ANALISIS TORSI PADA TAMPANG PERSEGI PANJANG DAN APLIKASI PADA KOMPONEN STRUKTUR BETON BERTULANG DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN GRID

ANALISIS TORSI PADA TAMPANG PERSEGI PANJANG DAN APLIKASI PADA KOMPONEN STRUKTUR BETON BERTULANG DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN GRID

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

ERWIN 04 0404 009

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

LEMBAR PENGESAHAN

ANALISIS TORSI PADA TAMPANG PERSEGI PANJANG DAN APLIKASI PADA KOMPONEN STRUKTUR BETON BERTULANG DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN GRID

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

ERWIN 04 0404 009

Disetujui oleh : Dosen Pembimbing

Prof.Dr.Ing.Johannes Tarigan NIP.130 905 362

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


ABSTRAK Penyusunan tugas akhir ini, merupakan penjabaran beberapa besaran yang berhubungan dengan torsi untuk memperoleh tabel-tabel praktis yang dapat digunakan untuk tampang persegi. Penjabaran ini dimulai dengan penurunan fungsi torsi dengan berdasarkan pada metode semi-invers Saint-Venant dengan bantuan Soap Film Analogy dari Prandtl. Dari fungsi torsi yang diperoleh, beberapa besaran yang berhubungan dengan torsi pada tampang persegi dapat diturunkan. Alasan memilih tampang persegi sebagai pembahasan dalam tugas akhir ini adalah karena tampang persegi ini banyak dijumpai pada komponen-komponen struktur di sekitar khususnya bangunan dari beton. Sedangkan di beberapa literatur, masih jarang ditemukan pembahasan tentang tampang ini secara lengkap. Pembahasan dalam tugas akhir ini, memberikan penjabaran rumus-rumus untuk menentukan tegangan geser maksimum akibat torsi dan hubungan dari beberapa besaran seperti momen torsi dan inersia torsi dengan tegangan geser maksimum ini. Hasil dari pembahasan tugas akhir ini akan disajikan dalam bentuk tabel yang memberikan hubungan antara koefisien untuk beberapa besaran yang berhubungan dengan pembahasan dan disertai dengan penjalasan singkat mengenai cara penggunaan tabel-tabel yang dihasilkan. Pada akhir dari tugas akhir ini akan diberikan sebuah aplikasi dari penggunaan hasil analisis torsi yang telah diperoleh pada suatu sistem elemen grid dalam merencanakan tulangan torsi dan tegangan geser yang terjadi.

i Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan anugrah, berkat dan karunia-Nya hingga terselesaikannya tugas akhir ini dengan judul “Analisis Torsi Pada Tampang Persegi Dan Aplikasi Pada Komponen Struktur Beton Bertulang Dengan Menggunakan Elemen Grid”. Tugas akhir ini disusun untuk diajukan sebagai syarat dalam ujian sarjana teknik sipil bidang studi struktur pada fakultas teknik Universitas Sumatera Utara Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak kekurangannya. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan. Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua yang senantiasa penulis cintai yang dalam keadaan sulit telah memperjuangkan hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini. Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada : 1.

Bapak Dr.Ing.Johannes Tarigan. Selaku dosen pembimbing dan juga selaku Ketua Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini

2.

Bapak Ir.Teruna Jaya, M.Sc. Selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara ii


3.

Bapak/Ibu staf pengajar jurusan teknik sipil Universitas Sumatera Utara.

4.

Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuan dan kemudahan dalam penyelesaian administrasi

5.

Untuk sahabat-sahabat terbaikku Mayjen, Nuel, Robby, Perdi, Erwin FS, Leo, Roy, Samuella, Andrew, Nando, Benny, Budiman, Syawal, Rizky, Ica, Sheila, Syafirah, Dian, Dini, Nova, Joko, Erick, Ari Gelap, Wija, Welling, Mike, Meijer, Emir, Topan, Suryo, Ary, Dody, Acca, Verik, Novrizal, Mario, Freddi, Juntriman, Egy, Daniel, Joseph, Jaka, Kingson, para Spice (Muti, Agustina, Siska, Indah, Grace), Orry, Gafur, Andi, Aswin, Nailul, dan teman-teman stambuk 04 lainnya, buat doa, semangat dan dukungan kalian. May our friendship will be everlasting no matter where we are tomorrow

6.

Seluruh rekan-rekan mahasiswa-mahasiswi jurusan teknik sipil. Akhir kata penulis mengharapkan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kita

semua.

Medan,

Juni 2008

Erwin 04 0404 009

iii Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

DAFTAR ISI Abstrak ...................................................................................................................

i

Kata Pengantar .......................................................................................................

ii

Daftar Isi .................................................................................................................

iv

Daftar Notasi ..........................................................................................................

vi

Daftar Tabel ...........................................................................................................

x

Daftar Gambar ........................................................................................................

xi

BAB

1

I Pendahuluan .......................................................................................... I.1.

Latar Belakang Masalah ...............................................................

1

I.2.

Permasalahan ................................................................................

3

I.3.

Maksud dan Tujuan ......................................................................

3

I.4.

Pembatasan Masalah ....................................................................

4

I.5.

Metodologi Pembahasan ..............................................................

5

BAB II Tinjauan Pustaka ...................................................................................

8

II.1. Dasar-Dasar Teori ........................................................................

8

II.1.1. Pengantar Torsi ................................................................

8

II.1.2. Elastisitas .......................................................................... 10 II.1.3. Tegangan .......................................................................... 10 II.1.4. Regangan .......................................................................... 15 II.1.5. Hukum Hooke .................................................................. 18 II.1.6. Analogi Membrane Elastic oleh Prandtl (Soap Film Analogy) ........................................................................... 21 II.1.7. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid ................... 23

iv Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

II.2. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang ................................... 27 II.2.1. Metode Semi-Invers Saint-Venant ................................... 27 II.2.2. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Fungsi Torsi .... 33 II.3. Torsi Pada Beton Bertulang ......................................................... 34 BAB III Torsi Pada Tampang Persegi ................................................................. 36 III.1. Fungsi Torsi ................................................................................. 36 III.2. Tegangan Torsi ............................................................................. 40 III.3. Inersia Torsi ................................................................................. 46 III.4. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Torsi Maksimum ................................................................................... 48 BAB IV Cara Penggunaan Tabel ......................................................................... 50 IV.1. Penggunaan Tabel III.1, Tabel.III.2, dan Tabel.III.3 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Pada Suatu Tampang Persegi .......................................................................... 50 IV.2. Penggunaan Tabel III.4 Untuk Menghitung Besarnya Inersia Torsi Pada Suatu Tampang Persegi .............................................. 51 IV.3. Penggunaan Tabel III.5 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Arah zy Pada Suatu Tampang Persegi Jika Besarnya Momen Torsi yang Telah Diperoleh ............................ 51 BAB V Aplikasi Analisis Torsi Pada Tampang Persegi dan Pembahasan .......... 52 V.1. Aplikasi Besaran Inersia Torsi Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang dari Beton Bertulang ..................... 52 V.2. Aplikasi Besaran Tegangan Torsi Dalam Menghitung Tegangan Geser Maksimum yang Terjadi Pada Tampang Persegi .............. 76

v Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

V.3. Pembahasan .................................................................................. 79 BAB VI Penutup .................................................................................................. 80 VI.1. Kesimpulan .................................................................................. 80 VI.2. Saran ............................................................................................. 82 Daftar Pustaka Lampiran

vi Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

DAFTAR NOTASI A

= Luas potongan penampang

Ao

= Luas bruto yang dibatasi oleh lintasan aliran geser

Aoh

= Luas daerah yang dibatasi oleh garis pusat tulangan sengkang torsi terluar

Al

= Luas tulangan torsi longitudinal

At

= Luas satu kaki sengkang tertutup yang menahan puntir dalam daerah sejarak s

E

= Modulus elastisitas

Fx

= Gaya sejajar sumbu x

Fy

= Gaya sejajar sumbu y

G

= Modulus geser

MT

= Momen torsi per satuan panjang

P

= Gaya Luar Total

Ph

= Keliling dari garus pusat tulangan sengkang torsi terluar

Pn

= Gaya luar yang bekerja pada elemen

S

= Gaya inisial dalam gaya per satuan panjang

T

= Momen torsi

Tu

= Momen torsi ultimate

Tn

= Momen torsi rencana

Vc

= Kuat geser nominal yang disumbangkan oleh beton

Vu

= Gaya geser ultimate

X

= Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu x

Y

= Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu y vii


Yn

= Fungsi y yang tidak bergantung pada x

Z

= Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu z

bn

= Koefisien konstanta

bw

= Lebar badan balok

d

= Jarak dari serat tekan terluar ke titik berat tulangan tarik longitudinal

ds

= Panjang sisi elemen kecil

dx

= Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu x

dy

= Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu y

dz

= Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu z

f’c

= Kuat tekan beton yang disyaratkan

fy

= Kuat leleh yang disyaratkan untuk tulangan non-prategang

fyt

= Kuat leleh tulangan torsi longitudinal

fyv

= Kuat leleh tulangan sengkang torsi

k1

= Konstanta tegangan maksimum arah zy untuk tampang persegi

k2

= Konstanta tegangan maksimum arah zx untuk tampang persegi

k3

= Konstanta rasio tegangan maksimum arah zx terhadap arah zy untuk tampang persegi

k4

= Konstanta inersia torsi untuk tampang persegi

k5

= Konstanta hubungan antara momen torsi dengan tegangan maksimum arah zy

p

= Tekanan lateral dalam gaya per satuan luas

q

= Beban per satuan panjang

s

= Spasi tulangan geser atau puntir dalam arah pararel dengan tulangan longitudinal

viii Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

u

= komponen perpindahan elemen dalam arah x

v

= komponen perpindahan elemen dalam arah y

w

= komponen perpindahan elemen dalam arah z

x, y, z

= Sumbu koordinat utama

Φ Θ

= Koefisien reduksi untuk geser dan torsi = Sudut diagonal tekan pada penerapan analogi rangka untuk torsi

β

= Sudut puntir

γ

= Regangan geser

γxy , γyx

= Regangan geser sejajar bidang xy

γxz , γzx

= Regangan geser sejajar bidang xz

γyz , γzy

= Regangan geser sejajar bidang yz

δA

= Luasan kecil pada potongan penampang

δP

= Resultan gaya yang bekerja pada potongan kecil δA

Є

= Perpanjangan elemen

Єx

= Perpanjangan elemen dalam arah x

Єy

= Perpanjangan elemen dalam arah y

Єz

= Perpanjangan elemen dalam arah z

= Laju puntir per satuan panjang

= Angka perbandingan Poisson

σ

= Tegangan normal

σy

= Tegangan normal yang sejajar sumbu x

σx

= Tegangan normal yang sejajar sumbu y

σz

= Tegangan normal yang sejajar sumbu z

τ

= Tegangan geser ix


τxy

= Tegangan geser yang sejajar sumbu y dan tegak lurus sumbu x

τxz

= Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu x

τyx

= Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu y

τyz

= Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu y

τzx

= Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu z

τzy

= Tegangan geser yang sejajar sumbu y dan tegak lurus sumbu z

(x,y)

= Fungsi torsi = Fungsi warping

x Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

DAFTAR TABEL Tabel.III.1

: Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zy (k1) Untuk Tampang Persegi ........................................................................ 43

Tabel.III.2

: Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zx (k2) Untuk Tampang Persegi ........................................................................ 44

Tabel.III.3

: Nilai Konstanta Perbandingan Antara τzx

max

Terhadap τzy

max

(k3) Untuk Tampang Persegi ....................................................... 46 Tabel.III.4

: Nilai Konstanta Inersia Torsi (k4) Untuk Tampang Persegi ....... 48

Tabel.III.5

: Nilai Konstanta Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Geser Maksimum (k5) Untuk Tampang Persegi ........ 49

Tabel.V.1

: Nilai-Nilai Konstanta Untuk Tampang Persegi .......................... 81

xi Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

DAFTAR GAMBAR Gambar.II.1

: Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok .....................

Gambar.II.2

: Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung ........................................................................

Gambar.II.3

9

9

: Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar ............................................................................................ 11

Gambar.II.4

: Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil ............................................................................... 12

Gambar.II.5

: Potongan Melintang Kubus yang Melalui Titik P ..................... 13

Gambar.II.6

: Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil Dimana Gaya Luar Per Satuan Volume X, Y, Z Bekerja ........................................................................................ 14

Gambar.II.7

: Elemen Kecil Berdimensi dx dy dz ........................................... 16

Gambar.II.8

: Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B .......................................... 17

Gambar.II.9

: Perubahan Bentuk Segi Empat Parelellogram ........................... 19

Gambar.II.10 : Analogi Selaput Sabun (Soap Film Analogy) ........................... 21 Gambar.II.11 : Titik Simpul dan Elemen ........................................................... 24 Gambar.II.12 : Derajat Kebebasan Pada Elemen Grid ....................................... 25 Gambar.II.13 : Transformasi ke Sumbu Global ................................................. 26 Gambar.II.14 : Elemen Torsi Dengan Tampang Sembarang ............................. 27 Gambar.II.15 : Potongan Melintang Suatu Elemen Torsi ................................... 29 Gambar.II.16 : Potongan Melintang Elemen Torsi ............................................ 32 Gambar.III.1 : Tampang Persegi ....................................................................... 36 Gambar.III.2 : Tegangan Geser Akibat Torsi Pada Tampang Persegi .............. 41 xii Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

Gambar.IV.1 : Ilustrasi Sistem Balok Bersilang ................................................ 53 Gambar.IV.2 : Denah ......................................................................................... 53 Gambar.IV.3 : Beban Segitiga Pada Lantai ....................................................... 53 Gambar.IV.4 : Beban Lantai yang Dipikul Balok ............................................. 54 Gambar.IV.5 : Model Struktur ........................................................................... 55

xiii Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

BAB I PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Masalah Selama ini masalah torsi sangat jarang dibahas dalam teknik sipil. Umumnya beban-beban yang dikenal dan diperhitungkan dalam struktur adalah berupa gaya aksial dan beban vertikal. Hal ini disebabkan karena pengaruh torsi ini memang sangat kecil dan dapat diabaikan bila bentuk bangunan simetri. Dan mengingat bentuk-bentuk bangunan lazimnya memang memiliki bentuk yang beraturan, maka pengaruh torsi ini menjadi kurang berpengaruh. Namun, dengan berkembangnya konstruksi yang tidak lagi simetri, maka beban torsi pun mulai menentukan terhadap struktur sebuah bangunan. Beban torsi tidak dapat lagi diabaikan. Walaupun jarang dibahas dalam kuliah perencanaan, namun sebenarnya torsi selalu terjadi pada komponen-komponen bangunan seperti balok dan kolom. Beban-beban dari pelat lantai dan balok anak akan menimbulkan suatu momen torsi tertentu pada balok. Sedangkan pada kolom, momen torsi akan terjadi jika ada gaya horizontal yang terjadi. Sebagai contoh gaya horizontal ini yaitu gaya gempa maupun gaya angin. Salah satu contoh bentuk denah bangunan yang sangat berbahaya atau rawan terhadap torsi yaitu bentuk bangunan yang memiliki perbandingan panjang dan lebar yang cukup besar maupun suatu bangunan dengan bentuk denah L. Jika gempa terjadi, maka momen torsi yang ditimbulkan akan sangat besar karena bentang yang panjang.

1 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

Dalam pembahasan tentang gempa juga, torsi merupakan suatu hal yang sangat berbahaya terhadap struktur bangunan. Dalam setiap perencanaan yang dianalisis dengan analisis dinamik, mode yang paling dihindari sebagai mode pertama dari suatu struktur adalah torsi. Jika hal ini sampai terjadi, maka bangunan tidak akan dapat bertahan. Hal-hal di atas telah memberikan beberapa gambaran akan pentingnya gaya torsi untuk ikut diperhitungkan dalam suatu perencanaan struktur bangunan. Bentuk pembahasan mengenai torsi yang paling sederhana yaitu pengaruh torsi pada tampang bulat. Pembahasan ini banyak kita jumpai dari beberapa literatur. Dan pembahasannya pun cukup sederhana. Berbeda dengan tampang bulat, pengaruh torsi pada tampang persegi panjang menjadi suatu permasalahan yang cukup kompleks untuk dibahas. Namun, pada struktur-struktur bangunan, tentu saja tampang persegi panjang sering dijumpai terutama pada struktur bangunan beton bertulang, khususnya balok. Kolom berbentuk persegi panjang juga banyak dijumpai. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini, Penulis akan menjabarkan beberapa besaran yang berhubungan dengan torsi yang kemudian akan digunakan dalam perencanaan struktur beton bertulang yaitu tegangan torsi dan inersia torsi. Tegangan torsi akan digunakan untuk perencanaan tulangan geser pada komponen struktur beton bertulang sedangkan inersia torsi akan digunakan untuk menganalisis gaya dalam (momen torsi) yang terjadi dalam komponen struktur dengan menggunakan metode Finite Element.


I.2. Permasalahan Yang menjadi permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah bagaimana cara mendapatkan suatu fungsi torsi untuk tampang persegi. Fungsi torsi ini kemudian akan diperlukan untuk menghitung tegangan geser yang terjadi pada suatu tampang persegi dimana besarnya tegangan geser torsi adalah turunan pertama dari fungsi torsi terhadap panjang sisi persegi. Fungsi torsi ini akan diturunkan dari suatu persamaan umum torsi dengan memasukkan kondisi-kondisi batas untuk bentuk persegi. Kemudian persamaan ini akan diselesaikan hingga diperoleh suatu fungsi torsi yang kemudian dapat digunakan untuk menghitung tegangan geser puntir maupun inersia torsi untuk tampang persegi. I.3. Maksud dan Tujuan Adapun maksud dan tujuan utama penulisan tugas akhir ini adalah untuk memperoleh tabel-tabel praktis yang dapat digunakan untuk perhitungan tegangan torsi dan inersia torsi pada tampang persegi panjang dengan perbandingan ukuran panjang (b) dan lebar (a) tampang yang bervariasi. Tabel-tabel yang dibuat dalam tugas akhir ini adalah tabel yang berisikan nilai-nilai konstanta yang diperlukan untuk memudahkan perhitungan besaran-besaran seperti tegangan torsi, momen torsi, inersia torsi, serta hubungan antara momen torsi dengan tegangan torsi. Tabel-tabel yang diperoleh ini akan diaplikasikan ke dalam penggunaan umum seperti salah satu contohnya yaitu nilai inersia torsi. Nilai inersia torsi dibutuhkan sebagai salah satu komponen untuk menentukan kekakuan struktur dalam analisis struktur dengan elemen hingga yang pada saat ini banyak digunakan. Inersia torsi ini diperlukan untuk menganalisis suatu struktur yang mengalami torsi.


Hubungan antara momen torsi dan tegangan torsi diperlukan karena pada umumnya melalui analisa struktur yang diperoleh terlebih dahulu adalah gaya-gaya dalam pada suatu komponen struktur dimana momen torsi termasuk salah satunya. Dari nilai momen yang diperoleh kemudian dengan bantuan tabel yang diperoleh dari tugas akhir ini, besarnya tegangan geser pada suatu tampang persegi dapat diperoleh dengan mudah. Tugas akhir ini juga bertujuan untuk memberikan gambaran akan pentingnya analisis torsi pada suatu bangunan khususnya pada suatu elemen grid, contohnya sistem balok anak. Dari hasil-hasil analisis yang diperoleh, pada akhir tugas akhir ini akan diberikan sebuah contoh aplikasi analisis torsi pada suatu elemen grid dalam menghitung momen torsi yang terjadi serta bagaimana cara merencanakan tulangan untuk menahan momen torsi ini. I.4. Pembatasan Masalah Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai analisis torsi pada tampang persegi dimana penurunan deformasi torsinya akan diturunkan dengan menggunakan bantuan tampang lingkaran, sedangkan untuk menentukan persamaan torsi didasarkan kepada Hukum Hooke dengan menggunakan bantuan Metode Semi-Invers Saint Venant dan penurunan fungsi torsinya didasarkan pada metode Prandtl (Soap Film Analogy). Pembahasan utama dari tugas akhir ini adalah hingga memperoleh tabeltabel praktis yang diperlukan untuk perhitungan tegangan torsi, inersia torsi, dan hubungan antara momen torsi dengan tegangan torsi. Aplikasi pada struktur beton bertulang hanya merupakan tambahan untuk memperjelas penggunaan hasil dari


tugas akhir ini. Sehingga pembahasan tentang struktur beton bertulang secara terperinci tidak termasuk di dalam tugas akhir ini. Model yang digunakan untuk aplikasi dari hasil analisis torsi ini adalah model sistem balok bersilang dimana biasanya momen torsi yang terjadi cukup besar untuk diperhitungkan. Bahan yang digunakan adalah beton bertulang. Analisis struktur dilakukan dengan Finite Element Methode untuk elemen grid. Kontrol analisis struktur dengan menggunakan program SAP2000. Perencanaan tulangan untuk torsi didasarkan pada SNI-03-2847-2002. I.5. Metodologi Pembahasan Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah literatur yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku-buku yang berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini serta masukan-masukan dari dosen pembimbing. Untuk perhitungan tabel-tabel dilakukan dengan bantuan program Microsoft Excel 2007. Sedangkan untuk perhitungan gaya-gaya dalam yang terjadi pada komponen struktur dilakukan dengan metode Finite Element yang kemudian hasilnya akan dikontrol dengan bantuan program SAP2000. Berikut ini adalah metodologi dalam penulisan Tugas Akhir ini : I.

Pendahuluan I.1.

Latar Belakang Masalah

I.2.

Permasalahan

I.3.

Maksud dan Tujuan

I.4.

Pembatasan Masalah

I.5.

Metodologi Pembahasan


II.

Tinjauan Pustaka II.1. Dasar-Dasar Teori II.1.1. Pengantar Torsi II.1.2. Elastisitas II.1.3. Tegangan II.1.4. Regangan II.1.5. Hukum Hooke II.1.6. Analogi Membrane Elastic oleh Prandtl (Soap Film Analogy) II.1.7. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid II.2. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang II.2.1. Metode Semi-Invers Saint-Venant II.2.2. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Fungsi Torsi II.3. Torsi Pada Beton Bertulang

III.

Analisis Torsi Pada Tampang Persegi III.1. Fungsi Torsi III.2. Tegangan Torsi III.3. Inersia Torsi III.4. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Torsi Maksimum

IV.

Cara Penggunaan Tabel IV.1. Penggunaan Tabel III.1, Tabel.III.2, dan Tabel.III.3 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Pada Suatu Tampang Persegi IV.2. Penggunaan Tabel.III.4 Untuk Menghitung Besarnya Inersia Torsi Pada Suatu Tampang Persegi


IV.3. Penggunaan Tabel.III.5 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Arah zy Pada Suatu Tampang Persegi Jika Besarnya Momen Torsi yang Telah Diperoleh V.

Aplikasi Analisis Torsi Pada Tampang Persegi dan Pembahasan V.1. Aplikasi Besaran Inersia Torsi Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang dari Beton Bertulang V.2. Aplikasi Besaran Tegangan Torsi Dalam Menghitung Tegangan Geser Maksimum yang Terjadi Pada Tampang Persegi V.3. Pembahasan

VI.

Penutup VI.1. Kesimpulan VI.2. Saran


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Dasar-Dasar Teori 1.1. Pengantar Torsi Torsi adalah puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang. Sebagai contoh dalam kehidupan sehari-hari yaitu jika seseorang memutar obeng, maka tangannya memberikan torsi ke obeng. Demikian pula halnya dengan komponen struktur suatu bangunan. Jika diperhatikan lebih seksama, sebenarnya balok-balok pada bangunan mengalami torsi akibat beban-beban pada pelat. Demikian pula halnya dengan kolom. Namun torsi pada kolom kebanyakan diakibatkan oleh gaya-gaya yang arahnya horizontal seperti gaya angin ataupun gempa. Berikut ini beberapa ilustrasi yang memperlihatkan adanya torsi yang terjadi pada balok dan kolom. Torsi timbul karena adanya gaya-gaya yang membentuk kopel yang cenderung memuntir batang terhadap sumbu longitudinalnya. Seperti diketahui dari statika, momen kopel merupakan hasil kali dari gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja gaya. Satuan untuk momen pada USCS adalah (lb-ft) dan (lb-in), sedangkan untuk satuan SI adalah (N.m). Untuk mudahnya, momen kopel sering dinyatakan dengan vektor dalam bentuk panah berkepala ganda. Panah ini berarah tegak lurus bidang yang mengandung kopel, sehingga dalam hal ini kedua panah sejajar dengan sumbu batang. Arah momen ditunjukkan dengan kaidah tangan kanan untuk vektor momen


yaitu dengan menggunakan tangan kanan, empat jemari selain jempol dilipat untuk menunjukkan momen sehingga jempol akan menunjuk ke arah vektor. Representasi momen yang lain adalah dengan menggunakan panah lengkung yang mempunyai arah torsi. Lihat Gambar.II.2.

T

Berat Pelat

Balok Balok

Beban Angin atau Gempa Beban Angin atau Gempa

T

Gambar.II.1.Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok

P

T T

P

T T

Gambar.II.2.Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung


Momen yang menghasilkan puntir pada suatu batang disebut momen puntir atau momen torsi. Batang yang menyalurkan daya melalui rotasi disebut poris atau as (shaft). Dalam tugas akhir ini, shaft yang akan dibahas secara khusus adalah shaft yang berbentuk persegi yang dalam bidang teknik struktur bangunan banyak dijumpai yaitu pada balok dan kolom struktur beton bertulang. 1.2. Elastisitas Elastisitas ialah sifat suatu bahan apabila gaya luar mengakibatkan perubahan bentuk (deformation) tidak melebihi batas tertentu, maka perubahan bentuk akan hilang setelah gaya dilepas. Hampir semua bahan teknik memiliki sifat elastisitas ini. Dalam pembahasan torsi dalam tugas akhir ini, bahan-bahan akan dianggap bersifat elastis sempurna yaitu benda akan kembali seperti semula secara utuh setelah gaya yang bekerja padanya dilepas. 1.3. Tegangan Tegangan didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Untuk menjelaskan ini, maka akan ditinjau sebuah benda yang dalam keadaan setimbang seperti terlihat pada Gambar.II.3. Akibat kerja gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, dan P7, maka akan terjadi gaya dalam di antara benda. Untuk mempelajari besar gaya ini pada titik sembarang O, maka benda diandaikan dibagi menjadi dua bagian A dan B oleh penampang mm yang melalui titik O.


P1

z

P2

m B P7 O

A

x

y

P3

P4 m

P6

P5

Gambar.II.3.Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar

Kemudian tinjaulah salah satu bagian ini, misalnya A. Bagian ini dapat dinyatakan dalam keadaan setimbang akibat gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 dan gaya dalam terbagi di sepanjang penampang mm yang merupakan kerja bahan. Oleh karena intensitas distribusi ini, tegangan dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A. Untuk memperoleh besar gaya yang bekerja pada luasan kecil δA, misalnya dari potongan penampang mm pada titik O, dapat diamati bahwa gaya yang bekerja pada elemen luas ini diakibatkan oleh kerja bahan bagian B terhadap bahan bagian A yang dapat diubah menjadi sebuah resultante δP. Apabila tekanan terus diberikan pada luas elemen δA, harga batas δP/δA akan menghasilkan besar tegangan yang bekerja pada potongan penampang mm pada titik O. arah batas resultante δP adalah arah tegangan.


Umumnya, arah tegangan ini miring terhadap luas δA tempat gaya bekerja sehingga dapat diuraikan menjadi dua komponen tegangan yaitu tegangan normal yang tegak lurus terhadap luas dan tegangan geser yang bekerja pada bidang luas δA. Tegangan normal dinotasikan dengan huruf σ dan tegangan geser dengan huruf τ. Untuk menunjukkan arah bidang dimana tegangan tersebut bekerja, digunakan subskrip terhadap huruf-huruf ini. Tegangan normal menggunakan sebuah subskrip yang menunjukkan arah tegangan yang sejajar terbadap sumbu koordinat tersebut, sedangkan tegangan geser menggunakan dua buah subskrip dimana huruf pertama menunjukkan arah normal terhadap bidang yang ditinjau dan huruf kedua menunjukkan arah komponen tegangan. Gambar.II.4 menunjukkan arah komponenkomponen tegangan yang bekerja pada suatu elemen kubus kecil pada titik O pada Gambar.II.1. z

σZ x

τZX τZY

y

σY τXZ

τYX

τXY τYZ

σX

σX

τYZ τXY τXZ

P

τYX τZY

σY τZX

σZ

Gambar.II.4.Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil

Untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada keenam sisi elemen ini diperlukan tiga simbol σx, σy, σz untuk tegangan normal dan enam simbol τxy, τyx, τxz,


τzx, τyz, τzy untuk tegangan geser. Dengan meninjau kesetimbangan elemen secara sederhana, maka jumlah simbol tegangan geser dapat dikurangi menjadi tiga. τZX

z

C

τXZ

P

τXZ

τZX x

Gambar.II.5.Potongan Melintang Kubus yang Melalui Titik P

Apabila momen gaya yang bekerja pada elemen terhadap garis yang melalui titik tengah C dan sejajar sumbu x, maka hanya tegangan permukaan yang diperlihatkan pada Gambar.II.5 yang perlu ditinjau. Gaya benda, seperti berat elemen, dapat diabaikan karena semakin kecil ukuran elemen, maka gaya benda yang bekerja padanya berkurang sebesar ukuran linier pangkat tiga. Sedangkan gaya permukaan berkurang sebesar ukuran linier kuadrat. Oleh karena itu, untuk elemen yang sangat kecil, besar gaya benda sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya permukaan sehingga dapat dihilangkan ketika menghitung momen. Dengan cara yang sama, orde momen akibat ketidak-merataan distribusi gaya normal lebih tinggi dibandingkan dengan orde momen akibat gaya geser dan menjadi nol dalam limit. Juga gaya pada masing-masing sisi dapat ditinjau sebagai luas sisi kali tegangan di tengah. Jika ukuran elemen kecil pada Gambar.II.5 adalah dx, dy, dz, maka momen gaya terhadap P, maka persamaan kesetimbangan elemen ini adalah : τxz dx dy dz = τzx dx dy dz

(II.1)


Dua persamaan lain dapat diperoleh dengan cara yang sama sehingga didapatkan : τxy = τyx

τzx = τxz

τzy = τyz

(II.2)

Dengan demikian enam besaran σx, σy, σz, τxy = τyx, τzx = τxz, τzy = τyz cukup untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada koordinat bidang melalui sebuah titik. Besaran-besaran ini disebut komponen tegangan pada suatu titik. Jika kubus pada Gambar II.5 diberikan suatu komponen gaya per satuan volume sebesar X, Y, Z pada masing-masing sumbu x, y, dan z maka gambar komponen tegangan dalam Gambar.II.5 akan menjadi seperti pada Gambar.II.6 di bawah

ini

dan

persamaan

kesetimbangan

akan

dapat

diperoleh

dengan

menjumlahkan semua gaya pada elemen dalam arah x yaitu : [(σx + jσx) – σx] jy jz + [(τyx + jτyx) – τyx] jx jz + [(τzx + jτzx) – τzx] jx jy + X jx jy jz = 0 [(σy + jσy) – σy] jx jz + [(τxy + jτxy) – τxy] jy jz + [(τzy + jτzy) – τzy] jx jy + Y jx jy jz = 0 [(σz + jσz) – σz] jx jy + [(τxz + jτxz) – τxz] jy jz + [(τyz + jτyz) – τyz] jx jz + Z jx jy jz = 0 z

σZ + σZ x

τZX + τZX

y

σY τXZ + τXZ

τZY + τZY τYX

τXY

τYZ + τYZ

σX

τYX + τYX τXZ

τYZ τXY + τXY

σX + σX

P τZY

σY + σY τZX

σZ

Gambar.II.6.Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil Dimana Gaya Luar Per Satuan Volume X, Y, Z Bekerja


Sesudah dibagi dengan jx, jy, jz, dan seterusnya hingga batas penyusutan elemen hingga titik x, y, z maka akan didapatkan :

+ + +

+ + +

+=0 +=0

(II.3)

+=0

Persamaan (II.3) ini harus dipenuhi di semua titik di seluruh volume benda. Tegangan berubah di seluruh volume benda, dan apabila sampai pada permukaan, tegangan-tegangan ini harus sedemikian rupa sehingga setimbang dengan gaya luar yang bekerja pada permukaan benda. 1.4. Regangan Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran tak berdimensi, artinya regangan tidak mempunyai satuan. Dengan demikian, regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan, tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Dalam membahas perubahan bentuk benda elastis, selalu dianggap bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku sehingga tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut.


Pada pembahasan ini yang ditinjau hanya perubahan bentuk yang kecil yang biasa terjadi pada struktur teknik. Perpindahan kecil pertikel yang berubah bentuk ini diuraikan ke dalam komponen u, v, w berturut-turut sejajar dengan sumbu koordinat. Besar komponen ini dianggap sangat kecil dan bervariasi di seluruh volume benda. z dx dy dz A

O P

B

x

y

C

Gambar.II.7.Elemen Kecil Berdimensi dx dy dz

Tinjau elemen kecil dx dy dz dari sebuah benda elastis seperti terlihat pada Gambar.II.7. Apabila benda mengalami perubahan bentuk dan u, v, w merupakan komponen perpindahan titik P, perpindahan titik di dekatnya , A, dalam arah x pada sumbu x adalah orde pertama dalam dx, yaitu u + (ju/jx) dx akibat pertambahan fungsi u sebesar (ju/jx) dx sesuai dengan pertambahan panjang elemen PA akibat perubahan bentuk adalah (ju/jx) dx. Sedangkan satuan perpanjangan (unit elongation) pada titik P dalam arah x adalah (ju/jx). Dengan cara yang sama, maka diperoleh satuan perpanjangan dalam arah y dan z adalah (jv/jy) dan (jw/jz).


O

x dx

P v u

A v + vx dx

P'

A'

dy

B u + uy dy

B'

y Gambar.II.8.Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B

Sekarang tinjaulah pelentingan sudut antara elemen PA dan PB dalam Gambar.II.8. Apabila u dan v adalah perpindahan titik P dalam arah x dan y, perpindahan titik A dalam arah y dan titik B dalam arah x berturut-turut adalah v + (jv/jx) dx dan u + (ju/jy) dy. Akibat perpindahan ini, maka P’A’ merupakan arah baru elemen PA yang letaknya miring terhadap arah awal dengan sudut kecil yang ditunjukkan pada gambar, yaitu sama dengan (jv/jx). Dengan cara yang sama arah P’B’ miring terhadap PB dengan sudut kecil (ju/jy). Dari sini dapat dilihat bahwa sudut awal APB yaitu sudut antara kedua elemen PA dan PB berkurang sebesar (jv/jx) + (ju/jy). Sudut ini adalah regangan geser (shearing strain) antara bidang xz dan yz. Regangan geser antara bidang xy dan xz dan bidang yx dan yz dapat diperoleh dengan cara yang sama. Selanjutnya kita menggunakan huruf Є untuk satuan perpanjangan dan huruf γ untuk regangan geser. Untuk menunjukkan arah regangan digunakan subskrip yang sama terhadap huruf ini sama seperti untuk komponen tegangan. Kemudian diperoleh dari pembahasan di atas beberapa besaran berikut :


=

∈ =

=

+

=

∈ =

=

+

=

∈ =

=

+

(II.4)

Keenam besaran ini disebut sebagai komponen regangan geser. 1.5. Hukum Hooke

Hubungan linier antara komponen tegangan dan komponen regangan umumnya dikenal sebagai hukum Hooke. Satuan perpanjangan elemen hingga batas proporsional diberikan oleh

! ∈ = "

(II.5)

dimana E adalah modulus elastisitas dalam tarik (modulus of elasticity in tension). Bahan yang digunakan di dalam struktur biasanya memiliki modulus yang sangat besar dibandingkan dengan tegangan izin, dan besarnya perpanjangan sangat kecil. Perpanjangan elemen dalam arah x ini akan diikuti dengan pengecilan pada komponen melintang yaitu ∈ = −

! ∈ = − "

! "

(II.6)

dimana adalah suatu konstanta yang disebut dengan ratio Poisson (Poisson’s Ratio). Untuk sebagian besar bahan, ratio poisson dapat diambil sama dengan 0,25. Untuk baja struktur biasanya diambil sama dengan 0,3. Apabila elemen di atas mengalami kerja tegangan normal σx, σy, σz secara serempak, terbagi rata di sepanjang sisinya, komponen resultante regangan dapat diperoleh dari persamaan (II.5) dan (II.6) yaitu : ∈ =

∈ = ∈ =

1 %! − &! + ! '( " 1 %! − )! + ! *( "

1 %! − &! + ! '( "

(II.7)


Pada persamaan (II.7), hubungan antara perpanjangan dan tegangan sepenuhnya didefinisikan oleh konstanta fisik yaitu E dan . Konstanta yang sama dapat juga digunakan untuk mendefinisikan hubungan antara regangan geser dan tegangan geser. z

b

b τ

τ

a

σ

45°

o

τ

c

y

τ

τ

c

o σ

d

Gambar.II.9.Perubahan Bentuk Segi Empat Paralellogram

Tinjaulah kasus khusus yaitu perubahan bentuk segi empat paralelogram di mana σz = σ, σy = –σ , dan σx = 0. Potonglah sebuah elemen abcd dengan bidang yang sejajar dengan sumbu x dan terletak 45˚ terhadap sumbu y dan z (Gambar.II.9). Dengan menjumlah gaya sepanjang dan tegak lurus bc, bahwa tegangan normal pada sisi elemen ini nol dan tegangan geser pada sisi adalah :

τ

= ½ (σz – σy) = σ

(II.8)

Kondisi tegangan seperti itu disebut geser murni (pure shear). Pertambahan panjang elemen tegak Ob sama dengan berkurangnya panjang elemen mendatar Oa dan Oc, dan dengan mengabaikan besaran kecil dari orde kedua, kita bisa menyimpulkan bahwa panjang elemen ab dan bc tidak berubah selama terjadinya perubahan bentuk. Sudut antara sisi ab dan bc berubah dan besar regangan geser yang bersangkutan γ bisa diperoleh dari segi tiga Obc. Sedudah perbuahan bentuk akan didapatkan : 19 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

1 + 6 +, 2 = tan 1 − 5 = +4 2 1 + 6

Untuk γ yang kecil, tan (γ/2) ≈ γ/2, maka :

Maka diperoleh :

2 tan − tan 1− +, 2 4 2 = 1 + 6 2 = = tan 1 − 5 = 2 4 2 1 + 6 +1 + tan tan 1+ 4 2 2 6 = −

2

dan

6 =

2

Sedangkan jika nilai-nilai σz = σ, σy = –σ , dan σx = 0 disubstitusikan ke dalam persamaan (II.7) maka akan diperoleh : ∈ =

&1+'! 1 )−! − !* = − =− " " 2

∈ =

&1+'! 1 7! − )−!*8 = = " " 2

Maka diperoleh hubungan antara regangan dengan regangan geser : ∈=

2

(II.9)

2&1+'! 2&1+'9 = " "

(II.10)

" 2&1+'

(II.11)

9 :

(II.12)

Hubungan antara regangan dan tegangan geser didefinisikan oleh konstanta E dan v yaitu : =

Jika digunakan notasi :

:=

Maka persamaan (II.10) akan menjadi :

=

dimana konstanta G didenisikan oleh (II.11), dan disebut modulus elastisitas dalam geser (modulus of elasticity in shear) atau modulus kekakuan (modulus of rigidity).


Apabila tegangan geser bekerja ke semua sisi elemen, seperti terlihat pada Gambar.II.5, pelentingan sudut antara dua sisi yang berpotongan hanya tergantung kepada komponen tegangan geser yang bersangkutan dan diperoleh :

=

9 :

=

9 :

9 = :

1.6. Analogi Membrane Elastic oleh Prandtl (Soap Film Analogy) Untuk pembahasan analogi membran ini, potonglah suatu bukaan pada potongan melintang dari elemen yang mengalami torsi untuk diselidiki. Anggaplah bukaan ini ditutupi oleh sejenis membran elastis yang homogen, seperti selaput sabun, dan kerjakan suatu tekanan pada salah satu sisi membran.

y B

A dx D

dy C

x

O

z

S α

O

S

α+ α x dx

p

x

Gambar.II.10.Analogi Selaput Sabun (Soap Film Analogy)

Kemudian tinjaulah suatu elemen membran elastis ABCD dengan dimensi dx dy seperti ditunjukkan pada Gambar.II.10. Dengan menggunakan z sebagai besaran perpindahan lateral dari membran elastis, p adalah tekanan lateral dalam


gaya per satuan luas, dan S sebagai tegangan inisial dalam gaya per satuan panjang, maka gaya vertikal murni yang diakibatkan oleh tegangan S yang bekerja sepanjang sisi AD dan BC dari membran (dengan mengasumsikan perpindahan yang terjadi adalah sangat kecil sehingga nilai sinα ≈ tanα) berturut-turut adalah

; < sin A? +

−; < sin ? ≈ −; < tan ? = −; <

? ? <B ≈ ; < tan A? + <B = ; < A + <B

Dengan cara yang sama akan diperoleh gaya vertikal murni yang diakibatkan oleh tegangan S yang bekerja sepanjang sisi AB dan DC berturut-turut adalah

; <

−; <

A + <B

Jika keempat gaya vertikal di atas dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan membran untuk elemen dx dy adalah sebagai berikut −; <

+ ; < A + <B − ; < + ; < A + <B + C < < = 0 ; <

A <B + ; < A <B = −C < <

;

D D < < + ; < < = −C < < D D E

E F + =− E E G

(II.13)

Persamaan (II.13) ini dikenal sebagai persamaan Analogi Membran Prandtl. Persamaan ini kemudian akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan torsi untuk tampang persegi.


1.7. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid Metode elemen hingga merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Metode elemen hingga juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dicari. Dalam hubungannya dengan tugas akhir ini, metode elemen hingga ini digunakan untuk menganalisis atau menghitung besarnya momen torsi yang terjadi dalam komponen struktur. Untuk itu, metode elemen hingga yang digunakan adalah metode elemen hingga untuk elemen grid dimana gaya yang bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya vertikal, momen lentur dan momen torsi. Persamaan umum untuk metode elemen hingga ini adalah : HIJ = 7K8H<J − HILMN J

dimana : {f}

(II.14)

= Matriks gaya-gaya batang ( kg )

[k]

= Matriks kekakuan struktur ( N/m2 )

{d}

= Matriks perpindahan ( m dan rad )

{fred} = Matriks gaya-gaya pada titik simpul akibat beban merata Dalam menggunakan metode elemen hingga, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap elemen / batang akan terdapat dua buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda (1) dan simpul akhir yang diberi tanda (2) dan sebuah elemen yang diberi tanda (a) seperti tampak pada Gambar.II.11.


2

1

Gambar.II.11.Titik Simpul dan Elemen

Derajat kebebasan adalah jumlah komponen perpindahan yang dapat terjadi pada kedua simpul yang ada pada suatu elemen. Jumlah derajat kebebasan berbedabeda untuk tiap jenis struktur. Misalnya, untuk elemen rangka, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu masing-masing satu perpindahan dalam arah sumbu batang ( biasanya disebut sebagai sumbu 1 ) pada titik simpul (1) dan (2). Dari jumlah derajat kebebasan yang ada, suatu matriks kekakuan untuk suatu jenis struktur dapat ditentukan. Masing-masing jenis struktur memiliki suatu matriks kekakuan tersendiri dimana matriks kekakuan untuk elemen rangka berbeda dengan matriks kekakuan untuk elemen frame dan lain-lainnya. Begitu pula halnya dengan matriks kekakuan untuk elemen grid. Matriks kekakuan dari elemen grid dapat diperoleh dengan menggabungkan matriks kekakuan dari elemen batang ( memiliki 4 derajat kebebasan ) dengan matriks kekakuan untuk elemen torsi murni. Kekakuan dalam suatu struktur terbagi dalam dua jenis yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan elemen yang mengacu arah sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan elemen yang mengacu pada sistem koordinat global yaitu sistem koordinat kartesian (XYZ). Jika dalam suatu struktur terdapat lebih dari satu batang dengan arah sumbu lokal yang berbeda, maka maka kekakuan lokal dari tiap elemen harus diubah menjadi kekakuan global agar matriks kekakuan dari semua elemen yang ada dapat digabungkan.


Μz1

Μz2 GJ ΕΙ

Mx1

Mx2

Sy1

Sy2 L

Gambar.II.12.Derajat Kebebasan Pada Elemen Grid

Untuk elemen grid, seperti yang telah disebutkan di atas, kekakuan lokalnya merupakan gabungan dari kekakuan lokal untuk elemen batang dengan kekakuan lokal untuk elemen torsi murni. Berikut ini adalah matriks kekakuan yang disebutkan di atas : • Matriks kekakuan lokal untuk elemen batang (Frame Element) 12 "O 7K8 = Q R 6P P −12 6P

6P 4PD −6P 2PD

6P 2PD T −6P D 4P

−12 −6P 12 −6P

• Matriks kekakuan lokal untuk elemen torsi murni 7K8 =

:U 1 V P −1

• Matrik kekakuan lokal untuk elemen grid 12"O Z Q Y P Y 0 Y Y 6"O Y D 7K8 = Y P 12"O Y− Q P Y Y 0 Y Y 6"O X PD

0

:U P 0

0

−

:U P

0

6"O PD 0

4"O P 6"O − D P 0

4"O P

−1 W 1 −

12"O PQ 0

6"O PD 12"O PQ

−

−

0

6"O PD

6"O ] PD \ :U − 0 \ P \ 4"O \ 0 P \ 6"O \ 0 − D\ P \ :U 0 \ P \ 4"O \ 0 P [ 0

Kekakuan lokal dari semua jenis struktur dapat diubah menjadi kekakuan global dengan menggunakan persamaan :

%K^( = 7_87K87_8à


dimana [T] merupakan matriks transformasi yang berbeda-beda untuk jenis struktur tertentu dan [T]-1 merupakan invers dari matriks transformasi. Matriks transformasi untuk elemen grid dapat disusun dengan mengacu pada Gambar.II.13 sehingga diperoleh : 1 Z0 Y 7_8 = Y0 Y0 Y0 X0

7_8à

1 Z0 Y = Y0 Y0 Y0 X0

0 cos ? sin ? 0 0 0

0 − sin ? cos ? 0 0 0

0 cos ? − sin ? 0 0 0

z

0 sin ? cos ? 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 cos ? sin ?

0 0 ] \ 0 \ 0 \ − sin ? \ cos ? [

0 0 0 0 cos ? − sin ?

0 0 ] \ 0 \ 0 \ sin ? \ cos ? [

V1 X Mx1 1 My1

α V2

y

2

Mx2

My2

Gambar.II.13.Transformasi ke Sumbu Global

Setelah matriks kekakuan diperoleh maka gaya-gaya batang untuk elemen grid dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung besarnya perpindahan yang terjadi pada titik-titik simpul dengan menggunakan persamaan (II.14) :


12"O Z Q Y P Y 0 ha gi l Y a 6"O e ei e e Y a Y PD =Y 12"O f hD k i D e Y− PQ e e e Y di D j Y 0 Y Y 6"O X PD

0

:U P 0

0

−

:U P

0

HIJ = 7K8H<J − HILMN J 6"O PD 0

4"O P 6"O − D P 0

4"O P

−

12"O PQ 0

6"O PD 12"O PQ

−

−

0

6"O PD

6"O ] PD \ :U − 0 \ ha LMN P \ a gi l a LMN g l 4"O \ ma e e e e e 0 i a LMN e P \ na − 6"O \ D k f hD LMN k 0 − D \f i D LMN e P \ emD e e e dnD j ei :U D LMN j d \ 0 P \ 4"O \ 0 P [ 0

(II.15)

Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan (II.15), maka gayagaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan (II.14). II.2. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang 2.1. Metode Semi-Invers Saint-Venant

Sebelum Berubah Bentuk Setelah Berubah Bentuk

P

y z

P'

x

β

T z

O

y

Gambar.II.14.Elemen Torsi Dengan Tampang Sembarang

Anggap suatu bahan yang menalami torsi dengan suatu potongan melintang seragam dari tampang sembarang seperti terlihat pada Gambar.II.14. Tegangan yang didistribusikan pada ujung-ujung yaitu τzx dan τzy akan menghasilkan torsi sebesar T.


pada umumnya, semua distribusi tegangan pada ujung potongan akan menghasilkan torsi. Menurut Saint-Venant, distribusi tegangan pada potongan yang cukup jauh dari ujung bergantung hanya pada besar momen torsi dan tidak tergantung pada distribusi tegangan pada ujungnya. Oleh karena itu, untuk suatu element torsi panjang, distribusi tegangan pada ujung tidak akan mempengaruhi distribusi pada bagian makro dari elemen torsi. Metode

Saint-Venant

dimulai

dengan

suatu

perkiraan

komponen

perpindahan akibat torsi. Perkiraan ini didasarkan kepada perubahan geometri yang terjadi pada elemen torsi yang terdeformasi. Saint-Venant mengasumsikan tiap elemen torsi lurus dengan tampang tetap selalu memiliki suatu sumbu putar yang tegak lurus terhadap potongan melintangnya yang bertindak sebagai poros kaku pada pusatnya. Dalam hal ini, poros diambil sejajar dengan sumbu z. Tinjau suatu titik P dengan koordinat (x, y, z) dari pusat O sebelum mengalami deformasi. Setelah mengalami deformasi akibat torsi, P bergerak ke P’. P akan berpindah sejauh w sejajar sumbu z karena warping (distorsi ke arah luar bidang) dari potongan melintang dan berpindah sejauh u dan v sejajar sumbu x dan sumbu y karena rotasi dasar potongan melintang di mana P berada dengan sudut puntir sebesar β terhadap poros. Sedangkan sudut puntir β ini bervariasi menurut jarak z dari poros. Dapat dituliskan bahwa dβ/dz sebagai suatu laju puntiran θ. Maka pada jarak z dari pusat O, sudut puntir adalah sebesar β = θz.


x x' x

P(x,y) β

y

y

y'

α

P'(x',y')

r

Gambar.II.15.Potongan Melintang Suatu Elemen Torsi

Dengan mengacu pada Gambar.II.15, diperoleh :

= o − = +p7cos)? + m* − cos ?8

= +p7cos ? cos m − sin ? sin m − cos ?8

= +p cos ? )cos m − 1* − +p sin ? sin m

dan

= )cos m − 1* − sin m

= o − = +p7sin)? + m* − sin ?8

= +p7sin ? cos m + cos ? sin m − sin ?8

= +p cos ? sin m + +p sin ? )cos m − 1* = sin m + )cos m − 1*

Untuk perpindahan yang sangat kecil, akan diperoleh nilai-nilai sinβ ≈ β dan cosβ ≈ 1, maka : u = -yβ = -y θz

v = xβ = x θz

Sedangkan untuk komponen w diambil : w = θ ψ(x,y) dimana ψ(x,y) adalah fungsi warping. Setelah

komponen

perpindahan

ini

diperoleh,

maka

kita

akan

mensubstitusikan nilai-nilai u, v, dan w ini ke dalam persamaan (II.4) dan diperoleh :


∈ =

&− ' = =0

∈ =

=

=

=

=

=

∈ =

& ' = =0

% &,'( = =0

&− ' & ' + = + = − + = 0

&,' % &,'( &− ' + = + = r − s

=

&,' % &,'( & ' + = + = r + s

(II.16)

Tinjau kembali persamaan kesetimbangan. Untuk komponen yang mengalami torsi murni, σx = 0, σy = 0, σz = 0, τxy = 0, X = 0, Y = 0, Z = 0 sehingga dari persamaan kesetimbangan didapatkan :

+

=0

(II.17.a)

=0

(II.17.b)

=0

(II.17.c)

Persamaan (II.17.a) dan (II.17.b) menunjukkan bahwa τzx dan τzy tidak tergantung pada z. Dan komponen tegangan harus memenuhi persamaan (II.17.c). Oleh karena itu diambil persamaan tegangan geser ini menjadi : 9 =

9 = −

(II.18)

Kemudian kedua persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan (II.17.c) :

1 5 − 1 5 = 0

t

t

Hasil dari ruas kiri dari persamaan ini juga memberikan nilai 0, hal ini menunjukkan bahwa persamaan (II.18) yang diambil memenuhi persamaan (II.17.c).


Tinjau kembali persamaan (II.16). Jika masing-masing γzx dan γzy didiferensi parsial kan terhadap y dan x, maka akan diperoleh : u

u

=

V

v w) ,*

= V

E w) ,*

− W

u

− 1W (II.19.a)

u

=

V

v w) ,*

= V

E w) ,*

+ W

+ 1W (II.19.b)

Jika persamaan (II.19.a) dengan (II.19.b), maka akan diperoleh : u

−

u

= −2

(II.20)

Substitusikan hubungan antara regangan geser dengan tegangan geser pada persamaan (II.14) ke dalam persamaan (II.20) maka akan diperoleh :

1 5 − 1 x 5 = −2 x

−

= −2:

(II.21)

Substitusikan persamaan (II.18) ke dalam persamaan (II.21) untuk mendapatkan suatu persamaan yang kemudian akan kita kenal sebagai persamaan torsi :

1 5 − 1 5 = −2:

t

t

E t

E t − = −2: E E

(II.22)

Pada bab berikutnya, persamaan (II.22) ini akan digunakan untuk menurunkan fungsi torsi untuk tampang persegi bantuan persamaan analogi membran Prandtl yang telah diturunkan sebelumnya. Karena permukaan elemen torsi ini bebas dari gaya lateral, maka resultan dari gaya geser τ pada potongan melintang dari elemen torsi pada keliling potongan


ini harus berarah tegak lurus terhadap garis normalnya. Kedua komponen tegangan geser τzx dan τzy yang bekerja pada potongan melintang dengan sisi-sisi dx, dy, dan ds dapat dinyatakan dengan : τzx = τ sinα

τzy = τ cosα y

S R O

x

dx

s

dy

α

ds n

τZY ds

τ

α

τZX

ds

α

ds

y

S

R

dy A

O

B

y

x

Gambar.II.16.Potongan Melintang Elemen Torsi


Dengan mengacu pada Gambar.II.16 sin ? =

<
cos ? =

<
(II.23)

Karena komponen tegangan geser pada arah n pada gambar pada keliling elemen harus bernilai nol, maka proyeksi τzx dan τzy dalam arah normal adalah : τzx cosα - τzy sinα = 0

(II.24)

Substitusikan persamaan (II.18) dan (II.23) ke dalam persamaan (II.24) : t N Nz

+

t N Nz

=

Nt Nz

=0

Dari penyelesaian ini menunjukkan bahwa nilai konstan di sepanjang

keliling S. Karena tegangan merupakan turunan partial dari , maka nilai konstan ini dapat dianggap nol.

Distribusi τzx dan τzy pada potongan melintang yang dibahas harus memenuhi ketiga persamaan berikut :

∑ | = } 9 < < = } < < = 0 t

∑ | = } 9 < < = } < < = 0 t

∑ i = _ = }& 9 − 9 ' < < = − } 1

+

t

(II.25.a)

(II.25.b) t

5 < <

(II.25.c)

2.2. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Fungsi Torsi Dengan menyelesaikan persamaan (II.25.c), maka akan diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi. Ambillah salah satu komponen integral dari persamaan (II.25.c). Karena fungsi tegangan tidak bervariasi dalam arah y untuk sebuah garis setebal dy seperti tampak pada Gambar.II.16, turunan parsial dapat digantikan dengan suatu turunan total sehingga diperoleh : −~

t)* < < < = −< < = −< < = −< | − < < t)*


Mengingat nilai pada tepi-tepi elemen (A) = (B) = 0, maka diperoleh : −~

< < = ~ < <

Langkah yang sama dilakukan untuk komponen lain dari integaral pada persamaan (II.25.c) sehingga diperoleh : −~

< < = ~ < <

Dengan menjumlahkan kedua komponen ini, maka diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi yaitu : _ = − V < < + < <W = 2 < < t

t

(II.24)

II.3. Torsi Pada Beton Bertulang Pada struktur bangunan, terdapat komponen-komponen struktur yang mengalami gaya puntir atau torsi dan seringkali timbul bersamaan dengan lentur dan geser. Contoh yang paling mudah adalah balok anak. Balok induk terangkai sebagai satu kesatuan rangka monolit dengan balok anak. Sebagai akibat dari sifat kekakuannya, akan timbul momen di tempat dukungan balok anak pada balok induk ini. Momen ini akan mengakibatkan gaya puntir terhadap balok induk. Akibat dari gaya torsi yang bekerja pada batang berpenampang bulat, permukaan rata penampang transversal akan tetap rata setelah terjadinya puntir. Sedangkan akibat pada komponen struktur yang berpenampang bukan bulat, akan timbul mekanisme gaya dan perilaku kompleks serta rumit, di mana penampang akan memilin dan melipat pada waktu terpuntir. Secara umum, apabila penampang yang semula rata dijaga tetap rata setelah mengalami puntir, tegangan geser maksimum akan terjadi pada tempat yang letaknya terjauh dari pusat puntir. Pada penampang persegi, tegangan geser torsi maksimum


terjadi pada titik tengah dari sisi yang panjang dan arah kerjanya sejajar dengan sisi tersebut. Gaya geser torsi akan timbul di permukaan batang terpuntir dan cenderung menyebabkan terjadinya retak tarik diagonal sama seperti yang diakibatkan oleh gaya geser lentur, akan tetapi gaya geser torsi akan bekerja pada arah yang berlawanan untuk sisi penampang yang berhadapan. Karena pada umumnya gaya geser dan torsi muncul secara bersamaan atau bahkan berinteraksi satu sama lain, tinjauan efek gaya tarik diagonal pada satu sisi permukaan penampang batang merupakan penjumlahan dari keduanya. Apabila kuat tarik beton terlampaui, maka akan dapat dilihat bahwa pada permukaan terjadi retak beton yang kurang lebih membentuk sudut 45˚ terhadap sumbu batang komponen struktur tersebut. Dengan demikian, diperlukan batang tulangan baja untuk dipasang melintang terhadap arah retakan sedemikian sehingga mengahalangi keruntuhan lebih lanjut. Tulangan torsi pada balok umumnya dipasang pada arah memanjang balok dan letaknya disebar merata di sekeliling balok terpuntir. Ketentuan perencanaan tulangan torsi diberikan dalam SK SNI-03-28472002 pasal 13.6 di mana diberikan batasan-batasan nilai momen puntir terfaktor minimum yang dapat diabaikan, syarat kuat torsi rencana yang harus digunakan, syarat tulangan torsi minimum dan jarak sengkang maksimum. Isi dari Pasal 13 SNI03-2847-2002 tentang Geser dan Puntir ini dapat dilihat pada Lampiran II.


BAB III TORSI PADA TAMPANG PERSEGI

III.1. Fungsi Torsi Fungsi torsi untuk tampang persegi akan diturunkan dengan menggunakan bantuan analogi selaput yang telah dijelaskan dalam BAB II sebelumnya. Tinjau kembali persamaan (II.13) dan (II.20) yang telah dibahan pada BAB II serta kondisi batas pada tepian. Jika kondisi tepi dari z dan φ dibandingkan, maka dapat disimpulkan bahwa kedua persamaan ini identik. Oleh karena itu, lendutan selaput z dapat disetarakan dengan harga fungsi torsi φ dengan menukarkan besaran –p/s pada persamaan (II.13) dengan besaran 2Gθ pada persamaan (II.20). Oleh karena itu, maka harga fungsi φ dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi z dari persamaan (II.13). Penurunan Fungsi Lendutan Selaput (z) E

E F + =− E E G

• Persamaan lendutan selaput :

(III.1)

• Kondisi batas pada tepi selaput : z = 0 • Geometri selaput yang dibahas adalah bentuk persegi seperti terlihat pada Gambar.III.1 2 _b 2

2

O

x

_b 2

y Gambar.III.1.Tampang Persegi


• Panjang b > a • Dari kondisi simetri terhadap sumbu y dan kondisi batas pada sisi segiempat x = ±a/2, maka persamaan (II.13) dapat dipenuhi dengan mengambil nilai z dalam bentuk deret :

= - cos a,Q,

2

(III.2)

dimana : bn = koefisien konstanta Yn = fungsi y yang tidak tergantung pada x • Pada persamaan (III.1), konstanta di sebelah kanan bisa dinyatakan untuk –a < x < a dengan deret Fourier : 2 C 4 C − =− )−1*)à*/D cos ; ; 2

a,Q,

(III.3)

• Turunkan persamaan (III.2) terdapat x sehingga diperoleh :

= - cos a,Q,

2

2 2 = - sin

a,Q,

D 2 D 2 = − - 1 5 cos D

a,Q,

(III.4)

• Turunkan persamaan (III.2) terdapat y sehingga diperoleh :

= - cos a,Q,

2

2 = - cos ′

a,Q,


D 2 = - cos ′′ D

a,Q,

(III.5)

• Subsitusikan persamaan (III.3), (III.4), dan (III.5) ke dalam persamaan (III.1) sehingga diperoleh :

D D C + D=− D ;

2 C 4 2 2 2 D + - cos ′′ = − )−1*)à*/D cos − - 1 5 cos ; 2

a,Q,

- cos

a,Q,

a,Q,

a,Q,

2 2 2 D C 4 r′′ − 1 5 s = − )−1*)à*/D cos ; 2 ′′ − 1

a,Q,

C 4 2 D 5 = − )−1*)à*/D ; 2 -

(III.6)

• Persamaan (III.6) merupakan persamaan diferensial berordo dua. • Untuk memperoleh fungsi komplementernya, persamaan pada ruas kiri dipecahkan dengan menganggap persamaan (III.6) sebagai : D − 1

2 D 5 =0

D = 1

2 D 5

= ±1

Maka fungsi komplementer diperoleh :

2 5

a = cosh + sinh

a = cosh

2 2 + sinh

(III.7)

• Untuk memperoleh integral khususnya, misalkan persamaan pada ruas kanan sebagai :

= ,

;

o = 0

;

oo = 0


Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan (III.6) : ′′ − 1 0−1

2 D C 4 5 = − )−1*)à*/D ; 2 -

2 D C 4 5 ,=− )−1*)à*/D ; 2 - ,=

C 4 D )−1*)à*/D ; Q 2 Q -

Maka fungsi komplementer diperoleh : D =

• Maka diperleh :

= cosh

C 4 D )−1*)à*/D ; Q 2 Q -

(III.8)

= a + D

2 2 C 4 D + sinh + )−1*)à*/D ; Q 2 Q -

(III.9)

• Karena lendutan permukaan selaput simetri terhadap sumbu x sedangkan grafik sinus hiperbolik tidak simetri terhadap sumbu x, maka konstanta integrasi B harus nol. • Konstanta integrasi A dapat ditetapkan dari kondisi batas bahwa lendutan selaput adalah nol untuk y = ±b/2, sehingga : = cosh cosh

2- C 4 D + )−1*)à*/D = 0 2 ; Q 2 Q -

2C 4 D = − Q Q )−1*)à*/D 2 ; 2 -

C 4 D )−1*)à*/D ; Q 2 Q - =− 2cosh 2


• Substitusikan nilai B yang diperoleh ke dalam persamaan (III.9), maka akan diperoleh :

C 4 D )−1*)à*/D 2 C 4 D ; Q 2 Q - = − cosh + )−1*)à*/D 2 ; Q 2 Q - cosh 2

= −

cosh)2/* C 4 D C 4 D )−1*)à*/D + )−1*)à*/D Q Q ; 2 - cosh)2-/2* ; Q 2 Q - 2 5 cosh 1 )à* C 4 D )−1* D 1 − = Q Q 2; 2 - cosh 1 5 2

(III.10)

• Substitusikan persamaan (III.10) ke dalam persamaan (III.2) sehingga diperoleh : 2 5 cosh 1 )à* 2 C 4 D D 1 − )−1* = - cos 2 ; Q 2 Q - cosh 1 5 a,Q, 2

2 5 cosh 1 )à* C 4 D 1 cos 2 D )−1* = 1 − 2; 2Q Q cosh 1 5 a,Q, 2

(III.11)

• Dengan menukarkan nilai p/s dengan 2Gθ, maka akan diperoleh fungsi torsi : 2 cosh 1 5 )à* 1 8:D cos 2 D )−1* Q 1 − = Q 22 cosh 1 5 a,Q, 2

(III.12)

III.2. Tegangan Torsi Seperti yang ditunjukkan pada persamaan (II.16), dari persamaan ini dapat diketahui bahwa tegangan torsi merupakan turunan pertama dari fungsi torsi. Berikut ini akan diturunkan persamaan untuk menentukan tegangan torsi pada suatu tampang persegi.


Menentukan Tegangan Geser Maksimum Akibat Torsi Arah zy (τzy)

• Tegangan torsi τzy merupakan turunan pertama dari fungsi torsi terhadap x 9

2 5 cosh 1 )à* 8:D 1 cos 2 =− Q )#1* D 1 # Q 2 2 cosh 1 5 a,Q, 2

9

2 cosh 1 5 )à* 2 8:D 1 sin 2 D )#1* = 1 # 22Q Q cosh 1 5 a,Q, 2

9

2 cosh 1 5 )à* 1 8: sin 2 D )#1* 1 # 22D D 5 cosh 1 a,Q, 2

(III.13)

• Tegangan torsi τzy mencapai nilai maksimum untuk nilai x = a/2 dan y = 0 9 9

)à* 8: 1 1 2 D )#1* D 1 # sin D 22 2 cosh 1 5 a,Q, 2

)à* )à* 8: 1 1 D D )#1* )# 1 # 1* 22D D cosh 1 5 a,Q, 2

9

9

8: 1 1 D 1 # 22D cosh 1 5 a,Q, 2

1 1 8 : D D 1 # 2 2 cosh 1 5 a,Q, 2


9 Ka :

(III.14)

dimana : Ka

8 1 1 D 1 # D 22 cosh 1 5 a,Q, 2

Agar nilai deret dapat mendekati dengan cepat, maka persamaan untuk menentukan nilai k1 di atas disederhanakan menjadi :

Diketahui bahwa :

1 1 8 Ka D D # 2 2 5 D cosh 1 a,Q, 2

a,Q,

1 1 1 1 2D 1 + + + ⋯ + ∞D 8 D 1D 3D 5D

Maka nilai k1 dapat dinyatakan dengan : Ka 1 #

8 1 D 22 D 5 a,Q, cosh 1 2

Kemudian nilai k1 dihitung untuk berbagai variasi nilai b/a. Untuk nilai b/a = 1, maka : Ka 1 #

8 8 ¥¦§ + 0.002 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ ¢0.399 0 © 1 # D )0.401* 1 # 0.325 0.675 D 2 2 a

Q

Untuk nilai b/a = 2, maka : Ka 1 #

8 8 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ ¥¦§ + 0.000 ¢0.086 0 © 1 # D )0.086* 1 # 0.070 0.930 D 2 2 a

Q

Untuk nilai b/a = 5, maka : Ka 1 #

8 8 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ ¢0.001 0 © 1 # D )0.001* 1 # 0.001 0.999 D 2 2 a

Q

Untuk nilai b/a lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel.


• Nilai k1 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.1 Tabel.III.1. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zy (k1) Untuk Tampang Persegi b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

b/a 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

k1 0.675 0.720 0.759 0.793 0.822 0.848 0.869 0.888 0.904 0.918 0.930 0.940 0.949 0.956 0.963

k1 0.968 0.973 0.977 0.980 0.983 0.985 0.988 0.989 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.996

b/a 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k1 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Menentukan Tegangan Geser Maksimum Akibat Torsi Arah zx (τzx) • Tegangan torsi τzx merupakan turunan pertama dari fungsi torsi terhadap y 9

2 5 cosh 1 )à* 8:D 1 cos 2 Q )#1* D 1 # Q 2 2 cosh 1 5 a,Q, 2 9

2 5 sinh 1 )à* 2 1 8:D cos 2 D )#1* # 22Q Q cosh 1 5 a,Q, 2

9

2 sinh 1 5 )à* 8: 1 cos 2 D )#1* # 22D D cosh 1 5 a,Q, 2

(III.15)

• Tegangan torsi τzy mencapai nilai maksimum untuk nilai x = 0 dan y = -b/2 9

2 sinh 1 5 )à* 1 8: 2 1 D )#1* D D 22 cosh 1 5 a,Q, 2

9

)à* 1 28: D )#1* D tanh A B D 2 2 a,Q,

9 KD :

(III.16)


dimana :

)à* 8 1 2KD D D )#1* D tanh A B 2 2 a,Q,

Kemudian nilai k2 dihitung untuk berbagai variasi nilai b/a. Untuk nilai b/a = 1, maka : KD

8 8 ¥¦§ + 0.040 ¥¦§ # 0.020 ¥¦§ + 0.012 ¥¦§ # 0.008 ¥¦§ +. . . + ¨ ¥¦§ # 0.111 ¢0.917 0 © D )0.833* 0.675 2 2D a

Q

«

¬

aa

Untuk nilai b/a = 2, maka : 8 8 ¥¦§ # 0.111 ¥¦§ + 0.040 ¥¦§ # 0.020 ¥¦§ + 0.012 ¥¦§ # 0.008 ¥¦§ +. . . + ¨ KD D ¢0.996 0 © D )0.912* 0.739 2 2 a

Q

«

¬

aa

Untuk nilai b/a = 5, maka : 8 8 ¥¦§ # 0.111 ¥¦§ + 0.040 ¥¦§ # 0.020 ¥¦§ + 0.012 ¥¦§ # 0.008 ¥¦§ +. . . + ¨ KD D ¢1.000 0 © D )0.916* 0.742 2 2 a

Q

«

¬

aa

Untuk nilai b/a lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. • Nilai k2 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.2 Tabel.III.2. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zx (k2) Untuk Tampang Persegi b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

k2 0.675 0.693 0.706 0.716 0.723 0.728 0.732 0.735 0.737 0.738 0.739 0.740 0.741 0.741 0.742

b/a 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

k2 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742

b/a 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k2 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742


Jika kedua tegangan geser yaitu tegangan geser maksimum arah zy dan tegangan geser arah zx yang telah diperoleh di atas dibandingkan, maka akan diperoleh hubungan :

9 KD 9 Ka

9 KQ 9

dimana : 9 = Tegangan geser maksimum pada sisi terpendek persegi 9

KQ

(III.17)

= Tegangan geser maksimum pada sisi terpanjang persegi = Nilai konstanta perbandingan antara 9 terhadap 9 = k2 / k1

Kemudian nilai k3 dihitung untuk berbagai variasi nilai b/a. Untuk nilai b/a = 1, maka : KQ

Untuk nilai b/a = 2, maka :

0.675 1 0.675

KQ

0.739 0.795 0.930

KQ

0.742 0.743 0.999


Untuk nilai b/a lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel.


Nilai k3 untuk berbagai nilai b/a dapat dilihat pada Tabel.III.3 Tabel.III.3. Nilai Konstanta Perbandingan Antara 9 terhadap 9 (k3) b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

b/a 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

k3 1.000 0.963 0.930 0.903 0.880 0.858 0.842 0.828 0.815 0.804 0.795 0.787 0.781 0.775 0.771

k3 0.767 0.763 0.759 0.757 0.755 0.753 0.751 0.750 0.749 0.748 0.747 0.746 0.746 0.745 0.745

b/a 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k3 0.744 0.743 0.743 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742

III.3. Inersia Torsi Inersia torsi merupakan suatu faktor yang menentukan kekakuan suatu elemen struktur. Nilai inersia torsi ini akan digunakan pada saat melakukan analisa struktur untuk menentukan gaya-gaya dalam yang bekerja. Oleh karena itu, besarnya inersia torsi ini dapat diturunkan dari persamaan momen torsi. ®⁄D

_ 2

⁄D

`®⁄D ` ⁄D

< <

2 cosh 1 5 )à* 8:D 1 cos 2 < < _ 2 Q )#1* D 1 # Q 22 `®⁄D ` ⁄D cosh 1 5 a,Q, 2 ®⁄D

⁄D

⁄D 2 cosh 1 5 )à* 16:D ®⁄D 1 2 _ Q )#1* D 1 # sin < 2- 2 2Q `®⁄D a,Q, cosh 1 5 2 ` ⁄D

2 cosh 1 5 )à* 16:Q ®⁄D 1 )#1*)à* D H1 # )#1*J < _ ¯ )#1* D 1 # ¯ 22 `®⁄D a,Q, cosh 1 5 2 2 cosh 1 5 1 32:Q ®⁄D < ¯ 1 # _ ¯ 22 `®⁄D a,Q, cosh 1 5 2


®⁄D 2 32:Q 1 sinh 1 5 _ ¯ # 2¯ 2 cosh 12-5 a,Q, 2 `®⁄D

22 32:Q 32:Q 1 1 sinh 1 2 5 # sinh 1# 2 5 _ ¯ ° # A# B± # ¯ 22¯ 2 2 2¯ 2 cosh 1 5 a,Q, a,Q, 2 2 1 64:¯ 1 sinh 1 2 5 32:Q ¯# _ 2¯ 2 cosh 12-5 a,Q, a,Q, 2 2 tanh 1 5 1 64:¯ 32:Q 2 ¯# _ ¯ 2 2 a,Q,

a,Q,

Diketahui bahwa :

a,Q,

1 1 1 1 2¯ 1 + + + ⋯ + ¯ 1¯ 3¯ 5¯ ∞¯ 96

maka persamaan torsi menjadi :

2 5 tanh 1 32:Q - 2 ¯ 64:¯ 2 # _ 96 2¯ 2 a,Q,

2 tanh 1 5 64:¯ 1 2 Q _ : - # 2 3 a,Q,

2 tanh 1 5 1 64 2 _ : - # 3 2 Q

a,Q,

_ K¯ :Q _ :U

(III.18)

dimana : J = Inersia torsi yang dinyatakan dengan : U K¯ Q -

dengan : K¯

(III.19)

2 tanh 1 5 1 64 2 # 3 2 a,Q,


Kemudian nilai k4 dihitung untuk berbagai variasi nilai b/a. Untuk nilai b/a = 1, maka : K¯

1 64 1 1 64 ¥¦§ + 0.004 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ # 1 ¢0.917 0 © # )0.922* # 0.193 0.1406 3 2 3 2 3 a

Q

Untuk nilai b/a = 2, maka : K¯

1 1 128 1 64 ¥¦§ + 0.004 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ # 2 ¢0.996 0 © # )1.001* # 0.105 0.229 3 3 2 3 2 a

Q

Untuk nilai b/a = 5, maka : K¯

1 320 1 64 1 ¥¦§ + 0.000 ¥¦§ +. . . + ¨ ¥¦§ + 0.004 # 5 ¢1.000 0 © # )1.005* # 0.042 0.291 3 2 3 2 3 a

Q

Untuk nilai b/a lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Nilai k4 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.4 Tabel.III.4. Nilai Konstanta Inersia Torsi Untuk Tampang Persegi (k4) b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

k4 0.1406 0.154 0.166 0.177 0.187 0.196 0.204 0.211 0.217 0.223 0.229 0.234 0.238 0.242 0.246

b/a 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

k4 0.249 0.253 0.256 0.258 0.261 0.263 0.266 0.268 0.270 0.272 0.273 0.275 0.277 0.278 0.279

b/a 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k4 0.281 0.287 0.291 0.295 0.298 0.301 0.303 0.305 0.307 0.309 0.310 0.311 0.312 0.333

III.4. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Torsi Maksimum Substitusikan nilai Gθa yang diperoleh dari persamaan (III.14) ke dalam persamaan (III.18) sehingga diperoleh hubungan : _ K¯ ):*D -


_ K¯ A

9 D B Ka

9 K

_ D -

(III.20)

dimana : K Ka /K¯

Kemudian nilai k5 dihitung untuk berbagai variasi nilai b/a. Untuk nilai b/a = 1, maka : K

0.675 4.801 0.1406

K

0.930 4.061 0.229

K

0.999 3.433 0.291



Untuk nilai b/a lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Nilai k2 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.5 Tabel.III.5. Nilai Konstanta Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Geser Maksimum (k5) Pada Tampang Persegi b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

k5 4.801 4.675 4.572 4.480 4.396 4.327 4.260 4.209 4.166 4.117 4.061 4.017 3.987 3.950 3.915

b/a 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

k5 3.888 3.846 3.816 3.798 3.766 3.745 3.714 3.690 3.670 3.647 3.637 3.615 3.592 3.583 3.570

b/a 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k5 3.548 3.481 3.433 3.390 3.356 3.322 3.300 3.279 3.257 3.236 3.226 3.215 3.205 3.000


BAB IV CARA PENGGUNAAN TABEL Pada bab sebelumnya telah diperoleh tabel-tabel praktis yang dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan torsi. Pada bab ini, akan diberikan penjelasan

mengenai

cara menggunakan

tabel-tabel

yang telah

diperoleh

sebelumnya. Untuk penerapan contoh penggunaan tabelnya digunakan suatu tampang persegi dengan ukuran 200 mm x 400 mm. Bahan yang digunakan adalah beton dengan mutu 25 Mpa dan memiliki ratio Poisson sebesar 0,2. Laju puntir yang terjadi dimisalkan sebesar 0.000005 radian. Dari data-data di atas akan diperoleh besarnya modulus geser adalah sebesar 9791,667 Mpa. Rasio ukuran tampang adalah b/a = 400/200 = 2. IV.1. Penggunaan Tabel.III.1, Tabel.III.2, dan Tabel.III.3 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Pada Suatu Tampang Persegi • Menentukan besarnya tegangan geser maksimum arah zy : Untuk nilai b/a = 2, maka dari Tabel.III.1 akan diperoleh nilai k1 = 0.930 Maka nilai tegangan geser maksimum arah zy adalah :

9 Ka : 0.930 × 9761.667 × 0.000005 × 200 9.078 ip

• Menentukan besarnya tegangan geser maksimum arah zx : Untuk nilai b/a = 2, maka dari Tabel.III.2 akan diperoleh nilai k2 = 0.739 Maka nilai tegangan geser maksimum arah zx adalah :

9 KD : 0.739 × 9761.667 × 0.000005 × 200 7.214 ip


• Menentukan nilai tegangan geser maksimum arah zx dari tegangan maksimum arah zy yang telah diperoleh : Untuk nilai b/a = 2, maka dari Tabel.III.3 akan diperoleh nilai k3 = 0.795 Maka nilai tegangan geser maksimum arah zx adalah :

9 KQ 9 0.795 × 9.078 7.217 ip

IV.2. Penggunaan Tabel.III.4 Untuk Menghitung Besarnya Inersia Torsi Pada Suatu Tampang Persegi Untuk nilai b/a = 2, maka dari Tabel.III.4 akan diperoleh nilai k4 = 0.229 Maka nilai inersia torsi untuk tampang persegi adalah :

U K¯ Q - 0.229 × 200Q × 400 8244000 ¯

IV.3. Penggunaan Tabel.III.5 Untuk Menghitung Besarnya Tegangan Geser Maksimum Arah zy Pada Suatu Tampang Persegi Jika Besarnya Momen Torsi Telah Diperoleh Jika dari analisa struktur diperoleh besarnya momen torsi yang terjadi adalah sebesar 107 N mm. Untuk nilai b/a = 2, maka dari Tabel.III.5 akan diperoleh nilai k5 = 4.061 Maka nilai inersia torsi untuk tampang persegi adalah : 9 K

_ 10« 4.061 × 2.538 ip D 200D × 400


BAB V APLIKASI ANALISIS TORSI PADA TAMPANG PERSEGI DAN PEMBAHASAN V.1. Aplikasi Besaran Inersia Torsi Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang dari Beton Bertulang Inersia torsi yang didapat pada analisis pada BAB III akan digunakan untuk menganalisis struktur dengan menggunakan Finite Element Methode. Metode ini dikenal dengan nama metode kekakuan ataupun metode perpindahan karena dengan menggunakan metode ini, yang pertama diperoleh adalah perpindahannya baru kemudian gaya-gaya batang dicari dengan menggunakan perpindahan ini. Dalam analisis dengan menggunakan metode ini, diperlukan nilai-nilai kekakuan dari elemen struktur salah satunya adalah besaran inersia torsi. Pada subbab ini, akan diberikan contoh perhitungan suatu potongan denah yang memiliki sistem balok bersilang sehingga terdiri dari empat pelat dimana salah satunya merupkan void seperti terlihat pada Gambar.IV.1. Gaya-gaya pada balok anak akan dihitung dengan metode Finite Element untuk menunjukkan penggunaan nilai inersia torsi yang diperoleh dari analisis sebelumnya. Kemudian setelah gayagaya dalam diperoleh, gaya-gaya tersebut akan dikontrol dengan menggunakan hasil perhitungan dengan program SAP2000.


VOID

Gambar.IV.1.Ilustrasi Sistem Balok Bersilang

Hasil momen torsi yang terbesar dari balok-balok anak yang ada akan digunakan untuk merencanakan tulangan puntir sesuai dengan ketentuan di dalam

SNI-03-2847-2002. Analisis Struktur Sistem Balok Bersilang Dengan Finite Element Methode

VOID

Gambar.IV.2.Denah


2q

q

2q

q MT MT

Gambar.IV.4.Beban Lantai Yang Dipikul Balok

Data-data yang dipakai : • Gedung perkantoran dengan beban hidup sebesar 250 kg/m2 • Ukuran balok : ( 300 x 600 ) mm2 • Tebal pelat lantai = 12 cm • Mutu beton f’c = 25 Mpa • Mutu baja fy = 300 Mpa • Berat jenis beton bertulang = 2400 kg/m3 Perhitungan beban-beban : • Beban mati : Berat lantai tiap m2 = 0.12 ( 2400 ) = 288 kg/m2 qDL = 2 ( 288 ) = 576 kg / m MT DL = 2 ( 288 ) = 576 kg m / m Berat balok = ( 0.3 ) ( 0.6 ) ( 2400 ) = 432 kg/m • Beban hidup : Beban hidup pada lantai = 250 kg/m2 qLL = 2 ( 250 ) = 500 kg / m MT LL = 2 ( 250 ) = 500 kg m / m


Kekakuan elemen : • Modulus elastisitas bahan beton bertulang = E = 4700³I′´ = 23500 Mpa • Poisson ratio beton bertulang diambil = 0.2

• Modulus geser bahan beton bertulang = G =

µ

D)a¶·*

= 9791.666 Mpa

• Inersia tampang persegi = I = a b3 / 12 = 5,4 x 10-3 m4 • Inersia torsi tampang persegi = J = k4 a3 b = 3,7098 x 10-3 m4 Dengan b/a = 2 dari Tabel.III.4 diperoleh k4 = 0.229 Menentukan model struktur : 3 c b

4

d 5 a

2 1 Gambar.IV.5.Model Struktur

Struktur dianalisis sebagai grid elemen dengan data-data sebagai berikut : Batang E ( kg/m2 ) G ( kg/m2 ) 4

I(m ) J ( m4 ) L(m) Simpul Awal Simpul Akhir

a 2,35 x 10 0,97916 x

B 2,35 x 1010 0,97916 x

2,35 x 10 0,97916 x

2,35 x 1010 0,97916 x

1010 5,4 x 10-3

1010 5,4 x 10-3

1010 5,4 x 10-3

1010 5,4 x 10-3

3,7098 x 10-3 4

3,7098 x 10-3 4

3,7098 x 10-3 4

3,7098 x 10-3 4

1

2

3

4

5

5

5

5

10

c

d 10


Batang 12"O PQ 6"O

PD

:U

P

4"O

P

2"O

P

? cos ? sin ?

a

B

c

d

23793750

23793750

23793750

23793750

47587500

47587500

47587500

47587500

9081281.56

9081281.56

9081281.56

9081281.56

126900000

126900000

126900000

126900000

63450000

63450000

63450000

63450000

0 1 0

90 0 1

180 -1 0

270 0 -1

Matriks kekakuan lokal untuk grid elemen :

• Elemen a :

12"O 6"O Z 0 Q P PD Y :U Y 0 0 P Y 6"O 4"O Y 0 D Y P P 7K8 Y 12"O 6"O 0 # D Y# Q P P Y :U Y 0 # 0 P Y 2"O Y 6"O 0 X PD P

#

12"O PQ 0

6"O PD 12"O PQ

#

#

0

6"O PD

6"O ] PD \ :U # 0 \ P \ 2"O \ 0 P \ 6"O \ 0 # D \ P \ :U 0 \ P \ 4"O \ 0 P [ 0

0 0 23793750 47587500 #23793750 47587500 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y 47587500 \ 0 0 63450000 126900000 #47587500 \ 7K 8 Y #47587500\ 0 0 #47587500 23793750 Y#23793750 0 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 Y \ X 47587500 126900000 [ 0 63450000 #47587500 0

• Elemen b :

0 0 23793750 47587500 47587500 #23793750 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y 47587500 0 0 126900000 #47587500 63450000 \\ 7K® 8 Y 0 0 #47587500 23793750 #47587500 \ Y#23793750 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 0 Y \ X 47587500 0 63450000 #47587500 0 126900000[


• Elemen c : 0 0 23793750 47587500 47587500 #23793750 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y 47587500 0 0 126900000 #47587500 63450000 \\ 7K´ 8 Y 0 0 #47587500 #23793750 23793750 # 47587500 \ Y 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 0 Y \ X 47587500 0 63450000 #47587500 0 126900000[

• Elemen d :

0 0 23793750 47587500 47587500 #23793750 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y 47587500 \ 0 0 126900000 #47587500 63450000 \ 7KN 8 Y 0 0 #47587500 #23793750 23793750 #47587500 Y \ 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 0 Y \ X 47587500 63450000 #47587500 0 0 126900000 [

Kekakuan global struktur :

dimana :

• Elemen a :

%K^( 7_87K87_8à

1 Z0 Y 7_8 Y0 Y0 Y0 X0

0 , y 0 0 0

0 #y , 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 , y

0 ] 0\ 0\ 0\ #y\ , [

0 0 23793750 47587500 47587500 #23793750 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y 47587500 0 0 126900000 #47587500 63450000 \\ %K^ ( Y 0 0 #47587500 23793750 #47587500\ Y#23793750 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 0 Y \ X 47587500 0 63450000 #47587500 0 126900000 [

• Elemen b :

0 0 23793750 #47587500 #23793750 #47587500 Z#47587500 126900000 ] 0 0 47587500 63450000 Y 0 0 0 9081281.56 0 #9081281.56\\ %K^® ( Y #23793750 47587500 0 23793750 47587500 0 Y \ 0 47587500 126900000 0 Y#47587500 63450000 \ X #9081281.56 0 9081281.56 [ 0 0 0

• Elemen c :

0 0 23793750 #47587500 #47587500 #23793750 Z ] 9081281.56 #9081281.56 0 0 0 0 Y#47587500 \ 0 0 126900000 47587500 63450000 \ %K^´ ( Y 0 0 47587500 23793750 47587500 \ Y#23793750 0 #9081281.56 0 0 9081281.56 0 Y \ X#47587500 0 63450000 0 47587500 126900000 [


• Elemen d : 0 0 23793750 47587500 #23793750 47587500 Z 47587500 126900000 ] 0 0 #47587500 63450000 Y 0 0 0 9081281.56 0 #9081281.56\\ %K^N ( Y #23793750 #47587500 0 23793750 #47587500 0 Y \ 63450000 0 #47587500 126900000 0 Y 47587500 \ X #9081281.56 0 9081281.56 [ 0 0 0

Matriks f reduksi lokal dan global : • Elemen a ( α = 0˚ ) : q

1

5

MT L

Beban mati : Lokal : ha

i¸a i¹a

h

i¸ i¹

Global :

hâ

º¸a i º¹a i h^

º¸ i

= - qDL L / 4 – qB L / 2

=

-1440 kg

= MT DL L / 4

=

576 kg m

= - 5 qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 =

-1056 kg m

= - qDL L / 4 – qB L / 2

=

-1440 kg

= MT DL L / 4

=

576 kg m

= 5 qDL L2 / 96 – qB L2 / 12

=

1056 kg m

= ha = -1440 kg

= i¸a cos ? # i¹a sin ? =

576 kg m

= i¸a sin ? + i¹a cos ? = -1056 kg m

= h = -1440 kg

= i¸ cos ? # i¹ sin ? =

576 kg m


º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = 1056 kg m

Beban hidup : Lokal : ha

i¸a i¹a h

i¸

i¹

Global : hâ

º¸a i º¹a i h^

º¸ i º¹ i

= - qLL L / 4

=

= MT LL L / 4

=

-500 kg 500 kg m

= - 5 qLL L2 / 96 = -416,667 kg m = - qLL L / 4

=

-500 kg

= MT LL L / 4

=

= 5 qLL L2 / 96

= 416,667 kg m

500 kg m

= ha = -500 kg

= i¸a cos ? # i¹a sin ? =

-500 kg m

= i¸a sin ? + i¹a cos ? = -416,667 kg m

= h = -500

= i¸ cos ? # i¹ sin ? =

-500 kg m

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = 416,667 kg m

• Elemen b ( α = 90˚ ) : q

2

5

MT L

Beban mati : Lokal : hD

= - qDL L / 4 – qB L / 2

=

-1440 kg 59


i¸D i¹D h

i¸

i¹

Global :

= -MT DL L / 4

=

-576 kg m

= - 5 qDL L2 / 96

=

-1056 kg m

= - qDL L / 4 – qB L / 2

=

-1440 kg

= -MT DL L / 4

=

-576 kg m

= 5 qDL L2 / 96

=

1056 kg m

h^D

= hD = -1440 kg

º¹D i

= i¸D sin ? + i¹D cos ? =

º¸D i

= i¸D cos ? # i¹D sin ? = 1056 kg m

h^

= h = -1440 kg

º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? =

º¸ i

-576 kg m

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = -1056 kg m -576 kg m

Beban hidup : Lokal : hD

i¸D

i¹D

h

i¸

i¹

Global :

h^D

º¸D i

= - qLL L / 4

=

-500 kg

= -MT LL L / 4

=

-500 kg m

= - 5 qLL L2 / 96 = -416,667 kg m = - qLL L / 4

=

-500 kg

= -MT LL L / 4

=

-500 kg m

= 5 qLL L2 / 96

= 416,667 kg m

= hD = -500 kg

= i¸D cos ? # i¹D sin ? = -416,667 kg m 60


º¹D i

= i¸D sin ? + i¹D cos ? =

h^

= h = -500 kg

º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? =

º¸ i

-500 kg m

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = 416,667 kg m -500 kg m

• Elemen c ( α = 180˚ ) : 2q

3

5 L

Beban mati : Lokal :

hQ

i¸Q

i¹Q

h

i¸

i¹

Global :

= - 2qDL L / 4 – qB L / 2

= -2016 kg

= 0 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -1536 kg m = - 2qDL L / 4 – qB L / 2

= -2016 kg

= 0 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 1536 kg m

h^Q

= hQ = -2016 kg

º¹Q i

= i¸Q sin ? + i¹Q cos ? = 1536 kg m

º¸Q i h^

º¸ i

= i¸Q cos ? # i¹Q sin ? = 0

= h = -2016 kg

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = 0 61


º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = -1536 kg m

Beban hidup : Lokal :

hQ

i¸Q i¹Q h

i¸ i¹

Global :

= - 2qLL L / 4

=

-1000 kg

= 0 = - 5 2qLL L2 / 96 = -833,333 kg m = - 2qLL L / 4

=

-1000 kg

= 0 = 5 2qLL L2 / 96 = 833,333 kg m

h^Q

= hQ = -1000

º¹Q i

= i¸Q sin ? + i¹Q cos ? = 833,333 kg m

º¸Q i

= i¸Q cos ? # i¹Q sin ? = 0

h^

= h = -1000

º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = -833,333 kg m

º¸ i

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = 0

• Elemen d ( α = 90˚ ) :

4

5 L


Beban mati : Lokal :

h¯

i¸¯

i¹¯

h

i¸

i¹

Global :

= - 2qDL L / 4 – qB L / 2

= -2016 kg

= 0 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -1536 kg m = - 2qDL L / 4 – qB L / 2

= -2016 kg

= 0 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 1536 kg m

h^¯

= h¯ = -2016 kg

º¹¯ i

= i¸¯ sin ? + i¹¯ cos ? = 0

º¸¯ i

= i¸¯ cos ? # i¹¯ sin ? = -1536 kg m

h^

= h = -2016 kg

º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = 0

º¸ i

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = 1536 kg m

Beban hidup : Lokal :

h¯

i¸¯ i¹¯ h

i¸ i¹

= - 2qLL L / 4

=

-1000 kg

= 0 = - 5 2qLL L2 / 96 = -833,333 kg m = - 2qLL L / 4

=

-1000 kg

= 0 = 5 2qLL L2 / 96 = 833,333 kg m


Global :

h^¯

= h¯ = -1000

º¹¯ i

= i¸¯ sin ? + i¹¯ cos ? = 0

º¸¯ i

= i¸¯ cos ? # i¹¯ sin ? = 833,333 kg m

h^

= h = -1000

º¹ i

= i¸ sin ? + i¹ cos ? = 0

º¸ i

= i¸ cos ? # i¹ sin ? = -833,333 kg m

Matriks kekakuan struktur : • »Ia¼ ½ %K^¾¾ (»
• »IQ¼ ½ %K^´¾¾ (»<¼Q ½ + %K^´¾E (»<¼ ½

• »I¯¼ ½ %K^N¾¾ (»<¼¯ ½ + %K^N¾E (»<¼ ½

• »I¼ ½ %KÊ¾ (»
0

K^®¾¾ 0 0 K^®E¾

0 0

K^´¾¾ 0 K^´ E¾

0 0 0

K^N¾¾ K^N E¾

I¼ ] g
Dengan meninjau kondisi batas pada keempat simpul ( 1, 2, 3, 4 ) merupakan jepit sehingga pada keempat simpul ini tidak akan terjadi perpindahan sehingga : •
•
•

Sehingga matriks kekakuan struktur dapat disederhanakan menjadi : ¼ ½ »I¼ ½ %KÊE + K^®EE + K^ÉE + K^NEE (»<¼ ½ # »ILMN Á

h^ 95175000 º i¸ Â 0 º¹ 0 i

h^ LMN 0 º m Ã Ä Å # i¸ LMN 271962563 0 º¹ LMN 0 271962563 n i 0

Perhitungan untuk beban mati • Perpindahan global :

h^ 95175000 º¸ Â i 0 º¹ 0 i 0 95175000 Ä 0Å Â 0 0 0

0 271962563 0

0 271962563 0

• Penyelesaian matriks akan menghasilkan :

h^ LMN 0 º m Ã Ä Å # i¸ LMN 0 n º¹ LMN 271962563 i

#6912 0 Ã Äm Å # Ä 1056 Å 0 #1056 271962563 n

= -0.00007262 m

m = 0.000003883 rad

n = -0.000003883 rad

• Gaya-gaya batang : Elemen a : Perpindahan global :

¼a 0 g ¼l g l ma 0 e e e e n¼ a 0 »<¼ ½ f¼ k f #0.00007262 k em¼ e e 0.000003883 e dn¼ j d#0.000003883j

Perpindahan lokal :

a 0 gma l g l 0 en e e e 0 H< J a 7_ 8à »<¼ ½ f #0.00007262 k f k m e 0.000003883 e e e d#0.000003883j dn j


Gaya Batang :

ha 1543.223 #1440 2983.223 gi l g #35.262 l g 576 l g#611.262l ¸a e e e e e e e e i¹a HI J 7K 8H< J # ILMNÆ 3209.631 # #1056 4265.631 f#1543.223k f#1440k f#103.223k f h k e 35.262 e e 576 e e#540.738e ei¸ e d 2963.262 j d 1056 j d 1907.262 j di¹ j

Elemen b : Perpindahan global :

¼D 0 g ¼ l g l mD 0 e e e e n¼ 0 D »<¼® ½ f¼ k f #0.00007262 k em¼ e e 0.000003883 e dn¼ j d#0.000003883j

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

D 0 gmD l g l 0 en e e e 0 H<® J D 7_® 8à »<¼® ½ f #0.00007262 k f k e#0.000003883e em e d#0.000003883j dn j

hD 1543.223 #1440 2983.223 gi l g 35.262 l g #576 l g 611.262 l ¸D e e e e e e e e i¹D HI® J 7K® 8H<® J # ILMNÇ 3209.631 # #1056 4265.631 f#1543.223k f#1440k f#103.223k f h k i e #35.262 e e #576 e e 540.738 e e ¸ e d 2963.262 j d 1056 j d 1907.262 j di¹ j

Elemen c : Perpindahan global :

¼Q 0 g ¼ l g l mQ 0 e e e e n¼Q 0 »<¼´ ½ f¼ k f #0.00007262 k em¼ e e 0.000003883 e dn¼ j d#0.000003883j


Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

Q gmQ l en e

0 l 0 e 0 H<´ J Q 7_´ 8à »<¼´ ½ f k f #0.00007262 k e#0.000003883e em e d 0.000003883 j dn j g e

hQ 1912.777 #2016 3928.777 gi l g 35.2612 l g 0 l g 35.262 l ¸Q e e e e e e e e i¹Q HI´ J 7K´ 8H<´ J # ILMNÈ 3702.369 # #1536 5238.369 f h k f#1912.777k f#2016k f 103.223 k e #35.2612 e e 0 e e #35.262 e ei¸ e d 3948.738 j d 1536 j d2412.738j di¹ j

Elemen d : Perpindahan global :

¼¯ 0 g ¼l g l m¯ 0 e e e e n¼¯ 0 »<¼N ½ f¼ k f#0.00007262k em¼ e e 0.000003883 e dn¼ j d 0.000003883 j

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

¯ 0 gm¯ l g l 0 en e e e 0 H
h¯ 1912.777 #2016 3928.777 gi l g #35.262 l g 0 l g #35.262 l ¸¯ e e e e e e e e i¹¯ HIN J 7KN 8H

• Gaya-gaya batang akibat beban mati diberikan pada tabel berikut : Tabel.IV.1.Tabel Gaya-Gaya Batang Akibat Beban Mati Batang a b c d

Titik 1 5 2 5 3 5 4 5

Lintang (kg) 2983.223 -103.223 2983.223 -103.223 3928.777 103.2231 3928.777 103.223

Torsi (kg m) Momen (kg m) -611.262 4265.631 -540.738 1907.262 611.262 4265.631 540.738 1907.262 35.262 5238.369 -35.262 2412.738 -35.262 5238.369 35.262 2412.738

• Bidang Lintang : 3928.772

3928.772

103.223 2983.223

2983.223

• Bidang Torsi : 35.262 35.262 540.738

611.262

540.738

611.262


• Bidang Momen : 5238.369

4265.631

4265.631 1907.262 2412.738

Perhitungan untuk beban hidup • Perpindahan global :

h^ 95175000 º¸ Â i 0 º 0 i¹ 0 95175000 Ä 0Å Â 0 0 0

0 271962563 0

0 271962563 0

h^ LMN 0 º¸ LMN Ã Äm Å # i 0 º¹ LMN 271962563 n i

#3000 0 Ã Äm Å # Ä 916.667 Å 0 #916.667 271962563 n

Penyelesaian matriks akan menghasilkan :

= -0.00003152 m

m = 0.000003371 rad

n = -0.000003371 rad


• Gaya-gaya batang : Elemen a : Perpindahan global :

¼a 0 g ¼l g l m 0 e ae e e n¼ 0 a »<¼ ½ f¼ k f #0.00003152 k em¼ e e 0.000003371 e dn¼ j d#0.000003371j

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

a 0 gma l g l 0 en e e e 0 H< J a 7_ 8à »<¼ ½ f #0.00003152 k f k e 0.000003371 e em e d#0.000003371j dn j

ha 589.603 #500 1089.603 gi l g #30.609 l g 500 l g#530.609l ¸a e e e e e e e e i¹a HI J 7K 8H< J # ILMNÆ 1286.138 # #416.667 1702.805 f#589.603k f #500 k f #89.603 k f h k e 30.609 e e 500 e e#469.391e ei¸ e d 1072.276 j d 416.667 j d 655.609 j di¹ j

Elemen b : Perpindahan global :

¼D 0 g ¼ l g l mD 0 e e e e n¼D 0 »<¼® ½ f¼ k f #0.00003152 k em¼ e e 0.000003371 e dn¼ j d#0.000003371j

Perpindahan lokal :

D 0 gmD l g l 0 en e e e 0 H<® J D 7_® 8à »<¼® ½ f #0.00003152 k f k e#0.000003371e em e d#0.000003371j dn j


Gaya Batang :

hD 589.603 #500 1089.603 gi l g 30.609 l g #500 l g 530.609 l ¸D e e e e e e e e i¹D HI® J 7K® 8H<® J # ILMNÇ 1286.138 # #416.667 1702.805 f#589.603k f #500 k f #89.603 k f h k e #30.609 e e #500 e e 469.391 e ei¸ e d 1072.276 j d 416.667 j d 655.609 j di¹ j

Elemen c : Perpindahan global :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

¼Q 0 g ¼ l g l mQ 0 e e e e n¼ 0 Q »<¼´ ½ f¼ k f #0.00003152 k em¼ e e 0.000003371 e dn¼ j d#0.000003371j Q gmQ l en e

0 l 0 e 0 H<´ J Q 7_´ 8à »<¼´ ½ f k f #0.00003152 k m e#0.000003371e e e d 0.000003371 j dn j g e

hQ 910.397 #1000 1910.397 gi l g 30.609 l g l g 30.609 l ¸Q 0 e e e e e e e e i¹Q HI´ J 7K´ 8H<´ J # ILMNÈ 1713.862 # #833.333 2547.195 f h k f#910.397k f #1000 k f 89.603 k 0 i e #30.609 e e e e #30.609 e e ¸ e d 1927.724 j d 833.333 j d1094.391j di¹ j

Elemen d : Perpindahan global :

¼¯ 0 g ¼l g l m¯ 0 e e e e n¼¯ 0 »<¼N ½ f¼ k f #0.00003152 k em¼ e e 0.000003371 e dn¼ j d#0.000003371j


Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

¯ 0 gm¯ l g l 0 en e e e 0 H
h¯ 910.397 #1000 1910.397 gi l g #30.609 l g l g #30.609 l ¸¯ 0 e e e e e e e e i¹¯ HIN J 7KN 8H
• Gaya-gaya batang akibat beban mati diberikan pada tabel berikut : Tabel.IV.2.Tabel Gaya-Gaya Batang Akibat Beban Hidup Batang a b c d

Titik 1 5 2 5 3 5 4 5

Lintang (kg) 1089.603 -89.603 1089.603 -89.603 1910.397 89.603 1910.397 89.603

Torsi (kg m) Momen (kg m) -530.609 1702.805 -469.391 655.609 530.609 1702.805 469.391 655.609 30.609 2547.195 -30.609 1094.391 -30.609 2547.195 30.609 1094.391

• Bidang Lintang : 1910.397

1910.397

89.603 1089.603

1089.603


• Bidang Torsi : 30.609 30.609 469.391

530.609

469.391

530.609

• Bidang Momen : 2547.195

2547.195

1702.805

1702.805 655.609 1094.391

Hasil yang diperoleh di atas dikontrol dengan hasil analisis dengan program SAP2000 dan hasilnya memberikan kesalahan yang cukup kecil. Hasil output analisis dengan program SAP2000 dapat dilihat pada Lampiran I. Perencanaan Tulangan Torsi menurut SNI-03-2847-2002 : • Momen torsi yang digunakan dari perencanaan diambil yang bernilai maksimum : Akibat beban mati

: 611.262 kg m

Akibat beban hidup

: 530.609 kg m 73


Kombinasi 1.4 DL

: 855.767 kg m

Kombinasi 1.2 DL + 1.6 LL : 1,582.489 kg m • Gaya lintang yang ikut bekerja bersama momen torsi : Akibat beban mati

: 2,983.223 kg

Akibat beban hidup

: 1,089.603 kg

Kombinasi 1.4 DL

: 4,176.512 kg

Kombinasi 1.2 DL + 1.6 LL : 5,323.232 kg • Momen torsi ultimate

: Tu = 1,582.489 kg m

• Gaya geser ultimate

: Vu = 5,323.232 kg

• Koefisien reduksi untuk geser dan torsi : φT = 0.75 • Momen torsi rencana

: Tn = Tu / φT = 2,109.985 kg m

• Gaya geser rencana

: Vn = Vu / φT = 7,137.643 kg

• Untuk penyederhanaan perhitungan, nilai percepatan gravitasi g diambil sebesar 10 m/s2 • Torsi minimum yang dapat diabaikan : _

0.75√25 )300 × 600*D Φ ³I′´ D ´F ¢ © Ë Ì 5,625,000 Í 562.5 KÎ 12 p´F 12 2 × )300 + 600*

• Karena torsi rencana lebih besar daripada torsi minimum yang dapat diabaikan, maka tulangan torsi diperlukan • Dimensi balok harus memenuhi : ÏA

hÐ D _Ð pÒ D h´ 2³I′´ B +A B ≤ Φ Õ + Ö D -Ñ < 1.7 ÓÒ -Ñ < 3

dimana : Vu = 5,323.232 kg = 53,232.32 N bw = 300 mm 74 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

d = h – d’ = 600 – 40 = 540 mm Tu = 1,582.489 kg m = 15,824,890 N mm Ph = 2 {( h – d’ )+( bw – d’ )} = 2 {( 600 – 40 ) + ( 300 – 40 )} = 1,640 mm Aoh = ( h – d’ ) ( bw – d’ ) = ( 600 – 40 ) ( 300 – 40 ) = 145,600 mm2 φT = 0.75 Vc = bw d ³I′´ / 6 = ( 300 ) ( 540 ) √25 / 6 = 150,000 N maka diperoleh :

0.7916 ≤ 3.1944

…

Memenuhi

• Merencanakan sengkang untuk puntir : Jarak spasi yang dibutuhkan :

_ × y 2 Ø IÙ cot Θ

dimana : Tn = 1582.489 kg m = 15,824,890 N mm Ao = 0.85 Aoh = 0.85 ( 145,600 ) = 123,760 mm2 fyv = 300 MPa Θ = 45˚ maka diperoleh jarak spasi yang diperlukan :

Ú z

= 0.213 mm2/mm jarak

• Merencanakan sengkang untuk geser : Karena Vn lebih kecil daripada Vc, maka tulangan geser tidak diperlukan • Merencanakan sengkang untuk kombinasi puntir dan geser : Untuk sengkang digunakan besi ulir dengan diameter 12 mm At = πd2/4 = 113.097 mm2 Maka akan diperoleh jarak spasi yang dibutuhkan : s = 398.019 mm 75 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

• Syarat jarak spasi tulangan maksimum : s = Ph / 8 = 1640 / 8 = 205 mm s = 300 mm • Maka jarak spasi digunakan : s = 200 mm • Kesimpulan : untuk tulangan puntir digunakan tulangan D12-200 mm • Tulangan longitudinal tambahan yang diperlukan untuk menahan puntir : Û

IÙ × p ¢ © cot D Θ y Ò I×

dimana :

Ú z

= 0.213 mm2/mm jarak

Ph = 1,640 mm fyv = 300 Mpa fyt = 300 MPa Θ = 45˚ Maka diperoleh luas tulangan longitudinal : Al = 349.32 mm2 Gunakan 4 buah tulangan diameter 12 mm dengan luas total 452,4 mm2 Tulanngan ini masing-masing diletakkan pada keempat sudut balok di dalam tulangan sengkang V.2. Tegangan Geser Total yang Terjadi Pada Balok Persegi Panjang Pada suatu komponen struktur selalu timbul gaya-gaya dalam tidak hanya puntir tetapi juga terdapat gaya lintang, momen, dan normal. Oleh karena itu, pada tampang akan timbul tegangan-tegangan pada tampang komponen struktur. Dari analisis sebelumnya, persamaan dan tabel-tabel untuk menentukan nilai tegangan geser maksimum pada tampang persegi telah diperoleh. Maka pada contoh ini, 76 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009

dengan menggunakan gaya-gaya dalam yang diperoleh pada sistem balok bersilang sebelumnya, akan diuraikan cara menentukan tegangan geser maksimum yang terjadi pada balok persegi panjang. Data-data yang dipakai : • Ukuran balok : ( 300 x 600 ) mm2 • Torsi yang terjadi : T = 1582.489 kg m = 158248.9 kg cm • Gaya lintang yang terjadi : V = 5323.232 kg • Tegangan akibat torsi :

dengan :

9 = K

_ D -

b/a = 2 sehingga dari Tabel.III.5 diperoleh nilai k5 = 4.601 maka diperoleh :

Tegangan arah zx :

dengan :

9 = 4.601

158248.9 = 13.483 KÎ/,D )30*D )60*

9 = KQ 9

b/a = 2 sehingga dari Tabel.III.3 diperoleh nilai k3 = 0.795 maka diperoleh :

9 = 0.795)13.483* = 10.719 KÎ/,D


Diagram tegangan geser akibat torsi :

τZX τ T = 158248.9 kg cm

9=

= 13.483 kg/cm2

τZY τ

• Tegangan akibat lintang :

ZY

ZX

= 10.719 kg/cm2

3 h 3 5323.232 = = 4.436 KÎ/,D 2 2 30 × 60

Diagram tegangan geser akibat gaya lintang : V = 5323.232 kg

τZY

τ

ZY

= 4.436 kg/cm2

• Jika kedua gaya geser tersebut dikombinasikan, maka akan diperoleh tegangan geser maksimum yang terjadi pada balok adalah :

9 = 13.483 + 4.436 = 17.919 KÎ/,D


V.3. Pembahasan Dari hasil analisis struktur balok bersilang di atas, kita lihat bahwa momen torsi yang terjadi pada balok anak a dan b cukup besar dan tidak boleh diabaikan menurut SNI-03-2847-2002. Keadaan ini timbul karena beban lantai yang hanya bekerja pada salah satu sisi balok anak, sehingga menimbulkan momen torsi akibat berat lantai dari salah satu sisi balok anak. Dari contoh ini, kita juga dapat mengambil kesimpulan bahwa balok-balok pada daerah tepi suatu bangunan yang hanya memikul berat lantai pada satu sisinya akan mengalami momen torsi yang cukup besar. Contoh lain yaitu, balok yang terletak di sekeliling lubang untuk tangga. Demikian pula halnya dengan kolom. Jika tidak ada gaya lateral, maka kolom mungkin tidak akan mengalami momen torsi yang cukup berarti. Namun, pada saat suatu beban lateral seperti gempa atau beban angin yang cukup besar terjadi, maka kolom-kolom di sisi yang semakin luar akan mengalami momen torsi yang cukup besar. Apalagi jika bentuk denah bangunan adalah tidak beraturan ataupun panjang. Dalam suatu perencanaan dimana struktur dianalisis dalam bentuk portal dua dimensi, besaran torsi tidak ikut diperhitungkan. Hal ini akan sebenarnya cukup berbahaya karena seperti telah diketahui di atas bahwa pada beberapa tempat, balokbalok mengalami momen torsi yang cukup besar sehingga tidak boleh diabaikan. Sedangkan pada analisis portal dua dimensi, momen torsi ini tidak ikut diperhitungkan. Oleh karena itu, dalam perencanaan hendaknya pengaruh momen torsi juga selalu diperhitungkan untuk menghindari kegagalan struktur akibat momen torsi ini.


BAB VI PENUTUP VI.1. Kesimpulan Setelah menyelesaikan penyusunan tugas akhir ini, ada beberapa kesimpulan yang dapat diperoleh antara lain sebagai berikut : 1. Dari penurunan fungsi torsi diperoleh tabel-tabel yang berisi konstanta untuk besaran-besaran berikut :

9 = Ka :

9 = KD :

9 = KQ 9 U = K¯ Q -

9 = K

_ D -

dengan nilai-nilai k seperti terlihat pada Tabel.V.1 berikut :


Tabel.V.1. Nilai-Nilai Konstanta Untuk Tampang Persegi b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 ∞

k1 0.675 0.720 0.759 0.793 0.822 0.848 0.869 0.888 0.904 0.918 0.930 0.940 0.949 0.956 0.963 0.968 0.973 0.977 0.980 0.983 0.985 0.988 0.989 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.996 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

k2 0.675 0.693 0.706 0.716 0.723 0.728 0.732 0.735 0.737 0.738 0.739 0.740 0.741 0.741 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742

k3 1.000 0.963 0.930 0.903 0.880 0.858 0.842 0.828 0.815 0.804 0.795 0.787 0.781 0.775 0.771 0.767 0.763 0.759 0.757 0.755 0.753 0.751 0.750 0.749 0.748 0.747 0.746 0.746 0.745 0.745 0.744 0.743 0.743 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742 0.742

k4 0.1406 0.154 0.166 0.177 0.187 0.196 0.204 0.211 0.217 0.223 0.229 0.234 0.238 0.242 0.246 0.249 0.253 0.256 0.258 0.261 0.263 0.266 0.268 0.270 0.272 0.273 0.275 0.277 0.278 0.279 0.281 0.287 0.291 0.295 0.298 0.301 0.303 0.305 0.307 0.309 0.310 0.311 0.312 0.333

k5 4.801 4.675 4.572 4.480 4.396 4.327 4.260 4.209 4.166 4.117 4.061 4.017 3.987 3.950 3.915 3.888 3.846 3.816 3.798 3.766 3.745 3.714 3.690 3.670 3.647 3.637 3.615 3.592 3.583 3.570 3.548 3.481 3.433 3.390 3.356 3.322 3.300 3.279 3.257 3.236 3.226 3.215 3.205 3.000

2. Dari Tabel.V.1 dapat dibuat kesimpulan bahwa suatu tampang persegi akan bertindak sebagai tampang tipis dimana kenaikan nilai rasio b/a tidak memberikan


pengaruh lagi pada nilai konstanta k pada persamaan pada saat nilai rasio b/a sangat besar. 3. Dari contoh aplikasi yang diberikan, tampak bahwa momen torsi yang terjadi pada balok anak yang berada di sisi void cukup besar. Oleh karena itu, besarnya momen torsi ini tidak dapat diabaikan karena melebihi ketentuan torsi maksimum yang dapat diabaikan seperti yang telah ditentukan di dalam peraturan beton SNI03-2847-2002. Untuk itu, diperlukan tulangan untuk menahan momen torsi yang terjadi. 4. Jika ditinjau lagi, balok-balok yang berada di sisi rongga untuk tangga serta yang berada di sisi terluar bangunan juga mengalami hal yang serupa. Momen torsi yang timbul juga tidak dapat diabaikan.

VI.2. Saran Karena pentingnya masalah mengenai torsi terhadap struktur bangunan, maka Penulis menyarankan agar pembahasan mengenai masalah torsi semakin diperluas pada perkuliahan. Dalam tugas akhir ini telah dibahas masalah torsi pada tampang persegi. Tetapi di luar itu, tampang ellips, tampang segitiga, tampang tertutup seperti pipa, hollow, dan lain-lain. Pembahasan mengenai tampang-tampang ini juga masih kurang dijumpai pada buku-buku literatur.


DAFTAR PUSTAKA

----------. 2002. TATA CARA PERHITUNGAN STRUKTUR BETON UNTUK BANGUNAN GEDUNG – SK SNI 03-2847-2002. Badan Standarnisasi Nasional. Boresi, Arthur P., Sidebottom, Omar M.. 1984. ADVANCED MECHANICS OF MATERIAL. Singapore : John Wiley & Sons, Inc. Dipohusodo, Istimawan. 1994. STRUKTUR BETON BERTULANG : Berdasarkan SK SNI T-15-1991-03 Departemen Pekerjaan Umum RI. Jakarta : Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama. Gere, James M., Timoshenko, Stephen P.. MECHANICS OF MATERIAL, Fourth Edition. Trans.. Suryoatmono, Ir.Bambang, MSc. PhD.. 2002. Mekanika Bahan, Jilid 1, Edisi Keempat. Jakarta : Erlangga. Stroud, K.A.. ENGINEERING MATHEMATICS, 3rd Edition. Trans.. Sucipto, Drs. Erwin, M.Sc.. 1994. MATEMATIKA UNTUK TEKNIK, Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N.. THEORY OF ELASTICITY, Third Edition. Trans.. Sebayang, Ir. Darwin. 1986. TEORI ELASTISITAS. Jakarta : Erlangga. Wigroho, Haryanto Yoso. 2001. ANALISIS DAN PERENCANGAN STRUKTUR FRAME MENGGUNAKAN SAP2000 VERSI 7.42, Edisi Kedua. Yogyakarta : Penerbit ANDI.


ANALISIS TORSI PADA TAMPANG PERSEGI PANJANG DAN APLIKASI PADA KOMPONEN STRUKTUR BETON BERTULANG DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN GRID

Recommend Documents