A más és az ugyanaz A tekintési rendszerek általános elmélete Édesapám, dr. Vajda Endre emlékének, aki a budapesti Postamúzeum alapító főigazgatója volt
Relációk megadása
Ha egy nemüres S halmazon mint alaphalmazon értelmezett n-változós R0 és R1 relációt az S elemeiből képzett rendezett n-esek Sn halmazának részhalmazaiként definiálunk, csak akkor tudunk különbséget tenni a két reláció között, ha a két részhalmaz sem azonos. Bizonyos modellálási feladatoknál azonban olyan relációkat is célszerű lenne megkülönböztetni, melyekkel kapcsolatban az őket reprezentáló részhalmazok azonossága miatt a fenti definíció ezt nem teszi lehetővé. Mivel a reláció fogalma nem egyszerűen a tetszőleges dolgok közti viszonynak, hanem a tetszőleges dolgok közti tetszőleges viszonynak a naiv fogalmát kell hogy matematikailag szabatosan explikálja, olyan meghatározásra van szükség, amely — a kívánt explikálást torzítatlanul megvalósítva — nem csak bizonyos speciális struktúrák osztályán van érvényben. A megoldandó probléma végső soron az, hogyan lehet valamely elem ugyanazon halmazt definiálni látszó más-más tulajdonságait egymástól megkülönböztetni. Első lépésként az inherens és koherens tulajdonság fogalmát kell szétválasztani. Ha inherens tulajdonságnak csak azt fogadjuk el, amely valamely elemre teljesülve nem mond ki többet, mint hogy az egy adott halmazhoz tartozik, akkor halmaz és inherens tulajdonság között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fönn. Valamely inherens tulajdonsággal bíró elemek kivétel nélküli megadása definiál egy halmazt. (Az üres halmaz esetében ennek értelmében azt mondhatjuk, hogy egy és csakis egy olyan inherens tulajdonság van, amely egyetlen halmaz egyetlen elemére sem teljesül.) Koherens tulajdonságnak ezzel szemben azt nevezhetjük, amely valamely halmaz elemeire teljesülve nem az adott halmazhoz való tartozásukat fogalmazza meg. A kiindulási feladatot ezzel annak a kérdésnek a megválaszolására redukáltuk, hogyan különítsük el az ugyanazon halmaz elemeire teljesülő tetszőlegesen sok koherens tulajdonságot egymástól is. Ha E egy E halmaz elemeire teljesülő in261
herens tulajdonság, akkor az E elemeire teljesülő koherens tulajdonságok mint egy X×{ E } szorzathalmazt alkotó rendezett párok interpretálhatók, ahol bár X elemeinek a mibenlétével általánosságban nem foglalkozunk, konkrét esetekben a szükségleteknek megfelelően megadható megkülönböztető jegyeket — nézőpontokat — értjük alattuk. Az inherens és koherens tulajdonság fogalmának oppozícionális értelmezésével máris elkerülhetővé válik az a csapda, hogyan lehet egy üres vagy nemüres halmazt — vagy egyáltalán bármit is — valamilyen módon önmagától megkülönböztetni. Evidens ugyan, hogy sehogy, az viszont, hogy ehelyett azokat a nézőpontokat különböztessük meg egymástól, amelyekből tekintve ugyanaz az objektum más és más értékeket vesz föl, az inherens és koherens tulajdonságokról előlegképpen mondottak absztrahálásával minden nehézség nélkül megoldható. Az alábbiakban tehát bevezetjük előbb egy általános értelemben vett objektum, majd pedig specifikusan egy halmaz tekintéseinek fogalmát, amellyel — a más és az ugyanaz érvényességét relativizálva — a reláció mibenlétének másmilyen interpretálása is lehetővé válik. Legyen C( A ) az a halmaz, amely egy tetszőleges számosságú nemüres — bár egy speciális és a mi szempontunkból érdektelen esetben mégiscsak üres — A halmaz minden egyes elemére külön-külön vonatkozó ismétléses kiválasztás valahányszori — nem szükségképpen ugyanannyiszori — eseteit összesíti. A elemeit tehát egymástól függetlenül rendre kiválasztjuk bárhányszor — akár nullaszor, akár véges vagy végtelen sokszor. E kiválasztást az az ε : A→B bijekció írja le, amelynek értékei az A egy-egy ai elemének összes bij kiválasztási esetét egybefogó, tetszőleges — sőt egymástól független — számosságú (üres vagy nemüres, véges vagy végtelen, megszámlálható vagy megszámlálhatatlan) Bi halmazok. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazon, a j index pedig egy-egy hézagtalan Ji rendszámhalmazon fut végig. A könnyebb megnevezhetőség kedvéért ε argumentumait a kiválasztási esetek etalonjainak, ezek képpontjait egy-egy etalon múzeumának, az egyes múzeumok elemeit pedig a megfelelő etalonok tekintéseinek vagy — mint az előbb is — kiválasztási eseteinek fogjuk hívni. B az a halmazrendszer, amely az A-beli etalonokhoz tartozó és azok tekintéseit magukba foglaló múzeumok halmaza, ami alapján A-nak az etalonhalmaz, B-nek pedig a múzeumhalmaz nevet adhatjuk. C( A ) — amely A üres volta esetén evidens módon maga is üres — mint ⋃ Bi definiálható. iЄ I
Vizsgáljuk meg ezek tükrében azt az esetet, amikor az etalon maga is halmaz. P = P( H )-val H hatványhalmazát, P elemeit — vagyis H részeit — pedig
Mi a szakirodalomban elterjedt nem megszámlálható vagy nemmegszámlálható kifejezések helyett magyarosabbnak tartjuk a megszámlálhatatlan szó használatát. — A szerző.
262
Pi -vel fogjuk jelölni. A C( P ) halmaz a H összes részére vonatkozó ismétléses kiválasztás összes esetét fogja egybe, azaz a H részeihez rendelt múzeumok uniója. A ζ : P→Y bijekció P-t a Pi halmazok Yi múzeumainak Y halmazrendszerére képezi le. Az egy-egy Pi halmazhoz tartozó Yi = ζ( Pi ) múzeum elemei a mondottaknak megfelelően a szemlélt Pi tekintései. Legyen Z = P( Sn ) az S elemeiből képzett rendezett n-esek Sn halmazának hatványhalmaza. Az előbbiek alapján az S-en kijelölt n-változós relációkat nem Z, hanem C( Z ) elemeiként határozhatjuk meg. A reláció fogalmának eme bővítésével mód nyílik az első bekezdésben szűknek talált definíció átfogalmazására: egy nemüres S halmazon értelmezett n -változós R0 reláció az Sn valamely R részéhez mint etalonhoz tartozó M múzeum egy eleme — vagyis R egy tekintése —, amely alatt egy R0 relációformának — mint az n-kitevős Descarteshatványok részei által alkotott osztály egy, R-et elemként magába foglaló adott részosztályának — és R-nek az 〈 R0 , R 〉 rendezett párját értjük. R-re R0 arcaként fogunk utalni. (A grafikon fogalmának ilyen értelmű általánosítását mi a magunk részéről praktikusabbnak látjuk függvényekre specifikálni; azaz grafikon alatt egy függvénynek mint relációnak az arcát értjük.) Két reláció, ha arcuk azonos, egyarcú, míg ha nem, különarcú relációk. A relációfogalom hagyományos értelmezése tulajdonképpen csak a különarcú relációk egymástól való szétválasztására szorítkozik. Befejezésképpen azonban le kell szögezni, hogy a reláció fogalmának mind a szűkebb, mind a tágabb érvényű definíciója csupán egy adott relációnak egy adott halmazon való bevezetését jelenti, nem pedig e fogalom absztrakt meghatározását, mivel mindkettő eleve adottnak veszi az ,,eleme”, a ,,részhalmaza” és a ,,rendezett n-est alkot” relációt, valamint a rendezett n-esek halmazának képzését, amely — mint minden művelet — egyben relációnak is minősül. Ezeket a nehézségeket sem az nem küszöböli ki, ha a reláció fogalmát a tulajdonságéra vezetjük vissza, rendezett n-esek egyváltozós tulajdonságáról beszélve**, sem pedig a halmazelmélet axiomatizálása, hiszen az egyes axiómarendszerek nyelve a változók jelein kívül éppen néhány definiálatlan reláció jeléből kell hogy álljon. A helyzetet az is bonyolítja, hogy a műveletek általánosításaként felfogható függvények — így a logikai függvények is — szintén relációkként írhatók le. Mindez azt sugallja, hogy a relációfogalom származtatott definíció helyett axiomatikus tárgyalást igényel, amire — az inkriminált meghatározás vitathatatlanul kényelmes voltán kívül — mindmáig valószínűleg csupán azért nem került sor, mert azokat a nevezetes matematikai antinómiákat, amelyek a ** Említést érdemel, hogy mivel a rendezett n-esek fogalmában az n-esek fogalmának speciális esetét láthatjuk, a relációfogalom az általános n-esek egyváltozós tulajdonságaként tovább szélesíthető, értelemszerűen módosított algebrai megalapozást téve indokolttá. — A szerző.
263
halmazelmélet axiomatizálását — s ezáltal a matematika paradigmaváltóan radikális unifikálását — mintegy kikényszerítették, halmazokról beszélve sokkal szemléletesebben lehetett megfogalmazni, mint relációkkal kapcsolatban, s így az utóbbiak jelentősége a halmazokéhoz képest mellékesnek tűnt. A szükségesség és a lehetőség azonban egyaránt adott: egyfelől a halmaz vagy az elem, másfelől pedig a tulajdonság vagy reláció fogalmát definiálatlan alapfogalomnak véve, a meglevő halmazelméleti axiómarendszerek több-kevesebb módosításával viszonylag könnyen olyan egységes axiomatikus alapelmélet alkotható meg, amely a matematika egésze szempontjából a halmazelméleti modellek továbbfejlesztésének bizonyulhat. 1995
Etalonok kvalifikálása
Egy nemüres A halmaz elemeit külön-külön illető ismétléses kiválasztás egy olyan 〈 A, Q, B; ε 〉 rendezett négyessel fejezhető ki, ahol az ε : A→B bijekció az etalonhalmaznak nevezett A halmaz minden egyes, etalonnak nevezett ai eleméhez hozzárendeli a rá vonatkozó bij kiválasztási esetek vagy más szóval tekintések tetszőleges — sőt egymástól független — számosságú, múzeumnak nevezett Bi =Qi×{ ai } szorzathalmazát, ahol a kvalifikátorhalmazoknak nevezett Qi halmazok rendre az egyes egyelemű { ai } részekre mint egy-egy közös arcra teljesülő, kvalifikátoroknak nevezett egyarcú egyváltozós Qij tulajdonságok tetszőleges — sőt egymástól független — számosságú halmazai, melyek egy Q halmazrendszert alkotnak, míg B a Qi halmazokkal értelemszerűen rendre ekvivalens Bi szorzathalmazok által alkotott és múzeumhalmaznak nevezett halmazrendszerként definiálható. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt, a j index A megismerés viszonylagosságának circulus vitiosusából azonban nem lehet semmiféle axiomatizálással (sem) kitörni, mert bármely A axiómarendszer megadásához valamilyen nyelvre van szükség, amely mint struktúra egész sereg specifikus absztrakt algebrai és egyéb matematikai fogalom definíciójának előfeltételezésén keresztül végső soron a halmazelmélet komplett axiomatizálását — vagy ha A már maga is a halmazelméletre vonatkozott, akkor újraaxiomatizálását — is előfeltételezi, s mivel az előfeltételezett axiómarendszer saját nyelvében is törvényszerűleg ugyanez a probléma rejlik, a halmazelméleten belül pedig az összes többi matematikai elmélet modellálható, akármelyik matematikai részterület axiomatizálása igazi (vagyis független) axiómarendszer sikeres fölállítása helyett a halmazelmélet álaxiómarendszerére ad infinitum ismétlődő visszajutással a matematika egészének végtelen regressziójába torkollik. Ezt a problémát és annak általunk javasolt megoldását a Viszonyítási rendszerek című tanulmányunkban részletesen ismertetjük. — A szerző.
264
pedig egy-egy hézagtalan Ji rendszámhalmazt fut be. Tisztázni kell még azokat a fogalmakat, amelyek a tulajdonságéval kapcsolatosak: egy egyváltozós tulajdonságnak valamely halmazon megjelenő arca alatt a halmaznak azt a részét értjük, amelynek elemeire a tulajdonság igaz, több tulajdonság egyarcúsága pedig azt jelenti, hogy az arcuk azonos. Az egyes ai etalonok bij tekintései — mint a Bi szorzathalmazok elemei — olyan 〈 Qij, ai 〉 rendezett párok, amelyek első komponense az adott Qi halmaz valamely elemeként mindig más és más, míg második komponense — mint a tekintett etalon — egy-egy múzeumon belül mindig ugyanaz. Ezáltal formálisan is kifejeződik az a különbség, amely egyrészt valamely etalon bármely két tekintése, másrészt maga az etalon és annak bármely tekintése között intuitíve nyilvánvaló. Nem árt azonban hangsúlyoznunk, hogy egy etalon kvalifikálásakor sem tulajdonságon, sem annak teljesülésén messze nem azt értjük, amit a hétköznapi szóhasználat, sőt még a logikai predikátumfogalomtól és a halmazelméleti osztályfogalomtól is elvonatkoztatunk. A elemeit bármely A-val ekvivalens halmazrendszer elemeinek mint halmazoknak az elemeivel kvalifikálhatjuk, s ha A maga is halmazrendszer, akkor e szerepet akár önmaga is betöltheti. Ebben az esetben egy A-beli Ai etalon B-beli Bi múzeumát olyan rendezett párok alkotják, melyek első komponense A valamely — akár éppen ugyanazon — elemének mint halmaznak valamely eleme, második komponense pedig a tekintett Ai. Az, hogy mit nevezünk akár a mindennapi nyelvben, akár a matematikában „objektumnak” és „tulajdonságnak”, csakis nézőpont kérdése, és semmi sem jogosít föl minket arra, hogy annak a kapcsolatnak a mibenlétét, amely a tekintésnek mint kvalifikátorból és etalonból összetevődő rendezett párnak a két komponense között áll fönn, akármilyen módon is értelmezzük — úgy is fogalmazhatunk, hogy szemantikailag nem interpretálhatjuk. Van azonban egy szempont, amelyből mégis érdemes a kvalifikátor természetét elemezni, éspedig a szempont — mármint a kiválasztási szempont — fogalma. Ennek bevezetésekor tulajdonképpen nem a kvalifikátor, hanem a szempont az, aminek a mibenlétével nem foglalkozunk. Egy ai etalont vagy különböző különálló szempontok, vagy különböző szempontok ismétlés nélküli kombinációi szerint választunk ki. Kézenfekvő az előbbi módot egyszerű, az utóbbit pedig összetett kvalifikálásnak hívni. Ha Pi a szempontok halmaza — az ún. szemponthalmaz —, akkor egyszerű kvalifikálásnál Qi =Pi, összetettnél pedig Qi a Pi hatványhalmazát jelölő P( Pi ) valamely — nem szükségképpen valódi — része. Egyszerű kvalifikálásnál az az eset, amikor az etalont semmilyen szempont szerint sem választjuk ki, nem jelenti tekintés képzését, míg összetettnél igen: az etalont ilyenkor az üres halmaz kvalifikálja. Az egyszerű kvalifikálás egyébként 265
az összetett kvalifikálás speciális eseteként is felfogható, ahol Qi mégsem maga Pi, hanem Pi egyelemű részeinek S1( Pi ) halmaza. Minthogy bármely objektum tetszőlegesen összeállított halmazok elemei között egyaránt szerepeltethető, és bármely halmaz felfogható múzeumnak, ha egy vele ekvivalens kvalifikátorhalmazt és egy etalont rendelünk hozzá — melyet egy efféle modellben az adott halmaz ideájának vagy külső elemének is nevezhetünk —, bármely objektum mibenléte végtelen sokféleképpen értel- mezhető, sőt a nemléte is matematizálható azáltal, hogy az etalonját az üres halmazzal kvalifikáljuk. Mivel az, hogy egy objektumot mely halmaz elemének veszünk, szükségleteink és lehetőségeink összjátékának relativizmusán múlik, mindez csupán a matematikai tükröződése annak a ténynek, hogy a dolgok számunkra megnyilvánuló léte és mibenléte sem több e relativizmus megnyilvánulásánál. 1995
Tekintési rendszerek
Egy nemüres, de egyébként tetszőleges számosságú — vagy egy pillanatnyilag érdektelen és talán ellentmondásosnak is tűnő speciális esetben mégiscsak üres — A halmaz elemeinek ismétléses kiválasztásához egy olyan ε : A→B bijekciót kell megadnunk, amely A minden egyes ai eleméhez az adott elemre vonatkozó ismétléses kiválasztás eseteinek tetszőleges (sőt egymástól független) számosságú Bi halmazát rendeli hozzá. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt fut be. A elemeit etalonoknak, A-t magát etalonhalmaznak, B elemeit az egyes etalonok múzeumainak, B-t magát múzeumhalmaznak, az egyes múzeumok elemeit pedig a megfelelő etalonok tekintéseinek vagy kiválasztási eseteinek hívjuk. Hogy az egyes etalonok tekintései között különbséget tudjunk tenni, első lépésként A minden egyes egyelemű { ai } részének — mint egy-egy közös arcnak — rendre megfeleltetjük adott egyarcú egyváltozós Qij tulajdonságok — ún. kvalifikátorok — egy-egy tetszőleges (sőt egymástól független) számosságú Qi halmazát — az ún. kvalifikátorhalmazokat —, melyek egy Q halmazrendszert alkotnak. Valamely egyváltozós tulajdonság arca alatt egy adott halmaznak azt a részét értjük, melynek elemeire a szóbanforgó tulajdonság teljesül. A j index egy-egy hézagtalan Ji rendszámhalmazt fut be. Az egyes Qi és { ai } halmazokból második lépésként rendre a B halmazrendszer elemeit adó Bi = Qi×{ ai } szorzathalmazokat — mint az ai etalonok múzeumait — képezzük. Egy-egy Bi múzeum bij elemei így mint olyan 〈 Qij, ai 〉 rendezett párok különülnek el egy266
mástól, melyek első komponense a j index szerint különböző, második komponense viszont — a vizsgált múzeumon belül — mindig ugyanaz: mindig a tekintett etalonnal azonos. Egy adott elem ismétléses kiválasztásának hétköznapi fogalmában azonban nemcsak az egyes kiválasztási eseteknek a részben egymástól, részben pedig magától a kiválasztott elemtől való megkülönböztetésének szükségessége rejlik benne — aminek az 〈 A, Q, B; ε 〉 rendezett négyes a fenti interpretációval maradéktalanul eleget is tesz —, hanem az a nézőpont is, amelyből valamely elemet annak összes kiválasztási esetével együtt ugyanazon egyetlen elemnek látunk. Nem elég tehát egyrészt egy-egy etalon és annak tekintései, másrészt pedig az egyes tekintések közti különbséget explikálnunk, hanem ugyanígy rá kell találnunk annak a nem matematikai természetű értelmezésnek a matematizálására is, amelyben az egy-egy etalon által alkotott egyelemű halmazok és az adott etalonokhoz rendelt múzeumok páronkénti uniójának elemeit egy-egy unión belül „valamilyen szempontból ” azonosnak vesszük egymással. Ezt a „valamilyenséget” matematikailag úgy ragadhatjuk meg, hogy tekintjük az unitásoknak hívható Ci = { ai }⋃Bi halmazok C halmazrendszerét, az ún. unitáshalmazt, s W =⋃Ci -n definiálunk egy ψ szürjekciót, amely a Ci unitásokat rendre lekéiЄ I pezi az únumoknak nevezhető di elemekből álló és únumhalmaznak nevezhető D halmazba — vagyis ψ : W→D az azonos Ci unitások elemeinél azonos di, a különböző Ci unitások elemeinél pedig különböző di értékeket vesz föl. Ha Q elemei mint halmazok üresek, akkor magától értetődően B elemei mint halmazok is azok, és ψ ilyenkor — minthogy { ai } = Ci — speciális esetként bijekció. A ψ szürjekció W-n való értelmezésével az egy-egy azonos D-beli képpontra átvitt ősökre teljesülő egyértelműsödési tulajdonságok D-vel azonosítható U halmazát adjuk meg, azaz C minden egyes Ci eleméhez tartozik egy-egy di -vel azonosítható Ui egyértelműsödési tulajdonság, amely ezeknek az elemeknek mint halmazoknak az elemeire igaz. Mindezek alapján tekintési rendszer alatt egy olyan A = 〈 A, Q, B, C, W, D; ε, ψ 〉 rendezett nyolcast értünk, amely a fenti kívánalmaknak eleget tesz, s amely az 〈 A, Q, B; ε 〉 és a 〈 C, W, D; ψ 〉 rendezett négyesekből előállítva tulajdonképpen az emberi tudat ama mechanizmusának a matematikai explikálása, amellyel az bizonyos dolgokat egyfelől megkülönböztet egymástól, másfelől pedig azonosít egymással. Pszichológiai értelemben van olyan nézőpont, amely egyazon objektum egyes tekintetbevételeit sem a tekintett objektummal, sem pedig egymással nem azonosítja, s ennek inverzeként van olyan is, amely nem tesz különbséget sem egy fogalom és annak egyedi megvalósulásai, sem pedig az egyes konkrét megvalósulások között. Le kell azonban szögeznünk, hogy a tekintési rendszer absztrakt konstruktum, s nem pedig valamely tudati tevékenység direkt modellje. Matematikailag 267
teljesen érdektelen, hogy akár az etalonok, akár a rájuk teljesülő egyarcú egyváltozós tulajdonságok „objektíve” micsodák. Mindez persze nem azt zárja ki, hogy bizonyos tényeket tekintési rendszerekben fogalmazhassunk meg, hanem csak azt, hogy e rendszerek mibenlétét az általuk leírható jelenségek valamelyikével azonosítsuk. Sőt, véleményünk szerint a tekintési rendszerek értelmezése a tudat világmodelláló működésének éppen az egyik legfontosabb operátora. Az A-beli B, Q, C és D halmazok A-val szükségképpen ekvivalensek, s minthogy A a számosságára nézve teljesen szabad, ez az öt halmaz speciális esetként akár üres is lehet, amikor is üres tekintési rendszerről beszélhetünk, amely matematikailag az emberi fogalomalkotás struktúrájának nullelemét formalizálja. Az olyan tekintési rendszereknek azonban, amelyekben ez az öt halmaz egyelemű, kitüntetett szerepük van. Az ilyeneket elemi tekintési rendszereknek (rövidítve: etereknek), míg az olyanokat, amelyekben ez az öt halmaz egynél több elemű, összetett tekintési rendszereknek nevezhetjük. Bármilyen — akár üres, akár elemi, akár összetett — tekintési rendszer eterek valamilyen számosságú — nulla, egy vagy egynél több elemű — halmaza. Egy ai etalonból és egy neki megfeleltetett Bi múzeumból álló 〈 ai, Bi 〉 rendezett párt etalon–múzeum komplexumnak fogunk hívni. Egy eter értelmezhetőségét egy etalon–múzeum komplexum megadásával teremtjük meg. Egy absztrakt algebrai struktúra meghatározott reprezentánsainak, egy tetszőleges fogalom meghatározott individuális megvalósulásainak, egy személy különféle meghatározott társadalmi szerepeinek vagy akár az etalon és múzeum közti megfeleltetésre most felsorolt példáknak az összessége is mind-mind egy-egy etalon múzeumaként értelmezhető, amellyel egy-egy etert indukáló etalon–múzeum komplexumot adunk meg. Egy tekintési rendszerből különböző módokon újabbakat lehet létrehozni. E technikák közül tanulmányunk jelen fejezetében csak a két legegyszerűbbel foglalkozunk. Az egyikkel tekintési rendszerek A0, A1, ..., A k, ... végtelen sorozatát képezzük úgy, hogy e sorozat bármely tagjának únumjait a rákövetkező tag etalonjainak vesszük. A tagokat g∈G-vel indexezzük, s az i∈I indexet a korábbi értelemben használjuk. Válasszuk ki valamely A g -t, amelyen belül ha egy Bgi múzeum definíciója Q gi ×{ agi }, akkor a ψg szürjekciót adó rendezett párok is olyan Cgi× { dgi } szorzathalmazokat alkotnak, melyekben az A g -ből ily módon előállítható A g+1 tekintési rendszer B g+1 múzeumhalmazának elemeit láthatjuk. Bármely tekintési rendszer tehát ennek az eljárásnak a végtelen rekurziójával egymásból előálló tekintési rendszerek végtelen sorozatának megadását implikálja. Ez persze nem zárja ki, hogy adott esetben az így képzett tekintési rendszereknek csak egy bizonyos tagig szemlélt véges sorozatát vizsgáljuk. A másik nemkevésbé triviális eljárással egy automatát konstruálunk. 268
Mivel bármely múzeum bármely és bárhány eleme egyben etalon is lehet, az etalon–múzeum megfeleltetés véges vagy végtelen rekurziója egy véges vagy végtelen állapotú, iniciális Mealy–automatát határoz meg, ahol egy-egy belső állapot egy olyan halmaz, amelyből egy vagy több elemet etalonok egy vagy több elemű halmazaként választunk ki. A kezdőállapotot jelentő halmaz etalonhalmazként kiválasztott, nem szükségképpen valódi, nemüres része lesz az első bemenő jel, az első kimenő jel az ezekhez az etalonokhoz múzeumokat rendelő bijekció, a kiváltott belső állapot pedig e múzeumok uniója — és így tovább. Az ilyen automatát, amely múzeumok uniójából etalonokként kiválasztott tekintésekhez újabb múzeumokat rendel, asszociációnak fogjuk nevezni. Az asszociáció így értelmezett fogalmát azonban annak viszonylag specifikus volta miatt indokolt előbb általánosítani, majd differenciálni — azzal a céllal, hogy a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok elemeire ne vonatkozzon az a korlátozás, miszerint mindig csak az 1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból kerülhetnek ki. Kiindulópontként a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazokat két diszjunkt részre, az ún. családi etalonokból (vagy röviden családtagokból) álló családi részre és az ún. vendégetalonokból (vagy röviden vendégekből) álló vendégrészre kell széthasítani, megengedve, hogy e két rész közül az utóbbi — bármely bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál — üres is lehessen, az előbbi viszont egyszer se. Míg a családtagok valóban mindig az 1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból származnak, addig a vendégek nem. Azok a vendégek, amelyek valamely n>1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból választódnak ki, az ún. endogén vendégek, míg azok, amelyek még egyetlen korábbi állapotnak megfelelő halmaz elemeiként sem szerepeltek, az ún. exogén vendégek. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok vendégrésze így további két diszjunkt részre osztódik: az endogén vendégrészre és az exogén vendégrészre. Mivel az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál az endogén vendégrész csakis üres lehet, itt összesen két eset állhat elő: vagy csak az endogén vendégrész üres, és mind az exogén vendégrész, mind a családi rész nemüres, vagy pedig mind az endogén, mind az exogén vendégrész üres, és a családi rész nemüres. A többi bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál e két eset mellett további kettőként adódhat egyrészt az, hogy csak az exogén vendégrész üres, és mind az endogén vendégrész, mind a családi rész nemüres, másrészt pedig az is, hogy a családi rész, az endogén vendégrész és az exogén vendégrész egyaránt nemüres. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok tehát egyenként három diszjunkt halmaz — egy családi rész, egy endogén vendégrész és egy exogén vendégrész — uniói. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok e három kitüntetett részét a szobáiknak nevezhetjük. Az asszociációról elsőnek adott leírás 269
annak tulajdonképpen csak azt a speciális típusát mutatta be, ahol az összes bemenő jelként szereplő etalonhalmaznak mind az endogén, mind az exogén vendégrésze üres, s amelyet mi mostantól fogva családi asszociációnak fogunk hívni, asszociáció alatt ennek imént részletezett általánosítását értve. A különféle asszociációkat egyébként a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok ösz- szeállíthatósága természetes módon tipologizálja. Az így megadható tipológiát az asszociációk etalontipológiájának kereszteltük el. E tipológia középpontjában három elem — mondjuk a 0, 1 és 2 számjegy — 27 harmadosztályú ismétléses variációjának 6 meghatározott eseteként képezhető ama háromjegyű kód áll, amelyet egy asszociáció típusának hívunk, s amelynek első, második és harmadik számjegye a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok p tagú sorozata esetén rendre a tagokból sorra kivágott családi részeknek, endogén vendégrészeknek és exogén vendégrészeknek az egy-egy, értelemszerűen szintén p tagú sorozatára vonatkozik. Ha q a szobák e három sorozatában az üres tagok (mármint az üres halmazzal megegyező tagok) sorozatonkénti száma, akkor az egyes sorozatok a kódbeli helyükön q = p esetén a 0-t, 0
270
kat. E múzeumok uniója lesz a sorra kerülő második állapot, amelyből a harmadik bemenő jelként szereplő etalonhalmaz megint az összes elemet gyűjtse ki, és rendeljük hozzájuk az egy-egy megegyező nyelvű, meghatározott könyvben való előfordulásaikból összetevődő múzeumokat. Tételezzük föl, hogy e múzeumok nem mind üresek, és uniójuk lesz a sorra kerülő harmadik állapot. Innen csak egyetlen elemet emeljünk ki a negyedik bemenő jelként szereplő etalonhalmaz elemeként, s az ehhez tartozó múzeum, amely egyben a sorra kerülő negyedik állapot, azokat a fogalmakat összesítse, amelyek egy meghatározott olvasó képzeletében az adott helyen használt megnevezés olvasásakor a pszichológiai értelemben vett asszociáció révén fölmerülnek. A negyedik állapotot tekintsük finálisnak. Egy további példa kedvéért gondoljuk el, hogy az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaz elemei között olyan fogalmak is szerepelnek, amelyek az iniciális állapotot jelentő halmaz elemei között nem. Ha egyéb eltérés nincs, akkor egy 201 típusú asszociációval van dolgunk. A félreértéseket megelőzendő, szeretnénk egyértelműsíteni, hogy az, amit mi aszszociációnak nevezünk, éppúgy absztrakt struktúra, mint a tekintési rendszer, és nem a pszichológiai értelemben vett asszociáció modellje — legalábbis nem közvetlenül az. Nem is filozófiai konstrukció; az etalon–múzeum megfeleltetésnek — mint ahogy a tekintési rendszer ismertetésekor egyszer már tisztáztuk — nem muszáj „objektív” tényeken alapulniuk — az ezekhez való viszonyuk matematikai szempontból közömbös. Ennek a tanulmánynak azonban mégis van gnoszeológiai, sőt ontológiai konklúziója is. Sok szempontból úgy tűnik, hogy érzékleteink világa egy olyan, potenciálisan végtelen P halmazt alkot, amely egy véges generátorrendszer által generált szabad egységelemes félcsoport, ahol az egység szerepét az érzéklet hiánya játssza, az emberi tudat valóságmodelláló apparátusa pedig P-n egy olyan, potenciálisan szintén végtelen K operátortartománnyal dolgozik, amelyet egy másik véges generátorrendszer szintén mint szabad egységelemes félcsoportot generál. K-ban az egységet az érzékletek tudatos fogadása — mintegy nyugtázása — jelenti, s K elemei, melyek a megismerés operátorai, a „tudaton kívülről jövő” érzékletekre és az én önérzékelésére — mint a K-beli egységgel való külső szorzás P-beli produktumaira —, valamint a más operátorokkal kapott műveleti eredmények „tudaton belülről jövő” érzékleteire — mint a K-beli egységtől különböző K-beli elemekkel való külső szorzás P-beli produktumaira — rekurzívan alkalmazódnak, amit gondolkodásnak hívhatunk. Ezek közé az operátorok közé többek között a preverbális modelláló technikák verbalizálása és a prematematikai modelláló technikák matematizálása egyaránt beletartozik. A matematizálás energetikailag éppúgy gazdaságosabbá és hatékonyabbá teszi a megismerést, mint ahogy a közösségi érintkezés által megkívánt egyértel- mű és egyetemes jelrendszer — a nyelv — is a szociális individualitás bizony271
talanságát tapogató preverbális operátorok használatát. A nyelv tehát nemcsak a kommunikációnak, hanem — éppen ezáltal — egyben a megismerésnek az eszközrendszere is, egyfajta másodlagos érzékszerv, a matematika pedig egy erre ráépülő, magasabb szintű eszközrendszerként kifejlesztett harmadlagos érzékszerv szerepét tölti be. Az „eszközrendszer” szót sem a nyelv, sem a matematika dolgában nem metaforának szánjuk: mind a nyelv összetevői, mind pedig a matematikai fogalmak — legyenek azok számok, térelemek, relációk vagy halmazok — az ember eszközkészítő tevékenységének belső produktumai, és sem a nyelvnek, sem a matematikának a fejlődése nem jelent egyebet, mint a megismerés tudati folyamatának az egymás fölötti szinteken zajló technizálását. Minthogy az érzékleteinkben számunkra létező világ alkotóelemei az egyediség és az általánosság síkjának metszésvonalában manifesztálódnak, a percepció e két ellentétes kategóriájának közös részeként — vagy ha úgy tetszik: szintéziseként —, ugyanabban a dologban az egyik irányból az egyedit, a másikból pedig az általánosat szemlélhetjük — anélkül, hogy az érzékelt tárgy mibenléte eközben megváltozna. A nyelv — a matematikától eltérően — mind az egyediségek, mind az általánosságok spontán észlelését technizálja, s ebben a szerepében alapjául szolgál a tudományos paradigmáknak, amelyek — a matematikához hasonlóan — szintén a megismerés szupraverbális szintjén helyezkednek el, s amelyek rekurzív módon egyre magasabb szintű metaparadigmákba szerveződnek — úgy, hogy a paradigmaváltások is csak ebbe a hierarchiába ágyazódva, annak belső dinamizmusaként történnek meg. A matematika viszont — a tudományos paradigmáktól eltérően — kizárólag az általánosságok preverbális érzékelésének verbális technizálását technizálja tovább, s így látóterébe az általánosságokon kívül semmi egyéb nem fér bele — ami egy csapásra megmagyarázza, hogy míg az egyes tudományos paradigmák, ha más-más mértékben is, de mind alkalmazzák szisztematizált általánosításaikhoz explicit — vagy esetleg csak implicit — segédeszközként a matematikát, addig a matematika sose folyamodik se explicit, se implicit segédeszközként egyetlen tudományos paradigmához sem.** Mindez pedig arra enged következtetni, hogy az egyes tudományos paradigmák nem rendelkeznek specifikus megismerő
Ezzel természetesen nem azt akarjuk mondani, hogy a tudományágak — a fizikától a nyelvészetig — az általuk tanulmányozott jelenségek implicit formalitásának explikálásához egyszer sem kényszerítik a matematikát újabb meg újabb eszközök kifejlesztésére — hisz egy tudománytörténeti közhelyekkel kapásból cáfolható efféle állítás a mi elemzésünk egészével is szöges ellentétben állna —, hanem azt, hogy míg a tudományágak fogalmai és módszerei a matematikában eleve nem tudnak direkte érvényesülni, addig a matematikai fogalmak és módszerek a tudományágakban akár explicite, akár implicite, de mindenképp direkte jelennek meg. — A szerző.
272
operátorokkal; operátortartományaik egyfelől a verbális, másfelől a matematikai operátortartomány egy-egy valódi részének nemdiszjunkt uniói. Gondolatmenetünk szükségszerűen arra a fölismerésre vezet, hogy a nyelvben, a tudományos paradigmák metabolikus hierarchiájában és a matematikában egyaránt megvalósuló technizáció az egyediségek és/vagy általánosságok eredetileg biológiai természetű percipiálását az evolúció menete szerint, evolúciós produktumként fejleszti tovább — pontosan úgy, ahogy mondjuk a közlekedési eszközök használata a végtagokkal való helyváltoztatást vagy ahogy akár az optikai, akár a videokommunikációs eszközök alkalmazása a látást. A belső, szellemi síkon előrehaladó technizálási folyamatban föltételezésünk szerint sem olyan preverbális operátor nincs, amely ne lenne verbalizálható, sem pedig olyan generalizáló szerepű prematematikai operátor, amely matematizálható ne lenne. A jelen dolgozatban többek között éppen ez utóbbi állításra próbáltunk meg példát szolgáltatni azzal, hogy nem filozófiai irányból közelítettünk egy olyan témához, amellyel hagyományosan — bár legtöbbször szemlátomást nem direkt tudatossággal — csak a filozófia foglalkozik. Ez a kérdés a dolgok azonos vagy különböző voltának a kérdése, amelyet identifikációs alternatívának nevezhetünk, s amely végső soron a létezés relatív vagy abszolút voltának a kérdésével egyenértékű. Az, hogy az ember mit mikor mivel tart vagy nem tart azonosnak, álláspontunk szerint nem a külvilág hipotetizált univerzális kódjának megfejtésén, hanem az aktuális szükségletek relativizmusán múlik. Hogy a megismerési próbálkozások pozitív és negatív visszacsatolásai vajon a szövegként értelmezett valóság egy-egy virtuális mondatának a dekódolási sikerét vagy kudarcát jelentik-e, vagy éppenséggel egyiket se, érzékleteink végtelen Világmindenségének elhagyhatatlan börtöncelláján belül eldönthetetlen. A tekintési rendszer fogalmának mostani bevezetése éppen azt célozza, hogy az identifikációs alternatívához azt filozófiai kontextusból kiemelve is hozzá lehessen szólni. 1995
273
Az azonosság relativitása
Az, ahogy az emberi tudat bizonyos érzékletekből mint egyfajta nyersanyagból ismereteket gyárt, a szükségletek által diktált viszonylagosság szerint történik. Az ismeretek tehát éppúgy reaktív produktumok, mint azoknak a változásoknak az eredményei, amelyeket a világban cselekedeteinkkel előidézünk. Mivel az, hogy lehetőségeink — vagyis elérhető céljaink és elérésük módjai — korlátozottak, valamely lehetséges cselekedet megtételére vonatkozó döntési szabadságunkat nem érinti, cselekedeteinket nem külső vagy belső determinizmus, hanem az e döntési szabadság értelmében vett relativizmus jellemzi: egyedül tőlünk függ, hogy egy lehetséges cselekedetet megteszünk-e vagy sem. Döntéseinket a saját érzelmi reakcióinkból összetevődő — és ennek megfelelően időről időre változó — értékskála szerint, egymással szorozható gondolati operátorokkal hozzuk meg, érzelmeinkben tehát a cselekvési mechanizmusnak a legfelsőbbnél eggyel alsóbb szintű regulálásának operátorait kell látnunk, míg magát a legfelsőbb szintet a kétértékű döntési szabadságban mint e mechanizmus egyetlen önmagában determinálatlan komponensében. Mivel ismereteink, mint mondtuk, reaktív termékek, a rájuk jellemző viszonylagosságot is döntési szabadságunk jegyében kell elképzelnünk: a tudásunk által modellált világot mint adaptív produktumot saját szabad döntéseinkkel mi magunk építjük föl magunk köré. Az ismeretek összehangolásához különböző szintű absztrahálásukra, e különböző absztrakciós szintek további összehangolásához — kontrollálásához — pedig az absztrakció abszolutizálására van szükség. Ezt az abszolutizálást matematikai formalizálásnak vagy röviden matematizálásnak nevezhetjük. A matematizálás tehát nem közvetlen absztrahálás, hanem szuperabsztrahálás, amiből belátható, hogy feladatának csak úgy tehet eleget, ha direkte explikálja minden abszolútnak tűnő ismeret relativitását. A természetes számok fogalmai mint gondolkodásbeli operátorok például csak akkor jelennek meg a hominizáció folyamán, ha már nemcsak a hordatagok vagy az elejtett állatok, hanem bármik — legyenek azok akár a külvilág, akár a képzelet objektumai — véges sorozatokba rendezhetők. És a halmazfogalomnak is csak az intuitív előképzete van meg mindaddig, amíg különböző dolgok összetartozásának az eszméje csupán olyan esetekben merül föl, ahol ez az összetartozás magától értetődőnek tűnik, vagyis külső tényezőktől már eleve meghatározott. A matematikai halmazfogalom ezzel szemben az elemek tetszőleges csoportosíthatóságának a gondolatát formalizálja. Halmazokról tehát mindaddig nem beszélhetünk, amíg mondjuk a 2 prím kitevőjű hatványainak az együttesét el tudjuk ugyan 274
képzelni, de azt az együttest már nem, amelynek az említett elemeken kívül az Olvasó is pont ugyanolyan eleme, mint a többi. A gondolkodás két legfontosabb prematematikai operátora közül az egyik az, amellyel két dolgot megkülönböztetünk egymástól, a másik pedig ennek inverzeként az, amellyel azonosítjuk őket. Az, hogy mit mikor mivel azonosítunk vagy nem azonosítunk, a pillanatnyi szükségleteink szerinti reakciónk által produkált ismeret, amely ebből kifolyólag a többi ismeretnél semmivel sem kevésbé relatív. A matematikának, hacsak nem akarja önmagát megtagadni, ezt a relativitást is formalizálnia kell. A matematikusok azonban ebben a kérdésben mindmáig ellentétes álláspontot foglaltak el. Ennek egész egyszerűen az az oka, hogy mindmáig nem tudatosult bennük a matematikának az ismeretek relativitását formalizáló funkciója, s ebből adódóan meg se fordult a fejükben, hogy az azonosságelmélet kiindulópontjává az azonosság abszurdumnak rémlő relativitását tegyék. Amikor szembesültek azzal a ténnyel, hogy Leibniz és Cantor azonosság fogalma nem esik egybe, a problémát — természetesen az azonosság abszolút voltának bizonyítására törekedve — logikai értelmezésben próbálták megoldani. Mindez a logikában ugyan minden várakozást felülmúlóan gyümölcsözőnek bizonyult, az azonosság relativitása azonban — vagy inkább éppen ezért — nem nyert egyértelmű matematizálást. A mi elképzelésünk szerint az az összefüggés, hogy az ember bizonyos dolgokat hol azonosít egymással, hol pedig megkülönböztet egymástól, az etalon, a tekintés és a kvalifikátor fogalmaival írható le. Etalon alatt egy tetszőleges objektumot értünk, amely halmaz, halmaznak valamely eleme, tulajdonság vagy bármi egyéb lehet. Az etalon tekintései olyan esetek, amikor ugyanazt az etalont vesszük tekintetbe, s ezeket az eseteket valamilyen nézőpontból megkülönböztetjük egymástól (ami által szükségszerűen magától az etalontól is). A tekintések megkülönböztető jegyeit kvalifikátoroknak hívjuk. Ezek mibenlétével ugyanúgy nem foglalkozunk, mint ahogy az etalonéval sem. A tekintések olyan rendezett párokként ábrázolhatók, amelyek első komponense egy-egy kvalifikátorként mindig más és más, míg második komponensük maga az etalon, s így mindig ugyanaz. Az etalon tekintéseinek halmazát az etalon múzeumának nevezzük. Mivel a kvalifikátorok összességükben az ún. kvalifikátorhalmazt alkotják, az etalon pedig egyetlen elemként az ún. etalonhalmazt, a múzeum e két halmaz Descartes-szorzataként fogható föl. A kvalifikátorhalmaz és a múzeum természetesen ekvivalens. A kvalifikátorhalmaz konkrét esetekben valamilyen számhalmazzal, tulajdonságok halmazával vagy ez utóbbi hatványhalmazának valamely — nem okvetlenül valódi — részével reprezentálható, de mivel természetére vonatkozólag ennek ellenére semmilyen konkrét kikötésünk nincs, így ha az etalon maga is halmaz, akkor 275
akár önmagának a kvalifikátorhalmaza is lehet. Üres kvalifikátorhalmaz esetén nyilván a múzeum is üres; ez azt a szemléletmódot formalizálja, amikor az etalont valamilyen nézőpontból nemlétezőnek tekintjük. Ha az etalont különböző nézőpontoknak csak az egyikéből tekintjük nemlétezőnek, akkor kvalifikátorhalmaznak valamilyen A halmaz hatványhalmazának egy olyan részét választjuk, amelynek egyik eleme az üres halmaz. A az ún. szemponthalmaz, amelynek elemei azok a szempontok, amelyekből az etalon számunkra létezik. Hogy az etalon létezésének szempontjain mit értünk, azt konkrétan megint csak nem határozzuk meg. Azzal, ha az etalont egyéb esetek mellett A üres részével is kvalifikáljuk, azt a hozzáállásunkat fejezzük ki, hogy az etalont az adott esetben ugyan nemlétezőként kezeljük, de a többiben létezőként. Azzal, ha az etalont A egyelemű részeivel kvalifikáljuk, azt fejezzük ki, hogy az etalon csak egy-egy szempontból érdekel minket. Elgondolásunk szerint egyrészt nincs olyan matematikai objektum, amely ne volna valamely másik objektumnak mint etalonnak a tekintéseként értelmezhető, másrészt bármely objektum értelmezhető bármely más objektumnak mint etalonnak a tekintéseként. Elvárható azonban, hogy ennek a koncepciónak a teljes megvilágítása előtt az etalon és a tekintés fogalmának konkrét matematikai alkalmazására hozzunk föl néhány példát. Egy véges vagy végtelen n számosságú H halmazon egyváltozós extenzionális tulajdonságok 2n számosságú T halmaza adható meg. Extenzionális tulajdonságon olyan tulajdonságot értünk, amely aszerint teljesül valamely elemre, hogy az mely elemekkel áll együtt, vagyis hogy H melyik részéhez tartozik. Mivel ezek a tulajdonságok kizárólag halmazhoz tartozást jelentenek, a to- vábbiakban inherens tulajdonságokként fogjuk említeni őket. Bármely halmaz egy és csakis egy inherens tulajdonságot extendál, ugyanakkor bármely halmaz elemeiről végtelen sok csak rájuk — de rájuk mind — teljesülő egyéb egyváltozós tulajdonság fogalmazható meg, melyeket koherens tulajdonságoknak fogunk nevezni. Értelmezésünk szerint az ugyanazon M halmaz által extendált koherens tulajdonságok az M által extendált M inherens tulajdonságnak mint etalonnak a tekintései, amelyekben mint rendezett párokban a kvalifikátorkomponensek szerepét természetes módon az adott koherens tulajdonságok definíciói játsszák. A következő példánk tárgyául az üres halmazt szemeltük ki. Összesítsék U az o,U1, U2 és U3 halmazok rendre az Amerikai Egyesült Államoknak a tizenkilencedik században trónra került királyait, királynőit, a Nagy Alfréd uralkodása alatt született állampolgárait és a 2-nél nagyobb páros prímeket. Mivel az USA nem monarchia, Uo és U1 üres, mivel az USA Nagy Alfréd idejében még nem létezett, U2 is üres, s mivel a 2 az egyetlen páros prím, ugyanezt állapíthatjuk meg U3-ról is. Csakhogy azt is hozzá kell fűznünk, hogy ez a négy halmaz 276
mind azonos egymással, hiszen ha bármely halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei, akkor az olyan halmazokból, amelyeknek egyetlen elemük sincs, nem lehet egynél több. Vagy mégis? Ha két halmaz azonos egymással, akkor pontosan egy olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés — az ún. identikus bijekció — található hozzájuk, amely szerint a két halmaz egy-egy eleme rendre azonosítható egymással. De vajon az, hogy az üres halmaznak nincsenek elemei, csakugyan azt jelenti, hogy nemlétező elemei vannak? S vajon a nemlétező elemek nemlétezésük alapján csakugyan mind azonosíthatók egymással? S vajon ha ebből a nézőpontból azonosak egymással, ez csakugyan azt implikálja, hogy minden egyéb nézőpontból is? Mielőtt álproblémák boncolgatásába fognánk, tisztáznunk kell, hogy az emberi gondolkodás szimulált valóságok generálásával működik, ami lehetővé teszi a számára, hogy különféle potencialitások egybevetésével azokat kiértékelje, s ez alapján prognózisokat és terveket készítsen. E szimulált valóságok az egyén képzeletében léteznek, s egy R halmazt alkotnak. A gondolkodó individuumok G halmazán definiált γ : G→W bijekció természetesen minden egyes egyénnél más-más indexű R-t vesz föl értékként, s W értelemszerűen a ,,társadalmi tudatot” modelláló ama halmazrendszer, amelynek elemei e különböző indexű R-ek. Világosan kell látni, hogy az, ami az egyén számára pszichológiailag a tényleges valóságot jelenti, semmi egyéb, mint az általa szimulált valóságok R halmazának az a kitüntetett eleme, amely az ő saját szabad döntéseivel gyártott ismereteinek tükrében őszerinte nem csak a képzeletében, hanem attól függetlenül is létezik. Mivel azonban ez a valóság — mint ahogy azt a megfogalmazásunk egyértelműen mutatja — éppúgy megvan az egyén képzeletében, mint a többi, formális szempontból teljességgel indokolatlan lenne másként kezelni, mint azokat. A filozófia meg a pszichológia ugyan állást foglalhat — sőt kell is hogy állást foglaljon — a tényleges valóság kitüntetett voltának kérdésében, de a matematikát ugyanez hidegen kell hogy hagyja. Mivel nyilvánvaló, hogy senki sem lehet egyszerre király és királynő, nem élhet egyszerre két különböző történelmi korban, és nem lehet mindezek tetejébe még szám is, az U0, U1, U2 és U3 objektumokban nem magát az üres halmazt, hanem annak mint etalonnak egy-egy tekintését kell látni, amelyekben mint rendezett párokban a kvalifikátorkomponensek szerepét az üres halmaz egy-egy más és más tartalmú fogalmi definíciója tölti be. Az egyén fogalomrendszere egyébként egy olyan függvényként fogható föl, amely az egyes fogalmak definícióihoz hozzárendel egy-egy olyan függvényt, amelyek az egyén által elképzelt valóságokhoz a tekintett definíciókkal megadott fogalmak reprezentánsainak egy-egy ottani osztályát rendelik hozzá. (Megjegyzendő, hogy ezeknek az osztályoknak nem mindegyike olyan, hogy 277
elemei egyúttal halmazzá is összeállnának, s ettől függően halmazképző és nem halmazképző fogalmakról beszélhetünk.) Előfordulhat, hogy valamely valóságban ugyanaz az osztály tartozik két olyan fogalomdefinícióhoz, amelyhez egy másik valóságban egy-egy külön osztály. Ez a sajátos helyzet áll elő például akkor, ha valamely valóságban — például abban, amelyet az egyén ténylegesként jelöl ki — két különböző fogalom egyaránt nemlétező dolgokra vonatkozónak minősül, s így reprezentánsaik két megfelelő osztálya egyaránt üres — s ennélfogva azonos. (Hadd szúrjuk itt közbe, hogy ha definiálunk egy olyan fogalmat, amely valamely valóság — például a ténylegesnek vett — szerint nem létező dolgokra vonatkozik, azzal egyben kijelölünk egy olyan valóságot is, amely szerint ugyanaz a fogalom létező dolgokra vonatkozik, vagyis amelyben a reprezentánsainak az osztálya nemüres, s ha van legalább egy olyan valóság, amely szerint e fogalom létező dolgokra vonatkozik, akkor formális eszközökkel is igazolhatóan végtelen sok olyan valóság generálható, amelyek szerint szintén.) De a helyzet a maga specifikumában lényegileg akkor is ugyanez, ha például olyan valóságot konstruálunk, amelyben az emberek nemi hovatartozása konjunktív is lehet. Ebben a valóságban elképzelhető, hogy egy olyan királyság királyai és királynői, akik egy másik — például a ténylegesnek tekintett — valóságban két diszjunkt osztályba tartoznak, két nemdiszjunkt osztályt alkossanak (vagyis hogy egyes uralkodók mindkét osztályba beletartozzanak), s ennek végletes eseteként az is, hogy a két osztály egybeessen. Azzal a helyzettel tehát, hogy két fogalom reprezentánsai mint elemek egyazon osztályt definiálják, nemcsak különböző fogalmú nemlétező, hanem bizonyos esetekben különböző fogalmú létező dolgok vonatkozásában is szembesülünk. Erre bárki számtalan sok egészen triviális példát hozhat föl még az általa ténylegesként kezelt valóságon belül is: azoknak a személyeknek a fogalma például, akik e sorok íróját mandarin kínaira tanították, nyilván nem azonos azoknak a személyeknek a fogalmával, akik az e sorok írója által fiatalkorában szeretett kínai lánnyal együtt egyetlen közös baráti körbe tartoztak — e két különböző fogalom reprezentánsaiból azonban az e sorok írója által ténylegesnek választott valóságban történetesen egy és ugyanazon osztály tevődik össze. Az etalon és a tekintés kategóriájával operálva viszont a fogalomrendszer modelljének egésze is éppúgy áttekinthetőbbé tehető, mint ahogy arra a koherens tulajdonságoknak az etalonok szerepét betöltő inherens tulajdonságok tekintéseiként való értelmezésével már lényegében ekvivalens példát adtunk. Az etalonként kezelt üres halmaz némely különböző tekintéseinek elkülöníté-
Tanulmányunk jelen fejezete mintegy elvi előkészítője a soron következőnek, amelyben többek között e két állítás részletes bizonyítását is meg kívánjuk adni. — A szerző.
278
se egy konkrét részletét mutatta be a fogalomrendszert leíró modellünk ilyen irányú átdolgozásának. A módosítás voltaképpen egyetlen mozzanatból áll: azoknak a másodlagos függvényeknek az értékeit, amelyeket az egyén tudatában érvényes fogalomdefiníciók N halmazán értelmezett elsődleges függvény a saját értékeiként vesz föl, s amelyek mindegyike az egyén tudatában létező valóságok R halmazán van értelmezve, nem néhol egybeeső osztályoknak, hanem etalonokként kezelt osztályok mindig különböző tekintéseinek fogjuk föl. Az elsődleges függvény már e változtatás előtt is egy-egy értelmű volt, így pedig a másodlagos függvények is mind azok. E másodlagos függvények értékeit jelentő tekintéseknek mint rendezett pároknak a különbözőségét az biztosítja, hogy kvalifikátorkomponensük mindig a megfelelő fogalomdefiníció, függetlenül attól, hogy valamely etalonkomponens csak egy vagy egynél több rendezett párban fordul-e elő. Föltételezzük egyébként, hogy az első esettel valójában soha nem is kell számolni, s hogy egyazon etalonkomponens mindig igen nagyszámú — potenciálisan végtelen sok — rendezett párban szerepel. Ennek okát abban látjuk, hogy az effektív fogalomalkotás — megítélésünk szerint — a gondolkodásnak egy olyan mechanizmusa, amely a fogalmakat véges sok szintaktikai művelet potenciálisan végtelen, bár aktuálisan szükségképpen véges sokszori, rögzített sorrendű ismétlésével generálja. A félreértéseket elkerülendő, hadd tisztázzuk, hogy mást és mást értünk fogalom, fogalomdefiníció és ez utóbbinak valamely megfogalmazása alatt. Ehhez elsőnek szükségszerűen a fogalom mibenlétét kell közelebbről is szemügyre vennünk. A fogalmak — ahogy mi látjuk — a gondolkodás azonosító operátorai, amelyeknek érzékletek lehetnek az operandusai, és gondolati érzékletek a produktumai (valamint egyben más fogalmaknak újra az operandusai). Az azonosítás abban áll, hogy a fogalom — önmagában véve — ábrázolja és egyúttal tagadja mind az osztály és eleme, mind pedig — tulajdonképpen éppen ezáltal — az azonos osztályhoz tartozó elemek közti különbséget. Ez úgy képzelendő el, hogy a fogalom két absztrakt komponensnek, az ún. konceptusnak és az ún. atomnak a rendezett párja. A konceptus olyan absztraktum, amely a fogalom konkrét reprezentánsaitól egyértelműen elkülönül, s így matematikailag az e reprezentánsokból mint a konceptus tekintéseiből álló múzeumnak az etalonjaként szemlélhető. Az atom ezzel szemben olyan absztraktum, amely mind a konceptussal, mind a fogalom konkrét reprezentánsaival azok lényegi mivoltában azonos, s így matematikailag annak a szürjekciónak az egyetlen és éppen ezért únum nevű képpontja, amelyet az etalon és annak összes tekintése által alkotott unitás nevű halmazon értelmezünk. Az únum egyébként, ha más szemszögből 279
nézve is, de ugyanaz, mint az unitás összes elemére és csak rájuk teljesülő, ún. egyértelműsödési tulajdonság, amely — mint koherens tulajdonság — az unitást definiáló inherens tulajdonságnak mint etalonnak az egyik tekintése. E számos új terminus betájolása elengedhetetlenné teszi az A = 〈 A, Q, B, C, W, D; ε, ψ 〉 rendezett nyolcasként fölírható halmazelvű tekintési rendszer* mibenlétének ismertetését. E tisztán formális konstruktum, mint látható, hat halmazból és két függvényből áll, bár — mivel a függvények tulajdonképpen nem mások, mint első komponensükben különböző rendezett párok halmazai — az a megfogalmazás is jogos, miszerint a tekintési rendszer egy nyolctagú, specifikus struktúrával ellátott halmazrendszer. A elemei ai etalonok, B elemei az ai etalonok Bi múzeumai, C elemei az {ai}⋃Bi halmazokként definiált unitások, D elemei pedig a ψ szürjekció által az azonos unitások elemeihez azonos, a különböző unitások elemeihez pedig különböző értékekként hozzárendelt únumok. Mindezeknek megfelelően Ara etalonhalmazként, B-re múzeumhalmazként, C-re unitáshalmazként, D-re pedig únumhalmazként utalunk. Q elemei tetszőleges — sőt egymástól független — számosságú Qi kvalifikátorhalmazok, W pedig C uniója. A két függvény közül ε A-t bijiciálja B-re, ψ pedig W-t szürjiciálja D-re. A Q, B, C és D halmazok ekvivalensek A-val, amely számosságára nézve teljesen szabad, s ha speciális esetként üres, akkor üres tekintési rendszerről, ha egyelemű, akkor elemi tekintési rendszerről (rövidítve: eterről), ha pedig egynél több elemű, akkor összetett tekintési rendszerről van szó. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt fut be. Mivel mindenfajta halmazelvű tekintési rendszer — legyen az akár üres, akár elemi, akár összetett — voltaképpen nem más, mint eterek valamilyen számosságú — nulla, egy vagy egynél több elemű — halmaza, az etereknek a tekintési rendszerek általános elmélete szempontjából kulcsfontosságú jelentőségük van. A halmazelvű tekintési rendszerek mellett egyébként léteznek osztályelvű tekintési rendszerek is, melyekkel — teljesen másféle fölépítésük miatt — tanulmányunk következő fejezetében kizárólagosan kell majd foglalkoznunk. Most előzetesként csak annyit jegyzünk meg, hogy mivel nem minden osztály elemei alkotnak halmazt, előfordul, hogy egy etalon tekintései sem. Ha egy etalon tekintéseinek összességét csak olyan osztályként tudjuk értelmezni, amelynek elemei nem alkotják egy kvalifikátorhalmaz és az etalonból álló halmaz Bár a tekintési rendszerekben mi tisztán matematikai objektumokat — vagy ahogy ezeket pszichokibernetikailag értelmezzük: matematizáló (az absztrakciót abszolutizáló, azaz az ismeretek relativitását explikáló) szerepű gondolkodásbeli operátorokat — látunk, aminek jegyében matematikailag kívánjuk vizsgálni őket, mégis — vagy inkább éppen ezért — szándékunkban áll, hogy tanulmányunk befejező fejezeteiben igen behatóan foglalkozzunk némely matematikán kívüli területeken való alkalmazási lehetőségeikkel, mint amilyen például a kvantumelmélet, a pszichológia, a szociológia és a nyelvészet. — A szerző.
280
szorzathalmazát, múzeum helyett múzeáliának nevezzük. Az összes halmazok osztálya például mivel elemei nem állnak össze halmazzá, a halmaz fogalmának mint etalonnak a múzeáliája. Egy etalonnak és egy múzeáliának az egymáshoz rendelése egy osztályelvű eter értelmezhetőségét teremti meg. Az eterek pszichokibernetikailag is alapvető fontossággal bírnak, minthogy az egyén — legalábbis a mi megítélésünk szerint — az érzékleti világot fenomenológiailag eterek szükségletfüggő értelmezésével állandóan változó viszonylagosság szerint artikulálja. A fogalom tehát, mint mondtuk, s ami az ennek megértését biztosító formális apparátusnak legalább a körvonalazását elodázhatatlanná tette, olyan értelmű azonosító feladatot lát el, hogy az elemet azonosítja az azt magába foglaló osztállyal. Mindehhez azonban azt is hozzá kell még fűznünk, hogy — a nem halmazképző fogalmak reprezentánsaiból összetevődő múzeáliák mellett — vannak véges és vannak potenciálisan végtelen múzeumok, s ez utóbbi kettő alapján véges halmazképző fogalmakról és végtelen halmazképző fogalmakról beszélhetünk. Véges múzeumot alkotnak például a Naprendszer nagybolygói vagy a New York-i metróállomások, ezek tehát véges halmazképző fogalmak reprezentánsai. Potenciálisan végtelen múzeum alatt olyan múzeumot értünk, amelynek van az egyén tudatában a múzeumon belül rekurzívan ad libitum bővíthető valódi része — vagyis ez az ad libitum folytatható rekurzió nem vezet ki a múzeumból. (Bővítésen azt a műveletet értjük, amelyet részletesen a Szolidáris rendszerek című tanulmányunkban ismertetünk.) Mivel az aktuálisan végtelen halmazok — mint például a racionális számok vagy a sík egy adott P pontja körüli koncentrikus körök halmaza — ezt a kívánalmat triviális módon kielégítik, az aktuálisan végtelen halmazok osztályában a potenciálisan végtelen halmazok osztályának valódi részosztályát kell látnunk. Az aktuálisan végtelen halmazok elemei tehát mindenképpen végtelen halmazképző fogalmak reprezentánsai. A potenciálisan végtelen halmazok osztályának komplementer részébe azonban olyan halmazok tartoznak, amelyek az egyén által ténylegesként rögzített valóságban ugyan minden bizonnyal végesek kell hogy legyenek, de éppen a tényleges valóságban való tájékozódás az, amely nem igényli véges voltuk ottani figyelembevételét. Ezeket a halmazokat kvázivégtelen halmazoknak nevezhetjük. Az alábbiakban különböző valóságok összehasonlítása alapján azonban tovább fogjuk pontosítani, hogy ezt a megnevezést miképp interpretáljuk. A legtöbb köznévvel vagy köznév értékű főnévi csoporttal*** jelölhető fogalom reprezentánsai vagy potenciálisan végtelen halmazt alkotnak, vagy nem *** A csoport szót mi most nem algebrai, hanem a generatív nyelvészetben szokásos jelentésében használjuk. — A szerző.
281
alkotnak halmazt, s mi csak az e feltételeknek eleget tevő közneveket vagy köznév értékű főnévi csoportokat minősítjük valódi közneveknek vagy valódi-köznév értékű főnévi csoportoknak. A kutya, a kóbor kutya, a New York-i kutya és a New York-i kóbor kutya például négy olyan fogalom, amelynek reprezentánsai egyegy kétségkívül véges halmazzá állnak össze, a hétköznapi gondolkodásban azonban gyakran gondolunk az ilyen halmazokra úgy, mintha végtelenek volnának. Ilyenkor — a ténylegesként kezelt valóságban való eligazodás leegyszerűsítése céljából — tulajdonképpen szimulálunk egy olyan valóságot, amelyben — mindössze egyetlen részlet megváltoztatásával — végtelenként szemlélünk egy olyan halmazt, amelyet a ténylegesnek tekintett valóságban egyébként végesnek tartunk. Ha egy olyan r0 valósághoz, amelyben egy S0 halmaz véges, megadunk egy olyan r1 valóságot, amelyben S0-nak a képpontja egy végtelen S1 halmaz, akkor S0 kvázivégtelen halmaz. A kvázivégtelen halmazok elemei álláspontunk szerint szintén végtelen halmazképző fogalmak reprezentánsai. Ez alatt nem értünk egyebet, mint hogy semmi nehézséget nem okoz szimulálni egy olyan valóságot, amelyben minden egyes természetes számhoz kölcsönös egyértelműséggel hozzárendelünk mondjuk egy-egy New York-i kóbor kutyát, míg a Naprendszer kilenc nagybolygójának halmazában nincs olyan valódi rész, amely e halmazon belül ad libitum folytatható rekurzióval bővíthető lenne. Ebben a gondolatmenetben tehát a bővítés korlátlan és korlátozott folytathatóságának a szembeállítására esik a hangsúly, s nem arra, hogy mennyire nehéz megbecsülni a New York város alapítása óta a város területén élt kóbor kutyák számát, sőt még csak nem is arra, hogy ehhez a számhoz voltaképpen még azoknak a kóbor kutyáknak a számát is hozzá kellene adni, amelyek a város területén a jövőben fognak élni, s hogy egy efféle extrapoláció nyilvánvalóan lehetetlen. Míg ugyanis ezek az akadályok csak a New York-i kóbor kutyák halmazára vonatkozó véges számosság pontos megadásának állnak az útjában, addig a mi jelenlegi nézőpontunk kizárólag az, hogy a New York-i kóbor kutya fogalmának reprezentánsaiból — a ténylegesként kiválasztott valóság tekintetbevétele nélkül — korlátlanul bárhányat el tudunk képzelni. Végtelen halmazképző fogalmak esetében éppen ezért — hacsak valamilyen speciális szempont nem indokolja — szükségtelennek érezzük, hogy a potenciális végtelen kategóriájának kettéosztásával ugyanúgy oppozícióba állítsuk egymással az aktuális végtelennek és a kvázivégtelennek az alkategóriáját, mint ahogy a végtelen halmazok esetében. Visszakanyarodtunk tehát oda, hogy a véges és a potenciálisan végtelen múzeumok fenti megkülönböztetése alapján a véges és a végtelen halmazképző fogalmak is megkülönböztethetők egymástól. Ha az utóbbiak valódi köz- nevekkel vagy valódi-köznév értékű főnévi csoportokkal nevezhetők meg, 282
akkor az előbbiek nyilván tulajdonnevekkel vagy tulajdonnév értékű főnévi csoportokkal. A legcélravezetőbb talán rögtön azoknak a múzeumoknak a vizsgálatával kezdenünk, amelyek individuális tulajdonnevekkel kifejezett fogalmak egy-egy magányos reprezentánsát zárják magukba. Ilyen individuális tulajdonnév például a Johanna (természetesen annyi homonim Johanna név — és ennek megfelelően annyi e névvel jelölt fogalom — van, ahány Johanna nevű személy), a Massachusetts Institute of Technology vagy az Alpha Centauri. Ha a fogalmak azonosító szerepe abban áll, hogy feloldják elem és osztály különbségét, akkor a fogalmaknak — ezzel ekvivalens értelemben — általánosító szerepük is van. Az individuális tulajdonnevek által kifejezett fogalmak esetében, ahol a múzeum egyelemű, az egyediség és az általánosság közti szakasz két végpontja egybeesik: az ilyen fogalom ,,egyből csinál egyet”, vagyis általánosító kapacitásának értéke 1. Mi azonban a tulajdonnév értelmezését kiterjesztettük úgy, hogy a véges halmazképző fogalmakat megnevező főnévi csoportokra általában is vonatkozzon, s mivel az evangélium vagy a Naprendszer nagybolygója véges halmazképző fogalom, lévén az előbbinek négy, az utóbbinak pedig kilenc reprezentánsa, az e két fogalmat jelölő és éppen most idézett egy-egy főnévi csoport is a mi szemünkben — legalábbis vizsgálódásaink jelenlegi nézőpontjából — tulajdonnév. (Az olyan tulajdonneveket egyébként, melyek 1-nél több, de véges sok reprezentánssal bíró fogalmakra utalnak, nemindividuális tulajdonnevekként említhetjük.) Az evangélium fogalma ,,négyből csinál egyet”, a Naprendszer nagybolygójáé pedig ,,kilencből egyet”. Egy halmazképző fogalom általánosító kapacitásának értéke tehát egyenlő a reprezentánsainak számával. A valódi köznevek vagy a valódi-köznév értékű főnévi csoportok által megnevezett végtelen halmazképző fogalmak attól végtelenek, hogy reprezentánsaik halmaza potenciálisan végtelen. A New York-i kóbor kutya fogalma ,,végtelen sokból csinál egyet”. A végtelen halmazképző fogalmak általánosító kapacitása tehát lényegükből adódóan végtelen. Nem minden fogalom általánosító kapacitása mérhető: e kivételeket azok a fogalmak jelentik, amelyek, mivel reprezentánsaik nem alkotnak halmazt, múzeáliák etalonjai. E fogalmakkal tanulmányunk következő fejezetében fogunk részletesen foglalkozni. Mindezek után a fogalom mibenlétét — a korábbi és gondolatmenetünk kiindulópontjának számító pszichokibernetikai értékelés mellett — gnoszeológiai oldalról is módunkban áll megvilágítani. A fogalmak — a mondottak alapján — különböző léttartalmak terjedelmei. Az, hogy itt létről beszélünk, senkiben ne keltsen olyan benyomást, mintha ontológiailag közelítenénk
283
a kérdéshez.*** Felfogásunk szerint a lét tartalmi differenciálása — ahogy azt e fejezet legelején, ha más szavakkal is, de egyszer már kifejtettük — tudati tevékenység. Miután a fogalom fogalmát így kiveséztük, rátérhetünk a fogalomdefiníció definiálására is. Ehhez azonban előbb a fogalomdefiníció megfogalmazásának mivoltát kell tisztáznunk. A nyelv végtelen természetéből fakadóan bármely fogalomhoz végtelen sok olyan megfogalmazás rendelhető, amelyek mindegyike szintaktikailag és/vagy lexikailag különböző formában, bár nem minden esetben különböző fokú redundanciával, így vagy úgy leírja az adott fogalom mibenlétét. Bármely y fogalomhoz kölcsönös egyértelműséggel a rá vonatkozó leírásoknak egy végtelen Y halmaza tartozik, melynek elemei fonológiailag interpretált szemantikai-szintaktikai struktúrákkal rendelkező nyelvi objektumok. Ezekből a struktúrákból elvonható egy szintaktikailag és fonológiailag egyaránt üres, szemantikailag invariáns rész, amely y absztrakt definíciója, s amelyet Y-nal jelölünk. Egy absztrakt definíció tehát sem szintaktikailag, sem — ebből adódóan — fonológiailag nem manifeszt. Valamely fogalom absztrakt definícióját a rá vonatkozó fogalomdefiníciónak, valamely fogalomdefiníció fentebb leírt módú nyelvi konkretizációit pedig az adott fogalomdefiníció megfogalmazásainak nevezzük. Mivel a fogalomdefiníciók absztrakt entitások, az egyes fogalmak gyakorlati definiálására mindig csak a kölcsönös egyértelműséggel hozzájuk kapcsolódó fogalomdefiníciók egy-egy megfogalmazása használható. A fogalom témájának azonosságelméleti tárgyalását ezzel egyelőre befejezettnek vesszük, s az etalon és a tekintés alkalmazásának soron következő példájaként egy halmazelméleti modellt fogunk ismertetni. Legyen S 0 a nulladrangúan konkrét halmazok egyelemű osztálya, amely az S0 halmazt foglalja magába. Azon, hogy S0 nulladrangúan konkrét, azt értjük, hogy nem döntjük el róla, hogy üres-e vagy nemüres, aminek következtében sem a számosságáról, sem a rendtípusáról, sem pedig a rajta értelmezett struktúrának és maguknak az elemeinek a mibenlétéről sem nyilatkozhatunk. S0 -t tulajdonképpen az összes halmaz absztrakciójának is mondhatjuk. Legyen S1 az elsőrangúan konkrét halmazok osztálya, amely S0-nak mint eta Nem árt azért megjegyeznünk, hogy a mi szemünkben bármely gnoszeológiai rendszer csakis akkor hiteles, ha ontológiai talapzaton nyugszik, vagyis — hogy a diszciplína fejlődésének dinamizmusát szemléletesebben érzékeltessük — ha mozgásteréül egy olyan ontológiai rendszert használ, amelynek kiépítettsége számára már biztosítva van. Ezzel a kérdéssel a Mi a filozófia? című tanulmányunkban részletesen is foglalkozunk, és ez irányú elképzeléseink megvalósításának példájaként A valóság szentháromsága című tanulmányunkat említhetjük meg, amelynek eszmefuttatásában az ontológiai, a gnoszeológiai és az etikai fogalmak — legalábbis célkitűzésünk szerint — komplex egységben értelmezik egymást. — A szerző.
284
lonnak a tekintéseit mint múzeália összesíti. Azon, hogy az S1-beli halmazok elsőrangúan konkrétak, azt értjük, hogy olyan rendezett párokként jellemezhetők, ahol a kvalifikátorkomponens (amely osztályelvű tekintési rendszereknél nem kvalifikátorhalmaz eleme) egy-egy mindig más és más kardinális szám, az etalonkomponens pedig, mint mondtuk, mindig S0. Nincs olyan kardinális szám, amely S0 kvalifikátorai között legalább és legföljebb egyszer ne fordulna elő. S1 elemeit mindezek alapján tulajdonképpen az összes ekvivalens halmazok számosságuk szerinti absztrakcióinak is mondhatjuk. Legyen S2 a másodrangúan konkrét halmazok osztálya, amely az S1-beli halmazoknak mint etalonoknak a múzeáliáit egyesíti. Azon, hogy az S2-beli halmazok másodrangúan konkrétak, azt értjük, hogy olyan rendezett párokként jellemezhetők, melyekben a kvalifikátorkomponens egy-egy mindig más és más rendtípus, az etalonkomponens pedig egy-egy olyan S1-beli halmaz, amely ekvivalens halmazok jellemzésekor ugyanaz, nemekvivalens halmazok jellemzésekor pedig különböző. Nincs olyan rendtípus, amely az S2-t alkotó rendezett párokban kvalifikátorkomponensként legalább és legföljebb egyszer ne fordulna elő. S2 elemeit mindezek alapján tulajdonképpen az összes hasonló halmazok rendtípusuk szerinti absztrakcióinak is mondhatjuk. Legyen S3 a harmadrangúan konkrét halmazok osztálya, amely az S2-beli halmazoknak mint etalonoknak a múzeáliáit egyesíti. Ahhoz azonban, hogy S3 elemeiről érdemben is beszélhessünk, előbb be kell vezetnünk az adat, az adatlap és az adattár fogalmát. Bármely halmaz szemlélhető bármely és bárhány, nem okvetlenül mind különböző halmaz őt legalább egyszer magába foglaló véges vagy megszámlálhatóan végtelen együttesén végigvitt Descartes-szorzás bárhányadik tényezőjeként, bármely eleme pedig — ennek megfelelően — különböző rendezett n-esekben, ahol n a mondottakhoz igazodó bármilyen értéket fölvehet, bárhányadik komponensként. Bármely halmaz bármely eleme tehát különböző extenzionális relációk különböző indexű változója lehet, s azt az esetet, amikor e lehetőségek valamelyike teljesül, az adott elem egy adatának, az összes ilyen eset osztályát pedig az adott elem adatlapjának nevezzük. Ha két adat egyszerre nem zárja ki egymást, akkor kompatíbilisek, ha igen, akkor inkompatíbilisek. A kompatíbitás egy adatlap adatai között nyilvánvalóan ekvivalenciareláció. Egy halmaz valamely elemét az adatlapja formális értelemben teljesen bemutatja. Ezen azt értjük, hogy mivel a függvény a relációnak, a művelet pedig a függvénynek a ,,speciális” fajtája, egy elem adatlapján ,,minden” rajta van, ami az adott elemre matematikailag vonatkozik. Egy halmaz elemeihez magától értetődően bijektíve egy-egy adatlap tartozik, s ennek a bijekciónak a képtere az, amit az általa leképezett halmaz adattárának hívunk. Egy adattár tehát bizonyosfajta osztályok együttese. 285
Azt a bijekciót, amely egy halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeli az annak adatlapjáról kiválasztott adatok valamely nemüres véges halmazát, mégpedig úgy, hogy a képtere uniójának bármely két eleme kompatíbilis legyen, a halmaz strukturalizációjának nevezzük. A halmazon bármely strukturalizáció az értékkészletével egy struktúrát definiál, éspedig — értelemszerűen — pontosan egyet. Mindezek után már valóban rátérhetünk arra, mit értünk az S3-beli halmazok harmadrangúan konkrét voltán. Ezek a halmazok olyan rendezett párokként jellemezhetők, melyekben a kvalifikátorkomponens egy-egy mindig más és más struktúra, az etalonkomponens pedig egy-egy olyan S2-beli halmaz, amely hasonló halmazok jellemzésekor ugyanaz, nemhasonló halmazok jellemzésekor pedig különböző. Nincs olyan struktúra, amely az S3-at alkotó rendezett párokban kvalifikátorkomponensként legalább és legföljebb egyszer ne fordulna elő. S3 elemeit mindezek alapján tulajdonképpen az összes izomorf struktúrájú halmazok struktúrájuk szerinti absztrakcióinak mondhatjuk. Megjegyzendő azonban, hogy S3-ban az izomorfiát abszolút módon értelmezzük, ami független attól, hogy gyakorlati esetekben relatív — azaz különböző szempontok szerinti — izomorfiákat szokás tekinteni. Ennek jegyében különböző szigorúsági fokozatú izomorfiák válnak egymással összehasonlíthatóvá. Legyen S4 a negyedrangúan konkrét halmazok osztálya, amely az S3-beli halmazoknak mint etalonoknak a múzeáliáit egyesíti. Legyen E a gondolatilag generálható halmazképző fogalmak osztálya. Azon, hogy az S4-beli halmazok negyedrangúan konkrétak, azt értjük, hogy olyan rendezett párokként jellemezhetők, ahol a kvalifikátor komponens egy-egy mindig más és más gondolatilag generálható halmazképző fogalom, amelynek reprezentánsai a szemlélt S4-beli halmaz elemei, az etalonkomponens pedig egy-egy olyan S3-beli halmaz, amely abszolút értelemben izomorf struktúrájú halmazok jellemzésekor ugyanaz, egyébként pedig különböző. Nincs olyan gondolatilag generálható halmazképző fogalom, amely az S4-et alkotó rendezett párokban kvalifikátorkomponensként legalább és legföljebb egyszer ne fordulna elő. S4 elemeiben mindezek alapján az összes gondolatilag generálható halmazképző fogalom reprezentánsainak egy-egy halmazát láthatjuk. Nyilvánvaló, hogy ezeket a halmazokat már nem foghatjuk föl egyéb halmazok absztrakcióiként, lehetőségünk nyílik tehát az absztrakciót és a konkretizációt illető némely tájékozódási pontok kijelölésére. Ahogy a nulladrangúan konkrét S0 halmaz interpretálását egyrészt maximális halmazelméleti absztrahálásnak, másrészt pedig — ezzel ekvivalensen — minimális halmazelméleti konkretizálásnak minősíthetjük, úgy az S4-beli halmazok interpretálásában minimális halmazelméleti absztrahálást és — ezzel szintén ekvivalensen — maximális halmazelméleti konkretizálást láthatunk. Az S4-beli 286
halmazokat mindezek jegyében ontológiai halmazoknak fogjuk hívni, azt értve ezalatt, hogy csak az S4-beli halmazokról tudjuk eldönteni, hogy az elemeik tulajdonképpen micsodák: kilencedfokú reciprok egyenletek-e, almáspiték vagy hétfejű sárkányok. A most vázolt modellben halmazoknak a konkretizáció öt rangja szerinti jellemzéséről beszéltünk. Egy halmaz öt lehetséges konkretizáltsági jellemén vagy röviden jellemén azt a formát értjük, amelyben a halmaz konkretizáltsági rangja bemutatható. A mondottaknak megfelelően S 0 egyetlen eleme S0, amely így, önmagában és önmaga által ábrázolható. S1 elemei olyan rendezett párok, amelyek második komponense mindig S0, s amelyeknek az általános alakja 〈 Q1 , S0 〉. S2 elemei olyan rendezett párok, amelyeknek második komponense maga is rendezett pár, mégpedig olyan, amelynek a második komponense mindig S0. Ezeknek az általános alakja 〈 Q2, 〈Q1, S0〉〉. Mivel mind itt, mind a további két esetben csak a rendezett párok második komponense kerül zárójelbe mint egy-egy összetett rendezett pár, nem okoz félreértést, ha a belső zárójeleket elhagyva, S2 elemeit 〈 Q2, Q 1, S0 〉, S3 elemeit 〈 Q3, Q2, Q1, S0 〉, S4 elemeit pedig 〈 Q4, Q3, Q2, Q1, S0 〉 alakban ábrázoljuk. E fölírásban az általános alakú Q kvalifikátorok indexei mindenütt azt a múzeáliát jelölik, amelynek az adott Q és az utána álló etalon rendezett párja mint tekintés az eleme, s nem pedig a múzeálián belüli egyes konkrét tekintések mindig más és más kvalifikátorkomponenseinek az egymás közti különbségét. Ebben a modellben az üres halmazról a négy nemnulla rang szerint beszélhetünk. Ha a rangja 1, akkor annyit tudunk róla, hogy a kardinális száma 0, ha a rangja 2, akkor annyit, hogy a rendszáma 0, ha a rangja 3, akkor annyit, hogy az adatlapja üres, ha pedig a rangja 4, akkor annyit, hogy a kvalifikátorkomponense az üres fogalom, vagyis az a fogalom, amelynek egyetlen reprezentánsa sincs. Mivel az első állításból a másik három rögtön következik, csak egyetlen üres halmaz van, amely ennek megfelelően a négy nemnulla konkretizációban azonos. A tekintési rendszer fogalmának alkalmazására példaként felhozott halmazelméleti modell taglalását érzésünk szerint — legalábbis a mostani szempontunkból — ezzel lezárhatjuk, s tanulmányunk jelen fejezetének befejezéseképpen — a bevezető gondolatokhoz visszakanyarodva — rátérhetünk annak kifejtésére, hogyan is képzeljük el azt, hogy bármely fogalom bármely más fogalomnak mint etalonnak a tekintéseként értelmezhető. Az azonosság és a különbözőség fogalma mindaddig nem matematizálódik, amíg interpretálhatóságuk relativitását valamilyen formális konstrukció nem biztosítja. Mi az etert pontosan ilyen konstrukciónak szánjuk, értelemszerű tehát, hogy — a matematika szerepéről vallott nézetünk szerint — az eter is csak attól válik matematikai fogalommá, ha az összeállíthatósága semmivel sem 287
kevésbé tetszőleges, mint a halmazé. Ahogy az explicit halmazfogalom lehetővé teszi, hogy valamely valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvényének értékeiről, az ötvenedik életévüket 1996-ban betöltött japán férfiak prosztatáiról és az Iliászban tulajdonnevükön említett emberi személyekről mint egyazon halmaz elemeiről beszéljünk, úgy az eterfogalomnak is lehetővé kell tennie, hogy ezt a halmazt ama múzeumként kezelhessük, amely a nürnbergi pernek mint etalonnak a tekintéseit összesíti, vagy azt, hogy az Olvasó saját magában rendre valamennyi Gauss-egésznek mint etalonoknak az egyelemű múzeumokat alkotó egy-egy tekintését lássa. Az eternek mint abszolutizáltan absztrakt objektumnak a képezhetősége nem függhet a ténylegesként kitüntetett valóság különféle szemszögekből relevánsnak ítélt összefüggéseitől — viszont éppen e függetlenség az, ami az etert modelláló erővel ruházza föl. Amikor ilyen vagy olyan szempontok alapján etereket konstruálunk, csupán kihasználjuk az eterfogalom által explikált viszonylagosság nyújtotta szabadságot — vagyis azt, hogy ennek a fogalomnak a bevezetésével formálisan kimondjuk az azonosság és a különbözőség relativitását. Mindezek tükrében ennek a fejezetnek az érdemi középpontjában nem is annyira az eterfogalom alkalmazásával végbevitt elemzések sorozata, mint sokkal inkább annak a véleménynek a megfogalmazása áll, hogy az azonosságelmélet egésze e fogalom alapján reformra szorul.**** 1996
A szerző elnézést kér az Olvasótól, ha betegségének súlyosbodása megakadályozná a tanulmány tervbe vett további fejezeteinek megírását és az eddigi fejezetek tollbamondott szövegének korrektúrázását.
288
