7
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Rancangan Percobaan
Rancangan percobaan merupakan suatu uji dalam atau deretan uji baik menggunakan statistika deskripsi maupun statistika inferensia, yang bertujuan untuk mengubah peubah input menjadi suatu output yang merupakan respon dari percobaan tersebut (Mattjik & Sumertajaya). Dalam suatu rancangan percobaan, data yang dianalisis dikatakan sah jika data tersebut memenuhi tiga prinsip dasar berikut, yaitu: 1. Ulangan, yaitu melokalisasi sutu perlakua tertentu terhadap beberapa unit percobaan pada kondisi seragam. 2. Pengacakan, yaitu setiap unit percobaan harus memiliki peluang yang sama untuk diberikan suatu perlakuan tertentu. 3. Pengendalian lingkungan, yaitu usaha untuk mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi lingkungan.
Istilah-istilah dalam rancangan percobaan yang biasa dikenal adalah perlakuan yaitu suatu prosedur atau metode yang diterapkan pada unit percobaan, unit percobaan yaitu unit terkecil dari suatu percobaan yang diberikan suatu percobaan, dan satuan amatan yaitu anak gugus dari unit percobaan tempat dimana respon perlakuan diukur.
Rangkaian kegiatan untuk mengamati pengaruh peubah X atau variabel bebas (dependent variable) terhadap Y peragam tak bebas (independent variable), maka X disebut dengan faktor perlakuan dan Y faktor pengamatan.
8
2.2 Rancangan Acak Kelompok
Rancangan acak kelompok merupakan salah satu rancangan yang telah digunakan secara meluas dalam berbagai penyelidikan pertanian, industri, dan sebagainya. Rancangan ini dicirikan dengan adanya kelompok dalam jumlah yang sama, dengan setiap kelompok dikenakan perlakuan-perlakuan. Melalui pengelompokan yang tetap atau efektif maka rancangan ini dapat mengurangi galat percobaan.
Rancangan acak kelompok memiliki kondisi di lapangan yang tidak homogen, selalu mengalami perubahan kondisi (misalnya air, temperatur, dan lain-lain).
Kondisi yang dianggap sebagai kelompok antara lain: 1. Areal lahan (daratan, perairan, laut) 2. Waktu pengamatan (siang, malam) 3. Alat percobaan (mesin berbeda merek) 4. Tenaga kerja (wanita, anak, tenaga terlatih, kurang pengalaman, dan lain-lain) 5. Dan sebagainya
Rancangan acak kelompok lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan rancangan acak lengkap karena pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah kuadrat galat, sehingga akan meningkatkan ketepatan atau dapat mengurangi jumlah ulangan. Dengan banyaknya perlakuan, ulangan/ kelompok serta tidak semua kelompok memerlukan satuan percobaan yang sama menjadikan rancangan acak kelompok lebih fleksibel sehingga dalam penarikan kesimpulan dari suatu percobaan rancangan acak kelompok dapet terlihat jelas perbedaan antara kelompok.
Secara umum model linier dari rancangan acak kelompok:
i = 1, 2, ..., a j = 1, 2, …, b
9
Tabel 2.1 Kuadrat Terkecil Bagi Parameter Parameter µ
Penduga
τj ij
Refresentasi data dari model linier
adalah sebagai berikut:
Analisis ragam diperoleh dari pemisahan jumlah kuadrat total terkoreksi (JKT)
Sehingga secara definisi tampak JKT = JKP + JKK + JK
Tabel 2.2 Randomisasi dan Bagan Percobaan Perlakuan 1
1 Y11
kelompok 2 i… Y21 Y31
k… Yk1
Jumlah Rerataan (TP) TP1
2
Y11
Y22
Y32
Yk2
TP2
j … … t
Y1j … … Y1t
Y1j … … Y2t
Y3j … … Yit
Ykj … … Ykt
TPj … … TPt
Jumlah (TK)
TK 1
TK 2
TK i
TK k
Tij
10
Untuk mencari keragaman masing-masing dirumuskan sebagai berikut: Faktor Koreksi (FK) = nilai untuk mengkoreksi
Dengan: t : jumlah perlakuan r
: jumlah lokasi
Jumlah Kuadrat Total
Jumlah Kuadrat Kelompok
Jumlah Kuadrat Perlakuan
Jumlah Kuadrat Galat
Tabel 2.3 Analisis Ragam (analysis of variance) RAK Sumber keragaman Kelompok Perlakuan Galat Total
Db
JK
KT
Fhitung
Ftabel
v1=k-1 v2=t-1
JKK JKP JKG
JKK/v1 JKP/v2 JKG/v3
KTK/KTG KTP/KTG
(v1, v3) (v2, v3)
kt-1=v1
JKT
11
Dengan:
2.3 Matriks dan Vektor
Matriks didefinisikan sebagai suatu objek variabel-variabel atau operator-operator dan sebagainya yang disusun secara teratur memuat baris dan kolom membentuk suatu persegi panjang dan dibatasi tanda kurung siku atau kurung biasa.
Jika A sebuah matriks, maka digunakan
untuk menyatakan entri yang terdapat
di dalam baris i dan kolom j dari A, i = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…,n. Jadi matriks m × n secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
Suatu matriks yang hanya memuat satu baris atau satu kolom disebut vektor. Dalam hal ini matriks yang memuat hanya satu baris disebut vektor baris sedangkan yang hanya memuat satu kolom disebut vektor kolom. 2.3.1 Matriks Identitas Matriks identitas merupakan matriks bujur sangkar dengan semua elemen diagonal utama mempunyai nilai 1 (satu) dan elemen lainnya merupakan nilai 0 (nol), sehingga untuk matriks
untuk i = j maka aij= 1
12
Sebagai contoh untuk matriks identitas berordo 2, yaitu:
Untuk matriks identitas berordo 3, yaitu:
2.3.2 Matriks Transfose
Jika A adalah sembarang matriks AT dan didefinisikan dengan matriks
, maka transpose A dinyatakan dengan yang didapat dengan mempertukarkan
baris-baris dan kolom-kolom dari A. Sehingga kolom pertama dati AT adalah baris pertama dari matriks A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari matriks A, demikian seterusnya.
2.3.3
Matriks Diagonal
A dapat dikatakan suatu matriks diagonal, jika elemen-elemen selain elemen pada diagonal utamanya adalah 0 (nol).
13
2.3.4 Trace Matriks
Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka trace dari A dinyatakan sebagai TR(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace dari A tidak dapat didefinisikan jika A bukan matriks bujursangkar.
2.3.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Persamaannya berbentuk,
Dengan: A : matriks bujur sangkar λ
: bilangan skalar yang disebut akar ciri (nilai eigen) dari A
x : vektor ciri yang bersesuaian dengan λ Untuk penyelesaian non-trivial yakni x ≠ 0, nilai λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik atau nilai laten dari matriks A.
Dari persamaan diatas diperoleh,
Sehingga terbentuk,
Dengan memindahkan suku-suku disisi kanan ke sisi kiri, persamaan diatas diatas dapat disederhanakan menjadi
14
Sehingga
Dari bentuk matriks diatas diperoleh persamaan, A. x = λx → A. x - λx = 0 → ( A - λI ) x = 0
Agar diperoleh penyelesaian non-trivial maka
harus nol.
2.4 Analisis Komponen Utama
Analisis komponen utama merupakan teknik statistik yang digunakan untuk menjelaskan sturktur variansi-kovariansi dari sekumpulan variabel melalui beberapa variabel baru ini saling bebas, dan merupakan kombinasi linier dari variabel asal. Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama (principal component).
Secara umum tujuan analisis komponen utama adalah menjelaskan sebanyak mungkin jumlah varian data asli dengan sedikit mungkin konfonen utama yang disebut faktor. Banyaknya faktor (komponen) yang bisa diekstrak dari data awal/ asli ialah sebanyak variabel yang ada. Katakan ada m komponen (faktor) yang bisa diekstrak dari p variabel asli, maka paling banyak m=p, artinya banyaknya komponen atau faktor yang harus dipertahankan harus sedikit mungkin akan tetapi sudah mencakup sebagian besar informasi yang terkandung di dalam data asli.
15
2.4.1 Komponen Utama yang Dibentuk Berdasarkan Matriks Kovarian (Matriks Koragam)
Σ
Misalnya
merupakan
suatu
matriks
kovariansi
dari
vektor
acak
dengan pasangan nilai eigen dan vektor eigen adalah (λ1, e1), (λ2, e2),…, (λp, ep), dimana λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λp ≥ 0, maka komponen utama ke i didefinisikan sebagai berikut:
Keterangan: W1 : komponen pertama yang memenuhi maksimum nilai e1′Σe1= λ1 W2 : komponen kedua yang memenuhi sisa keragaman selain komponen pertama meaksimumkan nilai e2′Σe2= λ2. Wp : komponen ke- p yang memenuhi sisa keragaman selain dari W1, W2, …, Wp-1 dengan memaksimuman nilai ep′Σep= λp. Urutan W1, W2,…, Wp harus memenuhi syarat λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λp. Sementara itu, proporsi total variansi yang dijelaskan komponen utama ke k adalah:
2.4.2 Komponen Utama yang Dibentuk Berdasarkan Matriks Korelasi
Selain berdasarkan matriks kovariansi, komponen utama juga dapat dibentuk berdasarkan matriks korelasi. Hal ini dilakukan jika variabel-variabel bebas yang diamati mempunyai perbedaan range yang besar. Komponen utama ke- i ; Wi yang dibentuk berdasarkan variabel-variabel yang telah dibakukan dengan didefinisikan sebagai berikut:
16
Sementara itu, proporsi total variansi yang dapat dijelaskan oleh oleh komponen utama kevariabel bebas yang telah dibakukan didefinisikan sebagai berikut:
2.5 Pengaruh Utama Aditif dengan Interaksi Ganda (UAIG) atau Aditif Main Effects and Multiplicative Interaction (AMMI) Bentuk liniernya dapat ditulis secara lengkap sebagai berikut:
Untuk mengkaji pengaruh utama genotipe pada berbagai lingkungan dapat dilakukan melalui uji multilokasi. Uji ini dapat dilakukan dengan melibatkan berbagai genotipe pada berbagai kondisi lingkungan, yang meliputi tempat, tahun tanam dan berbagai perlakuan agronomi lainnya. Uji ini dilakukan sebagai mana halnya dalam rancangan percobaan biasa, hanya saja blok atau kelompok disarangkan ke dalam lingkungan. Analisis multilokasi biasa disebut analisis ragam gabungan (Composite Analysis of Variance). Permasalahan
selanjutnya
yang
sering
dihadapi
adalah
bagaimana
menguraikan pengaruh interaksi genotipe dengan lingkungan secara efektif. Berbagai metode telah dikembangkan oleh berbagai tokoh statistika seperti Eberthart Russel, Finlay Wilkinson, dan Tukey. Metode yang dikemukaan oleh ketiga tokoh besar tersebut cukup efektif dalam memilah genotipe-genotipe yang stabil dan spesifik. Namun pendekatan ini masih meninggalkan keragaman yang cukup besar, karena pendekatan ini hanya menjelaskan komponen linier dari pengaruh interaksi sehingga apabila pola interaksi genotipenya terhadap lingkungan tidak linier akan menyisakan keragaman yang cukup besar.
17
Kelemahan ini memicu berkembangnya metode UAIG (Pengaruh Utama Aditif dengan Interaksi Ganda) atau dikenal juga dengan metode AMMI (Additive Main Effects and Multiplication Interaction) UAIG sangat efektif menjelaskan interaksi genotipe dengan lingkungan. Penguraian pengaruh interaksi dilakukan dengan model bilinier, sehingga kesesuaian tempat tumbuh bagi genotipe akan dapat dipetakan secara jelas. Perkembangan metode UAIG sampai saat ini sudah diterapkan untuk model tetap (AMMI) yaitu jika perlakuan dan lingkungan ditentukan secara subjektif oleh peneliti dan kesimpulan yang diharapkan hanya terbatas pada perlakuan dan lingkungan yang dicobakan saja. Model campuran (Mixed AMMI) yaitu yang salah satu dari perlakuan atau lingkungan bersifat acak dan kesimpulan untuk factor acak berlaku untuk populasi taraf dari faktor acak. Metode kategorik (Generalized Linier Model AMMI) yaitu jika respon yang diamati bersifat kategorik seperti tingkat serangan hama (ringan, sedang, dan berat). Expectation Maximatation AMMI yaitu metode yang digunakan dalam menangani data hilang. Dalam mengkaji stabilitas dalam beberapa kasus tidak cukup hanya dilihat dari satu sisi. Selama ini kajian stabilitas hanya melihat semata-mata berdasarkan produktifitas tanaman, sehingga terkesan kajain stabilitas masih terfokus pada masa kuantitas belum menyentuh aspek kualitas. Oleh karena itu perlu pendekatan yang lebih perlu pendekatan yang lebih konfrehensif dalam melakukan kajian stabilitas yaitu dengan melibatkan beberapa respon yang memasukkan unsur kualitas maupun kuantitas. Tahap-tahap penyusunan dengan UAIG atau AMMI adalah sebagai berikut: 1. Melihat pengaruh aditif perlakuan dan lokasi melalui analisis ragam yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan rancangan acak kelompok. Pada pemodelan UAIG atau AMMI, jumlah kuadrat dihitung sebagaimana umumnya pada analisis ragam. Namun untuk jumlah kuadrat pengaruh interaksi komponen ke-n adalah akar ciri dari penguraian matriks koragam (S) atau matriks korelasi (R).
18
Tabel 2. 4 Analisis Ragam untuk Model UAIG Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
Kelompok
b(n-1)
JKK
KTK
Perlakuan
a-1
JKA
KTA
Lokasi
b-1
JKB
KTB
Perlakuan*Lokasi
(a-1)
JK(A*B)
KT(A*B)
IKU-1
a+b-1-2(1)
JKKU1
KTKU1
IKU-2
a+b-1-2(1)
JKKU2
KTKU2
…
…
…
…
Galat
b(a-1)(n-1)
JKG
KTG
Total
abn-1
JKT
2. Menyusun matriks pengaruh interaksi perlakuan (kolom) dengan lokasi (baris) sehingga berukuran a × b kemudian melakukan penguraian matriks tersebut melalui analisis komponen utama.
2.6.1 Skor Komponen Utama Pertama
Untuk menyesaikan kasus dalam pengaruh utama aditif dengan interaksi ganda (UAIG) dilakukan dengan pula mencari skor komponen utama pertama dari analisis komponen utama terhadap data respon peubah asal.
Tahapan analisis yang dilakukan pada pendekatan ini adalah sebagai berikut:
1.
Hitung matriks koragam (S) atau matriks korelasi (R)
Dengan: , i=j
, i≠j
19
pR p
Dengan:
2.
Cari vektor ciri (eigen vector) dan akar ciri (eigen value) dari persamaan
atau Dengan ketentuan sebagai berikut: 1.
Gunakan matriks koragam (S) jika peubah-peubah yang dianalisis memiliki satuan yang sama dan gunakan matriks korelasi (R) jika peubah-peubah yang dianalisis memiliki satuan yang berbeda.
2.
Tata vektor ciri (eigen vector) dengan akar ciri (eigen value)
yang berpadan
.
2.6.2 Metode Pembobotan Berdasarkan Analisis Komponen Utama
Banyaknya komponen utama yang dipilih ditentukan berdasarkan persentase keragaman kumulatif. Persentase keragaman kumulatif dapat dihitung sebagai berikut:
Batas minimal persentase keragaman kumulatif yang digunakan adalah 75%.
20
2.6.3 Nilai Komponen UAIG (AMMI) Nilai Analisis komponen utama direduksi dan dianalisis kebermaknaannya berdasarkan prosedur Uji F. Gollob, yaitu sebagai berikut:
1. Bila komponen bermakna atau hasilnya berpengaruh secara signifikan terhadap taraf hanya 0.05 atau 0.01 adalah IKU-1, maka model yang berlaku adalah AMMI-1.
2. Bila kedua komponen IKU-1 dan IKU-2 bermakna atau berpengaruh secara signifikan, maka model yang berlaku adalah AMMI-2.
3. Bila tak satupun komponen bermakna, maka model yang berlaku adalah AMMI-0.
Tingkat stabilitas perlakuan dianalisis berdasarkan parameter stabilitas UAIG yaitu AMMI Stability Value (ASV) dapat dihitung sebagai berikut:
Dengan: ASV
: AMMI Stability Value (Stabilitas Nilai UAIG)
IKU
: Interaksi Komponen Utama
JK IKU1
: Jumlah Kudrat Interaksi Komponen Utama pertama
JK IKU2
: Jumlah Kuadrat Interaksi Komponen Utama kedua
