=.

+

1

=

+

1

= + 1

1

1

Segitiga sama dan sebangun

Dua buah segitiga disebut sama dan sebangun , jika: a. Satu sisi dan dua sudut sama besar z \ .x //

z .y<

\

x //

y<

= 3600)


53

b. Dua sisi dan sudut antara dua sisi tersebut sama besar.

\\ 0

0 /\

/\

c. Ketiga sisinya sama

\

//

\

/\

// /\

Segitiga sebangun Dua segitiga adalah sebagun, jika ketiga sudut yang seletak sama besar C

D

E

A

B DCE CDE

ACB CAB

DEC dan ABC adalah sebangun

CDE CBA Untuk segitiga sebangun berlaku perbandingan berikut (lihat gambar)

DE AB

CD CA

CE CB


54

Luas daerah segitiga dan keliling segitiga C

b

t

a

A

B c

Keliling segitiga s = a + b + c

alas x tinggi 2 s( s a)(s b)(s c)

L L s

a b c 2

Garis-garis istimewa pada segitiga a. Garis Berat Garis berat adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga ke sisi segitiga dan membagi dua sama besar sisi dihadapannya C

\

//

D

Z

\ za A

zc /\

/\

E zb \\ B

F

Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik Z dengan perbandingan ZA:ZE = 2: 1 ZB:ZD = 2:1 ZC:ZF = 2:1


55

Panjang garis berat za zb zc

1 2b 2 2 1 2a 2 2 1 2a 2 2

2c 2

a2

2c 2

b2

2b 2

c2

c. Garis tinggi. Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga sehingga tegak lurus dengan sisi dihadapannya. C

tc D

E

T

ta

tb

A

B F

Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik T Perbandingannya ta : tb : tc = 1/a : 1/b : 1/c Panjangnya: ta tb tc

2 s ( s a )(s b)(s c) a 2 s ( s a )(s b)(s c) b 2 s ( s a )(s b)(s c) c

2 L. a 2 L. b 2 L. c

d. Garis bagi Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga kesisi dihadapannya sedemikian hingga membagi dua sama besar sudut tersebut.


56

C 0

0

b

I *

a

Ia

Ib **

* A

** c2

c1

B

c

Ketiga garis bagi sebuah segitiga berpotongan di satu titik I Perbandingannya: c 1 : c2 = b:a

c1

bc a b

ac a c

dan c2

Panjangnya: ia

bc a1 a 2

ib

ac b1b2

ic

ab c1c 2

Teorema Phytagoras pada segitiga Pada setiap segitiga siku-siku berlaku: kwadrat sisi miring sama dengan jumlah kwadrat yang lain.

a

c

b c2 = a2 + b2


57

Perbandingan seharga dalam segitiga

a

e

a

e

c

c

b

f

b

f

d

d

a:b=e:f a : ( a+b) = c : f e : (e+f) = c : d

Contoh Hitunglah x dari dua segitiga berikut:

C 600 400

A

F 600

60 cm D

x

8 cm

Jawab Dari ABC:

BAC = 1800 – ( 600 + 400) = 800

Dari DEF:

DEF = 1800 – ( 600 + 800) = 400

Berarti ABC dan DEF sebangun, sehingga berlaku:

x CB 60 8 FE 15 15x 60.8 x

32 cm

15 cm E


58

Contoh Soal

1. Sebuah baji yang simetris mempunyai panjang ( dari alas kepuncaknya 100 mm). Lebar alasnya 20 mm. Bila baji tersebut ditempatkan pada celah yang lebarnya 8 mm, berapakah panjang baji tersebut dari celah

Penyelesaian: Misalkan panjang baji dari celah = x mm

20 mm 8 mm

x

100 - x

100 mm

100 : (100-x) = 20 : 8 x = 60 mm

2. Sebuah kerucut mempunyai diameter 48 mm dengan tinggi 60 mm. Dari kerucut ini dibentuk kerucut yang lebih kecil yang tingginya 20 mm. Hitung diameter dari kerucut yang lebih kecil tersebut. Penyelesaian:

A 20

20 D

F F

60

24

24


59

B

G

C

48

AFE

AGC

AF FE 20 AG GC 60 FE 1 / 3 X 24

FE 24

FE 8 Jadi diameter kerucut yang lebih kecil 2.8 mm =16 mm

Soal-soal tentang segitiga

1. Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 15 mm, 24 mm, 36 mm, panjang sisi terpendek segitiga sebangunnya adalah 20 mm. Hitunglah panjang kedua sisi yang lainnya. 2. Sabuk penggerak bersilangan menghubungkan pully yang berdiameter 100 mm dan 240 mm. Hitung jarak di mana sabuk bersilangan diukur dari pusat pully yang terbesar.

240 mm 100 mm

400 mm

3. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku 100 mm. Dua sisi lainnya mempunyai perbandimgan 5:1. Hitunglah panjang sisi terpendek. 4. Profil yang tidak mempunyai garis lurus seperti gambar. R=120 R = 50 w


60

Hitung lubang yang paling kecil dari frofil (w)

5. Tiga kabel melalui lubang berbentuk lingkaran. Bila kabel berdiameter 8 mm. Tentukan kemungkinan terkecil diameter lubang (D) Gambar.

6. Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 78 mm dan 50 mm berpotongan pada A dan B. Jika tali busur AB mempunyai panjang 30 mm, sedangkan C dan D masingmasing adalah lingkaran yang besar dan kecil . Hitunglah: a. Jarak pusat lingkaran – lingkaran tersebut ( CD) b. Luas setiga CAD

2. Segiempat. Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup. D C A

B 2.1. Empat persegi panjang

AB; CB; CD; dan DA sisi-sisi segiempat


D

c E

61

C

d

b A

a

B

AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal Keliling = 2 ( panjang + lebar ) Luas = panjang x lebar

2.2. Bujur Sangkar D

a

a

C

E

a

A a

B

AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal AC = BD AE=EC=DE=EB DE AC Keliling = 4a Luas = a2

2.3.Jajaran Genjang Sifat-sifat jajaran genjang: - Dua buah pasang sisinya sejajar - Sudut yang berhadapan sama besar. D

C E

A

B


62

AC = DC ; AD = BC AE = EC ; DE = EB A= C ; B= D Kll = ( AB + BC ).2 Luas = alas x tinggi atau Luas = ½ ( hasil kali diagonal) Contoh: Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing 5 mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 600 . Hitunglah: a). Panjang diagonal-diagonalnya b). Luas jajaran genjang c). Jarak antara garis-garis yang sejajar. Penyelesaian: D

C

600 A

F

B E

G a. BE = ½ BC BE = ½ x 5 =2,5 CE = ½ 3x BC = 2,5 3.

AC

AE 2

CE 2

AC

(8 2,5) 2

BD

DF 2

BD

(2,5 3 ) 2

(2,5 3 ) 2

11,36mm

FB 2 (8 2,5) 2

b. Luas = alas x tinggi L = AB x DF L = 8 x 2,5 3=34,64 mm

c. DF = 2,5 3 = 4,33 mm BG = ½ AB =½.8

49

7mm


63

= 4 mm AG

AB 2

AG

82

BG 2 42

48

6,93mm

2.4. Belah Ketupat Sifat-sifat belah ketupat -. Panjang semua sisi adalah sama -. Sisi yang berhadapan adalah sejajar -. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar. D

C E

A

B

AB = BC = CD = DA AB//CD AD//BC DE AC Luas = ½ ( AC x BD ) Luas = alas x tinggi

2.4. Trapesium Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar.

D

C

A AB//CD + + +

B = 3600

Kll = AB + BC + CD + DA

Luas

Jumlah sisi sejajar x tinggi 2


64

Trapesium siku-siku di titik A

D

C

A

B

AB DC x (AD) 2

Luas

Trapesium sama kaki

D

A

C

F

AB//DC AD = BC = = B

AB DC x (DF) 2

Luas

Contoh: 1. Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal terpanjang 10,5 mm D 10,5

A

C 7,2

B Penyelesaian: Metode 1. Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5


65

a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2

a b c 2 Luas ABC s

7,2 10,5 7,2 12,45 2 s( s a)(s b)(s c)

Luas ABC 12,45(12,45 7,2)(12,45 10,5)(12,45 7,2) Luas belah ketupat (L) = 2 x L. ABC

25,87mm 2

L = 2 x 25,87 = 51,7 mm2 Dengan metode 2 Dengan jajaran genjang. Diagonal AD dan CB saling berpoyongan tegak lurus ditengah-tengah sehingga ABE segitiga siku-siku.

D A

E

C

7,2

B AB = 7,2 AE = ½ x AC = ½ x 10,5 = 5,25 (AB)2 = (AE)2 + (BE)2 (7,2)2 = (5,25)2 + (BE)2 (BE)2 = 51,84- 27,56 (BE)2 = 24,28 BE = 4,93 Diagonal BC = 2 (BE) = 2 x 4,93 = 9,85 Luas belah ketupat = ½ ( hasil kali diagonal ) Luas belah ketupat = ½ x ( 10,5 x 9,85) = 51,73 mm2


66

2. Perbandingan garis sejajar sebuah trapesium 7 : 10. Jarak antaranya ½ kali sisi terpanjang. Luas trapesium itu 170 mm2. Hitunglah panjang sisi-sisi trapesium tersebut.

Penyelesaian:

D

a

C

c

a b

A

E

7 10

a

b

B

7 1 b dan c b 10 2 7 ( b b) (a b) 1 10 .c 170 . b 170 2 2 2 170.4 b2 1,7 b

680 1,7

20mm

a = 7/10 x 20 = 14 dan c = ½ x 20 = 10

3. Segi Banyak. 3.1.

Segi Banyak Tak Beraturan. Segi n tak beraturan : Garis yang menghubungkan setiap dua titik sudut disebut diagonal. Jumlah titik sudut (n) pada segi n adalah diagonal yang ditarik dari titik sudut = n – 3. Banyak diagonal seluruhnya = ½ n ( n – 3)

= (n –2 )x 1800. Banyak


67

D C

E B A

3.2.

Segi Banyak Beraturan. Besar Sudut segi n beraturan menjadi

(n - 2) x 1800 ; n adalah jumlah sisi segi n

banyak. Lingkaran dapat dibuat segi banyak beraturan dengan segi tak berhingga.

Jumlah sisi

Nama

3 4 5 6 7 8 10 12

Segi 3 (Bujur sangkar) Segi 5 ( pentagonal ) Segi 6 ( hexagonal ) Segi 7 (heptagonal) Segi 8 (oktagonal) Segi 10 ( dekagonal) Segi 12 (dodekagonal)

Contoh: Segi enam beraturan yang mempunyai panjang sisi 40 mm, maka luasnya dapat dihitung sebagai berikut.

40 40

40


68

3. 40 60 2 Luas segi 6 6 s(s - a)(s - b)(s - c)

s

6 60(60 40)(60 40)(60 40) 41,57mm 2

4. Lingkaran 4.1. Jari-jari, tali busur dan sumbu simetri. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r).

P r

diameter tali busur

Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan talibusur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis tengah/diameter Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali busur, membagi dua tali bususr itu. Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali busur, tentu tegak lurus talibusur itu. Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu

A

M

O

B


69

4.2. Keliling, luas , busur, sudut pusat dan juring

busur O r

= sudut pusat Keliling lingkaran C = 2 .r = .d ; d = diameter lingkaran Luas lingkaran L = r2 = ¼ d2 = 3,14… Panjang busur: Keliling lingkaran dalam radius r diberikan oleh rumus C = 2 .r.. Sedangkan busur adalah bagian dari kurva yang kurang dari seluruh kurva.

L busur ) Bila

L busur )

x

keliling 3600

3600

(2 r )

dinyatakan dalam radian

x

keliling 2

2

.2 r

r

Luas sektor/juring:

r O

Lbusur

Luas juring/sektor (Asektor)

Asektor

0

360

( r 2 ),

dalam derajat

(bila

dinyatakan dalam derajat)


Bila

70

dinyatakan dalam radian

r2 2 2 Jika dinyatakan dalam radian, panjang busur lingkaran L = r , sehingga luas sektor dapat dinyatakan dalam L r2 r.(r ) r.L (hampir mirip dengan luas segitiga) Asektor 2 2 2 L Bila L r , maka r ( r2)

Asektor

Asektor Asektor

r.L 2 L2 2

L

x

L 2

Luas segmen lingkaran A

B r O

Luas segmen = luas juring – luas AOB 1 2 Luas segmen r2 r sin 0 2 360 4.3. Sifat-Sifat Lingkaran.

Sudut yang terletak dipusat besarnya dua kali sudut yang terletak dikelilinglingkaran dan semua sudut yang terletak di keliling lingkaran dan semua sudut yang terletak dikeliling lingkaran pada busur yang sama adalah sama besar. Sebua sudut yang yang terletak pada segmen yang sama adalah sama besar, sehingga sudut yang terletak di kekeling setengah lingkaran adalah siku-siku.


71

C

O

P

A

O

B

AOB = 2 CAO = 2

R

N M PMR =

AOC CBO

RNP =900

Bila dua buah tali busur sebuah lingkaran berpotongan, baik di dalam maupun di luar lingkaran tersebut, hasil kali ke dua segmen tali busur yang satu sama dengan hasil kali kedua segmen tali busur yang lain.

C

A

A

C A

O

O C D B

B D D

O OA x OB = OD x OC (berpotongan di dalam) OA x OB = OC x OD (berpotongan di luar) OAxOA = OD x OC

Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan garis singgung dan garis garis yang ditarik dari titik itu ke pusat lingkaran tersebut adalah sama besar. A

O C

B


72

Bila dua buah lingkaran berpotongan, maka garis antar pusat akan memotong tegak lurus tali busur persekutuannya di tengah-tengah.

Contoh-contoh 1. Tentukan lebar potongan bila sebuah batang bulat berdiameter 74 mm dipotong sedalam 2 mm. ( lihat gambar). Penyelesaian C 2mm A

O

B 74mm

E Kedalaman pemotongan CO = 2 mm CE = 74 – 2 = 72 Lebar pemotongan = x 1 OA OB x 2 OA x OB = CO x OE 1 1 x x 2.72 2 2 1 2 x 144 4 x 24 Jadi lebar pemotongannya adalah 24 mm


73

2. Diketahui seperti gambar

A

B 600

M Jika diameter lingkaran 12 mm, hitunglah MA. Penyelesaian:

O A

B 600 M

tg 300

OA AM 6

AM

AM 18

3 3

3

6 tg 300

6 3

3. Pada gambar berikut adalah segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran dalamnya.

B E D

A

F

C

a. Hitunglah BC dan CA jika AD = 2 cm dan BE = 3 cm b. Hitunglah diameter lingkaran dalamnya jika AB = 6 cm dan BC = 10 cm


74

Penyelesaian: a. B E D

A

F

C

AF = AD = 2 BE = BD = 3 AB = 5 Misalkan CF = x maka CE = CF = x BC 2 AC 2 AB 2 (3 x) 2

(2 x) 2

52

9 6x x 2 4 4x x 2 25 2 x 29 9 x 10 jadi BC = 13 cm dan CA = 12 cm

b. Misalkan AD = y cm B E 6-y D y

M

A

F

AC

BC 2

C

AD 2

AC 100 36 8 BE = BD = 6 – y AF = AD = y CE = CF = 8 – y BC = 10 (6 – y ) + (8 – y) = 10 2y = 4 y=2=r Jadi diameter lingkaran d = 4


75

Latihan 1 Jari-jari ketiga lingkaran berikut adalah sama.

t

a. Jika jari-jari ketiga lingkaran itu adalah 12cm hitunglah harga t b. Htunglah jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran itu untuk didalam dan diluar. 2. Empat bola timah dengan jari-jari 12 cm akan diikat bersama-sama ke dalam lak band platik seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Berapakah panjang lak band plastik yang diperlukan agar ke empat bola tersebut dapat terikat secara bersama-sama.

3. Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut

(a) (b)


76

4. Pada gambar berikut hitunglah R jika p = 4,25 cm D

C

N 1,5

3,75

M

A

p

B

5. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.

12 540

10

6. Diameter suatu lingkaran 70 mm. P suatu titik yang berjarak 125 mm dari pusat lingkaran tersebut . Hitunglah pangjang garis singgung yang melalui titik P.

7. AB adalah diemeter lingkaran, panjangnya 100 mm C adalah titik pada AB hingga AC = 70 mm. Hitung pangjang talibusur yang tegak lurus AB dan melalui titik C. 8. Segmen suatu lingkaran mempunyai tali busur yang panjangnya 8 mm dan tingginya 2 mm. Hitunglah jari-jari lingkaran. 9. Kedalaman pemotongan 2 mm, melintang batang bulat selindris yang berdiameter 52 mm. Hitung panjang tali busur yang dihasilkan dari pemotongan tersebut. 10. Diameter suatu lingkaran 70 mm. P suatu titik yang berjarak 125 mm dari pusat lingkaran tersebut. Hitung panjang garis singgung yang melalui titik P. 11. Berapakah diameter (d) dari piston, bila tekanannya 1250 kp/cm 2 yang akan menghasilakn gaya sebesar 12500 kp.


77

12. Tentukan panjang belt yang diperlukan untuk menghubungkan 3 buah pully yang berdiameter 1,25 cm seperti nampak pada gambar berikut.

900 144 cm 2,88 cm

13. Suatu busur lingkaran dengan radius 105 mm mempunyai sudut pusat 750. Hitunglah panjang busurnya. 14. Suatu sabuk memliliti sebuah pully yang berdiameter 210 mm dengan sudut kontak 150 0. a. Hitunglah panjang sabuk yang menempel pada pull. b. Hitung kecepatan sabuk dalam meter/detik, jika pully berputar pada kecepatan 720 put/menit.

15. (a). Busur suatu sektor lingkaran berdiametr 5 mm, mempunyai sudut 2/3

radian.

Hitunglah luas sektor tersebut. (b). Hitung sudut pusat suatu sektor lingkaran yang mempunyai radius 8 mm dan luas 50 mm2

16. Berapakah persentase logam yang terbuang jika suatu batang yang berdiameter 20 mm dibubut dengan kedalaman 1,5 mm.


78

2 Bentuk-bentuk Benda Tiga Dimensi.

1. Balok.

t b a Volume V = a.b.t Luas permukaan A = 2 (ab + at + bt)

2. Kubus

x x x Volume V = x3 Luas permukaan A = 6 x2

3. Selinder. r

t Volume V = .r2.t = ¼ .d2t Luas permukaan A = 2. .r2 + 2 .r.t = 2 .r( r + t )


79

Volume sebuah pipa dengan diameter luar D dan diameter dalam d dan tinggi h diberikan :

V

4

(D 2

d 2 ).h d

h

D

4. Kerucut.

i t

r Volume V = 1/3 .r2.t Luas selimut = .r.i Luas total permukaan = .r2 + .r.i

i i

garis pelukis (hypothema) r2

t2


80

Bentangan atau selimut sebuah kerucut merupakan sebuah sektor/juring lingkarang dengan jari-jari i dan sudut pusat . Sudut pusat

dalam radian didapat dengan

membagi panjang busur dengan jari-jarinya. i i r r busur dari sektor

2 r i

(radian)

3 Kerucut Terpancung.

r i

t R

Volume V = 1/3 .t (R2 + R.r + r2) Luas selimut = . i ( R + r ) Luas total permukaan = r2 + R2 + . i ( R + r )

6. Piramid.

t

Volume V = 1/3 A. t. A = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas segitiga.


81

7. Prisma.

Volume V = A.t A = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas bidang dimensi dua

8. Bola.

r

Volume V = 4/3. .r3 Luas permukaan = 4 .r2

10. Tembereng Bola.

r h

R


Volume V atau V

82

h2 (R h) 3

h (3r 2 6

h2)

Luas permukaan = luas permukaan lengkung + luas alas = 2 .R.h +

r2.atau

= (r2 +h2) + .r2

3 Perhitungan Massa Jenis. Perhitungan massa per unit volume dikenal sebagai massa jenis bahan itu. Satuan dasar SI adalah kg/m3. Misalnya Massa jenis air

10 3 kg 10 6 m 3

103 kg / m 3 . Sebagai simbul massa jenis

adalah rho( ). Kadang-kadang perlu membandingkan massa jenis suatu bahan terhadap massa jenis air. Perbandingan ini disebut massa jenis relatif. Massa jenis relatif suatu bahan (d) adalah:

d

massa jenis bahan massa jenis air

Sebagai contoh massa jenis relatif alumanium adalah sekitar 2,70. Jadi untuk ulumanium d

1000kg / m 3 2,70.1000kg / m 3

2700kg / m 3

Berat suatu benda adalah gaya grafitasi akibat massa benda tersebut. Sehingga satuannya dalam SI adalah Newton. Tetapi dalam keadaan sehari-hari dipakai kilogram. Berat spesifik suatu bahan adalah berat dari unit volume. Grafitasi spesifik suatu bahan adalah:

Grafitasi spesifik

berat spesifik suatu bahan berat spesifik air


83

Contoh Sebuah pabrik mengorder 2 metrik ton lembaran baja segiempat 1,6m x 1,2 m dengan tebal nominal 1,6 mm. Bila tidak ada toleransi ketebalan, berapakah jumlah lembaran baja tersebut. ( 1 metrik ton = 1000 kg dan ambil masa jenis relatif baja = 7,85)

Penyelesaiaanya: = 1000. d kg/m3 = 1000 x 7,85 kg/m3 =7850 kg/m3

v

v t t

m v m 2 x 1000 kg x m 3 785 kg

0,2548m 3

p.l.t v 0,2548m 3 p.l 1,6m x 1,2m 0,1327m

Ketebalan =1,6 mm = 0,0016 m Jumlah lembaran =

t ketebalan 1 lembar

0,1327m 0,0016m

82,94 dibulatkan 82 lembar

Jadi jumlah lembaran = 82.

Contoh soal: 1. Gambar berikut menunjukkan paku keling dengan memotong batang berdiameter 5 mm, lalu ditempa kepalanya (ujungnya). Berapa panjang batang yang dibutuhkan.

5

8 3 18

Penyelesaian: Kepala (ujungnya) merupakan kerucut terpancung:


Volume

84

h 2 (R Rr r 2 ) 3 3 (4 2 4.2,5 2,5 2 ) 3 32,25

Benda ini ditempa dari selindris berdiameter 5 mm. Misalkan panjang selindris = l Maka: .5 2.l 32,25 4 32,25 l 5,16 6,25

Tambahan panjang yang dibutuhkan = 5,16 – 3 = 2,16 Sehingga potongannya = 18 + 2,16 = 20,16 Jadi panjang batang diperlukan adalah 20,16 mm 2. Sebuah sektor lingkaran berjari-jari 15 mm, dengan sudut pusat 2160 dibuat dari permukaan(bentangan) sebuah kerucut. Hitunglah: a. Jari-jari alas kerucut b. Tingggi kerucut. Penyelesaian:

2 r i Sudut dalam derajat 2 r 3600 (derajat) . i 2 (radian)

3600 r i h i = 15

r a. Sudut dalam derajat =

3600 r i


85

Jari-jari sektor adalah garis pelukis/hypotema kerucut i = 15 3600 r 2160 i 3600 r 2160 15 r 9mm Jadi jari alas kerucut = 9 mm

b.Perhatikan gambar i2

h2

r2

15 2

h2

92

h

144 12

Jadi tinggi kerucut = 12 mm

3. Sebuah tangki penyimpanan air panas terlihat pada gambar . Jari-jarinya 400 mm dan tingimginya 900 mm. Tentukan luasnya dalam meter persegi yang dibutuhkan untuk memutup seluruh tanggi.

r

h

r Penyelesaian : Jari-jari selinder r = 400 mm = 0,4 m dan tinggi tangki = 900 mm = 0,9 m Tingginya selinder h = 0,9 m – 0,4 m = 0,5 m Luas permukaan total = luas lingkaran + luas selimut selinder + luas permukaan setngah bola.


A A

r

2

r

2

2

r.h

2 r.h 2

86

r2

4 2 r2

r 2 2 r.h r (3r 2h)

A A

3

A A

3,14.0,4(3.0,4 2.0,5) 2,76

Jadi luas bahan diperlukan 2,76 m2

Latihan:

1. Panjang 250 mm dipotong dari batang empat persegi panjang120 mm dan 40 mm. Balok kemudian dikerjakan mesin menjadi prisma 117 mm x 36 mm x 240 mm. Berapa persen dari batang terbuang oleh pengerjaan mesin. 40 117

120

36

240 250

2. Sebuah terdiri dari batang besi 40 mm x 5 mm yang berpenampangsegi empat dengan panjang 120 mm. Pada permukaan yang besar, 4 lubang dengan diameter 20 mm di bor lurus menenbus pelat (5 mm). Berapa persen metal yang terbuang karena pengboran. 20

40 5 120

3. Baut segi enam terdiri dari prisma segi enam yang mempunyai penampang 22 mm dan tebalnya 9 mm dan selinder yang berdiameter 14 mm dan panjangnya 40 mm. Pembentukan baut tersebut dibentuk dari silinder yang berdiameter 14 tanpa kehilangan volume. Hitung panjang dari batang yang diperlukan untuk 1 baut.


87

4. Billet logam yang berdiameter 30 mm dan panjang 80 mm yang diproses menjadi potongan yang berdiameter 10 mm dan tebal 1 mm. Perkiraran tidak ada logan yang terbuang, hitunglah jumlah potongan yang dihasilkan. 5. Potongan vertikal pada sumbu dari kerucut tegak, menampakkan segitiga sama kaki dengan salah satu sisi 100 mm dan dua sisi yang panjangnya 130 mm. Hitung tinggi dan volume kerucut. 6. Radius alas R, potong bidang atas r dan tinggi h dari sebuah kerucut terpancung mempunyai perbandingan 7 : 4 : 7. Bila volumenya 5456 mm 3, hitunglah tinggi kerucut terpancung tersebut.

r h R

7. Kepala paku keling diameter 15 mm berbentuk kerucut terpancung, diameter kerucut tersebut adalah 28 mm dan 20 mm, tingginya 6 mm. Bila panjang dibawah paku keling 40 mm , hitung volume meterial paku keling.

8. Bejana dengan penampang lingkaran berdiameter 50 mm, mengandung air sedalam 60 mm. Bila bola dengan diameter 40 mm, dimasukkan ke dalam air, berapakah penambahan ketinggian air dalam bejana tersebut ?


88

9. Pelampung berongga, dasarnya tertutup mempunyai bentuk selinder dengan diameter 200 mm, kedalaman 100 mm, dan tebalnya 5 mm. Hitunglah massanya dalam kilogram, bila terbuat dari materiel yang mempunyai masa jenis 7840 kg/m3.

10. Tutup sebuah cabin berbentuk setengah silinder seperti ditunjukkan pada gambar berikut. d) Berapakah luas permukaan tutup kabin e) Berapa luas total tutup dan bagian luar cabin


89

BAB IV TRIGONOMETRI Kompetensi Setelah mempelajarari Materi ini mahasiswa diharapkan dapat:

Mengetahui difinisi sinus,cosinus, secan, tangen dan cotangen Menghitung nilai sin,cos,tag,cotg, secan,dan cosecan Menulis perbandingan sdt lancip, Menulis perbandingan sdt tumpul negatif dari f trigonometri Menulis rumus sdt Identitas Menghitung luas bidang datar dg fungsi trigonometri Menulis aturan sinus dan cosinus Metentukan komponen segitiga dengan menggunakan aturan sin dan cos Menyesaikan pers.yang sederhana Menyelesaika per.dalam bentuk a cos x+b sin x = c Menyelesaikan pers. Yang dapat diubah kedalam bentuk a cosx + b sinx = c

1. Perbandingan Dasar Trigonometri.

Untuk setiap segitiga siku-siku, sisi terpanjang disebut hipotenusa atau sisi miring, sedangkan sisi yang lainnya disebut sisi penyiku. C

A

B

Dari gambar di atas AC adalah sisi di depan dilihat dari

C, maka AB adalah sisi di depan

dan BC tetap sisi miring.

B dan sisi AB adalah sisi terdekat

B. Jika

C sedangkan AC adalah sisi terdekat

C,


90

Dalam segitiga siku-siku, berlaku perbandingan berikut:

sisi di depan α sisi miring sisi terdekat Cosinus sisi miring sisi di depan Tangen sisi terdekat sisi terdekat Cotangen sisi di depan sisi miring Secan sisi terdekat sisi miring Cosecan sisi di depan Sinus

Dari sigitiga siku-siku di atas, maka: Sin B Sec B

AC BC BC ; AB

AB ; BC

; Cos B

dan Co sec B

Tg B

AC ; AB

Cotg B

AB ; AC

BC AB

Disini dapt terlihat ada hubungan timbal balik antara fungsi sinus, cosinus dan tangen.

Co sec Sec Cotg

1 sin 1 cos 1 tg

2. Sudut-Sudut Istimewa. Sudut-sudut istimewa 300 , 450 dan 600 nilai fungsinya didapat sigitiga samasisi Perhatikan segitiga ABC samasisi dengan panjang sisi adala s satuan. Dari salah satu titik sudut ditarik garis tinggi misalnya dari titik C. C s

300 300

R s

450

s

A

600 ½s

D

600 ½s B

s 2 450

P

s

Q


91

Dari ACD didapat

CD

AC 2

CD

s2

CD

1 3 2

AD 2 1 2 s 4

Sehingga dari segitiga di atas didapat nilai fungsi untuk sudut berikut: Sudut

300

450

600

Sin x

1/2

½ 2

½ 3

Cos x

½ 3

½ 2

1/2

Tg x

1/3 3

1

3

3

1

1/3 3

Fungsi

Cotg x

3. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut 00 s.d. 3600 Dan Lebih Besar 3600

Bidang koordinat kartesius terbagi menjadi 4 bagian yang sama , masing-masing bagian disebut kwadran I, II, III, dan IV Y 900 II

I

1800

00

-X

3600

0 III

IV

-Y 2700

Kwadran I

: 00 <

Kwadran

00 <

Kwadran II

900 <

< 900 < 900 < 1800

X


92

Kwadran III

1800 <

< 2700

Kwadran IV

2700 <

< 3600

Dalam Kwadran I : 00 <

< 900

Y

P(x,y) r 0

Sin

X

y ; r

Cos

x ; r

tg

Di kwadran I semua fungsi bernilai positif. Dalam Kwadran II : 900 <

< 1800 Y

P(-x,y) 1800-X

sin(1800

)

cos(1800

)

tg (1800 ctg (1800

y r

sin x r

y x

) )

x y

cos tg ctg

Sehingga di kwadran II berlaku:

y ; x

dengan r

x2

y2


sin(1800

)

0

)

cos(180 tg (180

0

93

sin cos

)

tg

ctg (1800

)

ctg

Jadi di kwadran ke II hanya fungsi sinus yang berharga positif dan yang lain berharga negatif. Dengan cara yang sama didapatkan untuk sudut Di Kwadran III : 1800 <

< 2700

sin(1800

)

sin

cos(1800

)

cos

tg (1800

)

tg

ctg (1800

)

ctg

Jadi di kwadran ke III hanya fungsi sinus dan cosinus yang berharga negatif dan yang lain berharga positif Di Kwadran IV : 2700 < sin(3600

)

cos(3600

)

0

tg (360

sin cos

) 0

ctg (360

< 3600

tg )

ctg

Jadi di kwadran ke IV hanya fungsi cosinus yang berharga positif dan yang lain berharga negatif. Untuk sudut negatif. Y

P(x,y) r 0

-

X P(x,-y)

-Y


94

Dari grafik di atas didapat:

sin( ) cos( ) tg ( ) ctg ( )

sin cos tg ctg

Jadi untuk sudut negatif hanya fungsi cosinus yang berharga positif dan yang lain berharga negatif. Sudut-sudut yang lebih besar 3600

Y

P(x,y) r X + k.360

0

Titik P(x,y) membentuk sudut

dengan sumbu X positif diputar k kali 3600 pada arah

positif, titik P kembali keposisi semula , maka nilai fungsi untuk titik P akan sama dengan nilai fungsi semula. Sehingga untuk sudut yang lebih dari 3600 akan berlaku: sin(

k .3600 )

sin

cos(

k .3600 )

cos

tg ( ctg (

k .3600 ) 0

k .360 )

tg ctg

k adalah bilangan bulat positip

4. Identitas. Persamaan adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk nilai tertentu . Persamaan 4x – 2 = 14 hanya benar jika x = 4 dan persamaan persamaan x 2 – 4 = 0 hanya benar jika x = 2 atau x = -2. Variabel dalam identitas, akan berlaku untuk semua nilai . tg

sin cos

berlaku yntuk


setiap nilai

95

berarti bentuk identitas. Dalam sigitiga siku-siku beberapa bentuk identitasnya

adalah sebagai berikut: C

a

b

B

A c

a b c cos A b a TgA c sin A

c A

CotgA

sin A cos A Jadi

a c

b b

sin A cos A

a c

tgA

tgA

Bentuk-bentuk identitas yang lain didapat dari segitiga phytagogras berikut. Menurut teorema Phytagoras: b2 = a2 + c2 ……………(1) Jika persamaan (1) dibagi a2 didapat: Co sec2 A 1 cot g 2 A Jika persamaan (1) dibagi c2 didapat : Sec 2 A

tg 2 A 1

Jika persamaan (1) dibagi b2 didapat sin 2 A cos2 A 1 Atau sin2A = 1 – cos2A dan cos2A = 1 – sin2A.


96

Contoh: 1. Sederhanakan

sin 1 cos

1 cos sin

Penyelesaian: sin 1 cos

1 cos sin

sin 2 sin sin 2

(1 cos ) 2 (1 cos )

1 2 cos cos2 sin (1 cos )

(sin 2

cos2 ) 1 2 cos sin (1 cos )

2(1 cos ) sin (1 cos )

2. Dalam bentuk simetri pada gambar berikut, tentukan jarak M.

6 cm 0

600

60

4cm

4 cm

M Penyelesaian :

r x k r = 2 cm k = r +x

x

r tg30 0

300

2 cos ex


x

2

97

2 3

1 3 3

k = 2 + 2 3 cm M = 2( k + 3 ) M = 2[(2 + 2 3) + 3] = (10 + 4 3) cm

5. Aturan Sinus dan Cosinus.

Untuk mencari unsur-unsur dalam segitiga sebuah segitiga, dapat digunakan aturan sinus atau aturan cosinus.

Aturan sinus Aturan sinus digunakan, jika diketahui : a. Satu sisi dan dua sudut b. Dua sisi dan satu sudut didepan sisi yang diketahui

Perhatikan segitiga ABC berikut dengan sudut lancip A

C

b A

a D

B c


98

Dari ADC : CD = b sin A Dari DBC : CD = a sin B Berarti b sin A = a sin B

Atau

a sin A

b sin B

Jika dibuat garis tinggi dari B ke AC, akan didapatkan

a sin A

c sin C

Jadi dalam setiap segitiga ABC yang sisi-sisinya a, b, dan akan berlaku aturan sinus sebagai berikut:

a sin A

b sin B

c sin C

Jika d adalah diameter lingkaran luar segitiga ABC maka berlaku:

a sin A

b sin B

c =d sin C

Aturan Cosinus. Aturan cosinus digunakan, jika diketahui: a. Dua sisi dengan sudut apitnya. b. Ketiga sisinya.

C

b A

a D

B c

Dari

BCD : CD = a sin B dan BD = a cos B AD = c – BD AD = c – a cos B Menurut teorema Phytagoras: AC2 = CD2 + AD2 b2 = (a sin B)2 + (c – a cos B)2 b2 = a2sin2 B + c2 – 2 ac cos B + a2cos2B


99

b2 = a2(sin2 B + cos2B) +c2 – 2 ac cos B b2 = a2 +c2 – 2 ac cos B Dengan cara yang sama, menggunakan pertolongan garis tinggi bisa didapatkan: a2 = b2 +c2 – 2 bc cos A c2 = a2 +b2 – 2 ab cos C Sehingga dalam setiap segitiga ABC yang sisi-sisinya a, b, dan akan berlaku aturan cosinus sebagai berikut: a2 = b2 +c2 – 2 bc cos A atau

cos A

b2 = a2 +c2 – 2 ac cos B atau

cos B

c2 = a2 +b2 – 2 ab cos C atau

cos C

b2

c2 a2 2bc

a2

c2 b2 2ac

a2

b2 c2 2ab

Contoh: Tentukan diameter lingkaran luarsegitiga ABC, jika diketahui sisi-sisinya : a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 12 cm Penyelesaian: Ketiga sisinya diketahui, digunakan aturan cosinus a2 = b2 +c2 – 2 bc cos A

cos A cos A

8 2 122 6 2 2.8.12 0,8958

A = arc cos 0,8958 A = 26,4o

d

a sinA

d = 13,4 cm

6 sin26,40

208 36 192


100

6. Penerapan Trigonometri untuk luas pada bidang datar.

Luas Segitiga. Rumus yang digunakan: a. Jika diketahui alas dan tinggi:

t

a Luas = ½ x alas x tinggi L = ½ a. t.

c. Jika ketiga sisinya diketahui:

b

c

a

Luas s

s( s a)(s b)(s c)

Dimana s = ½ ( a + b + c )

d. Jika diketahui dua sisi dengan sudut apitnya C

b

a

A

B c


101

Luas = ½ ab sin C Luas = ½ ac sin B Luas = ½ bc sin A

Luas segi banyak beraturan. Pusat Lingkaran 360o/n

L

Misalkan L adalah panjang sisi segi n . Dalam segi banyak ini terdapat n buah segitiga sama kaki yang sama dan sebangun. Sudut puncat dari setiap segitiga ini adalah 3600/n . Luas segi n beraturan = n kali luas segi tiga sama kaki.

1 n. . alas x tinggi 2 1 1800 1 n . .L.. Tg(90 0 ). .L 2 n 2 2 0 n.L 180 Tg(90 0 ) 4 n Jadi luas segi n beraturan =

n.L2 tg (900 4

1800 ) n

Untuk segi 4 beraturan ; n = 4 Luas =

4.L2 tg (900 4

1800 ) 4

L2 tg 450

L2

Untuk segi 6 beraturan ; n = 6 Luas =

6.L2 tg (900 4

1800 ) 1,5L2 tg 600 6

2,598L2


102

Untuk segi banyak dengan jumlah sisi genap, Misalkan w adalah jarak antara sisi yang berhadapan atau jarak sisi sejajar, berararti tinggi segitiga sama kaki =w/2 dan alasnya = 2.

w 1800 .tg 2 n

Luas segi n beraturan

1 n. . alas x tinggi 2 1 w 1800 w n . .2. Tg( ). . 2 2 n 2 2 0 n.w 180 Tg( ) 4 n Jadi luas segi n beraturan untuk banyak sisi genap :

n.w 2 1800 Tg( ) 4 n

Luas Segmen Lingkaran.

r

Gambar di atas adalah segmen atau juring lingkaran yang berjari-jari r Luas juring =

. r 2 (dalam derajat) atau luas ljuring = . r 2 (dalam radian ) 2 360

Luas segitiga =

0

1 2 .r sin 2

Luas segmen tembereng = luas juring – luas segitiga

Luas segmen

r2 2

1 2 r sin 2

r2 ( - sin ) ( 2

dalam radian )


103

Contoh: 1. Sebuah tembereng lebih kecil dari setengah lingkaran dengan jari-jari busur 30 mm. Jika panjang tali busur 40 mm tentukan luas segmen tersebut.

Penyelesaian: 40 30

sin

2

20 30

Luas segmen =

1,46 rad

302 ( 1,46 –sin 1,46) = 209,75 mm2 2

2. Gambar berikut menunjukkan logam bulat berdiameter 34 mm. Batang tersebut akan di frais selebar 16 mm sepanjang batang itu.

Hitunglah: a. Kedalaman pemotongan b. Luas penampang logam terpotong

Penyelesaian: C E

B A

D


104

a. Berdasarkan gambar; AD = 17 mm BD = 1/2 lebar yang d frais = 8 mm AD2 = BD2 + BA2 BA2 = 172 – 82 =225 BA = 15 mm Kedalaman pemotongan CB = CA – BA CB = 17 – 15 = 2 mm Kedalaman pemotongan = 2 mm

c. Luas pemotongan Dalam ABC

BAD

Sudut pusat segmen

arcsin

8 17

28,07 0

= 2 x 28,070 = 56,140

56,140 = 0,8306 radian

Luas segmen =

r2 ( - sin ) 2

Luas segmen =

17 2 (0,9806 sin 56,140 ) 21,63 mm 2 2

Jadi luas penampang lintang yang dipotong = 21,63 mm 2

3. Gambar berikut menunjukkan bagian dari engkol dan batang torak. Panjamg OA 75 mm berputar pada O, panjang AB = 200 mm. Hitung sudut BOA sehingga

A B

170 O

Penyelesaian:

B = 170


105

OA sin B

AB sin 200sin17 0 sin 0,7796 75 arc sin 0,7796 51,2290 atau 128,770 Jadi besar sudut BOD = 51,2290 atau 128,770

4. Hitunglah panjang sabuk yang menghubungkan dua pully dengan diameter 120 mm dan 280 mm dan jarak kedua pusatnya 300 mm.

P1

P2 300 mm

Penyelesaian:

Panjang sabuk = 2 ( panjang busur AB + panjang busur CD + CD) Dari

P1P2F :

P1P2 = 300 mm


106

P1F = 140 – 60 = 80 mm P1 F P1 P2

Sin P1 P2 F

0,27

arc sin 0,27 15,7 0

P1 P2 F 2

= 1800 – (900 + 15,70) =74,30

1

= 1800 – (1800 – 900 – 15,70) = 105,70

AB CD BC

80 300

1

.2 R 3600 2

.2 r 3600 FP2

P1 P2

BC

3002

BC

83600

2

105,70 .2.3,14.140 258,14mm 3600 74,30 .2.3,14.60 77,77mm 3600 P1 F 2

80 2 289,14 mm

Jadi panjang sabuk = 2(258,14 + 77,77 + 289,14) = 1250,1 mm

Latihan:

1. Tentukanlah x dan y dari gambar berkut: x 700 500

120 cm

y

1250 mm


107

2. Tentukan jarak w untuk ekor burung tidak simetri berikut jika diameter Roller = 15 mm:

450

600 w 120 mm

3. Sederhanakanlah a. cos2 ( 1 + tg2 ) - sin2 tg

b. Sin

cos

c. sec

- sec

sin2

d. (1 – cos )(1 + sec )ctg e.

1 ctg

f. 1

cos 1 sin

cos2 1 sin

g. cot g

sin 1 cos

4. Suatu segitiga ABC terletak pada lingkaran dengan panjang sisi a = 16 cm; b = 14 cm dan

ABC = 400. Hiutnglah diameter lingkaran luar segitiga.

5. Hitunglah sisi dan sudut lain dari segitiga ABC, jika diketahui: a.

A = 1160

C = 180 dan a = 17 cm

b. a = 23 cm ; c = 18,2 cm dan c. a = 12 cm; b = 9 cm dan d.

A = 360 ;

A = 490

C = 1180

B = 770 dan b = 2,5 cm

e. a = 5 cm; b = 8 cm dan c = 7 cm

6. Hitunglah luas daerah yang tak diarsir pada gambar berikut


108

12 cm 4 cm

7. Dari sebuah lingkaran berjari – jari r dibuat segi delapan beraturan. Hitung luas daerah segi delapan tersebut dinyatakan dalam r. 8. Diketahui sebuah bujur sangkar ABCD dengan panjang sisi x. Dengan berpusat di A dilingkarkan busur BD dan berpusat di B dilingkarkan busur AC dan berpusat di D dilingkarkan busur AC. Busur-busur tersebut berpotongan di P dan Q. Hitunglah luas yang dibatasi oleh busur PQ dan tali busur PQ. 9. Sebuah mata bor mempunyai sudut apit 1200 . Lubang dengan diameter 30 mm harus dibor sehingga kedalamannya 50 mm . Hitunglah kedalaman yang harus dipotong oleh mata bor.

10. Sebuah batang bulat berdiameter 40 mm, akan dikerjakan mesin sehingga penampangnya berbentuk segi lima beraturan dengan luas maksimum. a. Hitung luas segi lima beraturan. b. Berapa prosen batang yang hilang.

11. Jika gaya 100 N, dan 210 N dalam keadaan setimbang, hitunglah sudut apit antara kedua gaya tersebut.

12. Suatu beban digantungkan dari batang mendatar oleh 2 rantai yang panjangnya 2,5 m dan 2,05 m. Titik-titik pengikatan kedua rantai berjarak 1,95 m. Hitunglah sudut yang dibuat masing-masing rantai dan batang mendatarnya. 13. Dua buah gaya 30 N dan 40 N bekerja pada sebuah benda, sudut apitnya 720. Hitunglah: a. Besar gaya Resultan b. Sudut antara gaya resultan dengan gaya 10 N


109

14. Untuk daerah tertentu, sebuah sungai mempunyai tebing – tebing yang sejajar. Titik A dan B yang berjarak 100 m terletak pada satu tebing. Titik C ada di tebing seberang, dimana sudut CAB = 43,30 dan sudut CBA = 55,150 . Hitunglah: a. Jarak AC b. Jarak BC c. Lebar sungai

5. Sudut Majemuk

Jika

dan

adalah dua sudut sembarang, maka

1. sin( 2. sin(

-

) sin cos cos sin ) sin cos - cos sin

3. cos( 4. cos(

) cos cos - sin - ) cos cos sin tg tg 5.Tg ( ) 1 - tg .tg tg tg 6.Tg ( - ) 1 - tg .tg

sin sin

Dari rumus-rumus diatas, dapat dibuktikan sudut rangkap berikut: Sin 2 = 2 sin cos Cos 2 = cos2 - sin2 Atau Cos2 = 2 cos2 - 1 Atau: Sin2 = 1 – 2sin2 Dan

Tg 2

2tg 1 tg 2


110

Rumus sudut majemuk juga sering digunakan dalam teknik listrik. Persamaan bentuk a sin + b cos = c ; (c = konstan) akan mudah diselesaikan, jika bentuknya diubah menjadi R = sin (

+ ) dengan R

Misalnya: Tentukan harga maksimum dan harga

a2

positif terkecil dari sin

b 2 dan

= arc tg (b/a).

- cos

Penyelesaian: Sin

- cos

R

2

= R sin ( - ) 2

a b a = b = 1 maka R = 2 = arc tg (1/1). = arc tg 1 = 450

Sin - cos = 2 sin ( - 450) Akan maksimum jika Sin - cos

= 2 dan sin ( - 450) = 1

( - 450) = arc sin 1 ( - 450) = 90 + k 3600 = 1350 Jadi nilai maksimum Sin

adalah 2 dengan

- cos

3. Jika diketahui E = 5 sin - 12 cos a. Tentukan E dalam bentuk R sin ( + ) b. Selesaikan persamaan 5 sin - 12 cos = 9,75 untuk 0 c. Carilah harga maksimum E dan harga dasar nya d. Carilah dua harga di mana 00 3600 dan E = 0

= 1350

3600


111

BAB V BILANGAN KOMPLEKS

1. Satuan Bilangan Khayal Satuan bilangan khayal ( Imagener) adalah -1 dan umumnya dinyatakan dengan huruf i . Banyak hukum-hukum yang memenuhi bilangan nyata juga memenuhi bilangan imagener. Jadi

4

Karena i i5

4( 1)

4.

1

( 1) , maka i 2

2i

1; i 3

i 2 .i 1.i

1; i 4

i 2 .i 2

( 1)( 1) 1;

i 4 .i 1.i i

Untuk menghindari kesalahan penerapan hukum yang berlaku pada bilangan nyata 4.

seperti

4

( 4)( 4)

16

imagener

m dinyatakan dalam

Jadi

4

4.

(2i)(2i)

4i 2

4 , (adalah hasil yang salah), maka bilangan

mi dimana m adalah sebuah bilangan positif.

2 (hasil yang benar)

2. Pengertian Bilangan Kompleks Bilangan komplek adalah bilangan yang berbentuk a bi dimana a dan b adalah bilangan nyata dan i

1 . Dalam bentuk bilangan kompleks a disebut bagian nyata

dan bi disebut bagian khayal (imagener) Jika a = 0 maka bilangan kompleks disebut disebut khayal murni. Jika b = 0 bilangan kompleks disebut bilangan nyata. Jadi semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni termasuk bilangan kompleks. Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d . Jadi a + bi = 0 jika dan hanya a = 0 dan b = 0. Jika c + di = 3 jika dan hanya jika d = 0 Dua bilangan kompleks a + bi dan a – bi disebut bilangan kompleks saling sekawan.. Jadi 2 + 5i sekawannya 2 – 5i dan sebaliknya.


112

3. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks. Menjumlahkan dua bilangan kompleks: jumlahkan bagian bagian nyata dan khayal murni secara terpisah. Sehingga (a + bi) + (c + di) = (a + c ) + ( b + d )i Maka (5 + 3i) + (6 + 8i) = (5 + 6 ) + ( 3 + 8 )i = 11 + 11i

Mengurangkan dua bilangan kompleks: kurangkan bagian bagian nyata dan khayal murni secara terpisah. Sehingga (a + bi) - (c + di) = (a - c ) + ( b - d )i Maka (5 + 3i) - (6 + 8i) = (5 - 6 ) + ( 3 - 8 )i = -1 - 5i Mengalikan dua bilangan kompleks: lakukan seperti binomila biasa dan ganti i2 dengan – 1. Jadi : (a + bi).(c + di)= ac + adi + cbi + bdi2 = (ac - bd) + ( ad+ cb)i Sehingga ( 2 + 3i ). ( 12 + 5i ) = (2.12 – 3.5) + (2.5 + 3.12) i = (24 – 15) + (10 + 36)i = 9 + 46 i

Membagi dua bilangan kompleks: kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan dengan sekawan penyebutnya, dan ganti i2 dengan –1

a bi c di

(a bi) (c di) . (c di) (c di)

(ac bd ) (ad cb)i c2 d 2

Sehingga: 4 3i 2 6i

(4 3i ) (2 6i ) . (2 6i ) (2 6i ) 1 3 i 4 4

(4.2 3.6) (4.6 3.2)i 2 2 36i 2

Contoh-contoh soal:

1. (5 – 2i) + (6 + 3i ) = (5 + 6) + (-2 + 3)i = 11 + i 2. (6 + 3i) – (4 – 2i) = 6 + 3i – 4 + 2i = 2 + 5i

(8 18) (24 6)i 4 36

10 30i 40


3. (5

125) (4

20)

113

(5 5 5i ) (4 2 5i ) 1 3 5i

4. (4i)(-3i) = -12i2 =12. 5. (6i)2 = 36 i2 = -36 6. (3 – 2i )(4 + i ) = 12 +3i – 8i – 2 i2 = 12 – 5 i +2 =14 – 5i 7. (5 +3i )2 = 52 + 2.5.3i + (3i)2 = 25 + 30i + 9 i2 = 25 + 30i – 9 = 16 +30i 8. (2 – i )(3 + 2i)(1 –4i ) = (6 +4i – 3i – 2 i2) (1 – 4i ) = (8 + i) (1 – 4i ) = (8 – 32i + i – 4 i2) = 8 – 31i + 4 = 12 – 31i

9. (3 + 2i )3 = 33 + 3 (32)(2i) + 3 (3)(2i)2 + (2i)3 = 27 + 54i + 36i2 +8i3 = 27 +54i – 36 – 8i = -9 + 46i

10. (1 + 2i)4 = [(1 + 2i)2]2 = ( 1 + 4i + 4i2)2 = (-3 + 4i)2 = (9 - 24i + 16i2) = -7 –24i 11.

12.

3 i 3 i

3 3i i i 2 32 i 2

1 i 3 i

1 i 3 i

2 4i 10

2 3

2i

2 3

2i

3 2

4 3i

3 2

4 3i

3 2

4 3i

3 2

4 3i

1 5

2 i 5

6 6 8 9i 3 4i 4 6i 2 18 48

Latihan

Kerjakan dari tiap-tiap operasi yang diberikan dan sederhanakan: 1. (3 + 4i) + (-1 - 6i)

6 33

5 i 11


2. .(-2 + 4i) - .(3 - 8i) 4. (4 - 8i)( 3 + 4i) 5. (-2 - 8i)( 3 - 4i) 6. (4 - 8i)2 7. (-1 - 6i) (4 - 8i)2 8. (-1 - 6i)3 9. (1 - i)4 10. (i + 2)5 11.

2 5i 4 3i

12.

1 2 2i

13.

14. 15. 16.

3 2

2 3i

3 2

2 3i

3

2i 2i

5 3 4i

10 4 3i

i 26 i i 1

4i 11 i 17. 1 2i

18.

i i2 i3 1 i

2

i4

114


115

Bentuk Bentuk Bilangan Kompleks. Bilangan kompleks adalah pernyataan dari bentuk di a + bi di mana a dan b adalah bilangan nyata dan i

1.

Grafik Bilangan Kompleks Pada sistem tegak lurus, bilangan x + yi dinyatakan oleh atau bersesuaian dengan titik yang koordinatnya ( x,y). Sebagai contoh: Untuk menyatakan kompleks 3 + 4i, ukur jarak 3 satuan sepanjang garis X/X dari titik O ke kanan kemudian ke atas berjarak 4 satuan. Untuk menyatakan bilangan –2 + 3i , ukur jarak 2 satuan pada X/X dari titik O ke kiri kemudian keatas 3 satuan Untuk menyatakan kompleks 2 - 4i, ukur jarak 2 satuan sepanjang garis X/X dari titik O ke kanan kemudian ke bawah berjarak 4 satuan. Y (Imagener) 4i

3 + 4i

-2+3i

2i X/

X (Nyata) -3

-2

-1

0 1

2

3

4

-2i -4i

2 – 4i

Y/

Bilangan khayal seperti 2i dan -2i dinyatakan oleh titik-titik Y/Y. Bilangan nyata seperti 4 dan –3 dinyatakan oleh titik pada garis X/X.


116

Sehingga sepanjang sumbu X menyatakan bilangan nyata selanjautnya disebut sumbu nyata ( riil). Dan skala sepanjang sumbu Y menyatakan bilangan imagener selanjutnya disebut sumbu Imagener Pernyataan bilangan kompleks secara grafis disebut diagram Argand Y Bentuk Polar (Kutub) Bilangan Kompleks. Kadang-kadang lebih memudahkan menyatakan bilangan kompleks z = x + yi dalam bentuk lain. Dalam diagram Argand misalkan OP adalah vektor x + yi dan misalkan r = panjang vektor tersebut dan

adalah sudut yang dibentuknya dengan sumbu OX Y i

r y

x + yi

0 Maka r 2

x2

Dan tan

y x

Juga x

y2

x

tan

r cos

x2

r

dan y

1

X y2

y x

r sin

Karena z = x + yi, maka z dapat dituliskan z Yaitu z

r (cos

Panjang r

x2

kompleks. Sudut

r cos

r sin

i

i sin ) y 2 adalah selalu positif dan disebut modula atau harga mutlak bilangan

disebut amplitudo atau argumen bilangan kompleks.

Perkalian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Polar.


117

Modulo dari hasil kali dua bilangan kompleks adalah hasil kali dari modulo-modulonya dan amplitudo dari hasilkali adalah jumlah amplitudo-amplitonya.

r1 (cos

1

i sin 1 ).r2 (cos

i sin

2

2

)

r1r2 [cos(

1

2

) i sin(

1

2

)]

Jadi

4(cos 450

i sin 450 ).7(cos300

i sin 300 )

4.7[cos(450 28(cos750

300 ) i sin(450

300 )]

i sin 750 )

Pembagian Bilangan Dalam Bentuk Polar. Modulo dari hasil bagi dua bilangan kompleks adalah madulo yang dibagi, dibagi dengan modulo pembagi dan amplitudo dari hasil bagi adalah amplitudo yang dibagi dikurangi amplitudo pembagi. r1 (cos r2 (cos

1 2

i sin 1 ) i sin 2 )

r1 [cos( r2

1

2

) i sin(

1

2

)]

Sebagai contoh:

6(cos820 2(cos500

i sin 820 ) i sin 500 )

6 [cos(820 2

500 ) i sin(820

500 )] 3(cos320

i sin 320 )

Teorema De Moivre.

Pangkat ke n dari r (cos [r (cos

i sin )]n

i sin ) adalah:

r n (cos n

i sin n ).

Hubungan ini adalah Teorema De Moivre dan berlaku untuk sembarang harga nyata eksponen. Sebagai contoh, apabila pangkat (eksponen) adalah 1/n


i sin )]1 / n

[r (cos

r 1 / n (cos

n

118

i sin ). n

Akar-Akar Bilangan Kompleks. Dalam Bentuk Polar.

Apabila k adalah sembarang bilangan bulat: cos

k .3600 )

cos(

dan sin

k .3600 )

sin(

Maka:

(x

yi)1 / n

[r (cos r 1 / n [cos( r

1/ n

[cos

i sin )]1 / n k .3600 ) i sin( k .3600 n

k .3600 )]1 / n k .3600 ] n

i sin

Sembarang bilangan (nyata atau kompleks ) kecuali nol mempunyai n akar yang berbeda. Untuk memperoleh n akar bilangan kompleks x + yi atau r(cos

+ i sin ), ambil k sebagai

pengganti secara berurutan harga-harga 0, 1, 2, 3, ……, n-1 dalam rumus di atas. Sebagai contoh: 16(cos 600

i sin 600

16(cos 600 4(cos

600

i sin 600

k .3600 2

1/ 2

i sin

600

untuk k = 0

z1

4(cos300

untuk k = 1

i sin 300 )

4(1 / 2 3

1 i) 2

2 3 2i

k .3600 ) 2


z1

119

3600 600 3600 i sin ) 2 2 4(cos 2100 i sin 2100 ) 1 1 4( 3 i) 2 2 2 3 2i

4(cos

600

Y Z1 0

210

300

X Z2

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks Cara lain menyatakan bilangan kompleks yang sering digunakan adalah, bentuk eksponensial. Cara itu diperoleh dengan cara sbb: Banyak fungsi dinyatakan sebagai deret, misalnya:

ex

1 x

x2 2!

x3 3!

x4 4!

x5 5!

..........

x

x3 3!

x5 5!

x7 7!

x9 9!

x11 ....... 11!

cos x 1

x2 2!

x4 4!

x6 6!

x8 8!

x10 ....... 10!

sin x

Barang kali anda masih belum jelas sepenuhnya dengan deret-deret ini . Mengenai bentuk deret deret tersebut akan dibahas khusus .


120

Bila kita ambil deret entuk ex dan x diganti dengan i , akan diperoleh:

e

i

(i ) 2 (i ) 3 (i ) 4 (i ) 5 1 i .......... 2! 3! 4! 5! i2 2 i3 3 i4 4 i5 5 1 i ...... 2! 3! 4! 5! 2 4 i 3 i 5 1 i ...... 2! 3! 4! 5! 2 4 i 3 i 5 1 .......... ........ i ...... 2! 4! 3! 5! 2

1 ei

4

2!

cos

4!

.......... ........

i

3

5

3!

5!

......

sin

Dengan demikian sekarang r (cos

i sin ) dapat ditulis sebagai re i Bentuk ini disebut

sebagai bentuk eksponensial bilangan kompleks. Bentuk ini dapat diperoleh dengan mudah dari bentuk kutub, karena harga r dan harga sudut

dal;am kedua bentuk itu sama.

Meskipun demikian perlu diingat bahwa sudut dalam bentuk eksponen haruslah dinyatakan dalam radian. Sebagai contoh ubahlah bentuk kutub 5(cos 600 + i sin 600) kedalam bentuk eksponensial. Karena diketahui 5(cos 600 + i sin 600) berarti r = 5 dan 600 = /3 radian. Sehingga bentuk eksponensialnya: 5e 3

i

Sekarang untuk sudut negatif Kita ketahui ei = cos Jika kita gantikan

+ i sin

dengan - , maka kita dapatkan

ei(- ) = cos (- )+ i sin (- ) e-i = cos

- i sin


121

Sehingga: re -i = r(cos

- i sin ).

Jadi dikenal tiga cara untuk menyatakan bilangan kompleks yaitu: 1. z

a bi

2. z

r (cos

3. z

r.e i

(cartesius)

(eksponensial)

Sebagai contoh, nyatakan e1Bentuk e1-

(kutub/polar)

i sin )

/4i

kedalan bentuk a + bi

/4i

dapat ditulis sebagai e1 e-

/4i

= e(cos /4 – i sin /4)

/4i

Sehingga: e1e

1- i 4

e

1 2

1 2

i

e 2

1 i

Sebelum ini masih ada satu operasi bilangan kompleks yang belum dapat kita laksanakan, yaitu mencari logaritma bilangan kompleks. Bentuk eksponensial memungkinkan pengerjaan ini, karena bentuk eksponensial memuat perkalian dan pangkat. Karena, jika kita mempunyai z = r ei Maka dapat nyatakan sebagai ln z = ln r + i


122

Sebagai contoh: ln z = ln 6,42 + 1,57i ln z = 1,8594 + 1,57i

Soal- Soal Latihan 2:

1. Carilah bentuk polar dari bilangan kompleks berikut: a. 2 + 2i b. –3 +3i Penyelesaian: a. Amplitudo atau argumen,

tan

1

2 2

tan 1 1 450 22

Modulo atau harga mutlaknya: r Sehingga :

2 2i

r (cos

i sin )

2 2i

2 2 (cos 450

i sin 450 )

Y 2

2+2i 450

0

2

b. b. Amplitudo atau argumen,

X

22

8

2 2


tan

3 3

1

123

tan 1 ( 1) 1800

450

Modulo atau harga mutlaknya: r

1350

( 3) 2

(3) 2

18

Sehingga :

3 3i

r (cos

i sin )

3 3i

3 2 (cos1350

i sin1350 )

Y -3+3i

3 1350

-3

0

X

2. Nyatakan bilangan – bilangan berikut kedalam bentuk polar: a. 5. b. 2 i c. –4 i Penyelesaian: a. 5. Y

0

5

X

= 00 dan r = 5; maka 5 = 5(cos 00 + i sin 00) b.2 i

3 2


124

Y

2i 900 0

X

= 900 dan r = 2; maka 2 i = 2(cos 900 + i sin 900)

c. –4i

Y

2700 0

X

-4i = 2700 dan r = 4; maka -4 i = 4(cos 2700 + i sin 2700)

3. Kerjakan operasi berikut dan nyatakan kedalam bentuk a + bi a. [4(cos 200 b.

i sin 200 )][3(cos 250

i sin 250 )]

12(cos540 i sin 540 ) 3(cos 240 i sin 240 ) Penyelesaian:

a. [4(cos 200

i sin 200 )][3(cos 250

i sin 250 )]


12(cos 450 12

1 2 2

6 2

125

i sin 450 ) 1 2i 2

6 2i

12(cos540 i sin 540 ) b. 3(cos 240 i sin 240 ) 4(cos300

i sin 300 )

1 1 3 i) 2 2 2 3 2i 4(

4. Tentukan pangkat bilangan kompleks yang ditunjukkan berikut dan nyatakan hasilhasilnya kedalam bentuk a+bi a. [3(cos 450 + i sin 450)]4 b. [(cos 300 + i sin 300)]3 1 3 2

c.

1 i 2

100

Penyelesaian: a. [3(cos 450 + i sin 450)]4 = 34(cos 1800 + i sin 1800) = 81(-1 + 0i) = -81 b. [(cos 300 + i sin 300)]3 = 13 (cos 900 + i sin 900) = 0 + i = i 1 3 2

c.

1 i 2

100

[1(cos300

i sin 300 )]100

1100 (cos30000

5. Carilah semua akar-akar dari bilangan yang ditunjukkan a.

5

32(cos500

b.

3

(1 i )

i sin 500

Penyelasaian: a.

5

32(cos500

i sin 500

i sin 30000 )

1 2

1 3i 2


321 / 5 (cos500 2[cos

b.

500

126

i sin 500 )1 / 5

k .3600 5

i sin

500

k .3600 ] 5

Untuk k = 0

z1

2(cos100

i sin100 )

2(0,98 0,17i ) 1,96 3,4i

Untuk k = 1

z2

2(cos820

i sin 820 )

2(0,14 0,99i )

Untuk k = 2

z3

2(cos1540

i sin1540 )

2( 0,9 0,44i)

Untuk k = 3

z3

2(cos 2260

i sin 2260 )

2( 0,69 0,72i)

Untuk k = 4

z5

2(cos 2980

i sin 2980 )

2(0,47 0,88i)

3

2,8 1,98i

1,8 0,88i 1,38 1,44i 0,94 1,76i

(1 i ) =

[ 2 (cos3150

i sin 3150 )]1 / 3

6

2 (cos

3150

k.3600 3

untuk k = 0 z1

6

2 (cos1050

i sin1050 )

6

2 ( 0,26 0,97i )

0,26 6 2

0,97 6 2i

untuk k = 1 z2

6 6

2 (cos 2250

i sin 2250 )

2 ( 0,71 0,71i )

0,71 6 2

0,71 6 2i

untuk k = 2 z3

6

2 (cos3450

i sin 3450 )

6

2 (0,97 0,26i )

0,97 6 2

0,26 6 2i

i sin

3150

k.3600 ) 3


127

Latihan:

1. Tulislah bilangan kompleks berikut dalam bentuk a + bi a. 4(cos 450 + i sin 450) b. 12(cos 300 + i sin 300) c. 8(cos 900 + i sin 900) d. 16(cos 2100 + i sin 2100) e.

z

e

f.

z

e

1

1

2

2

i

i

2. Kerjakan operasi yang ditunjukkan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk a + bi a. [3(cos 150 + i sin 150)] [2(cos 750 + i sin 750)] b. [4(cos 400 + i sin 400)] [5(cos 200 + i sin 200)] c. [2(cos 1000 + i sin 1000)] [4(cos 500 + i sin 500)] d.

20(cos830 i sin 830 ) 5(cos 230 i sin 230 )

e.

6 3 (cos 400 i sin 400 ) 3(cos1900 i sin1900 )

f.

[3(cos 440

12(cos160 i sin160 ) i sin 440 )].[ 2(cos620 i sin 620 )]

5. Carilah pangkat bilangan kompleks yang ditunjukkan dan nyatakan dalam bentuk a + bi a. [2(cos750 + i sin750)]2. b. [5(cos300 + i sin300)]2. c. [ 2(cos360 + i sin360)]5. d. [4(cos200 + i sin200)]2. e. ( 1 i ) 6 f.

(

1 3 2

1 10 i) 2


g. (

1 2 2

128

1 2 i) 6 2

6. Tunjukkan akar-akar yang ditunjukkan dan nyatakan dalam grafik: 4(cos1200

a. b.

4

81(cos1800

c.

3

8(cos 600

d.

3

(1 i)

e.

5

( 32)

f.

3

g.

5

i sin1200 ) i sin1800 ) i sin 600 )

3 i) (2 2 3 i)

7. Misalkan z1

2 3i, z 2

3 4i, z 3

5 12i dan z

z1

z 2 z3 . z 2 z3

Maka jika E = Iz, tentukan E bila diketahui I = 5 + 6i

8. Diketahui bahwa z1 juga bahwa z1 z 3

R1

R

j L ; z2

R2 ; z 3

1 dan z 4 j C3

R4

1 ; dan j C3

z 2 z 4 . Bila j adalah satuan imagener, nyatakan R dan L dalam

konstanta riil R1, R2, R4, C3 dan C4.


129

KEPUSTAKAAN

PEDC Bandung, Ilmu Ukur Sdut, 1983 PEDC Bandung, Matematika I,1990 Murrray R.Spiege, Kasir Iskandar, Matematika Dasar, 1989, Penerbit Erlangga Kastroud, Matematika Untuk Teknik, 1988, Penerbit Erlangga Jakarta Sarge Lang, Gene Murrow, Geometri, 1997, Printed United States of America

BAB I ALJABAR. Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar

Recommend Documents