Fun With Math ANISSA NURHIDAYATI
CV. MEDIA SARANA CERDAS
Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit. Ketentuan pidana pasal 72 UU No. 19 tahun 2002 1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau
2.
denda paling sedikit Rp 1.000.000, 00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000, 00 (lima miliar rupiah). Barangsiapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu Ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000, 00 (lima ratus juta rupiah).
Fun With Math Penyusun Editor Design Sampul Lay Out Cetakan Pertama
: Anissa Nurhidayati : Mirna Indrianti : Indscript Creative : Indscript Creative : Tahun 20113
Penerbit: CV. MEDIA SARANA CERDAS Jl. H. Bardan IV No. 302 B Bandung Telp. 022-70282827 E-mail :
[email protected]
Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) Nurhidayati, Anissa Fun With Math/Anissa Nurhidayati Cet. 1 - Bandung: Media Sarana Cerdas, 2013. vi + 66 hlm. ; ilus ; 21 cm. Bibliografi: hlm. 65 ISBN 978-602-9108-17-0 1.
Fun With Math
I. Judul
iii
Prakata Belajar Matematika seringkali membuat malas. Bukan tanpa alasan. Hal ini tentu karena materi dalam pelajaran Matematika banyak dengan tingkat kesukaran yang tinggi. Alhasil, nilai bagus pun susah didapatkan. Mengingat materi Matematika sebenarnya bisa dibuat mudah. Kamu hanya butuh memetakan materinya di dalam pikiranmu. Cukup dengan menghapal garis-garis besarnya saja, kamu bisa mengingat semua materi. Ya, tentu saja karena belajar seperti ini melibatkan dua belahan otakmu. Otak kanan dan otak kiri. Buku Fun with Math Map adalah sebuah buku yang meringkas semua materi pelajaran Matematika SMP dalam satu buku. Buku ini juga bisa kamu sebut sebagai buku kumpulan rumus-rumus materi Matematika SMP. Di buku Fun with Math Map kamu akan diberikan pemetaan dari setiap bab yang dibahas. Pelajari dan ingat-ingat terus peta tersebut agar kamu bisa mengingat semua materinya. Tapi tentu kamu juga harus mempelajari materinya secara utuh terlebih dahulu. Beberapa contoh soal juga diberikan dalam tiap bab yang dipetakan. Hal ini
Fun With Math
iv bertujuan agar kamu melihat contoh soal atau aplikasi peta dari materi yang dibahas. Teruslah belajar dan berlatih soal-soal matematika karena itu adalah kunci sukses dalam menaklukkan pelajaran ini. Selamat belajar dan semoga sukses!
Penulis
Fun With Math
v
Daftar Isi Prakata Daftar isi
iii v
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
1 3 7 10 12 13 15 18 21 23 25 28 30 32
Bilangan Bulat Pangkat dan Akar Pecahan Aljabar Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV) Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PtLSV) Aritmetika Sosial Perbandingan Himpunan Garis Sudut Segi Empat Segitiga Faktorisasi Aljabar
Fun With Math
vi 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
Relasi Persamaan Garis Lurus Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Dalil Pythagoras Lingkaran Garis Singgung Lingkaran Bangun Ruang Sisi Datar Similar dan Kongruen Bangun Ruang Sisi Lengkung Statistika Peluang Pangkat Tak Sebenarnya Baris dan Deret
Glosarium Index Daftar Pustaka Profil Penulis
Fun With Math
34 36 38 40 43 45 47 50 52 54 56 58 60
63 64 65 66
1
1 Bilangan Bulat Peta Materi Bilangan Bulat Negatif Nol Positif
BilanganBulat
PERKALIAN (+) × (+) = (+) (+) × (–) = (–) (–) × (+) = (–) (–) × (–) = (+)
PEMBAGIAN (+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–) (–) : (–) = (+) PENJUMLAHAN & PENGURANGAN Gunakan sistem ‘utang bayar’. Tanda (–) artinya utang dan tanda (+) artinya bayar.
SIFAT-SIFAT Komutatif : a + b = b + a Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c Distributif : a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Hitungan Campuran Selesaikan dulu yang berada dalam tanda kurung ( ). Selesaikan perkalian dan pembagian (× dan :) Baru selesaikan pertambahan dan pengurangan (+ dan –)
Fun With Math
2
Soal-Soal Bilangan Bulat 28. Bagaimanakah cara membandingkan bilangan 7, –3, –9, 4, dan 1? Jawab: Sebelum membandingkan semua bilangan, kamu harus menyusunnya lebih dulu, bisa dimulai dari yang terkecil atau dari yang terbesar. Sesudah itu barulah kamu bisa membandingkannya. Jadi perbandingannya: Dari yang terkecil: –9 < –3 < 1 < 4 < 7 Dari yang terbesar: 7 > 4 > 1 > –3 > –9 29. Apa sih arti kedalaman laut yang mencapai 200 dpl? Jawab: Kata dpl sebenarnya singkatan dari “di bawah permukaan laut”. Jadi, 200 dpl berarti laut yang mempunyai kedalaman 200 meter di bawah permukaan laut atau ditulis (–200) m. Jarak ini dihitung dari permukaan laut sampai ke dasar lautnya. Pengukuran kedalaman laut dilakukan dengan sistem sonar, yaitu pemantulan gelombang bunyi. 30. Bagaimana cara menghitung 52 - 60 = ? Jawab: Logikanya, 52 tidak mungkin bisa dikurangi oleh 60 karena 52 lebih kecil daripada 60. Namun, dalam bilangan bulat, perhitungan seperti itu ternyata ada hasilnya. Mengapa? Karena bilangan bulat memiliki nilai di bawah nol, yaitu bilangan-bilangan negatif. Berapa hasil dari 52 – 60? Gunakan saja garis bilangan untuk mencari hasilnya. -60
52 -
Fun With Math
3 31. Hitunglah soal: (11 x (–5)) – (11 x (–7))! Jawab: Perhitungan itu memang terlihat rumit. Namun, dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, kamu dapat mengerjakannya dengan lebih mudah dan cepat. (11 × (-5)) - (11 × (-7)) = 11 × ((-5) - (-7)) = 11 × (-5 + 7) = 11 × 2 = 22, Jadi hasil (11 x (–5)) – (11 x (–7)) = 22.
2 Pangkat dan Akar Peta Materi Pangkat dan Akar
PANGKAT Perkalian berulang terhadap suatu bilangan.
Pangkat Dua (kuadrat) Contoh: 52 = 5 × 5
Pangkat Tiga Contoh: (–3)3 = (–3) × (–3) × (–3)
Pangkat dan Akar
Akar Pangkat Dua Contoh: = 15 AKAR PANGKAT Kebalikan dari pangkat.
Akar Pangkat Tiga Contoh: =2
Fun With Math
4
Soal-soal Pangkat dan Akar 1.
Hitunglah penjumlahan bentuk akar berikut: = ... Jawab: Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada bentuk akar, diperoleh: =
=
Jadi, diperoleh hasil 2.
=
Hitung penjumlahan bentuk akar berikut: = ... Jawab: Penjumlahan ini mempunyai bentuk akar yang berbeda. Akan tetapi, kamu bisa menyederhanakannya terlebih dahulu. = = = = = = = Jadi, diperoleh hasil
3.
=
Hitung perkalian bentuk akar berikut: = ...
Fun With Math
5 Jawab: Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian pada bentuk akar, maka: = = = = = Jadi, diperoleh hasil
=
Hitung pembagian
= ... bentuk akar berikut Jawab: Dengan menggunakan sifat-sifat pada pembagian pada bentuk akar, maka: = = = = Jadi,
diperoleh hasil
Fun With Math
6
4.
Hitung pengurangan bentuk akar berikut: = ... Jawab: Dengan menggunakan sifat pengurangan bentuk akar, diperoleh: = = = = = Jadi, diperoleh hasil
5.
Rasionalkan bentuk akar berikut: Jawab: = = = =
Fun With Math
=
.
7
3 Pecahan Peta Materi Pecahan Bagian dari sesuatu yang utuh.
OPERASI HITUNG
Perkalian = Pembagian =
Pecahan
Penjumlahan
= Pengurangan
PERSEN (%) PECAHAN DESIMAL
=
Operasi Hitung • Penjumlahan • Pengurangan • Perkalian • Pembagian
Fun With Math
8
Soal-soal Pecahan 1.
Bagaimana cara mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran? Sebaliknya, bagaimana mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa? Jawab: Pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar dari penyebut dapat diubah menjadi pecahan campuran. Dengan kata lain, pecahan campuran dapat diperoleh jika bentuk pembagiannya memiliki sisa. Bagaimana menuliskan bentuk pecahan campuran? Caranya mudah sekali! Misalnya, , ini artinya 7 dibagi 3. Hasil dari 7 dibagi 3 adalah 2 dan sisa 1. Jadi, bisa dituliskan seperti ini. = dengan 2 merupakan hasil bagi 7 dengan 3, 1 sisa hasil bagi 7 dengan 3, dan 3 merupakan penyebut. Nah, proses sebaliknya, yaitu mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa juga sama mudahnya. Kamu cukup mengalikan bilangan hasil pembagian dengan bilangan pembagi, kemudian menambahkannya dengan sisa hasil pembagian. . Misalnya: Dengan 3 merupakan hasil pembagian, 2 sisa hasil pembagian, dan 5 merupakan pembagi. Jawab: Pecahan campuran bisa dibuat pecahan biasa dilakukan dengan cara mengalikan penyebut dengan hasil bagi kemudian ditambahkan dengan sisa hasil bagi. Bilangan ini menjadi bilangan pembilang. Adapun penyebutnya adalah sama.
Fun With Math
9
Jadi untuk
, pecahan biasanya didapat dengan:
- mengalikan 5 dengan 3 dan ditambahkan 2 = 17 pembilang - penyebutnya sama Jadi bentuk pecahan biasa dari 2.
=
adalah
Ibu membeli tali tambang sepanjang
meter. Tali itu digunakan
meter. Berapa meter sisa tali untuk tali jemuran sepanjang tambang itu? Jawab: Soal ini melibatkan perhitungan pecahan berpenyebut sama. Untuk menghitung sisa panjang tali, kamu hanya perlu mencari selisih dari kedua pecahan itu. Langkah pertama, ubah kedua pecahan campuran itu ke bentuk pecahan biasa. =
=
= = Langkah kedua, hitung selisih kedua pecahan itu. = = = Langkah ketiga, ubah pecahan biasa ke bentuk pecahan campuran. Fun With Math
10
= 2 sisa 1 = Jadi, sisa panjang tali adalah
meter.
4 Aljabar Peta Materi Aljabar VARIABEL KOEFISIEN KONSTANTA SUKU
PECAHAN ALJABAR Perhitungan sama dengan pecahan biasa.
Aljabar
PENJUMLAHAN & PENGURANGAN
PEMBAGIAN Diubah dulu ke
Hanya suku-suku yang sejenis
bentuk pecahan.
saja yang bisa dijumlahkan atau dikurangkan.
PERKALIAN Masing-masing unsur dikalikan
PERPANGKATAN Masing-masing unsur
seperti biasa.
dipangkatkan seperti biasa.
Soal-soal Aljabar 1.
Tentukan nilai dari bentuk aljabar berikut. a.
Fun With Math
, jika nilai
;
11
b.
, jika nilai
;
, jika nilai c. Jawab: a. substitusikan nilai =
=
=
= 51
b. substitusikan nilai =
=
= =
= 13
c. substitusikan nilai = 27 2.
=
? Berapa hasil dari Jawab: Dengan menggunakan aturan perhitungan perpangkatan pada pecahan aljabar, maka: = Jadi,
3.
=
=
=
=
Berapa hasil dari ? Jawab: Perhitungan ini melibatkan dua pecahan aljabar yang memiliki penyebut yang berbeda. Kamu bisa memakai aturan ini. Fun With Math
12
= syarat: b ≠ 0, d ≠ 0 Bisa juga menyamakan penyebutnya. =
=
= Jadi diperoleh hasil
=
5 Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV) Peta Materi Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)
PLSV
Semua variabel berpangkat 1 Menggunakan tanda ‘=’ Contoh: Soal Hitungan 4x + 5 = 25 Mengganti variabel dengan nilai 7p – 3 = 11 yang sesuai. 9 + 2m = 15 Penyelesaian PLSV Soal Cerita Dibuat model matematika terlebih dahulu.
Fun With Math
13
Soal Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV) 1.
Dalam proses pembuatan kerajinan, seorang pengrajin mengunakan tali berwarna biru dan putih sepanjang 48 m. Jika panjang tali biru dua kali panjang tali putih, berapakah panjang tali putih? Jawab: Langkah pertama, gunakan variabel untuk menyatakan panjang biru dan tali putih. Misalkan, panjang tali biru = b panjang tali putih = p Langkah kedua, buat model matematikanya. Panjang tali biru 2 kali panjang tali putih, maka b = 2p; Panjang tali biru dan tali putih 48 m, maka b + p = 48 m 2p + p = 48 m Langkah ketiga, tentukan penyelesaian PLSV. Dari bentuk model matematika yang diperoleh, kamu dapat menentukan nilai variabel p dengan mudah. 2p + p = 48 3p = 48 p = 16; Jadi, panjang tali putih adalah 16 meter.
6 Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PtLSV) Peta Materi Pertidaksamaan Linier Satu Variabel PtLSV
Semua variabel berpangkat 1 Tanda yang Digunakan >, <, ≥ , dan ≤
Contoh: 2a + 3 > 13 12m – 5 < 7 4 + 5m ≥ 19
Fun With Math
14
Soal Pertidaksamaan Linier Satu Variabel 1.
Sebidang tanah luasnya tidak lebih dari 500 m2. Dalam sebidang tanah tersebut akan dibuat kolam ikan seluas 150 m2 dan 5 petak sawah. Berapa luas satu petak sawah tersebut? Jawab: Langkah pertama, gunakan variabel untuk menggantikan luas satu petak sawah. Misalkan, luas satu petak sawah adalah p m2. Jadi,luas 1 petak sawah = p m2 Luas 5 petak sawah = 5 × (p) m2 = 5p m2 Langkah kedua, buat model matematikanya. Luas sebidang tanah tersebut tidak lebih dari 500 m2. Jadi, model matematikanya bisa dibuat seperti ini. Luas 5 petak sawah + Luas kolam ikan < 500 m2 5p m2 + 150 m2 < 500 m2 5p + 150 < 500 Langkah ketiga, tentukan penyelesaian PtLSV. Dari bentuk model matematika yang diperoleh, kamu dapat menentukan nilai variabel p dengan mudah. 5p + 150 < 500 5p < 500 – 150 5p < 350 p < 70 Ternyata diperoleh p < 70. Nilai p tidak boleh lebih dari 70. Artinya, luas satu petak sawah yang dibuat tidak akan lebih dari 70 m2.
Fun With Math
15
7 Aritmetika Sosial Peta Materi Aritmetika Sosial KEUNTUNGAN Harga Jual > Harga Beli TRANSAKSI
Aritmetika Sosial
POTONGAN HARGA
TABUNGAN
KERUGIAN Harga Jual < Harga Beli DISKON Persentase dari harga asli. RABAT Besarnya diskon bergantung pada banyaknya barang yang terjual. PERHITUNGAN BUNGA =
PAJAK TABUNGAN
TARA Berat kemasan BRUTO Berat keseluruhan NETTO Berat isi dalam kemasan
Soal-soal Aritmetika Sosial 1.
Harga sepuluh buku tulis adalah Rp35.000,00. Berapakah harga satu buku tulis, harga empat buku tulis, dan harga satu lusin buku tulis? Fun With Math
16 Jawab: a. Harga sepuluh buku tulis adalah Rp35.000,00. Untuk menghitung harga satuan, kamu bisa menggunakan perhitungan: Harga satuan = = = Rp3.500,00 Jadi, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.500,00. b. Harga sebuah buku tulis adalah Rp3.500,00. Untuk menghitung harga empat buah buku dapat dituliskan: Harga empat buah buku tulis = =
= Rp14.000,00 Jadi, harga empat buah buku adalah Rp14.000,00. c. Harga sebuah buku adalah Rp3.500,00 dan satu lusin buku tulis adalah 12 buku tulis. Untuk menghitung harga selusin buku dapat dituliskan: Harga selusin buku tulis = = Rp42.000,00 Jadi, harga selusin buku tulis adalah Rp42.000,00. 2.
=
Saya membeli 4 set pensil warna. Jika harga satu setnya adalah Rp12.500,00 dan saya membayar dengan uang pecahan Rp50.000,00, berapa uang kembalian yang saya terima? Jawab: Langkah pertama, menentukan harga empat set pensil warna. Harga satu set pensil warna adalah Rp12.500,00, maka: Harga keseluruhan =
Fun With Math
17
Harga 4 set pensil warna = = Rp50.000,00 Jadi, harga 4 set pensil warna adalah Rp50.000,00. Langkah kedua, menghitung besarnya uang kembalian. Uang yang kamu bayar adalah Rp50.000,00 sedangkan harga 4 set pensil warna adalah Rp50.000,00. Uang kembalian = Jadi, kamu tidak memperoleh uang kembalian.
= Rp0,00
Fun With Math
18
8 Perbandingan Peta Materi Perbandingan DEFINISI Jika a dan b merupakan dua besaran yang sejenis, perbandingannya adalah a : b atau a/b Dengan a dan b merupakan bilangan rasional positif. PERBANDINGAN SENILAI Jika nilai dari a adalah c dan nilai dari b adalah d, akan berlaku: a/b = c/d
Perbandingan
Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan rasional positif.
PERBANDINGAN BERBALIK SENILAI Jika nilai dari a adalah c dan nilai dari b adalah d, akan berlaku: a/b = d/c Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan rasional positif.
Perbandingan antara banyaknya bensin dengan jarak tempuh.
Perbandingan antara waktu pekerjaan dengan banyaknya pekerja. Skala =
Jarak peta = Skala x Jarak peta Sebenarnya
SKALA Perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak sebenarnya.
Fun With Math
Jarak sebenarnya =
Satuan: cm
19
Soal-soal Perbandingan 1.
Dalam suatu kelas, perbandingan banyaknya laki-laki dan perempuan adalah 3 : 5. Jika banyaknya laki-laki dalam kelas itu adalah 12 orang, coba tentukan: a. banyaknya siswa perempuan b. banyaknya siswa dalam kelas tersebut. Jawab: Langkah pertama, tuliskan informasi yang diketahui. • Perbandingan banyaknya laki-laki terhadap perempuan = 3 : 5. • Banyaknya laki-laki = 12 orang Langkah kedua, membuat pemisalan. Misalnya banyaknya perempuan ada p orang. Langkah ketiga, tentukan bentuk perbandingan. Banyaknya laki-laki : Banyaknya perempuan = 3 : 5 Banyaknya laki-laki/Banyaknya perempuan =
=
=
p= = 20 Jadi, banyaknya perempuan dalam kelas itu adalah 20 orang. Adapun banyaknya siswa dalam kelas adalah: Banyaknya laki-laki + Banyaknya perempuan = 12 orang + 20 orang = 32 orang. 2.
Sebuah sekolah berencana membagikan bingkisan kepada sejumlah siswa berprestasi. Kemungkinan akan ada 10 siswa berprestasi dan masing-masing menerima 15 paket bingkisan. Sebagai pantia, saya tentunya harus mempersiapkan segala kemungkinan. Jika ternyata ada 25 orang siswa berprestasi, berapa banyak paket bingkisan yang diberikan kepada setiap siswa? Jawab: Fun With Math
20 Soal di atas menggunakan perbandingan berbalik nilai karena semakin banyak siswa berprestasi maka semakin sedikit bingkisan yang diterima. Langkah selanjutnya membuat pemisalan. Misalkan, sebanyak 25 siswa berprestasi masing-masing menerima p bingkisan. 10 siswa = 15 bingkisan; 25 siswa = p bingkisan 10 siswa/25 siswa = p bingkisan /15 bingkisan =
kemudian tentukan nilai p =
150 = 25 p
p=
= =6
Jadi, jika ada 25 siswa berprestasi, mereka akan menerima 6 paket bingkisan.
Fun With Math
21
9 Himpunan Peta Materi Himpunan PENGERTIAN
Kumpulan berbagai objek dengan ciri dan sifat yang sama. Menggunakan tanda ‘sama dengan’. Menggunakan huruf kapital. Menggunakan tanda kurawal buka dan tutup. Menggunakan tanda koma sebagai pemisah. Menggunakan tiga titik untuk menyatakan ‘tak hingga’.
PENULISAN
PENYAJIAN Irisan Notasi: ∩
Gabungan Notasi:
Komplemen Notasi: Ac
Himpunan Semesta Notasi: S
Himpunan Kosong Notasi: { }
Himpunan Bagian Notasi:
∩
Himpunan
Diagram Venn Selisih Notasi: A – B
JENIS
∩
HUBUNGAN
Soal Himpunan Dari 48 orang siswa, 25 orang menggemari sepak bola dan 16 orang menggemari basket. Jika ada 10 orang yang tidak menggemari keduanya, coba kamu tentukan: a. banyaknya orang yang menggemari sepak bola dan basket; b. banyaknya orang yang menggemari sepak bola saja; dan c. banyaknya orang yang menggemari basket saja. Jawab: LANGKAH PERTAMA, tentukan banyaknya himpunan yang terlibat. Di sini, ada dua himpunan yang dituliskan, yaitu himpunan sepak bola dan himpunan basket. Fun With Math
22 LANGKAH KEDUA, buat diagram Venn-nya. Misalkan, himpunan sepak bola dilambangkan dengan P dan himpunan basket dilambangkan dengan B. LANGKAH KETIGA, perhatikan irisannya. Di sini tidak diketahui berapa orang yang menggemari keduanya. Jadi, kamu bisa menggunakan pemisalan. Misalkan, x adalah banyaknya orang yang menggemari sepak bola dan basket. LANGKAH KEEMPAT, tuliskan informasi yang diketahui. Untuk himpunan sepak bola yang digemari oleh 25 orang, diisi (25 – x) orang. Begitu pula pada himpunan basket diisi (16 – x) orang, untuk 10 orang yang tidak menggemari keduanya, ditulis di luar kedua himpunan tersebut. LANGKAH KELIMA, Lengkapi informasi yang ada pada diagram. Ingat, jumlah siswa seluruhnya ada 48 orang. Jadi, jumlah seluruh anggota himpunan semesta adalah 48 orang. → (25 – x) + x + (16 – x) + 10 = 48 → 25 – x + x + 16 – x + 10 = 48 → 25 + 16 – x + 10 = 48 → x = 3, Ingat juga, nilai x adalah irisan sehingga jika disubstitusikan pada diagram, akan diperoleh: LANGKAH KEENAM, dari diagram s tersebut diperoleh: a. banyaknya siswa yang 22 3 13 menggemari sepak bola dan basket = 3 orang; b. banyaknya siswa yang menggemari sepak bola saja = 22 orang; dan c. banyaknya siswa yang menggemari basket saja = 13 orang. [mau tanya, kalo yang nggak menyukainya keduanya nggak dicantumkan di diagram venn-kah? biasanya disimpan di luar lingkaran tapi ada di dalam kotak ☺ just wondering] Fun With Math
23
10 Garis Peta Materi Garis RUAS GARIS
Berpotongan Sinar
Garis
Berimpit Sejajar
Garis
AC/CB = x/y
Perbandingan Ruas Garis
AC/AB = x/(x+ y)
CB/AB = y/(x +y)
Soal Garis Ada ruas garis MN dengan panjang 44 cm. Kalau titik O terletak pada ruas garis tersebut dengan perbandingan MO : ON = 5 : 6, coba kamu hitung berapa panjang ruas garis MO dan panjang ruas garis ON? Jawab: Langkah pertama, buatlah ruas garis yang dimaksud.
M
O
N
Yang kedua, kamu tentukan dulu hubungan perbandingannya. = = Fun With Math
24
= = 20 cm Karena MO = 20 cm dan MN itu panjang seluruhnya maka kamu bisa dengan mudah menentukan panjang ON. ON = MN – MO → ON = 44 cm – 20 cm → ON = 24 cm Jadi bisa disimpulkan kalau panjang ruas garis MO itu adalah 20 cm dan panjang ruas garis ON adalah 24 cm.
Fun With Math
25
11 Sudut Peta Materi Sudut Unsur
Kaki Sudut
Besar Sudut Kaki Sudut Titik Sudut Derajat (o)
Radian (rad)
Satuan Busur Derajat
Alat Ukur
Melukis sudut bisa menggunakan busur derajat atau jangka
Melukis Sudut Sudut Lancip: 0° < x < 90° SUDUT
Sudut Sudut Siku-siku: 90°
Tumpul:
Sudut Lurus:
90° < x < 180°
180°
Jenis
Sudut Lancip: 0° < x < 90°
Sudut Siku-siku: 90°
Sudut Tumpul: 90° < x < 180°
Sudut Lurus: 180°
Sudut Refl eksi: 180° < x < 360°
Jenis
Sudut Dalam Berseberangan Sudut Sehadap
Sudut Dalam Sudut Luar Sepihak Sepihak
Sudut Luar Berseberangan
Sudut Luar Berseberangan
Sifat
Sudut Berpenyiku
Sudut Berpelurus
Hubungan
Fun With Math
26
Soal-soal Sudut Coba kamu analisis gambar berikut ini! Tuliskan nama yang sesuai untuk sudut-sudut itu! P
a.
R Q
Sudut yang dibentuk adalah sudut Q atau sudut PQR atau sudut RQP b. sudut yang dibentuk adalah sudut T atau sudut STU atau sudut UTS
U
S
T
c. Di bawah ini ada sebuah segitiga. Sebutkan 3 buah sudut dari segitiga tersebut.
Fun With Math
27
M
O
N
Segitiga ini mempunyai tiga buah sudut, yaitu: sudut pertama:
M atau
NMO atau
OMN.
sudut kedua:
N atau
MNO atau
ONM.
sudut ketiga:
O atau
MON atau
NOM.
Fun With Math
28
12 Segi Empat Peta Materi Segi Empat
p
l
Persegi panjang
s s Persegi
b
t a Jajar Genjang Segi Empat
s
s d1
Belah Ketupat L = ½ × d1 × d2
K = 2 × (m + n)
L = ½ × (a + b) × t
K=a+b+m+t
d1
n Layang-layang b t
m a Trapesium
Fun With Math
29
Soal-soal Segi Empat 1.
Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang 35 cm. Jika keliling persegi panjang tersebut adalah 100 cm, coba kamu hitung berapa ukuran lebarnya! Jawab: Langkah pertama, tuliskan data yang K = 100 cm diketahui. K = 100 cm; p = 35 cm Langkah kedua, gambarkan persegi panjang itu. Langkah ketiga, menghitung lebar persegi panjang.
= 35 + l → 100 = 2 × (35 + l) → → 50 = 35 + l → l = 15 cm Jadi, lebar persegi panjang tersebut adalah 15 cm. 2.
Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 34 m dan lebar 21 m. Kalau sekeliling kebun itu dipasang pagar kayu, berapa ya, panjang pagar kayu yang dibutuhkan? Jawab: Langkah pertama, gambarkan data yang diketahui. Langkah kedua, menganalisis pertanyaan. Pertanyaannya adalah panjang pagar kayu. Panjang pagar itu sama dengan jarak sekeliling dari kebun tersebut. Jadi, kamu sebenarnya hanya perlu menghitung keliling kebun itu saja. Langkah ketiga, menghitung panjang pagar kayu. = 2 × (34 m + 21 m) Fun With Math
30 = 2 × (55 m) = 110 m Jadi, panjang pagar yang diperlukan untuk dipasang di sekeliling kebun itu adalah 110 m.
13 Segitiga Peta Materi Segitiga PENGERTIAN Bangun datar yang
Unsur
C
Tinggi : CD Sisi: AB, BC, CA
mempunyai tiga buah sisi.
Kaki: AC, BC Alas : AB
Titik sudut: A, B, C
B A
D PANJANG SISI SAMA KAKI: Dua sisi sama panjang.
JENIS
SAMA SISI: Semua sisi sama panjang. SEMBARANG: Semua sisi tidak sama panjang.
BESAR SUDUT LANCIP: Semua sudut berukuran kurang dari 90°. SIKU-SIKU: Salah satu sudut berukuran 90°. TUMPUL: Salah satu sudut berukuran lebih dari 90°.
SISI SAMA KAKI: Mempunyai sepasang sisi yang sama panjang. SAMA SISI: Semua sisi sama panjang.
SEGITIGA
SIFAT
SUMBU SAMA KAKI: Mempunyai satu sumbu simetri lipat. SAMA SISI: Mempunyai tiga sumbu simetri lipat.
SUDUT Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180°.
GARIS GARIS TINGGI GARIS BAGI GARIS BERAT GARIS SUMBU
Fun With Math
MELUKIS
CARTESIUS: Melukis segitiga melalui titik koordinat. BUSUR: Melukis segitiga melalui pengukuran sudut. JANGKA: Melukis segitiga menggunakan jangka
31
Soal-soal Segitiga 1.
Di samping ini ada segitiga KLM. Dari gambar itu, tentukan: a. jenis segitiga tersebut berdasarkan panjang sisinya, b. panjang sisi MK, dan M c. besar
L dan
M.
Jawab: a. Segitiga KLM mempunyai sepasang kaki, 13 cm yaitu sisi MK dan LM, yang berukuran sama 75o panjang. Nah, berdasarkan panjang sisinya L K maka segitiga KLM adalah segitiga sama kaki. b. Oleh karena segitiga KLM merupakan segitiga sama kaki maka: MK = LM = 13 cm. Jadi, panjang sisi MK adalah 13 cm. c. Oleh karena segitiga KLM merupakan segitiga sama kaki, maka: L= K = 75°; M = 180° – ( K + = 180° – (75° + 75°) = 180° – 150° = 30° Jadi, besar 2.
L adalah 75° dan besar
L) M adalah 30°.
Ada segitiga sembarang PQR berikut. Dari gambar itu, coba kamu tentukan luas segitiga PQR! Jawab: Langkah pertama, tuliskan informasi yang diketahui. Alas segitiga = 25 cm Tinggi segitiga = 22 cm Langkah kedua, tentukan luasnya. L = ½ × alas × tinggi = ½ × 25 cm × 22 cm = ½ × 550 cm2 = 275 cm2 Jadi, luas segitiga PQR adalah 275 cm2. Fun With Math
32
14 Faktorisasi Aljabar Peta Materi Faktorisasi Aljabar FAKTOR PERSEKUTUAN Menguraikan setiap suku aljabar menjadi beberapa faktor bilangan atau variabel. Memilih faktor bilangan atau variabel yang dimiliki oleh setiap suku.
Contoh: x2 – 36 = (x + 6)(x – 6) Faktorisasi Aljabar
SELISIH DUA KUADRAT a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Contoh: 25m2 – 49 = (5m + 7)(5m – 7)
BENTUK KUADRAT
ax2 + bx + c dengan a = 1 x2 + (p + q)x + pq
ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 ax2 + (p + aq)x + pq
difaktorkan menjadi (x + p)(x + q)
difaktorkan menjadi (ax + p)(x + q)
x2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5)
6p2 – p – 2 = (3p – 2)(2p + 1)
Soal Faktorisasi Aljabar 1.
Coba kamu tentukan hasil penjumlahan antara 6p2 + 3p – 9 dengan p2 – 10p + 2! Langkah pertama, tuliskan bentuk penjumlahan aljabar. (6p2 + 3p – 9) + (p2 – 10p + 2)
Fun With Math
33 Langkah kedua, kelompokkan suku-suku aljabar yang memiliki variabel sejenis. = (6p2 + 3p – 9) + (p2 – 10p + 2) = 6p2 + 3p – 9 + p2 – 10p + 2 = (6p2 + p2) + (3p – 10p) + (–9 +2) Langkah ketiga, lakukan perhitungan seperti biasa. = (6p2 + p2) + (3p – 10p) + (–9 + 2) = 7p2 + (–7p) + (–7) = 7p2 – 7p – 7 [ini nggak diselesaikan sampai bentuk paling sederhana? p2 – p – 1 barangkali? ☺] 2.
Coba kamu faktorkan bentuk kuadrat berikut: 3x2 + 11x + 6 Jawab: Bentuk kuadrat 3x2 + 11x + 6 mempunyai nilai a = 3 b = 11 c = 6. Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat itu, kamu harus menguraikan koefisien b, yaitu 11, menjadi penjumlahan dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan 18 (sebagai hasil dari perkalian 3 dan 6). Ya! Jawabannya adalah 9 dan 2. Sehingga: 3x2 + 11x + 6 = 3x2 + (9 + 2)x + 6 = 3x2 + 9x + 2x + 6 = (3x2 + 9x) + (2x + 6) = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (3x + 2)(x + 3) Jadi, pemfaktoran dari 3x2 + 11x + 6 adalah (3x + 2)(x + 3).
Fun With Math
34
15 Relasi dan Fungsi Peta Materi Relasi dan Fungsi DEFINISI Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan B, adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Diagram Panah
DINYATAKAN DALAM Relasi
Pasangan Berurut {(a,b), (c,d), (e,f), ... } Diagram Cartesius
y
x FUNGSI Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Rumus Fungsi f: x → ax + b atau f(x) = ax
f(x)
+b
x
Grafik fungsi Unsur-Unsur Fungsi kodomain
Range
domain
Fun With Math
35
Soal Relasi dan Fungsi Misalkan diketahui fungsi f(x) = ax + b. Jika nilai f(1) = 6 dan f(–2) = –3, Bagaimana bentuk fungsi f itu? Jawab: Langkah pertama, substitusikan nilai fungsi yang diketahui ke dalam rumus fungsi f. f(x) = ax + b → f(1) = a(1) + b → 6 = a + b … persamaan (1) f(x) = ax + b → f(–2) = a(–2) + b → –3 = –2a + b … persamaan (2) Langkah kedua, diperoleh dua persamaan dengan variabel a dan b. Persamaan 1: a + b = 6; Persamaan 2: –2a + b = –3 Langkah ketiga, substitusikan variabel a dan b pada kedua persamaan itu. Menentukan nilai variabel a pada persamaan 1: a+b=6→a=6–b Mensubstitusikan nilai variabel a ini ke persamaan 2: –2a + b = –3 → –2(6 – b) + b = –3 → (–12 + 2b) + b = –3 → –12 + 3b = –3 → 3b = –3 + 12 → 3b = 9 → b = 3 Substitusikan nilai variabel b ini ke variabel a. a = 6 – b → a = 6 – (3) → a = 3 Langkah keempat, diperoleh nilai variabel a dan b. a = 3 dan b = 3 Langkah kelima, substitusikan nilai variabel a dan b ke dalam rumus fungsi f. f(x) = ax + b → f(x) = (3)x + (3) → f(x) = 3x + 3 Jadi, diperoleh bentuk fungsi f yaitu f(x) = 3x + 3.
Fun With Math
36
16 Persamaan Garis Lurus Peta Materi Persamaan Garis Lurus Titik Koordinat: (x, y)
y
menggunakan melalui GARIS LURUS
x CARTESIUS Persamaan Garis: ax + by + c = 0
GRADIEN Tingkat kemiringan suatu garis lurus (notasi: m).
Garis yang melalui titik pusat: y = mx Garis yang tidak melalui titik pusat: y = mx + c
Persamaan Garis Lurus Dua Titik: (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1) Gradien dan Titik Pusat: y = mx
PERSAMAAN GARIS
Gradien dan Titik: y – y1 = m(x – x1)
TITIK POTONG Perpotongan dari dua garis lurus.
Cara Gambar
Cara Substitusi
Fun With Math
37
Soal Persamaan Garis Lurus Coba kamu tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dan sejajar dengan garis 2x – y + 1 = 0! Jawab: Langkah pertama, menentukan gradien garis 2x – y + 1 = 0. → 2x – y + 1 = 0 → y = 2x + 1 Sesuai dengan bentuk umum y = mx + c, maka gradien dari garis tersebut adalah 2. Langkah kedua, menentukan gradien garis yang melalui titik (1, 2) dan sejajar dengan garis 2x – y + 1=0. Karena garis yang akan dicari ini sejajar dengan garis 2x – y + 1 = 0, maka gradiennya juga pasti sama, yaitu 2. Langkah ketiga, menentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 2) dan bergradien 2. → y – y1 = m(x – x1) → y – 2 = 2(x – 1) → y – 2 = 2x – 2 → y = 2x – 2 + 2 → y = 2x Langkah keempat, menuliskan hasilnya. Persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dan sejajar dengan garis 2x – y + 1 = 0 adalah y = 2x.
Fun With Math
38
17 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Peta Materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel PLDV Persamaan matematika yang memuat dua variabel berpangkat satu.
PENGERTIAN SPLDV adalah sistem persamaan SPLDV
yang memuat dua variabel berpangkat satu.
Contoh: • 2p – q = 1 • x + 3y = 14 Penyelesaian: Penyelesaian dari PLDV adalah menentukan nilai dari dua variabel yang memenuhi PLDV itu.
Contoh: - 2p – q = 1 p + 3q = 11 - 3m + 2n = 5 2m – 2n = 0
Metode Grafik PENYELESAIAN
Metode Substitusi Metode Eliminasi
Soal Persamaan Linier Dua Variabel Coba kamu tentukan penyelesaian PLDV berikut dan gambarkan dalam sistem koordinat Cartesius. 2x + y = 6, dengan x anggota {0, 1, 2, 3} dan y anggota bilangan bulat.
Fun With Math
39 Jawab: Dengan x anggota dari {0, 1, 2, 3}, kamu bisa mengerjakannya seperti ini. Untuk x = 0, maka: → 2x + y = 6 → 2(0) + y = 6 → 0 + y = 6 → y = 6 Diperoleh x = 0 dan y = 6. Jadi, penyelesaiannya (0, 6). Untuk x = 1, maka: → 2x + y = 6 → 2(1) + y = 6 → 2 + y = 6 → y = 4 Diperoleh x = 1 dan y = 4. Jadi, penyelesaiannya (1, 4). Untuk x = 2, maka: → 2x + y = 6 → 2(2) + y = 6 → 4 + y = 6 → y = 2 Diperoleh x = 2 dan y = 2. Jadi, penyelesaiannya (2, 2). Untuk x = 3, maka: → 2x + y = 6 → 2(3) + y = 6 → 6 + y = 6 → y = 0 Diperoleh x = 3 dan y = 0. Jadi, penyelesaiannya (3, 0). Dari perhitungan ini, maka himpunan penyelesaian dari 2x + y = 6 adalah = {(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0)}. Nah, jika digambarkan dalam sistem koordinat Cartesius, kamu akan memperoleh hasil seperti ini.
Fun With Math
40
18 Dalil Pythagoras Peta Materi Dalil Pythagoras C - a2 = c2 + b2 a= - c2 = a2 – b2
a
A
c= - b2 = a2 – c2 b=
B TRIPLE PYTHAGORAS Susunan dari tiga bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras.
Ilmuwan dari Yunani yang
Menentukan panjang PENULISAN
Hidup sekitar tahun 580-490 SM.
PENERAPAN Dalil Pythagoras bisa digunakan untuk menyelesaikan
• 3, 4, dan 5 • 6, 8, dan 10 • 5, 12, dan 13
PYTHAGORAS
dijuluki ‘Bapak Bilangan’.
Contoh:
Dalil Pythagoras PENGGUNAAN
permasalahan yang berkaitan dengan
sisi segitiga siku-siku. • a2 = b2 + c2 • b2 = a2 – c2 • c2 = a2 – c2
Segitiga siku-siku pada bangun
Menentukan jenis segitiga.
datar. Segitiga siku-siku
• Segitiga Lancip a2 < b2 + c2 • Segitiga Siku-siku a2 = b2 + c2
pada bangun ruang.
• Segitiga Tumpul a2 > b2 + c2
bentuk geometris
Soal Dalil Pythagoras Soni ingin membuat layang-layang. Sebelumnya, ia membuat rangkanya dulu. Rangkanya adalah dua batang bambu yang masing-masing berukuran 40 cm dan 50 cm. Coba kamu hitung, berapa panjang tali Fun With Math
41 minimal yang dibutuhkan Soni untuk membuat rangka layang-layang itu? Jawab: Kamu bisa menggunakan dalil Pythagoras untuk menyelesaikannya. Coba lihat, ada 4 buah segitiga siku-siku yang menyusun sebuah layanglayang. Langkah pertama, buatlah gambar. D 15 cm A
C 20 cm
35 cm
B
Ilustrasi di atas sudah cukup menggambarkan pertanyaan yang diberikan. Setiap titik pada ujung laying-layang diberi nama A, B, C, dan D. Jadi, layang-layang ini diberi nama layang-layang ABCD. Panjang tali minimal dari layang-layang itu adalah keliling layang-layang itu sendiri (lilitan tali bisa diabaikan). Langkah kedua, gunakan dalil Pythagoras. Segitiga AOD AD2 = AO2 + OD2 → AD2 = (20 cm) 2 + (15cm) 2 → AD2 = 400 cm2 + 225 cm2 → AD2 = 625 cm2 → AD = Jadi, panjang tali AD adalah 25 cm. Segitiga AOB
→ AD = 25 cm
Fun With Math
42 AB2 = AO2 + OB2 → AB2 = (20 cm) 2 + (35 cm) 2 → AB2 = 400 cm2 + 1.225 cm2 → AB2 = 1.625 cm2 → AB =
→ AB =
cm
cm atau cm. Jadi, panjang tali AB adalah Langkah ketiga, menghitung panjang tali layang-layang. Panjang tali = AD + DC + CB + BA = 25 cm + 25 cm + +
cm +
cm = 50 cm
cm
) cm Jadi, panjang tali layang-layang adalah (50 + Langkah keempat, tuliskan kesimpulan. Jadi, untuk membuat layang-layang dengan ukuran tersebut, Soni sedikitnya harus mempunyai tali sepanjang (50 +
Fun With Math
) cm.
43
19 Lingkaran Peta Materi Lingkaran C B
O D PENGERTIAN Kumpulan titik yang berjarak sama terhadap satu titik
A Unsur
tertentu (titik pusat). • Titik pusat: O • Diameter: AC • Jari-jari: OA • Tali busur: AB • Busur: lengkung AB • Juring: daerah AOB • Tembereng: daerah ABD • Apotema: OD
Lingkaran
Perhitungan
KELILING: K=π×d LUAS: L = π × r2 PANJANG BUSUR: panjang busur/keliling lingkaran
SUDUT
= SUDUT KELILING:
sudut pusat/sudut putar
Sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur lingkaran. SUDUT PUSAT: Sudut yang terbentuk
Besarnya sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat.
LUAS JURING: luas juring/luas lingkaran = sudut pusat/sudut putar
Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90°. LUAS TEMBERENG: Jumlah sudut keliling
o
yang saling berhadapan adalah 180°.
Luas juring – luas segitiga sama kaki
Fun With Math
44
Soal Lingkaran 1.
Sebuah lingkaran mempunyai panjang diameter 40 cm, panjang tali busur QR 32 cm, maka berapa panjang apotemanya? Jawab: Untuk menghitung panjang apotema (garis PT), kamu bisa menggunakan dalil Pythagoras. Lihat segitiga siku-siku PTQ, PQ = 20 cm dan TQ = 16 cm. Dengan dalil Pythagoras, kamu bisa mengerjakannya seperti ini. Q PQ2 = PT2 +TQ2 (20cm)2 = PT2 + (16cm)2 400 cm2 = PT2 + 256 cm2 40 cm 32 cm PT2 = 400 cm2 – 256 cm2 P
PT = PT = 12 cm Jadi, panjang apotema (garis PT) adalah 12 cm. 2.
R S
Jika besar sudut pusat POS 112° dan besar sudut pusat QOR 44°, berapakah besar sudut PTS? Jawab: Langkah pertama, tuliskan informasi yang diperoleh dari soal. Sudut pusat POS =
POS = 112°
Sudut pusat QOR = QOR = 44° Langkah kedua, tentukan besar sudut PTS. Sudut PTS merupakan sudut dari perpotonganS dua tali busur di luar lingkaran. Dengan demikian, berlaku hubungan: PTS = ½ × ( POS – QOR) = ½ × (112° - 44°) = ½ × 68° = 34° Langkah ketiga, tuliskan kesimpulannya. Besar sudut PTS adalah 34°.
Fun With Math
T
R
Q
O
P
45
20 Garis Singgung Lingkaran Peta Materi Garis Singgung Lingkaran Garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.
PENGERTIAN Garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Titik ini disebut titik singgung. SIFAT
Hanya ada satu garis singgung yang bisa dibuat dari satu titik pada lingkaran
Garis Singgung Lingkaran Ada dua garis singgung yang bisa dibuat dari satu titik di luar lingkaran.
PERSEKUTUAN
LINGKARAN LUAR SEGITIGA Lingkaran berada di luar segitiga. SEGITIGA LINGKARAN DALAM SEGITIGA Lingkaran berada di dalam segitiga.
PERSEKUTUAN LUAR
DALIL PYTHAGORAS PERSEKUTUAN DALAM
Fun With Math
46
Soal Garis Singgung Lingkaran Ada dua buah lingkaran dengan ukuran dan garis singgung persekutuan dalam seperti pada ilustrasi di bawah ini. Berapa panjang jari-jari lingkaran P?
Q 8 cm 5 cm
P O
10 cm R
Jawab: Langkah pertama, tentukan segitiga siku-sikunya. Dari ilustrasi ini ada segitiga siku-siku OPQ’ dengan OP adalah jarak antartitik pusat, PQ’ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam, dan OQ’ adalah jumlah dari kedua jari-jari lingkaran. Langkah kedua, menghitung panjang OQ’. Dari segitiga siku-siku OPQ’ berlaku dalil Pythagoras seperti ini. (PQ’)2 + (OQ’)2 = OP2 → (OQ’)2 = OP2 – (PQ’)2 → (OQ’)2 = (10 cm)2 – (8 cm)2 → (OQ’)2 = 100 cm2 – 64 cm2 → (OQ’)2 = 36 cm2 → OQ’ = (36 cm2 ) → OQ’ = 6 cm Jadi, panjang OQ’ adalah 6 cm. Langkah ketiga, menghitung panjang jari-jari lingkaran P. OQ + QQ’ = OQ’ → QQ’ = OQ’ – OQ → QQ’ = 6 cm – 5 cm → QQ’ = 1 cm Sedangkan panjang QQ’, yaitu panjang jari-jari lingkaran P, adalah 1 cm.
Fun With Math
47
21 21 Bangun Ruang Sisi Datar Peta Materi Bangun Ruang Sisi Datar PENGERTIAN BRSD adalah bangun ruang yang semua sisinya
PRISMA SEGITIGA Lp = (2 × luas alas) + 3 luas sisi tegak
berupa permukaan datar. PRISMA
VOLUME V = luas alas × tinggi
PRISMA SEGIEMPAT (KUBUS) Lp = 6 × r2 PRISMA SEGIEMPAT (BALOK) Lp = 2(lt + pt + pl)
BRSD LIMAS
LIMAS SEGITIGA Lp = luas alas + luas sisi tegak
LIMAS SEGIEMPAT (PIRAMIDA) Lp = luas alas + luas sisi tegak VOLUME V = × luas alas × tinggi
Soal Bangun Ruang Sisi Datar 1.
Air sebanyak 15.625 cm3 dituangkan ke dalam sebuah wadah berbentuk kubus. Ternyata, air sebanyak itu bisa ditampung dalam wadah sampai penuh. Berapa luas permukaan wadah tanpa tutup tersebut? Jawab: Untuk menjawabnya, perhatikan langkah-langkah penyelesaiannya. Langkah pertama, tuliskan informasi yang diperoleh dari soal. Volume = 15.625 cm3 Fun With Math
48 Langkah kedua, tentukan panjang rusuk dari wadah tersebut. Volume = r3 → 15.625 cm3 = r3 →r= →r= cm → r = 25 cm Ternyata, panjang rusuk dari wadah tersebut adalah 25 cm. Langkah ketiga, hitung luas permukaan kubus tanpa tutup. Banyaknya sisi kubus tanpa tutup = 5; Luas permukaan tanpa tutup = 5r2 = 5 × r2 = 5 × (25 cm)2 = 5 × 625 cm2 = 3.125 cm2 Langkah keempat, tuliskan kesimpulannya. Luas permukaan kubus tanpa tutup yang panjang rusuknya 25 cm adalah 3.125 cm2. 2.
Hitung volume limas berikut! D
10 cm B C E 8 cm
12 cm
A
Pertama, tentukan luas alasnya terlebih dahulu. Coba lihat! Alas limas segitiga D.ABC berbentuk segitia siku-siku ABC dengan panjang alas 8 cm dan tinggi 12 cm. Kamu bisa menghitung luas alas limas tersebut dengan cara seperti ini. Fun With Math
49 Luas alas limas = luas segitia siku-siku ABC = ½ × alas × tinggi = ½ × 8 cm × 12 cm = 48 cm2 Jadi, luas alas limas segitiga D.ABC adalah 48 cm2. Setelah luas alasnya diketahui, kita bisa menghitung volumenya. Limas segitiga D.ABC mempunyai luas alas 48 cm2 dan tinggi 10 cm. Untuk menghitung volume segitiga D.ABC, kamu bisa mengerjakannya seperti ini. Volume limas = × luas alas × tinggi = × 48 cm2 × 10 cm = × 480 cm3 = 160 cm3 Jadi, volume limas D.ABC adalah 160 cm3.
Fun With Math
50
22 Similar dan Kongruen Peta Materi Similar dan Kongruen Notasi
SEGIEMPAT: - Perband/ingan sisi-sisi yang KESEBANGUNAN Kesebangunan adalah kesamaan bentuk dan perbandingan ukuran yang sama.
bersesuaian sama besar. - Sudut-sudut yang bersesuaian berukuran sama besar. SEGITIGA: - Sudut-sudut yang bersesuaian berukuran sama besar. - Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama besar. - Dua sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama dan sudut yang diapitnya berukuran
Similar &
sama besar.
Kongruen
Notasi SEGIEMPAT: - Sisi-sisi yang bersesuaian KEKONGRUENAN Kekongruenan adalah kesamaan bentuk dan ukuran suatu benda
berukuran sama panjang. - Sudut-sudut yang bersesuaian berukuran sama besar.
SEGITIGA: - Sisi-sisi yang bersesuaian berukuran sama panjang. - Dua sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama dan sudut yang diapitnya berukuran sama besar. - Dua sudut yang bersesuaian berukuran sama besar dan sisi di antaranya berukuran sama panjang
Fun With Math
51
Soal Similar dan Kongruen Dua buah persegi panjang berikut ini adalah sebangun. Coba kamu cari berapa nilai a? Jawab: W
V
S
R
6 cm a
P T
6 cm
2 cm
Q
U
Jika kamu katakan dua persegi panjang ini sebangun, sudah pasti nilai perbandingan dari sisi-sisi yang bersesuaian itu sama besar. PQ:TU = = = QR:UV = = Nah, dua persegi panjang yang sebangun itu mempunyai nilai perbandingan . Jadi, semua nilai perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pun pasti , termasuk perbandingan sisi QR dan UV. Sehingga: Fun With Math
52
QR : UV =
→
=
→ = → 18 cm = a → a = 18 cm Ternyata, diperoleh hasil bahwa nilai a adalah 18 cm. Ini berarti, panjang sisi UV adalah 18 cm.
23 Bangun Ruang Sisi Lengkung Peta Materi bangun Ruang Sisi Lengkung LUAS PERMUKAAN: Lp = 2 × π × r × (r + t) Tabung
r
t VOLUME: V = π × r2 × t
BRSL
Kerucut
t
LUAS PERMUKAAN: Lp = π × r × (s + r)
s r
VOLUME: V = × π × r2 × t
LUAS PERMUKAAN: Bola
Lp = 4 × π × r2
r VOLUME: V = × π × r2 × t
Fun With Math
53
Soal Bangun Ruang Sisi Lengkung Ada sebuah tabung dengan bentuk dan ukuran seperti pada ilustrasi di samping. Coba kamu hitung, berapa sih, luas permukaannya? (π =
)!
Jawab: Langkah pertama, tuliskan informasi yang ada. Jari-jari alas tabung r = 14 cm; Tinggi tabung t = 20 cm Langkah kedua, menghitung luas permukaan tabung. Luas permukaan = 2 π r (r + t) = 2 × cm + 20 cm) =2×
t
× 14 cm × (14 r
× 14 cm × 34 cm = 2.992 cm2
Langkah ketiga, menuliskan kesimpulan. Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 2.992 cm2.
Fun With Math
54
24 Statistika Peta Materi Statistika PENGERTIAN Statistika adalah ilmu yang mempelajari kegiatan statistik. Datum: Gambaran fakta. Data: Kumpulan dari berbagai datum. Unsur
Sampel: Bagian dari populasi yang diambil. Populasi: Himpunan semua objek yang akan dijadikan penelitian. Pengumpulan Data: Data dikumpulkan dengan cara wawancara, angket, atau pengamatan. Pengolahan Data: Data dihitung dan dilakukan analisis.
Urutan
Statistika
Penyajian Data: Data disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Penarikan Kesimpulan: Dilakukan penarikan kesimpulan dari data yang disajikan.
UKURAN PUSAT
Mean: Nilai rata-rata dari suatu data. Median: Nilai tengah dari suatu data. Modus: Nilai yang paling sering muncul dari suatu data.
UKURAN LETAK
Jangkauan: Selisih datum terbesar dan datum terkecil. Kuartil: Membagi data menjadi 4 bagian sama besar.
Kuartil bawah (Q1)
Fun With Math
Kuarti tengah (Q2)
Kuartil atas (Q3)
55
Soal Statistika 1.
Berikut ini adalah tabel frekuensi yang menyatakan berat badan siswa dalam satu kelas. Berat badan (kg) Banyaknya 43 7 44 2 45 6 46 2 47 3 Jumlah 20 Dari tabel tersebut, coba kamu tentukan: a. Banyaknya siswa dalam satu kelas, b. Banyaknya siswa yang beratnya kurang dari 45 kg, dan c. Rata-rata berat badan siswa dalam satu kelas. Jawab: a. Banyaknya siswa dalam satu kelas adalah 20 siswa. b. Banyaknya siswa yang beratnya kurang dari 45 adalah 9 siswa. Lihat pada tabel, ada 7 siswa yang beratnya 43 kg dan 2 siswa yang beratnya 44 kg. c. Rata-rata berat badan siswa bisa dihitung dengan cara sebagai berikut: Rata-rata = = = = 44,9 Jadi, berat rata-rata siswa dalam satu kelas adalah 44,9 kg.
Fun With Math
56
25 Peluang Peta Materi Peluang Kejadian Acak
Kejadian acak adalah suatu kejadian yang hasilnya tidak Cara Mendaftar
diketahui secara pasti.
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian.
Cara Diagram Pohon
Titik sampel adalah anggota Titik Sampel
dari ruang sampel.
Kejadian yang muncul dari suatu percobaan dinotasikan dengan A.
KONSEP DASAR
Kejadian
Peluang
Cara Tabel
PERHITUNGAN
Banyaknya kejadian dinotasikan dengan n(A). Banyaknya percobaan dinotasikan dengan n(S).
Nilai Peluang
Nilai peluang kejadian A: 0 < P(A) ≤ 1 P(A) + P(A’) = 1 Peluang terjadinya
Rumus Peluang
Frekuensi Relatif
kejadian A: P(A) = n(A)/n(S) Frekuensi relatif: Fr = n(A)/n (S)
Soal Peluang 1.
Pada pengetosan sebuah dadu, coba kamu tentukan peluang munculnya: a. mata dadu bilangan prima,
Fun With Math
57 b. mata dadu genap, dan c. mata dadu lebih dari 4. Jawab: Langkah pertama, tentukan ruang sampel dari pengetosan sebuah dadu. Ruang sampel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6. Langkah kedua, tuliskan informasi yang ada. - Mata dadu bilangan prima: R = {2, 3, 5}, maka n(R) = 3. - Mata dadu genap: G = {2, 4, 6} maka n(G) = 3. - Mata dadu lebih dari empat: L = {5, 6} maka n(L) = 2. Langkah ketiga, menjawab pertanyaan. a. Peluang munculnya mata dadu bilangan prima adalah sebagai berikut. P(R) =
=
=
b. Peluang munculnya mata dadu genap adalah sebagai berikut. P(G) =
= =
c. Peluang munculnya mata dadu lebih dari 4 adalah sebagai berikut. P(L) =
= =
Fun With Math
58
26 Pangkat Tak Sebenarnya Peta Materi Pangkat Tak Sebenarnya POSITIF am × an = am + n am + an = am (1 + an – m) am : an = am – n am – an = am (1 – an – m) (am)n = am × n
Pangkat Tak Sebenarnya
Sifat SIFAT
NEGATIF a–n =
Bentuk Akar
= NOL a0 = 1
=
Pengkat Bilangan Bulat
RASIONAL BENTUK AKAR
BILANGAN RASIONAL
= = =
SIFAT =1 =
= = =
Fun With Math
59
Soal Pangkat Tak Sebenarnya 1.
Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut? Jawab: Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dm Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL. V = p3 = (9,2)3 = 9,2 × 9,2 × 9,2 = 84,64 × 9,2 = 778,688 Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm3 atau 778,688 liter. Diketahui 1 liter = 1.000 mL sehingga 778,688 liter = 778,688 × 1.000 mL = 778.688 mL. Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL.
2.
Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah. a. 73 b. (-3)4 c. -(3)4 d. (2/3)3 Jawab: a. 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343 b. (-3)4 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 9 × 9 = 81 c. -(34) = –(3 × 3 × 3 × 3) = –(9 × 9) = –81
d.
=
=
Fun With Math
60
27 Baris dan Deret Peta Materi Baris dan Deret PENGERTIAN Pola bilangan adalah susunan bilangan
BENTUK
yang ditulis mengikuti_ aturan tertentu.
POLA BILANGAN
- Pola Persegi Panjang - Pola Segitiga - Pola Garis Lurus - Pola Persegi
BARISAN BILANGAN
Baris dan Deret
Deret Aritmetika U1 + U2 + U3 + … + Un
DERET BILANGAN
• Un = a + (n – 1) × b • Sn = ½ × n × (a + Un) Deret Geometri U1 + U2 + U3 + … + Un
Barisan Aritmetika U1, U2, U3, …, Un • b = Un – Un – 1 • Un = a + (n – 1) × b
Barisan Geometri U1, U2, U3, …, Un •r= • Un = a × rn – 1
• Un = a × rn –1 • Sn =
PENGERTIAN Deret bilangan adalah jumlah dari suku-suku pada barisan bilangan.
Soal Baris dan Deret 1.
Diketahui deret aritmetika seperti ini : 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + … Dari deret tersebut, berapa jumlah deret hingga suku ke-10? Jawab: Langkah Pertama: Tuliskan informasi yang diperoleh dari soal. X1 = a = 5
Fun With Math
61 Langkah Kedua: Tentukan beda deret aritmetika tersebut. b = Xn – X n – 1 → b = X2 – X1 →b=8–5 →b=3 Ternyata, beda deret aritmetika tersebut adalah 3. Langkah Ketiga: Tentukan suku ke-10. Xn = a + (n – 1)b → X10 = a + (10 – 1)b → X10 = a + 9b → X10 = 5 + 9(3) → X10 = 5 + 27 → X10 = 32 Ternyata, suku ke-10 deret aritmetika tersebut adalah 32. Langkah Keempat: Tentukan jumlah deret hingga suku ke-10. Sn = → S10 = × 10 × (5 + 32) → S10 = × 10 × 37 → S10 = 5 × 37 → S10 = 185 Langkah Kelima: Tuliskan kesimpulannya. Jadi, jumlah deret bilangan tersebut sampai suku ke-10 adalah 185.
Fun With Math
63
Glosarium Asosiatif: bersifat bisa dihubungkan Bruto: berat secara keseluruhan Diagram Cartesius: diagram yang mengandung bilangan bulat Koefisien: perubah Komutatif: bersifat dapat bertukar tempat Konstanta: bilangan tetap Linier: lurus atau bervariabel berpangkat 1 Netto: berat bersih (isi) Pangkat: perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak pangkat itu Rabat: potongan harga dengan syarat tertentu Skala: perbandingan jarak nyata dengan jarak di dalam suatu gambar Substitusi: pengganti Tara: berat barang saat dikemas
Fun With Math
64
Index A Asosiatif 1, 65 B BRUTO 15, 65 D Diagram Cartesius 34, 65 K Koefisien 10, 33, 65 Komutatif 1, 65 Konstanta 10, 65 L Linier v, 12, 13, 38 N Netto 15, 65
Fun With Math
P Pangkat v, vi, 3, 4, 65 R Rabat 15, 65 S SKALA 18, 65 substitusi 11, 35 T TARA 15, 32
65
Daftar Pustaka Wintarti, Atik. 2008. Matematika: Contextual Teaching and Learning. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Rahaju, Endah Budi. 2008. Matematika: Contextual Teaching and Learning. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Nuharini, Dewi. 2008. Matematika: Konsep dan Aplikasinya. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Kurniawan. 2008.Matematika: Mandiri, Mengasah Kemampuan Diri. Jakarta: Erlangga Junaidi, Syamsul. 2006. Matematika SMP. Jakarta : Erlangga E., Tatag. 2007. Matematika SMP KTSP. Jakarta: Esis Saleh, Andri. 2009. The Scientist. Bogor: Regina Saleh, Andri. 2009. Matematika Selezat Coklat. Jakarta: Transmedia www.mathfun.com www.matchats.com www.coolmath.com www.wikipedia.org Fun With Math
66
Profil Penulis Anissa memang menyukai dunia sains, itu sebabnya ketika mengangkat judul ini, anisa sangat antusias sekali. Dia berharap buku ini menjadi salah satu jalan untuk membuka peluang menulis buku-buku sains lainnya.
Fun With Math
