A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK

1

Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadratdan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika. A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK. Kompetensi Dasar

: 1.11. Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasi dalam pemecahan masalah.

A.1. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TERBUKA. Pengantar materi: Dalam setiap pembicaraan, baik lisan maupun tulisan, kita sering menggunakan Kalimat. Kalimat dalam matematika dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: Kalimat Matematika Tertutup dan Kalimat Matematika Terbuka. Salah satu jenis kalimat yang penting dan banyak digunakan dalam pembicaraan matematika adalah Kalimat deklaratif atau pernyataan atau Kalimat Matematika Tertutup. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah (Nilai Kebenaran) Sedang kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya dikenal dengan Kalimat Terbuka, yang dicirikan oleh adanya suatu variabel yang belum pasti. Contoh 1 : 1. Dalam sebuah bidang, jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o. Ini merupakan pernyataan benar, sebab teori ini sudah dikenal dalam geometri Euclides. 2. Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Ini bukan pernyataan akan tetapi merupakan kalimat matematika terbuka sebab nilai kebenarannya tidak dapat dipastikan. Suatu kalimat matematika terbuka dapat berubah menjadi tertutup (pernyataan) jika variabelnya diganti dengan suatu unsur yang disebut konstanta. Contoh 2 : Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Jika B diganti konstanta Megawati SP, maka kalimatnya berubah menjadi pernyataan yang SALAH. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami permasalahan berikut ini: Masalah 1: Diantara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan serta berikan alasan yang tepat. Jika pernyataan tentukan pula nilai kebenarannya ! 1. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. 2. Benarkah 236 habis dibagi oleh 9? 3. Terdapat bilangan x sedemikian hingga x + 5 = 3

2 4. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara. 5. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya ! 6. Tidak ada bilangan prima yang terbesar. 7. Mudah-mudahan kita sehat wal afiat. 8. Dalam himpunan bilangan rasional positif ada anggota yang terkecil. Penyelesaian: 1. Merupakan pernyataan yang salah, sebab 2 bilangan genap juga prima. 2. ......................................................................................................................................... 3. ......................................................................................................................................... 4. ......................................................................................................................................... 5. Bukan pernyataan tetapi termasuk dalam katagori kalimat perintah / suruh, sehingga nilai kebenarannya kabur. 6. ......................................................................................................................................... 7. ......................................................................................................................................... 8. ......................................................................................................................................... Masalah 2: Dengan mengambil himpunan bilangan Asli sebagai semesta pembicaraan, tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka di bawah ini: 1. 2x + y = 6 5. 3x – 5 = x + 2 2. 2x – 3 = 3x – 1 6. x2 + y2 = 25 2 3. x -2x -3 = 0 7. x2 – y2 = (x + y)(x – y) 4. x adalah faktor dari 6 8. xy < 10 Penyelesaian : 1. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka HP dari 2x + y = 6 adalah : { (0, 6) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (3, 0) } 2. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. 3. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. 4. Jika x  B , maka HP = { 1, 2, 3, 6 } sebab bilangan tersebut merupakan factor dari 6. 5. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. 6. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. 7. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. 8. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. Dalam pembicaraan selanjutnya suatu Pernyataan biasa diwakili oleh suatu huruf/abjad alpabhet kecil, missal: p  Surabaya kota pahlawan

q  Amir sekolah di SMA N 1 Gondang

A.2. Ingkaran / Negasi atau pernyataan sangkalan. Pengantar materi: Suatu pernyataan yang menyangkal atau membantah kebenaran suatu pernyataan dikenal dengan Negasi/ingkaran.

LKS-Mat.X-48

3 

Dan biasa dilambangkan dengan : ~p atau p atau p atau  p dan biasa dibaca: 

bukan p atau tidak p

bisa juga menggunakan kata yang mempunyai lawan katanya.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan negasi dari pernyataan berikut ini: Masalah 3: Tentukan negasi atau ingkaran dari : a. Surabaya kota cosmopolitan. b. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara. c. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya ! d. Cuaca hari ini sangat cerah. e. 2 + 9 > 15 Penyelesaian: a. b. c. d. e.

Surabaya bukan kota cosmopolitan ......................................................................................................................................... Tidak punya negasi sebab bukan pernyataan. ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan beberapa kalimat di bawah, termasuk kalimat tertutup atau kalimat terbuka! a. 3 + 2 =

25

b. 2a + 16 = 20

c. Pada segitiga ABC siku-siku di A berlaku b2 + c2 = a2

2. Negasi dari pernyataan berikut adalah : a. Pada hari Senin siswa SMA X Mojokerto mengikuti Upacara Bendera. b. Joko merupakan siswa teladan yang berasal dari Desa Kampung Cendekia. c. 2 – 4 < 6 d. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki 2 faktor.

A.3. Pernyataan Majemuk. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan majemuk diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif. Pengantar materi: Suatu pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih gabungan pernyataan-pernyataan tungal dikenal dengan Pernyataan Majemuk. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang beberapa jenis pernyataan majemuk berikut ini: A.3.1. Konjungsi. Konjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung ”DAN” atau ”TETAPI” atau ”MESKIPUN” atau ”WALAUPUN” Atau yang bermakna sama, dst Biasa dilambangkan dengan tanda ”  ” Missal: maka

p  Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas q  Ani anak rajin p  q  Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas dan rajin.

4

LKS-Mat.X-49 Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Konjungsi sebagaimana tabel; p

q

p  q

B B S S

B S B S

B S ............... ...............

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Konjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan seri dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p p

q

p  q

B B S S

B S B S

B S ............... ...............

q P

q

1 1 ….. 0 0 ….. ….. …..

Jaringan Listrik

Arus

1 ……. 0 ……..

Ada …….. Tidak ……..

A.3.2. Disjungsi. Disjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung ”ATAU” Biasa dilambangkan dengan tanda ” V ” Missal: p  Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas q  Ani anak rajin maka p V q  Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas atau rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Disjungsi bermakna pilihan bebas sebagaimana tabel; p

q

pVq

B B S S

B S B S

............... B ............... ...............

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Disjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan paralel dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p q p

q

pvq

B B S S

B S B S

............... ............... B ...............

P

q

1 1 ...... ...... ...... 1 0 .....

Jaringan Listrik

Arus

1 ........... 1 ...........

Ada .......... ........... Tidak

Masalah 4: Diketahui: p  Tari gadis pandai q  Tari anak orang kaya Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini: a. p  q b. p  ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p

5

LKS-Mat.X-50 Penyelesaian:

 Tari gadis pandai dan anak orang kaya.

a. p  q b. p  ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p

   

A.3.3. Implikasi atau Kondisional. Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung ” Jika ............. maka ...............” Biasa dilambangkan dengan tanda ” p  q ” di mana lambang ini juga dibaca: - p hanya jika q - p syarat cukup bagi q - q jika p - q syarat perlu bagi p Pernyataan p dikenal dengan Anteseden (Sebab) konsekuen (Akibat). Missal: maka

dan

q

dikenal dengan

p  Ani salah satu siswa yang cerdas q  Ani anak rajin p  q  Jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel; p

q

p  q

B B S S

B S B S

............... S ............... B

A.3.4. Bi-Implikasi atau Bi-Kondisional. Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung ” .........Jika dan hanya jika ............” Biasa dilambangkan dengan tanda ” p  q ” di mana lambang ini juga dibaca: - p bila dan hanya bila q - p syarat perlu dan cukup bagi q - Jika p maka q dan jika q maka p - q syarat perlu dan cukup bagi p p  Ani salah satu siswa yang cerdas q  Ani anak rajin maka p  q  Jika dan hanya jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin.

Missal:

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel; p

q

p  q

B B S S

B S B S

............... S ............... B

Masalah 5: Diketahui: p  Tari gadis pandai q  Tari anak orang kaya

6 Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini: a. p  q b. p  ~q c. q  p d. ~p  ~q e. q  ~p

LKS-Mat.X-51 Penyelesaian: a. b. c. d. e.

p  q  Tari gadis pandai jika dan hanya jika Tari anak orang kaya. p  ~q  q  p  ~p  ~ q  q ~ p 

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Jika p  Aswan tidak suka menyanyi dan q  Aswan suka sepak bola Nyatakan dalam kalimat yang sesuai dari pernyataan berikut: a. p v ~q c. ~p  q e. ~q  ~p g. ~p  q b. ~ p  q d. ~q  p f. q  ~p h. ~p  ~q 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan: a. Kucing binatang menyusui dan gajah binatang melata b. 3 x 3 x 3 = 3 x (3 + 3) atau 23 = 8 c. Jika 3 bilangan prima maka 32 = 3 + 3 d. Jika 2 bilangan genap maka Jakarta ibu kota RI. e. Jika jumlah sudut suatu segitiga 180o maka 1 + 3 = 4 f. 4 x 2 = 8  Solo di Pulau Bali 3. tentukan nilai x agar pernyataan berikut bernilai Benar ! a. Jika 2x = 12 maka 2 bilangan ganjil b. Jika sin x = ½ , x sudut lancip maka cos 45o = ½ c. x2 = 9 jika dan hanya jika 22 = 4 d. Sin x = ½ jika dan hanya jika tan 45o = -1 e. Cos 2x = 1 dan tan 2x = -1 f. 2x – 1 < 0 atau x > 0 A.3.4. Pernyataan majemuk yang ekuivalen. Dua atau lebih suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama disebut dengan Pernyataan Majemuk ekuivalen. Missal : Jakarta ibukota RI dan 2 + 3 = 5 ekuivelen dengan 4 + 1 < 9 atau gajah berkaki 3. A.4. Nilai kebenaran suatu pernyataan. Pengantar materi: Nilai Kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dibuktikan dengan menggunakan kaidah tabel kebenaran masing-masing pernyataan induknya Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang aturan tabel kebenaran guna menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berikut ini: Masalah 6: Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan: a. ( p  q )  p b. ~p  ~ ( p  q ) Penyelesaian: a. ( p  q )  p p

q

pq

(p  q)  p

B

B

B

............

b. ~p  ~ ( p  q ) x p q ~p p  q B

B

S

.......

y

~ (p  q)

x  y

S

........

7 B

S

......

B

B

S

S

S

..........

.........

S

B

......

............

S

B

B

.......

..........

S

S

S

S

............

S

S

B

.......

..........

.........

LKS-Mat.X-52 Jika diperhatikan hasil penyelidikan terhadap dua pernyataan majemuk di atas mendapatkan nilai kebenaran sebagai berikut: a. ( p  q )  p, ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggal nya, pernyataan ini selalu bernilai benar ( dan pernyataan seperti ini dikenal dengan Tautologi) b. ~p  ~ (p  q) , ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya, pernyataan ini selalu bernilai Salah ( dan pernyataan seperti ini dikenal dengan kontradiksi ) Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. (p  q)  ~ (p  q) b. ~ (~p  q )  p 2. Selidiki apakah pernyataan majemuk ini ekuivalen: a. q v (p  r) b. (p  q )  r dan r  (p  q) c. ~ (p  q) dan p  ~ q 3. Buktikan bahwa Negasi dari masing-masing pernyataan majemuk berikut benar adanya ( Dalil d’Morgan) : a. ~ (p  q)  ~ p v ~ q c. ~ ( p  q )  (p  ~ q) v (q  ~ p) b. ~ (p v q)  ~ p  ~ q d. ~ (p  q)  p  ~ q A.5. Konvers, invers dan kontra posisi. Pengantar materi: Dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat dilakukan suatu operasi bervariasi yang menghasilkan pernyataan baru dan biasa dikenal konvers, invers serta kontra posisi. Karakteristik masing-masing pernyataan tersebut dapat anda perhatikan dalam bahasan di bawah ini. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang konvers, invers dan kontra posisi berikut nilai kebenarannya: Masalah 7: Selidiki dan lengkapi nilai kebenaran dari beberapa pernyataan berikut ini : p

q

~p

~q

p  q

q p

Implikasi Konvers

Pernyataan tunggal

~p  ~ q

~q  ~ p

Invers

Kontra posisi

B

B

S

.......

.......

B

.......

.......

B

S

.......

B

.......

.......

B

.......

S

B

.......

.......

.......

.......

.......

B

S

S

.......

.......

B

.......

.......

.......

Nilai logisnya sama Ini berarti ekuivalen Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Negasi dari pernyataan majemuk di bawah ini adalah : a. Segitiga ABC adalah siku-siku dan sama kaki

8 b. c. d. e. f.

Garis a dan b sejajar atau berpotongan Harga barang naik dan sulit didapat Jika mandor tidak datang maka kuli banyak yang pulang Jika x bilangan real dengan x < 2 maka x2 < 4 Jika Ac tegal lurus BD maka ABCD layang-layang

2. Tentkan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan pada nomor 1 d s/d f. 3. Tunjukan dengan tabel kenearan bahwa pernyataan berikut ini ekuivalen: a. p v (p v q)  p b. p  q  ~ p v q c. p  q  (p  q)  (q  p)

LKS-Mat.X-53 A.5. Pernyataan Kuantor. Pengalaman Belajar: 1.11.4. Mendiskusikan pengertian kuantor universal dan ekstensial beserta ingkarannya. 1.11.5. Mempresentasikan hasil diskusi. 1.11.6. Menyimpulkan hasil diskusi secara kelompok. 1.11.7. Membuat pernyataan berkuantor universal dan ekstensial beserta ingkarannya Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan kuantor diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Pengantar materi: Dalam bagian terdahulu telah kita pahami, bahwa kalimat matematika terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan, dengan mengganti variabel – nya dengan suatu anggota / unsur semesta pembicaraan. Masih ada suatu langkah mengubah kalimat matematika terbuka menjadi tertutup/ pernyataan, yaitu dengan menggunakan kuantor, suatu ungkapan/kata yang menyatakan ”nominal atau berapa banyak”. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang pernyataan kuantor , perhatikan hal-hal berikut ini: Pernyataan kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu: a. Kuantor Universal: Suatu kuantor yang menunjukan bahwa setiap atau semua elemen/unsur berlaku pada sistem /semesta pembicaraan. Kuantor universal biasa diberi lambang: (x) dibaca: Untuk semua x, berlaku ..... Semua x, berlaku ........ Setiap x, berlaku ....... b. Kuantor Ekstensial: Suatu kuantor yang menunjukan bahwa (Tidak semua) / hanya ada atau beberapa elemen/unsur yang berlaku/memenuhi sistem /semesta pembicaraan. Kuantor universal biasa diberi lambang: (x) dibaca: Tidak semua x, berlaku ..... Ada x, berlaku ........ Beberapa x, berlaku ....... Catatan: Diantara ke dua jenis pernyataan kuantor tersebut keduanya memiliki sifat saling invers / sangkal / atau ingkarannya. Masalah 8: 1. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam bentuk kalimat ! a. (x)  R, x2 + 1 > 0 c. (x)  B, 5x – 3 = 12 2 b. (x)  R, 2x – 4 < 4 d. (x)  R, 2 – x2 = 4 2. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam lambang-lambang kuantor ! a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8 b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap. c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0

9 d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x2 < 0 3. Tentukan negasi dari masing-masing pernyataan kuantor berikut ! a. (x)  R, x2 + 1 > 0 b. (x)  R, 2 – x2 = 4 c. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8 d. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap. e. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0 f. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0

LKS-Mat.X-54 Penyelesaian: 1. a. (x)  R, x2 + 1 > 0 ; Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x2 + 1 > 0 b. (x)  R, 2x2 – 4 < 4 ; Beberapa x anggota real berlaku 2x2 – 4 < 4 c. (x)  B, 5x – 3 = 12 ; ............................................................................................... d. (x)  R, 2 – x2 = 4 ; ............................................................................................... 2. a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8 (x)  R, 3x – 2 = 8 b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap. .................................................... c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0 .................................................... d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0 .................................................... 3. a. b. c. d. e. f.

negasinya : (x)  R, x2 + 1  0 negasinya : ...................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... .........................................................................................................

(x)  R, x2 + 1 > 0 (x)  R, 2 – x2 = 4

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kuantor berikut ini: a. (x)  R, x2 + 2  0 b. (x)  R, x = x c. (x)  R, x2 = 25  x =5 d. ( (x)  R)( ( y )  R), x2 –y2 = (x +y)(x –y) e. (x)  R, x2 -5x + 6 = 0 f. (x)  R, x + 4 > 7 g. ( (x)  C )( ( y )  C ), x < y h. ( (x)  R )( (x)  R), x + y > xy 2. Nyatakan dalam bentuk pernyataan kuantor: a. x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real b. Setiap bilangan bulat, genap atau ganjil c. Terdapat bilangan real x sedemikian hingga x2 < 0

10 d. Setiap bilangan prima adalah ganjil. 3. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. (x)  R, x3 > x b. (x)  Q, 2x2-x -1 = 0 c. ( (x)  R )( ( y )  R ), sin ( x + y) = sin x + sin y

LKS-Mat.X-55

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat ! 1. Negasi dari ‚“ Pada hari minggu semua siswa tidak masuk ke sekolah,“ adalah ................ a. Pada hari minggu semua siswa ke sekolah. b. Pada hari minggu ada siswa ke sekolah c. Pada hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah d. Pada hari yang bukan minggu semua siswa tidak ke sekolah e. Pada hari yang bukan hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah 2. Negasi dari ”Jika saya ke Jakarta, maka saya mampir ke rumah Ayu” adalah .......... a. Jika saya tidak ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah ayu. b. Jika saya tidak mampir ke rumah Ayu, maka saya tidak ke Jakarta c. Jika saya ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah Ayu. d. Saya ke Jakarta dan saya tidak mampir ke rumah Ayu e. Saya ke Jakarta dan saya mampir ke rumah Ayu. 3. Diketahui ” Jika jalan diperbaiki maka lalu linta lancar” Kontraposisi dari konvers pernyataan diatas adalah ...................... a. Jika jalan tidak diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar b. Jika lalu lintas lancar, maka jalan diperbaiki c. Jika lalu lintas tidak lancar, maka jalan tidak diperbaiki d. Jika jalan diperbaiki maka lalu lintas lancar e. Jika jalan diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar. 4. Nilai x agar implikasi ” x2 = 25  tan 45o = 3 ” bernilai benar kecuali .......... a. x = 5 b. x = -5 c. x  5 d. x  -5 e. x  25 5. Jika pernyataan p dan q benar, maka pernyataan yang bernilai benar adalah ......... a. p  q b. p v ~q c. p  q d. ~q  p e. ~p  q 6. ~p  q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan ........................ a. p  q b. q  ~ p c. ~p  ~ q d. p  q e. p v q 7.

Diketahui p, q, r, dan s , Jika p  q , q  r, r  s dan s masing-masing bernilai Benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ………………….. a. p v q b. ~p v q c. p  q d. ~p  ~ s e. ~p  ~ q

8. Negasi dari (p  q)  r adalah …................. a. (p v q)  r b. p  q  ~ r c. (p  q)  r d. p v q v r

e. p  q v r

9. Perhatikan kalimat ” Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontra posisinya adalah ……. a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil b. Jika ia berhasil, maka ia berusaha. c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha. d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil. e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil. 10. Pernyataan,” Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin,” senilai dengan .............

11 a. Jika Rina lulus, maka Rina kawin. b. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin. c. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin. d. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian. e. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian. B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan ingkaran dari pernyataan: a. Semua peserta ujian tulis lulus. c. Ada manusia yang dapat hidup di planet Mars b. Jika x bilangan Prima, maka x bilangan Ganjil. 2. Tentukan nilai kebenaran dari: a. x2 = x + 2  3x + 1 = 7 b. Sin2 x = ½ , x di kuadran dua maka tan x = 1 3. Selidiki nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel kebenaran: a. ( p  q ) v (~p v q ) b. [~ ( p  q ) v ~p ]  (~p  ~ q )

LKS-Mat.X-56 B. PENARIKAN KESIMPULAN dan PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA. Kompetensi Dasar

: 1.12. Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan dan membuktikan sifat/teorema matematika

B.1. PENARIKAN KESIMPULAN. Pengalaman Belajar: 1.12.1. Mengingat kembali tabel kebenaran, operasi logika. 1.12.2. Membuat argumentasi tentang kehidupan sehari-hari yang relevan dengan logika. 1.12.3. menarik kesimpulan dengan kaidah modus ponens, tollens, dan silogisme. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penarikan kesimpulan diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Salah satu tujuan penting dari logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan. Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (premis), melalui langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar ( disebut kesimpulan atau konklusi ) Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premispremisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Terdapat beberapa model penarikan kesimpulan yang mengedepankan kaidah implikasi, yaitu: b.1.1. Modus Ponens. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p  q : Benar Premis 2 : p : Benar Jadi

:

q

: Benar (Konklusi)

b.1.2. Modus Tollens. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p  q : Benar Premis 2 : ~q : Benar Jadi

:

~p

: Benar (Konklusi)

12 Guna menyelidiki berlakunya Modus kebenaran di bawah ini:

Ponens dan Tollens dapat diperhatikan tabel

p

q

p  q

~p

~q

B B S S

B S B S

B S B B

S S B B

S B S B

Modus Ponens

Modus Tollens

b.1.3. Silogisma. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p  Premis 2 : q 

q r

: Benar : Benar

: p 

r

: Benar (Konklusi)

Jadi

LKS-Mat.X-57 Berlakunya kaidah silogisma dapat diperhatikan pada tabel kebenaran berikut ini: p B B B B S S S S

q B B S S B B S S

r B S B S B S B S

p  q B ................. ................. S ................. ................. ................. .................

q  r ................. S ................. ................. ................. S ................. .................

p  r ................. ................. B ................. ................. ................. B .................

Masalah 9: 1. Selidiki sah tidaknya penarikan kesimpulan di bawah ini dan menurut pola apa a. Jika umar seorang haji, maka ia beragama Islam. Umar adalah seorang haji. ----------------------------------------------------------------Jadi Umar beragama Islam. b. Jika ABCD sebuah belah ketupat, maka AC tegak lurus BD AC tidak tegak lurus BD ------------------------------------------------------------------------------Jadi ABCD bukan belah ketupat. c. Jika Burhan begadang pada malam minggu, maka ia masuk angin Jika Burhan masuk angin, hari Senin tidak masuk sekolah. ---------------------------------------------------------------------------------------Jadi : Jika burhan begadang pada malam mingu, maka hari Senin ia tidak masuk Sekolah. 2. Kajilah sah tidaknya argumentasi berikut ini: a. p  q b. p v q p p ------------------------------Jadi: q Jadi: ~q

Penyelesaian: 1. a. p  q p Jadi:

q

: premis 1

c. p



........ : premis 1

: premis 2

........ 

r

: premis 1

: konklusi

........ 

......

: Konklusi

13 Syah menurut Modus Ponens. b. p 

q

....... Jadi:

Syah menurut ............................

: premis 1 : premis 2

......

: konklusi

Syah menurut Modus ................ 2. a.

p  q p ----------------Jadi: q p q B ........ ........ S ........ B S ........

p  q B ........ S ........

b. p v q p --------------Jadi: ~q p q B ........ ........ S S ........ ........ ........

~q S ........ S ........

p v q ........ B ........ ........

LKS-Mat.X-58 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan syah tidaknya argumentai berikut ini ! a. Jika Amir rajin belajar, maka Amir naik kelas. Amir naik kelas . Jadi Amir rajin belajar b. Jika Burhan lulus ujian, maka ia dibelikan sepeda motor. Burhan tidak dibelikan sepeda motor . Jadi Burhan tidak lulus ujian c. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 a  0 dan b  0 ---------------------------------------------------Jadi ab  0 d. Setelah tamat SMA, saya bekerja atau kuliah di UNESA Saya tidak kuliah di UNESA . Jadi Saya bekerja. 2. Kajilah syah tidaknya pernyataan berikut ! a.1. p  q ~r  ~q --------------------Jadi: ~r  ~ p

p  q ~q  ~r ---------------------Jadi: r  p 2.

b. Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang Jadi: Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep tidak lulus ujian. c. Jika n bilangan prima ganjil maka n > 2 Jika n > 2 maka n2 > 4 . 2 Jadi: Jika n bilangan prima ganjil, maka n  4 B.2. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA. Pengalaman Belajar: 1.12.4. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung dan tidak langsung (Menggunakan kaidah kontraposisi/kontradiksi) 1.12.5. Membuktikan sifat matematika dengan induksi matematika. 1.12.6. Mengolah dan mendiskusikan informasi yang diperolehnya

14 Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pembuktian dalam matematika diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: B.2.1. Bukti langsung. Suatu model pembuktian yang menggunakan argumentai langsung dari beberapa premis yang ada. Masalah 10: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 ganjil. Penyelesaian: Misalkan: p  n bilangan Bulat ganjil, dan q  n2 bilangan Bulat ganjil Harus dibuktikan bahwa p  q bernilai BENAR. Bukti: Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan : n = 2a + 1, dengan a bilangan Bulat, Dengan demikian: n2 = ( 2a + 1 )2 = ........ + ........ + 1 [ Bulat ganjil (q) ] Terbukti bahwa:

p 

q

bernilai .......................

LKS-Mat.X-59 B.2.2. Bukti tidak langsung. Metode bukti tak langsung yang sering disebut reductio ad absurdum atau bukti dengan kemustahilan banyak digunakan dalam Geometri. (i) Dengan Kontradiksi: Misal akan dibuktikan : p  q bernilai BENAR. Dari yang diketahui p benar, diandaikan q salah atau ~ q benar. Dengan langkah logis diturunkan bahwa ~ p benar. Hal ini berarti terjadi kontradiksi (karena diketahui p benar), dengan demikian pengandaian bahwa q salah harus diingkar yang berarti benar. Masalah 11: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n2 ganjil maka n ganjil. Penyelesaian: Misalkan: Diketahui n2 bilangan ganjil, akan dibuktikan n bilangan ganjil Bukti: Andaikan n bukan bilangan genap, karena n bilangan genap, Dapat dimisalkan : n = 2k, dengan k bilangan Bulat, Dengan demikian: n2 = ( 2k )2 = ........

= 2 (...... )

= 2 m , dengan m = ........ Karena n2 = 2m berarti n2 bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan yang diketahui bahwa n2 ganjil. Oleh karena itu pengadaian harus diingkar

yaitu yang benar adalah

n

bilangan ganjil. (terbukti) (ii) Dengan Kontraposisi Bukti dengan kontraposisi dapat dilakukan dengan langkah logis sbb: Misalkan harus dibuktikan p  q (BENAR) Kita andaikan q Salah atau ~ q Benar, dengan langkah logis diturunkan p salah atau ~ p benar, maka diperoleh : ~ q  ~ p (BENAR)

15 Oleh karena : ~q  ~ p  akibatnya p  q juga BENAR.

p  q maka Jika ~ q  ~ p (BENAR),

Masalah 12: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 ganjil. Penyelesaian: Diketahui Harus dibuktikan Andaikan Maka Karena

: n2 bilangan bulat ganjil. (p) : n bilangan bulat ganjil (q) : n bukan bilangan bulat ganjil (~q ) : n2 bukan bilangan bulat ganjil. (~p ) : ~q  ~ p kontraposisi dari p  q dan ekuivalen Maka terbukti bahwa pernyataan benar.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Gunakan bukti langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di bawah ini! a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap. b. Setiap bilangan real x, jika x = 3 maka x2 = 9 c. Terdapat bilangan real sehingga r2 > r d. Jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga ama dengan 180o e. Untuk setiap bilangan real x, 1 + cos x  0 2. Gunakan bukti tak langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di bawah ini! a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap. b. Untuk setiap himpunan A dan B, jika A  B = B maka A  B

LKS-Mat.X-60 c. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika ab ganjil maka a dan b keduaduanya ganjil. d. Jika dua garis a dan b sejajar dipotong oleh garis ke tiga c, maka sudutsudut dalam berseberangan sama besar. e. Untuk setiap bilangan real x, Jika x2 > 1 maka x < -1 atau x > 1 B.2.2. Induksi matematika. Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini. Dengan prinsip sebagai berikut: Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P(k) juga bernilai BENAR maka P(k +1) juga bernilai BENAR. Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan Asli Masalah 13: Buktikanlah bahwa 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 , untuk semua bilangan Asli n. Penyelesaian: Misalkan: P(n) adalah ” 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 ” (a). Untuk n = 1 , maka P(1) bernilai Benar, Sebab

1 = ( ….. )2 = 1

(b). Andai untuk n = k sehingga P(k) bernilai Benar, yaitu apabila: 1 + 3 + 5 + ..... + (2 …. – 1) = .....2 , maka: (c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k +1 1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + (2 (k+1) – 1) = [1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + [(2k + ..... – 1) ] k2

16 = ...... 2 + (..... +1) = k2 + ..... +1

= ( ..... + 1)2

Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P(n) Benar. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika ! 1. Buktikan bahwa ” n3 +5n habis dibagi oleh 6” 2. Buktikan bahwa ” 1 +2 +3 +4 + ...... + n = ½ n (n +1) ” 3. Buktikan bahwa ” 1 +2 + 22 + 23 + ...... + 2n -1 = 2n -1 ” 4. Buktikan bahwa ” 33n + 22n +2 habis dibagi 5 ” 5. Buktikan bahwa ’’ 24n +3 + 33n +1

habis dibagi oleh 11 “

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat ! 1. Jika kita akan membuktikan kebenaran implikasi ” p  q “, kita dapat melakukannya dengan bukti tidak langsung yaitu kontraposisi, hal ini sah karena ……………… a. kedua ruas di negasi sehingga nilai kebenarannya sama b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi c. invers ekuivalen dengan implikasi d. pembuktian dengan kontraposis selalu bernilai benar e. kontraposisi sama dengan implikasi

LKS-Mat.X-61

02. Kesimpulan dario tiga premis: a. p

b.  p

 pvq  q  r  r  c. q

, adalah ............... d.  q

e. p   p

03. Ditentukan premis-premis :

1. Jika Adi rajin, maka ia disayang ibu. 2. Jika Adi disayang ibu, maka ia disayang bapak. 3. Adi tidak disayang bapak. Kesimpulan yang sah dari ke-tiga premis tersebut adalah .......... a. Adi rajin tapi tidak disayang ibu. d. Adi tidak rajin b. Adi rajin e. Adi disayang nenek c. Adi disayang ibu

04. Semua peserta UMPTN ingin diterima di Perguruan Tinggi Negeri. Soni tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri . Kesimpulan: ................................................................................... , Isian yang tepat adalah: a. Soni ingin diterima di perguruan tinggi negeri b. Soni tidak ingin lulus UMPTN c. Soni peserta UMPTN d. Soni bukan peserta UMPTN e. Soni peserta UMPTN yang tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri. 05. Semua lelaki berrambut gondrong berjiwa seni. Ali berjiwa seni Amir berambut gondrong, Penarikan kesimpulan berikut: 1. Ali berambut gondrong. 3. Ali dan Amir berambut gondrong. 2. Amir berjiwa seni 4. Ali atau Amir berambut gondrong. Penarikan kesimpulan yang valid adalah ...................

17 a. 1, 2 dan 3

b. 1 dan 3

c. 2 dan 4

d. 4

e. 1, 2, 3 dan 4

06. Pembuktian berikut termasuk bukti langsung, kecuali ........ a. Modus ponens c. kontraposisi e. Silogisme b. Modus Tollens d. Induksi Matematika

3 irrasional menggunakan bukti tak langsung, maka

07. Jika kita akan membuktikan bahwa langkah yang benar adalah ..........

6 e. dengan menggunakan kalkulator 2 a b. lihat 3 lewat kalkulator d. 3 = , a , b bulat yang tidak punya faktor persekutuan. b 08. Jika kita akan membuktikan kebenaran Implikasi ” p  q ” , kita dapat melakukanya dengan a. lihat

3 dalam tabel

c.

3 =

bukti tak langsung melalui kontraposisi, hal ini syah karena .............. a. ke-dua ruas dinegasi sehingga nilai kebenarannya sama. b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi c. invers ekuivalen dengan implikasi d. pembuktian dengan kontraposisi selalu bernilai benar. e. kontraposisi sama dengan implikasi. B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Semua siswa kelas X memakai baju baru. Semua siswa kelas X tidak memakai dasi. Budi memakai dasi, Tentukan kesimpulan yang syah dari ke-tiga premis tersebut ! 2. Buktikan bahwa ” 2 +4 +6 +8 + ........ + 2n = n (n +1) 3. Buktikan bahwa 72n +1 + 1 habis dibagi 8 untuk semua n bilangan asli !

LKS-Mat.X-62

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan

1

2

3

4

5

Membosankan

Bermanfaat

1

2

3

4

5

Tidak Bermanfaat

Menarik

1

2

3

4

5

Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari

1

2

3

4

5

Tidak perlu dipelajari

Menantang

1

2

3

4

5

Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan

1

2

3

4

5

Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

1

2

3

4

5

Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

18 Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar Kompetensi Memahami dan Menggunakan aturan dan sifat perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. Kompetensi Dasar

: 2.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus Sinus, dan rumus Cosinus dalam pemecahan masalah.

A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN. Pengalaman Belajar: 2.1. Mendefinisikan pengertian derajat dan radian. 2.1. Mengidentifikasi hubungan ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut ukuran sudut diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

19 Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepas dari apa yang dinamakan ukuran sudut. Pada hakekatnya ukuran sudut sering dinyatakan dalam dua hal, sebagai berikut: A.1.1. UKURAN DERAJAT. Y Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaran penuh, berarti titik A menempuh sudut 360o A Jika bergerak setengah putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut ......... o Jika bergerak seperempat putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut ......... o

X

Jika titik A menempuh sudut 30o, maka A bergerak mengelilingi keliling lingkaran

30o putaran = ...... putaran. 360o

Sehingga dapat ditarik hubungan ukuran derajat sebagai berikut: Besar sudut 10o =

10o putaran ........o

Jadi pengertian dari:

A.1.2. UKURAN RADIAN. Y B R O A

Besar sudut 5o =

1o =

........o putaran ........o

........ putaran penuh. ........

Perhatikan gambar disamping: Besar sudut AOB dapat dinyatakan dalam :

Panjang  busur  AB radian Jari  jari

LKS-Mat.X-63 LKS-Mat.X-64 y

Q R R R

O

P x

Perhatikan gambar disamping ini: Jika panjang busur PQ sama dengan panjang jari-jari Lingkaran. Maka  POQ besarnya 1 radian. Sehingga 360o = ....?.... radian. Telah diketahui bahwa 360o adalah besar sudut 1 putar an penuh. Dalam perhitungan ukuran radian, maka: 360o =

2R Keliling  lingkaran radian = radian ........ Jari  jari

Jadi : 3600 = ....... radian. 1800 = ....... radian. 900 = ....... radian. Jika  mendekati

22 7 maka 1 radian = x180o = ......... o 7 22

Masalah 14: a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian ! i. 60o ii. 1500 iii. 3150 b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat !

20 i. 3  radian

ii.

3 2

 radian

iii. 2 radian

Penyelesaian: 60o =

9. i.

60 1  x2  = x2  = radian 360 ..... .....

a. 1500 = ........................................................... b. 3150 = ........................................................... 10. i. 3  radian = 3 x 180o = ........ o ii.

3 2

 radian = ............................................

iii. 2 radian = 2 x 57,27o = ............... o Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Ubah ukuran derajat berikut ini ke dalam ukuran radian ! a. 240o b. 330o c. 310o d. 210o

e. 75o

f. 20o

e. 3,5 rad

f. 0,25 rad

2. Ubah ukuran radian berikut ini ke dalam ukuran derajat ! a.

 rad 3

3 rad 5

b.

c.

7 rad 6

d. 1,2 rad

A.2. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar: 2.3. Mendefinisikan nilai perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku. 2.4. Menghitung nilai sinus sudut siku-siku dan sudut-sudut tertentu/ atau sudut khusus. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut nilai perbandingan fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

LKS-Mat.X-65 Pengantar materi: Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapat diturunkan dari konsep dasar tempat Kedudukan Titik pada koordinat cartesius (Ingat materi SLTP) dipadu dengan teorema Phytagoras, sebagaimana dapat diperhatikan pada gambar berikut:

P(x, y) R

AP sisi  tegak y = = OP ....... sisi  miring OA ....... sisi  datar Cosinus ao = Cos ao = = = OP ....... sisi  miring Sinus ao

y

ao O

x

A

Untuk setiap sudut di kuadran 1 (ao lancip) dapat diturunkan pengertian Fungsi Trigonometri, yang pada hakekatnya merupakan nilai perbandingan dari 3 sisi suatu se gitiga siku-siku ( perhatikan segitiga OAP ), sbb: = Sin ao =

X Tangen ao = Tan ao =

sisi  tegak sisi  datar

=

AP ....... = ........ .......

Disamping itu terdapat pula relasi kebalikan dari fungsi trigonometri sebagai berikut:

21 sisi  miring OP ....... 1 = = = sisi  datar OA ....... cos .a o ...... ....... ...... sisi  miring Cosecans ao = Cosec ao = = = = AP ....... sin .a o sisi  tegak sisi  datar OA ....... 1 Cotangens ao = Cotan ao = = = = ....... ....... ........ sisi  tegak Secans ao

= Sec ao

=

Masalah 15: Tentukan nilai-nilai perbandingan dari fungsi trigonometri dari sebuah segitiga siku-siku di bawah ini

B 24 a C

A

Penyelesaian:

25

Dari gambar didapat: a = 252  ......... = .......  ....... = ....... = ........ Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan, sebagai berikut:

BC AC AB Cos A = ...... ...... Tan A = AB ...... Sec A = ...... Sin A =

...... = ....... 25 ...... = = ....... ...... ...... = = ....... ...... ...... = = ....... ......

=

...... ....... = = ....... ...... 25 BC ....... Cos C = = = ....... ...... ...... ...... ....... Tan C = = = ....... ...... ...... ...... ....... Cosec C = = = ....... ...... ...... Sin C =

Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut khusus atau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yang dimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilai sudut pada kuadran I diantaranya 0o , 30o , 45o , 60o dan 90o C

Pada segitiga ABC siku-siku di B sama kaki dengan panjang sisi siku-sikunya p, berarti AB = BC = p p

Sehingga didapat AC = dan sudut A = 45o

B

Sehingga didapat:

p 2  .....2 =

2.....2 = .....

.....

p A

Sin A = Sin 45o =

BC p = = AC p 2

1 1 = ..... 2 .....

LKS-Mat.X-66 AB ...... ....... 1 ..... = = = ...... ...... ..... p 2 BC ...... Tan A = Tan 45o = = = ........ AB ...... CosA = Cos 45o = C

Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = p,  A = 60o , Maka  C = ….. o Dibuat  ABD = 60o , maka  ADB = ......o dan  CBD = …..o

D 60o

Karena  A = 60o =  ABD, maka segitiga ABD sama sisi, sehingga AB = AD = …… = p Karena  C =  CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehingga BD = …… = …….. A

B

Akibatnya AC = AD + CD = …… + ….. = …… dan BC =

AC 2  AB 2 = …….

22 BC ...... = = …… AC ...... ...... ...... Cos A = sin 60o = = = …… ...... ...... ...... ...... Tan A = sin ....o = = = …… ...... ......

...... ...... = = …… AC ...... ...... ...... Cos C = Cos ....o = = = …… ...... ...... ...... ...... Tan C = Tan ....o = = = …… ...... ......

Sin A = sin 60o =

Sin C = sin 30o =

Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan coba lengkapilah tabel berikut: Fungsi

0o

30o

45o

60o

90o

Sin 

0

.........

1 2 2

.........

1

Cos 

.........

1 3 2

.........

.........

.........

Tan 

.........

.........

.........

.........



Sec 

.........

.........

.........

.........

.........

Cosec 

.........

.........

.........

.........

.........

Cotan 

.........

.........

.........

.........

.........

Masalah 16: Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o Penyelesaian: sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o = (

1 x ..... ) + ( ...... x ...... ) = ....... + ...... = ........ 2

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkap dari gambar di bawah ini ! C Q C a 3 B

P 10

7

p

2 B

5

6

R

A 2. Tentukan nilai dari : a. Tan 30o + cos 45o – sin 45o b. sin 30o + cos 60o + tan 45o c. cos2 45o + 2 cos 45o –

1 2

A

c

d. cos 30o cos 60o – sin 30osin 60o e. sin 60o tan 30o + tan 60ocos 30o f.

sin 2 45o  sin 2 60o  cos 2 45o cos 2 60o tan 30o  tan 60o LKS-Mat.X-67

3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC jika diketahui  C= 90o dan: a.  A= 15o dan a = 10 cm b.  B= 70o dan c = 20 cm 4.

D 4cm p

Tentukan nilai p dari gambar disamping ! C

30o A 5.

10 cm

B P

Pada gambar disamping, jika  Q = 60o dan QR = 8 cm ,  APQ =  ASP =  PRS = 90o

23 Tentukan panjang PQ, PR, PS dan QS ! R

A

S

Q

A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar: 2.5. Menunjukan letak sudut di beberapa kuadran 2.6. Menghitung nilai sinus, cosinus, tangen dari beberapa kuadran 2.7. Menghitung besarnya sudut dalam perbandingan trigonometri jika salah satu nilai trigonometrinya diketahui. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut relasi/hubungan sudut fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran. Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan juga memperhatikan letak kaki sudut di kuadran tertentu, terdapat perbedaan tanda positif dan negatif pada setiap unsur x dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilai perbandingan fungsi trigonometri, coba perhatikan gambar dan tabel dibawah ini: y Kuadran II x<0,y…0 R…0

Kuadran I Nilai Perbandingan Trigonometri

x>0,y>0 R>0 x

x … 0 , y …0 R…0 Kuadran III

x…0,y…0 R ... 0 Kuadran IV

I x +

y +

Sinus

+

Cosinus

+

Tangen

+

Kuadran II III x y x y - + +

IV x +

y -

+

A.3.2. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagai kuadran. y Perhatikan gambar di samping, nampak bahwa P’ P hasil pencerminan Titik P terhadap sumbu y, di dapat titik P’ dan seterusnya, sehingga diturunkan nilai sudut di berbagai kuadran yang mem(180 -  ) x punyai korelasi satu sama yang lainnya, seba (180 +  ) (360 -  ) gai berikut: atau (-  )

LKS-Mat.X-68 Kuadran II Sin (180 -  ) = Sin  Cos (180 -  ) = - Cos  Tan (180 -  ) = - Tan  Kuadran III Sin (180 +  ) = - Sin 

Kuadran I Sin  Cos  Tan  Kuadran IV Sin (360 -  ) = - Sin 

24 Cos (180 +  ) = - Cos  Tan (180 +  ) = Tan 

Cos (360 -  ) = Cos  Tan (360 -  ) = - Tan 

A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagai kuadran. Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminan terhadap garis y = x & y = -x dari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut  , kita dapat turunkan relasi dari beberapa sudut yang saling berkomplemen, sebagai berikut: Kuadran II

Kuadran I

Sin (90 +  ) = Cos  Cos (90 +  ) = - Sin  Tan (90 +  ) = - Cotan 

Sin (90 -  ) = Cos  Cos (90 -  ) = Sin  Tan (90 -  ) = Cotan 

Kuadran III

Kuadran IV

Sin (270 -  ) = - Cos  Cos (270 -  ) = - Sin  Tan (270 -  ) = Cotan 

Sin (270 +  ) = - Cos  Cos (270 +  ) = Sin  Tan (270 +  ) = - Cotan 

Masalah 17: 1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: a. sin 120o b. Cos 300o – Tan 135o c. Sec2 210o 2. Jika sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719, maka tentukan nilai dari fungsi trigonometri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung) ! a. cos 226o b. Sin 224o – sin 316o Penyelesaian: 1. a. Sin 120o =

( ingat 120o berada pada kuadran II sehingga Sin + )

Sin 120o = Sin ( 180 - ...... )o = Sin .....o =

1 3 2

b. Cos 300o – Tan 135o = Cos ( 360 - ..... ) – Tan (180 - .... ) = Cos ..... – ( -Tan .... ) = ......... - ........ = .......... c. Sec 210 = Sec ( 180 + ..... )o = ( Sec …..o )2 = ……2 = …… 2

o

2

2. Diketahui : sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719 Ditanya : a. cos 226o Jawab : a. cos 226o =

b. Sin 224o – sin 316o (berada di kuadran II berkomplemen )

cos 226o = cos ( 270 - ..... )o = - sin 44o = - ………. b. Sin 224o – sin 316o = Sin ( 270 - ..... )o - Sin (270 + ....)o = - cos ..... – cos ...... = -2 cos ....... = - ..............

LKS-Mat.X-69 A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri. Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran jika salah satu nilai fungsinya diketahui harus memperhatikan aturan nilai fungsi yang berlaku di masing-masing kuadran. Masalah 18:

25 4 dan 90o < A < 180o (kuadran II) maka Tentukan nilai dari: 5

Jika sin A = a. cos A

d. 1 – cotan2A

c. sec2 A

b. Tan A

Penyelesaian: Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0 maka R > 0 sin A =

4 y = , maka didapat y = 4 dan R = 5 sehingga x = 5 R

.....2  .....2 = ...... x a. cos A = = ...... R ...... ...... b. Tan A = = ...... ...... maka x =

R2  y 2

...... = ....... dan didapat : ...... 2 ...... ] = ...... ...... ...... ...... d. 1 – cotan2A = 1 - [ ]2 = 1 = .... ...... ...... c. sec2 A = [ sec A ]2 = [

CATATAN: Khusus penggunaan alat bantu kalkulator untuk menentukan nilai fung si trigonometri, diharapkan guru mendemontrasikan dan menuntun siswa ke arah aplikasi klakulator sebagai alat bantu hitung.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari: a. tan 240o (sin 30o + cos 45o) c. tan 120o – cotan 30o + sec 330o

4 2 11 3 5 11 5 ( sin + cos ) d. tan - cotan + sin + cos 3 3 6 4 6 6 3 5 2. Jika diketahui A = , maka nilai dari : sin A – cos A + tan2 A adalah ........ 3 b. tan

3. Jika diketahui cos 15o = k, maka tentukan nilai dari Sin 15o ! 4. Jika sin A =

4 dan A sudut lancip maka tentukan nilai dari : 7

a. sin A – 2 cos A 5. Jika tan B =

b. Cos2 A – 2 sin2 A

c. cosec A – ½ cotan A

7 dan B sudut tumpul 9pada kuadran III) maka tentukan nilai dari: 24

a. cos B – sin B

b. Cos2 B – 2 tan2 B

c. sec B – 2 cotan B

A.4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar: 2.8. Menggambar grafik fungsi sinus, cosinus dan tangen Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut grafik fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Grafik fungsi trigonometri merupakan sketsa gambar fungsi trigonometri dalam bidang datar yang tertuang dalam sumbu salib cartesius, dan guna mendukung hal tersebut siswa diharapkan membuka lagi konsep periodisitas fungsi trigonomeri yang sudah disampaikan pada jenjang SLTP.

LKS-Mat.X-70 Grafik fungsi trigonometri dasar dinyatakan dalam: f(x) = sin x , f(x) = cos x dan f(x) = tan x

26 Dengan bantuan nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa di beberapa kuadran, maka garfik fungsi trigonometri tersebut dapat kita lukis / sketsa sebagaimana langkah berikut: X

0

30

f(x) = sin x

0

....

45 ½

2

60

90

150

180

210

270

300

.......

1

.....

0

-½

.....

-½

315 -½

2

y 1

½ y = sin x 0

30

60

90

120 150 180

210

240 270 300

330

360

-½ -1

X

0

f(x) = cos x

1

30

3

½

45

60

90

150

180

210

270

300

315

.....

½

0

.....

......

.....

......

½

......

330

360

y 1

½ y = cos x 0

30

60

90

120 150 180

210

240 270 300

-½

-1

X

0

Y = tan x

0



30 1/3

3

45

60

90

120

150

210

270

300

345

.....

.....



-

3

.....

.....

.....

.....

-1

240 270 300

330

360

y

3 1 y = cos x 0

30

60

90

120 150 180

210

-1 -

3

-

LKS-Mat.X-71

27 Dari grafik fungsi trigonometri di atas nampak bahwa fungsi trigonometri memiliki periode / satu putaran nilai yang berbeda, dan dapat diperhatikan sebagai berikut: Fungsi : f(x) = sin x dan f(x) = cos x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0o  x  360o , dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 360o, Jadi fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode 360o atau biasa dinyatakan : x  k. 360o , di mana k  Bil. Real. f(x) = tan x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0o  x  180o , dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 180o, Jadi fungsi tangen dan cotangen mempunyai periode 180o atau biasa dinyatakan : x  k. 180o , di mana k  Bil. Real. A.5. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB). Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri dan biasa dikenal dengan Koordinat kutub, sistem ini dapat diturunkan dari hubungan pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri sebagaimana bagian terdahulu. Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y ) dapat diubah menjadi koordinat Kutub sebagi berikut P ( R ,  o ) di mana R = jari-jari dan  o sudut yang dibentuk R terhadap sumbu datar. y Perhatikan gambardi samping: P(x, y)

Telah diketahui bahwa: Sin 

R

 O

o

=

..... maka R

y

y = R ........... R=

Cos 

o

x

o

=

x maka .....

x = ..... cos 

=

..... maka .....

 o = anti tan

x3  y 2

o

X Tan 

o

..... .....

Masalah 19: Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1 ,

3)

Penyelesaian: A( -1 ,

3 ) didapat x = -1 dan y =

o

berada pada kuadran II.

......  ...... = ......  ....... = ...... = ....... .....  o = anti tan = ……o sehingga didapat P ( R,  o )  P ( …. , …..o ) ..... 2

Maka R = Dan

3 berarti 

2

A.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR. Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan linier maupun kuadrat, di mana Himpunan penyelesaiannya merupakan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, bedanya dalam persamaan trigonomeri nilai pengganti x merupakan suatu sudut, beberapa bentuknya: sin x = c , cos x = c , tan x = c dst, dan c  Bil. Real. Masalah 19: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

sin x = ½ pada 0o  x  360o

Penyelesaian: sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam kuadran I atau II, sehingga: i). sin x = sin 30o (Kuadran I) ii). sin x = sin (180 – 30)o (Kuadran II) o o x = ....  k. 360 x = ....o  k. 360o untuk k = 0  x = 30o untuk k = 0  x = ....o o k = 1  x = 390 (Tidak memenuhi) Jadi: HP = { 30o , ......o }

28 LKS-Mat.X-72 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Gambarlah grafik fungsi berikut ini, pada 0o  x  360o : a. y = ½ cos x c. f(x) = sin 2x b. y = -2 tan x d. f(x) = -3 cos 3x 2. Nyatakan ke dalam koordinat kutub beberapa titik berikut ini: a. (2, 2 3 ) b. (-3 3 , 3) c. (-1, 3 ) 3. Nyatakan ke dalam koordinat katesius beberapa titik berikut ini: a. (4, 60o)

b. (3, 240o)

d. (5,

7 ) 6

d. (-3, -3) d. (6,

5 ) 3

4. Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: a. sin x = ½ 3 c. cos x = -½ 2 e. Tan x = 3 b. 2 sin x = - 2

d. cos 2x = ½

3

f. 3 tan 3x = - 3

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat ! 1. Jika tan A = 7/24 , A sudut lancip, maka nilai sin A. cos A = ………. a. 168/625 b. 131/625 c. 124/625 d. 24/175 2. Koordinat cartesius titik (6, 45o) adalah …………….. a. (3 2 , 3 2 ) c. (3 3 , 3 3 ) b. (3, 3) d. (6, 6) 3. Koordinat kutub dari titik (9, 9 3 ) adalah ……. a. (9, 30o) b. (9, 60o) c. (18, 60o) 4. Nilai dari cos2 (1200o) = ........ a. 0 b. ¼

c. ½

e. 7/175

e. (3 3 , 3 2 )

d. (18, 30o)

3

d. ½

e. (4, 30o) e. ¾

5. Diketahui  = 3,1416, maka jika 60 dinyatakan dalam radian = ........ a. 2,0944 b. 1,5708 c. 1,0472 d. 0,9425 o

e. 0,7854

6. Hitung harga cos 75 + cos 15 = ..........(tanpa menggunakan tabel)

1 1 1 √2 b. √3 c. √5 2 2 3 7. cos 105 = .................... 1 1 1 1 1 1 a. √6 √2 b. √6 + √2 c. √2 4 4 4 4 4 4 2 8. jika tg = (  A lancip) maka sin A = ........................... 3 2 3 6 a. b. c. 13 13 13 a.

d.

1 √6 2

d.

1 1 √2 - √6 4 4

e.

d.

2 13

e.

1 √6 3

1 1 √6 4 4

e.

3 9. 9. 13

9. jika cos A = 0,8 maka tg A adalah ................ a.

4 3

b.

3 4

c.

4 5

d.

5 4

e.

3 5

d.

4t 1 t2

10. bila tg ½ x = t maka sin x adalah ................................... a.

t 1 t2





b.

2t 1 t2





c.

3t 1 t2





B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan nilai dari tg 135  sin120  cos150 ! 2. Tentukan titik p (4, 180 ) dalm koordinat kartesius ! 3. Jika cosec  

13 dan  lancip, tentukan sin  dan ctg  ! 12





e.

5t

1  t  2

29

LKS-Mat.X-73 B. ALJABAR (PERHITUNGAN DASAR) FUNGSI TRIGONOMETRI. Kompetensi Dasar

: 2.2. Menentukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang ber kaitan dengan fungsi trigonometri.

B.1. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar: 2.2.1. Membuktikan berlakunya identitas fungsi trigonometri 2.2.2. Mendiskusikan pola pembuktian fungsi trigonometri 2.2.3. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut identitas fungsi rigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Dalam setiap pembicaraan tentang identitas fungsi trigonometri tidak terlepas dari apa pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri, dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini: y Perhatikan gambardi samping: P(x, y)

Telah diketahui bahwa: Sin 

R



o

..... maka R

y = R ...........

y

R= Cos 

o

O

x

o

x2 (.... cos 

x maka .....

x = ..... cos 

=

..... maka .....

 o = anti tan

+

Tan 

o

y2

= R2

o

) + (R ...........)2 = R2 o

= .......

2

= R2

R ( ............ + ........... ) ( ............ + ........... ) cos  2

sin  cos  o o

..... .....

o 2

R2 (..............)2 + ....2 sin2 

Jadi:

=

x3  y 2

X

a. Dari

b.

=

y = R x R

o

+ ......  2



=1 Cos2 

o

=1

Sin2 

o

o

= 1 - ................. = 1 - .................

sin  o ..... ..... ..... x = = = tan  o cos  R x .....

o

Dengan langkah dan pola berpikir yang sama, diskusikan dan tunjukan berlakunya identitas berikut ini:

1 sin A 1 = cos A

cos A sin A

1. cosec A =

4. cotan A =

2. sec A

5. tan2 A + 1 = sec2 A

30 3. cotan A =

1 tan A

6. cotan2 A + 1 = cosec2 A

LKS-Mat.X-74 Masalah 20: Buktikan bahwa: sin2 A cotan2 A + cos2 A tan2 A = 1 Bukti: Ambil Ruas Kiri:

sin2 A cotan2 A + cos2 A tan2 A

cos 2 A .......... + cos2 A .......... ..........



sin2 A

 

cos2 A + ……….. 1 (terbukti)

Masalah 21: Buktikan bahwa: ( cos A + sin A )2 – 2 cos A sin A = 1 Bukti: Ambil Ruas Kiri:

( cos A + sin A )2 – 2 cos A sin A



( cos2 A + 2 cos A ……… + …….2 A ) – 2 ……. …….



( cos2 A + ……….. )



1

(terbukti)

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Buktikan identitas-identitas berikut ini: 1. (cos A + sin A)(cos A – sin A) = 1 – 2 sin2 A 2. sin4A + 2 sin2A cos2 A + cos4 A = 1 3. 5 cos 2 A – 3 = 2 – 5 sin2 A 4. tan A sin A = cos A 5. ( 1 + tan2 A) cos2 A = 1 6. ( 1 – sin2 A)(1 + tan2 A) = 1 7. sin4 A – cos4 A = 1 – 2 cos2 A 8.

sin 3 A  cos 3 A  sin A  cos A 1  sin ACosA

9. sin A sec A

cos ec 2 A  1 = 1

10. tan A sin A + cos A = sec A

B.2.1. LUAS SEGITIGA dan SEGI-n. Pengalaman Belajar: 2.2.4. Membuktikan berlakunya rumus sinus untuk luas segitiga 2.2.5. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi 2.2.6. Mendiskusikan berlakunya aturan sinus dan aturan cosinus. 2.2.7. Menghitung luas segi-n beraturan. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penerapan fungsi sinus dalam luas segitiga dan segi-n diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

31 LUAS SEGITIGA Pengantar materi: Rumus sinus untuk menentukan luas segitiga dapat diturunkan dari pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit segitiga,

LKS-Mat.X-75 dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini: C C

b

a

b

t

a

Ao

t

Ao

A

D

B

A

c

B

D

c

Perhatikan pada gambar (i) dan (ii) dapat ditarik hubungan sebagai berikut: Sin Ao =

t t   b .......

t = ..... sin Ao

Luas segitiga ABC = ½ alas x tinggi (ingat saat SLTP) = ½ AB . t = ½ (......) (...................) = ½ (.....) ( b ..........) = ½ b c sin A. Dengan argumentasi yang sama maka berlaku pula:

Luas segitiga ABC = ½ a c sin B = ½ a b sin C Jika diketahui satu sisi dan dua sudut segitiganya, maka berlaku hubungan tentang luas segitiga sebagai berikut:

L=

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin A sin B = = 2 sin( B  C ) 2 sin( A  C ) 2 sin( A  B)

Dengan melakukan kajian beberapa referensi study pustaka secara diskusi kelompok lakukan telaah dan pembuktian berlakunya teorema tersebut di atas ! Masalah 22: Tentukan luas segitiga ABC jika AC = 6 cm, AB = 8 cm dan  A = 45o Penyelesaian: C 6 45o A

B

Luas  ABC = ½ …… AB Sin ….. = ½ (…..)(….) Sin 45o = ½ …… …….. = ½ …… = ……… cm2

8 Masalah 23: Tentukan luas segitiga ABC jika AB = 5 cm,  A = 30o dan  B = 40o Penyelesaian:

32

c 2 sin A sin B 52 sin .....sin ...... ......(0,5)(.......) ....... L= =    ........cm 2 .....sin(......  ......) 2(........) ....... 2 sin( A  B) Jadi luas segitiga ABC = 4,255 cm2

LKS-Mat.X-76 LUAS SEGI-4 SEMBARANG D

C

Dengan menggunakan aturan sinus dalam menentukan luas segitiga dan Segi empat sembarang di samping terdiri dari 2 pasang segitiga kongruen, maka da pat diturunkan aturan luas segi empat sembarang sebagai berikut:

o O A

LABCD = ½ AC. BD sin 

B

o

Coba selidiki kebenaran hal ini, melalui study pustaka dan diskusi kelompok ! LUAS SEGI- n BERATURAN a. Jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya. P

Dengan mendeskripsikan bahwa segi-n beraturan terben tuk dari n segitiga sama sisi, maka luas segi n beraturan dapat diturunkan dari aturan sinus luas segitiga, sbb:

U

r

Q Ingat luas segitiga = ½ dua sisi yang membentuk sudut kali sinus sudut yang terbentuk

 O R

Sehingga berlaku: R

T

Luas segi-n beraturan = n . Luas segitiga sama sisinya S

= n . [ ½ r . (....) sin ..... ] = n . [ ½ (.....)2 sin

........o n

b. Jika diketahui panjang sisinya.

(n  2).180o ] 2n (n  2).180o 2 sin[ ] n

n.s 2 sin 2 [ L=

Coba selidiki kebenaran hal ini !

Masalah 24: Tentukan luas segi-6 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya 4 cm ! Penyelesaian: Lsegi-6 =

6 360 (.....)2 sin ( ) = ...... (.......) (........) = 48. (........) = ......... cm2 .... ......

Jadi luas segi-6 beraturan = 24 3 cm2 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Hitung luas segitiga berdasar kondisi sebagai berikut:

33 a.

F 100o

b.

M

20

25

15 30o D

E

K

L

c.  ABC dengan AB = 6 cm,  A = 30 dan  B = 60 O

O

d.  ABC dengan AC = 4 cm,  A = 20O dan  C = 70O

LKS-Mat.X-77 2. Luas  ABC adalah 20,72 cm2 , Jika AB = 6,42 cm dan AC = 8,54 cm. Tentukan besar sudut A ! 3. Pada  EFG, diketahui : FG = 5 cm,  EFG = 40o dan  EGF = 36o Hitunglah : a. Panjang EF b. Luas segitiga 4. Pada suatu jajaran genjang, dua sisi yang berdekatan panjangnya 8 cm dan 12 cm. Jika besar sudut apitnya 60o , Tentukan luas jajaran genjang tersebut ! 5. Hitung luas segi banyak beraturan yang dilukiskan dalam lingkaran berikut ini ! a. Segi- 5 dalam lingkaran berjari-jari 10 cm. b. Segi- 8 dalam lingkaran berjari-jari 1 cm. c. Segi- 40 dalam lingkaran berjari-jari 5 cm. d. Segi- 70 dalam lingkaran berjari-jari 7 cm. B.2.2. ATURAN SINUS dan COSINUS. Pada hal-hal tertentu perhitungan unsur-unsur suatu segitiga sembarang, sering kali diminta untuk melengkapi beberapa unsur yang belum diketahui misalnya panjang sisi dan atau besar salah satu sudut suatu segitiganya. Khusus perhitungan dalam sebuah segitiga siku-siku, hal ini dapat dilakukan dengan mengaplikasikan teorme phythagoras sebagaimana telah dipelajaran semenjak duduk di bangku SLTP. Bagaimana hal ini dapat dilakukan pada sebuah segitiga sembarang ? Ada beberapa konsep trigonometri yang dapat membantu anda, dan dapat dipahami sebagaimana tertuang di bawah ini. ATURAN SINUS Diskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami dan mendalami beberapa aturan sinus yang berlaku di bawah ini: y

B

y

c

B a

a

c

b A

b

D Gambar i

Sin A =

C

x

...... maka BD = ….. x …….. ......

C

Sin C =

D Gambar ii

A

x

...... maka BD = ….. x …… ......

Sehingga dapat ditarik hubungan: BD

=

BD

c sin ……. = …… sin C

c ............

=

..... sin A

Sehingga berlaku:

..... ..... c = = sin A .......... .........

34 Masalah 25:

C

Dengan aturan sinus, Tentukan panjang AC !

9 cm o

Penyelesaian:

60

45o

A

BC AC ....... .......    SinA ........ ....... .......

B

........SinB  AC = = …….. ..........

LKS-Mat.X-78 ATURAN COSINUS Diskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami dan mendalami beberapa aturan sinus yang berlaku di bawah ini: Perhatikan gambar  ABC, nampak  ABD sikusiku di D, sehingga berlaku:

B

c

A

Sin A =

BD  BD = ...... Sin A = c Sin A .......

Cos A =

AD  AD = ......Cos A = c Cos A .......

a

b

D

C CD = b – AD = b – (….)(……….)

Pada  BCD berlaku : BC2 = BD2 + CD2

sehingga dapat ditarik hubungan sbb:

a2 = (………………)2 + ( b - …………… )2 = c2 ………. + b2 – 2bc ……… + (….)2 cos2 A = c2 ( …….. + …….. ) + (….)2 – 2 (…)(…) cos A = (….)2 . 1 - 2 (…)(…) cos A a = b + c – 2 b c cos A 2

2

2



b2  c 2  a 2 Cos A = 2bc

dan dengan cara serta pola pikir yang sama dapat diturunkan pula hubungan, sbb: b = a + c – 2 a c cos B



.....2  ....2  b 2 Cos B = 2(....)(....)

c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C



Cos C =

2

2

2

.....2  b 2  .....2 2(....)(....)

Masalah 26: Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 3 cm, AC = 2,2 cm dan  A = 60o Tentukan panjang sisi BC ! Penyelesaian: a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A = (2,2)2 + (….)2 – 2 (….)(….) cos ….o = ….. + …… - …… ½ = ……. - ……. = …….. a =

........ = …….

35 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan panjang sisi x pada gambar di bawah ini ! C R x

8

A 43o

2,8

57o B

50o

M 30o

x 61o

25

100o

P

Q

K

x

L

2. a. Diketahui  PQR dengan panjang sisi p = 15 cm, q = 9 cm dan  P = 60 . Hitunglah besar  Q = ..... b. Diketahui  PQR dengan panjang sisi PR = 16 cm, RQ = 21cm dan  Q = 30o. Hitunglah besar  P = ..... o

LKS-Mat.X-79 3. Diketahui  ABC dengan  A = 30o ,  C = 120o dan panjang sisi b = 10 cm. Tentukan panjang sisi a ! 4. D Perhatikan gambar di samping ! 28o C Tentukan keliling segi empat ABCD ! 70o A 50o 10 cm 35o B 5. Tentukan panjang sisi ke tiga pada setiap segitiga dengan karakteristik, sbb: a.  ABC dengan AC = 6 cm , AB = 8 cm, dan  A = 45o b.  ABC dengan BC = 5 cm , AC = 8 cm, dan  C = 60o c.  PQR dengan QR = 7 cm , PQ = 5 cm, dan  Q = 30o d.  PQR dengan PQ = 9 cm , PR = 11 cm, dan  P = 30o 6. Tentukan salah satu cosinus sudut dari segitiga berikut ! R P M 3

5

3

7 2

P

6

Q

Q

6

R

K

6 7

L

7. Tentukanbesar sudut yang terkecil dari segitiga berikut ini ! a.  ABC dengan a = 5 cm , b = 6 cm, dan c = 7 cm b.  PQR dengan p = 10 cm , q = 12 cm, dan r = 15 cm 8. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 12 cm dan  B = 15o Tentukan panjang BC dengan aturan cosinus !

C. PENERAPAN / IMPLEMENTASI RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI. Kompetensi Dasar

: 2.3. Merancang model matematika yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, cosinus, dan menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hail yang diperolehnya.

Pengalaman Belajar

: 2.3.1. Mendiskusikan rumusan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus dan cosinus bersama anggota semestanya. 2.3.2. Menentukan besaran dan mengubah variabel 2.3.3. Merumuskan fungsi, dan menyelesaikan persoalannya. 2.3.4. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut implementasi dan atau penerapan fungsi rigonometri dalam kehidupan sehari-hari diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

36 Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Konsep fungsi trigonometri sering kali tanpa disadari dapat ditemukan implementasinya dalam permasalahan kehidupan sehari-hari dan terkadang untuk memecahkan permasalahan kehidupan nyata diperlukan pendekatan Model matematika sebagai bagian dari langkah berpikir logis dan salah satunya konsep fungsi trigonometri, untuk itu perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini: Masalah 27: Sebuah tangga disandarkan pada dinding setinggi 6 meter dengan posisi tegak, dengan sudut elevasi 60o, Panjang tangga tersebut adalah .....

LKS-Mat.X-80 Penyelesaian: Diketahui : 6m

Jawab:

..... x ..... x = sin 60o

sin 60o =

x?

= .......... 60o

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Pada saat bersamaan dua kapal meninggalkan pelabuhan. Kapal pertama berlayar dengan arah 068o dengan kecepatan 15 km/jam. Sedang Kapal ke-dua berlayar dengan arah 162o dengan kecepatan 16 km/jam. Tentukan jarak antara ke-dua kapal setelah berlayar selama 4 jam ! 2. Sebidang tanah berbentuk segitiga dimana salah satu sisi yang diapit dua sudut panjangnya 99 m dan sudut apitnya maing-masing 45o dan 30o Tentukan panjang sisi yang lainnya ! 3. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil ke-dua setiap jamnya 15 km lebih dari pada kecepatan mobil pertama. waktu perjalanan mobil ke-dua 1 jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobil pertama . Rata-rata kecepatan ke-dua mobil tersebut adalah ........... 4. Titik A terletak 2 satuan di sebelah barat titik B dan titik C terletak 2 3 satuan di sebelah utara titik B. Sedangkan titik D terletak 2 satuan di sebelah barat titik C dan 2 3 satuan sebelah utara A. Koordinat kutub titik D jika dilihat dari titik B adalah..... 5. Dua buah kapal berangkat dari tempat yang sama dan membentuk sudut 30o. Jika kapal pertama berkecepatan 15 km/jam dan kapal ke-dua berkecepatan 18 km/jam, Tentukanlah jarak ke-dua kapal tersebut setelah 2 jam perjalanan !

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat ! 1. Pada segitiga ABC diketahui siku-siku di A,  B = 60o , panjang sisi panjang sisi b adalah .........

a = 10 cm, maka

37 a. 8

b. 6

c. 5 3

d. 5 2

2. Identitas berikut yang benar adalah ......... a. cos2 A – sin2 A = 1 c. 5 cos2 A – 3 = 2 – 5 sin2 A b. tan A sin A = cos A d. cos (90 + A) = sin A

e. 5 e. sin (270 + A) = - cos A

3. Ditentukan segitiga ABC dengan besar sudut A = 45o , dan sudut C = 75o sedang sisi a = 8 cm. Panjang sisi b = ...... cm a. 6 3 b. 4 6 c. 3 6 d. 4 3 e. 3 3 4. Diketahui  PQR , dengan p = 3 cm,  P = 45o dan  Q = 30o . Panjang sisi q adalah .... a. 3 2 b. 3 3 c. 3/2 2 d. 3/2 3 e. 3 6 5. Diketahui  ABC dengan AB = 10 cm, BC = 9 cm, dan AC= 7 cm. Nilai cos A = ....... a.

33 45

b.

17 35

c.

10 63

d.

22 37

e.

17 90

LKS-Mat.X-81 6. Sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya 3 cm, 5 cm, dn 7 cm. Nilai sinus sudut terbesarnya adalah ........... a. ½ b. ½ 2 c. ½ 3 d. – ½ e. - ½ 3 7. Diketahui jajaran genjang dengan panjang sisi 4 cm dan 5 cm. Jika salah satu sudutnya 120o, maka diagonal panjangnya adalah ....... cm. a. 21 b. 31 c. 41 d. 51 e. 61 8. Luas  ABC adalah 10 cm2 , sedangkan  A = 60o dan panjang sisi b adalah 8 cm. Panjang sisi c = ....... cm. a. 5

b.

5 3 3

c.

5 3 2

d. 4

e.

5 8 4

9. Pada  PQR diketahui  P = 65o dan  R = 85o , sedangkan panjang QR = 4 cm dan PQ = 8 cm. Luas  PQR = .........cm2 a. 32 b. 24 c. 20 d. 16 e. 8 10. Diketahui segi-4 ABCD dengan  A = 90o , AB = 4 cm , AD = 3 cm BC = 4 cm dan  DBC = 45o maka luas segi-4 ABCD itu adalah ........ cm2 a. 11 2 b. 6 +5 2 c. 12 d. 11 3 e. 5 3 +6

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari :

-2 cos (2x – 30o) =

3 untuk 0o  x  360o

2.

Panjang ke-dua isi yang sama dari segitiga sama kaki adalah 4,2 cm. Jika luas segitiga tersebut 6 cm2< Hitunglah panjang sisi yang ke-tiga b! (ada 2 kemungkinan) 3. Jika jajaran genjang ABCD luasnya 36,77 cm2 , AB = 8 cm dan AD = 6 cm, maka tentukan besar sudut BAD ! 4. Buktikan bahwa : Cotan A sin A = cos A 5. Bus air berjalan dengan kecepatan 17 km/jam dengan jurusan tiga angka 70o. Perjalanan berikutnya dengan kecepatan 8 km/jam dengan jurusan tiga angka 150o. Tentukan jarak yang telah ditempuh bus air tersebut ! Selamat mengerjakan – terima kasih

38

LKS-Mat.X-82

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan

1

2

3

4

5

Membosankan

Bermanfaat

1

2

3

4

5

Tidak Bermanfaat

Menarik

1

2

3

4

5

Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari

1

2

3

4

5

Tidak perlu dipelajari

Menantang

1

2

3

4

5

Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan

1

2

3

4

5

Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

1

2

3

4

5

Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

39

Standar Kompetensi Menggunakan sidfat dan aturan geometri dalm menentukan kedudukan titik, garis dan bidang; jarak; sudut; dan volum. A. RUANG DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG). Kompetensi Dasar

: 3.1. Memahami komponen, menggambar, dan menghitung volume da ri benda ruang.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut ruang dimensi tiga (bangun ruang) diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. A.1. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG. Pengalaman Belajar: 3.1.1. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan kedudukan titik, garis & bidangdalam ruang menggunakan alat peraga 3.1.2. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Sebelum mengenal lebih jauh tentang kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap beberapa unsur ruang diantaranya titik, garis, bidang dan bangun ruang. Titik, garis, dan bidang pada hakekatnya merupakan sesuatu yang abstrak, yang hanya dapat dibayangkan keberadaannya dan guna mempermudah pemahamannya dilakukan pendekatan natural (nyata) dalam bentuk lambang / gambar dan selanjutnya ditarik pemikiran logis secara aljabar (hitungan). C

B

B A Titik

A Garis AB

B Sinar BC

A Ruas Garis AB

V Bidang V

Jadi titik, garis, dan bidang dapat ditarik pengertian sesuatu yang in-defined term, maksudnya sesuatu yang tak perlu didifinisikan tetapi kita sudah tahu maksudnya. Ada beberapa pakar berusaha menjelaskan tentang pengertian dari unusr ruang sebagai berikut: Garis, adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai luas dan volume. Bidang, adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan luas tetapi tidak mempunyai volume. (Suatu hamparan datar yang luasnya tak terbatas) A.1.1. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS. Posisi sebuah titik terhadap garis dapat diperhatikan sebagai berikut: A A g Titik A terletak di .............. garis g.

g

Titik A berada .............. pada garis g.

Aksioma I : Melalui dua buah titik yang tidak berhimpit dapat dibuat dengan tepat satu garis. Melalui sebuah titik dapat dibuat n garis yang saling berpotongan.

40 A.1.2. KEDUDUKAN ANTARA DUA GARIS. A g g h h garis g & h saling ............ garis g & h ber...........an ( g // h ) di satu titik A

g h garis g & h ber............an

Aksioma II : Melalui dua garis yang berpotongan atau melalui dua garis yang sejajar hanya dapat dibuat dengan tepat sebuah bidang. A.1.3. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP BIDANG. A A V V Titik A terletak di .............. bidang V.

Titik A berada .............. pada bidang V

Aksioma III : Jika suatu garis terletak pada bidang, maka setiap titik pada garis itu juga terletak pada bidang. Aksioma IV : Melalui tiga buah titik yang tidak berhimpit dapat dibuat dengan tepat sebuah bidang. Aksioma V : Melalui sebuah garis dan sebiuah titik di luar garis dapat dibuat dengan tepat satu bidang. A.1.4. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG.

g g V

V

garis g terletak di ............bidang V

garis g terletak ................ pada bidang V

g

g

A. V garis g sejajar dengan bidang V

V garis g memotong/menembus bidang V

Garis tegak lurus bidang: a. Jika sebuah garis tegak lurus pada dua buah garis yang saling berpotongan, maka garis tersebut tegak lurus pada bidang yg melalui ke-dua garis yang berpotongan tersebut.

k

h g

P

V k

b. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang itu.

f V

g h

LKS-Mat.X-85

41 A.1.5. KEDUDUKAN ANTARA DUA BIDANG

V W V

W Bidang V // bidang W (sejajar)

Bidang V berpotongan dengan bidang W

A.2. KOMPONEN-KOMPONBEN BENDA RUANG. Pengalaman Belajar: 3.1.3. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan komponen-komponen benda ruang menggunakan alat peraga 3.1.4. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Sebelum mengenal lebih jauh tentang komponen-komponen bangun ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap beberapa unsur ruang diantaranya titik, garis, ruas garis, dan bidang serta teorema Pythagoras. Guna memberikan ilustrasi lebih baik tentang pemahaman komponen-komponenbangun ruang, prhatikan gambar Kubus di bawah ini: H G AB, CD, EF dan HG disebut dengan Rusuk Datar. AC, BD, FG dan EH disebut dengan Rusuk Frontal. E F AE, BF, DG dan CH disebut dengan rusuk Tegak.

C

D

A

BG, DF, BE, AF, AH, EC, CG, HD, AD dan BC disebut dengan ……………. sisi. BH, DE, AG, dan CF disebut dengan …………... ruang.

B H

G

E

F

D

C

A

D

C

A

B

B

Bidang ABGH, CDEF, BCHE, ADGH, BDHF, dan ACGE disebut dengan Bidang ..................ruang. Masalah 28: H E

G F

Jaring-jaring kubus dan jika dihitung luasnya Maka hal ini disebut juga Luas ................... / Luas kulit.

Diketahui kubus sebagaimana di samping: Tentukan : a. Panjang diagonal isi AC.

6 b. Panjang diagonal ruang EC. D

C 3

A

B 5

c. Luas bidang alas ABCD.

42

LKS-Mat.X-86 d. Luas Permukaan Bangun Ruang ABCD.EFGH. e. Sebutkan beberapa pasang garis yang sejajar dan beberapa bidang datar yang berpotongan tegak lurus. Penyelesaian: a. Perhatikan bagun datar (bidang sisi) ABCD Berlaku: AC2 = AB2 + BC2 AC =

......  BC

=

.....2  .....2

2

D

= ..... = ...... A b. Perhatikan bagun datar (bidang diagonal ruang) ACGE Berlaku: EC2 = EA2 + AC2 E EC =

......  AC

=

.....2  .....2 ..... = ......

=

2

C

2

B G

2

A

C

c. Perhatikan bagun datar (bidang alas) ABCD: LABCD = AB . BC = ....... x ...... = .......... satuan persegi. d. Luas Permukaan ABCD.EFGH ( Lp ABCD.EFGH ): Lp = 2 Luas bidang alas + 2 Luas bidang samping + 2 Luas bidang depan. = 2 ( AB x BC + BC x CG + AB x BF ) = 2(p.l+l.t+p.t) = 2 ( ..... x 3 + ..... x ..... + 5 x ..... ) = 2 ......... = ........... satuan persegi. e. Beberapa garis yang saling sejajar adalah: AB // DC , ..... // ...... , ..... // ..... , ..... // ..... , dst. Beberapa bidang datar yang berpotongan tegak lurus: ABCD dan BCGF, ............ dan ............ , ............ dan ............. , ............ dan ............. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Diketahui sebuah Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, maka tentukan: a. Panjang diagonal sisi c. Luas bidang sisi b. Panjang diagonal ruang. d. Luas permukaan kubus. 2. Sebuah balok PQRS.TUVW dengan Luas alas 10 cm2, Jika PQ = 5 cm, PT = 4 cm Maka tentukan : Panjang diagonal sisi alas dan diagonal ruang QW !

A.3. VOLUME BANGUN RUANG. Pengalaman Belajar: 3.1.5 Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan formula Volume beberapa benda ruang. 3.1.6. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. 3.1.7. Mendiskusikan cara menentukan perbandingan Volume dua benda dalam satu bangun ruang. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Sebelum mengenal lebih jauh tentang volume bangun ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap karakteristik beberapa bangun ruang diantaranya Balok, Kubus, Prisma, Limas, Kerucut, Bola, dll. Guna memberikan ilustrasi lebih baik tentang pemahaman volume bangun ruang, sebaiknya didekati dengan gambar bangun ruangnya.

43

A.3.1. BALOK. Merupakan suatu bangun ruang yang sering dikenal dengan sebutan Kotak. Balok memiliki panjang, lebar dan tinggi. t Volume Balok (VBalok ) dapat ditentukan, dengan aturan: l Vb = luas alas x tinggi

p

= ...... x ....... x t Luas permukaan/kulit balok = 2 ( L. Bid. alas + L. Bid. depan + L. Bid. samping ) = 2 ( ..... x ...... + ..... x ..... + ..... x ..... ) A.3.2. KUBUS. Merupakan suatu bangun ruang yang merupakan bangun istimewa dari Balok, dimana rusuk-rusuk nya sama panjang (s). s Volume Balok (VBalok ) dapat ditentukan, dengan aturan: s Vk = luas alas x tinggi = ........

s

s

3

Luas permukaan/kulit Kubus = 2 ( L. Bid. Sisi ) = 6 ( ..... x ...... ) A.3.3. PRISMA. E Definisi: Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang datar yang sejajar dan oleh lebih dari dua buah bidang datar yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Prisma disebut beraturan jika memenuhi dua syarat utama, yaitu: 1. Prisma itu tegak. 2. Bidang alasnya segi-n beraturan.

H

F

G

A

D

B

C

Sehingga dapat disimpulkan bahwa BALOK merupakan bagian dari PRISMA TEGAK jenis Prisma tegak segi-4 beraturan. Prisma miring adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus alas. Volume Prisma dapat ditentukan dengan:

Vpr = luas bangun alas x tinggi

Luas permukaan/kulit Prisma, perhatikan gambar di atas: Missalkan panjang rusuk tegak adalah t, maka: Luas ABFE = AB x t Luas BCGF = ..... x t Luas CDHG = ..... x t Luas ADHE = ..... x t ---------------------------------- +

Luas kulit / selubung

= t x ( ..... + BC + ..... + ..... ) = rusuk tegak x keliling alas

44

Masalah 29: Diketahui prisma tegak sg-3 ABC.DEF dengan AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm dan rusuk Tegak AD = 10 cm. Hitung Volume Prisma tersebut ! D F Penyelesaian: Perhatikan gambar dan amti segitiga alas ABC. 15 A C

E 10 15

13

14

A

B Luas segitiga ABC kita hitung dengan aturan:

C 13

14

s = ½ ( a + b + c ) = ½ keliling segitiga

B

= ½ ( .... + ..... + …. ) = 21 LABC =

a(s  a)(s  b)(s  c) =

21(.....  .....)(.....  .....)(.....  .....) =

...... = 84

Jadi Volume prisma = LABC x AD = …… x …… = ……. Cm3 A.3.4. TABUNG. Definisi: Tabung adalah suatu bangun ruang yang merupakan Prisma Segi-n Beraturan. Segi-n dapat juga disebut bangun Lingkaran.

t R

Volume Tabung:

Vt

= luas alas x tinggi = luas lingkaran x tinggi =  x ....2 x.....

A.3.5. LIMAS. T Definisi: Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang datar segi-n dan oleh lebih dari dua buah bidang segitiga yang berpotongan /melalui sebuah titik di luar segi-n (alas) tersebut. Titik itu dikenal sebagai titik puncak. Limas diberikan nama menurut bentuk bangun alasnya (segi-n), missal alasnya segi-3 disebut Limas segitiga.

A

D

B

C

Limas disebut beraturan jika memenuhi dua syarat utama, yaitu: 1. Proyeksi/bayangan titik puncak terhadap alas tepat berhimpit dengan pusat bidang alas. 2. Bidang alasnya segi-n beraturan. Volume Limas dapat ditentukan dengan: Luas kulit / selubung

Vlms = 1/3 luas segi-n alas x tinggi

= luas alas x jumlah luas segitiga tegak

Masalah 30:

T

Diketahui limas segi empat T.ABCD beraturan dengan alas berbentuk bujur sangkar, panjang sisinya 10 cm, jika rusuk tegaknya 13 cm, maka Hitunglah: a. Volume limas. b. Luas permukaan Limas D Penyelesaian:

C O

E

45 A

B

a. Perhatikan gambar,  TBC sama kaki, maka TE  BC, pada  TBE berlaku:

......2  ......2 =

TE =

....... = ........

Pada  TOE , didapat: TO = ......2  ......2 = ....... = ........ Jadi Vol. Limas T.ABCD = 1/3 Luas alas x tinggi =1/3 LABCD x TO = ..... x …. = ..… cm3 b. Luas permukaan limas = Luas alas + 4 (luas segitiga sama kaki TBC) = ........... + 4 . ½ . alas x tinggi = ......... + 2 ( ....... x ....... ) = ....... + ...... = ........ cm2 A.3.5.1. LIMAS TERPANCUNG. Jika sebuag limas dipotong oleh sebuah bidang datar yang sejajar dengan bidang alas, maka akan terbentuk bangun ruang baru yang dikenal Limas terpancung. Sifat Limas Terpancung: a. Bidang alas dan atas sebangun & sejajar b. Sudut-sudut yang seletak pada bidang alas dan bidang atas sama besar. c. Rusuk-rusuk yang seletak pada bidang alas dan bidang atas sejajar. d. Sisi tegak lemias terpancung berbentuk Trapesium.

T

E

H

F

G

A

D

B

C

Bangun Ruang ABCD.EFGH merupakan limas terpancung. T A.3.6. KERUCUT. Definisi: Kerucut adalah suatu bangun ruang yang merupakan Limas Segi-n Beraturan. Segi-n dapat juga disebut bangun Lingkaran. Volume Tabung:

t

VKR = 1/3 luas alas x tinggi = 1/3 luas lingkaran x tinggi

O

r

= 1/3  x ....2 x..... A.3.7. BOLA. Volume Bola =

4 3  .r 3

Masalah 31: Dalam sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas 8 cm, dan tingginya 20 cm, jika dibuat dua buah, kerucut yang saling bertolak belakang menurut puncaknya, Dengan perbandingan tinggi 2 kerucut tersebut menurut tinggi tabung 5 : 2. Hitunglah: Nilai perbandingan volume ke 2 kerucut!

t2 20

t1 Penyelesaian: t1 + t2 = 20 sedang

t1 : t2 = 5 : 2

8

46

 t1 =

5 x ....... 7

dan

t2 =

.... x ........ ....

Sehingga : Vol. Tabung 1 = 1/3  . R2 . t1

= 1/3 (.....)(....)2(.....) = ....... cm3

Vol. Tabung 2 = 1/3  . R2 . t2

= 1/3 (.....)(....)2(.....) = ....... cm3

Jadi :

Vt1 : Vt2 = ...... : ...... = ....... : .......

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Balok PQRS.TUVW dengan ukuran panjang PQ = 10 cm, QR = 7 cm, dan QU = 5 cm, Hitunglah : a. Volume Balok. c. Luas bidang-bidang diagonal. b. Luas permukaan Balok. d. Panjang diagonal ruang. 2. Prisma segi empat ABCD.EFGH alasnya bujur sangkar dengan sisi 10 cm. Rusuk tegak panjangnya 12 cm dan membentuk sudut 60o dengan bidang alas, Hitung Volume Prisma tersebut ! 3. Limas tegak M.PQRS dengan alas berbentuk persegi panjang dengan PQ = 8 cm dan QR = 6 cm, MM1 tegak lurus bidang alas, M1 pusat bidang alas dan MP = 13 cm, Hitunglah : a. Volume limas b. Luas permukaan limas. 4. Hitunglah volume tabung dan tingginya 12 cm !

dan kerucut yang alasnya lingkaran dengan jari-jari 8 cm

5. Sebuah tabung dengan volume 124 cm3 memiliki tinggi 4 cm, maka nilai yang tepat untuk jari-jari lingkaran alas adalah .............. 6. Dalam sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, Tentukan perbandingan Luas Kubus dengan luas limas T.ABCD yang terbentuk, dimana titik T merupakan perpotongan diagonal ruang ! 7. Tinggi ruangan berbentuk kotak adalah 2 m kurangnya dari lebarnya dan 4 m kurangnya dari panjangnya. Jumlah luas langit-langit, dinding dan lantai adalah 856 m2 . Tentukan ukuran ruangan tersebut !

A.4. MENGGAMBAR BANGUN RUANG. Pengalaman Belajar: 3.1.8 Menggambar bangun ruang yang ditentukan bidang frontal, su dut surut dan perbandingan proyeksinya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Sebelum kita melangkah guna memahami aturan main menggambar bangun ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap beberapa bangun ruang serta siapkan dan atau pahami berbagai alat bantu lukis yang dapat digunakan sebagai media menggambar bangun ruang. Guna menggambar bangun ruang, sebaiknya perhatikan beberapa hal sebagai berikut: a. Bidang frontal yaitu suatu bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi (bidang gambar), dimana ukuran bangun sesuai aslinya. b. Bidang orthogonal yaitu bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal. c. Sudut surut, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis orthogonal dengan garis horizontal. d. Perbandingan Proyeksi, yaitu perbandingan antara panjang garis orthogonal hasil proyeksi dengan panjang garis orthogonal sebenarnya.

47

Masalah 32: Gambarlah sebuah kubus dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 30o , perbandingan proyeksi 2 : 3 dan panjang sisi 6 cm.

Penyelesaian: H

E

G

F

D

A

30o

C

B

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Gambarlah sebuah kubus dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 30o , perbandingan proyeksi 1 : 3 dan panjang sisi 8 cm. 2. Gambarlah sebuah Balok dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 35o , perbandingan proyeksi 1 : 2 dan panjang 8 cm, lebar 4 cm serta tinggi 5. 3. Gambarlah sebuah Limas Segi empat ABCD dengan syarat sudut surut 30o , perbandingan proyeksi 2 : 3 dan bangun alas memiliki panjang 8 cm , lebar 4 cm serta tinggi limas 6 cm. 4. Gambar prisma segi-6 beraturan ABCDEF.PQRSTU yang rusuknya 2,5 cm, rusuk tegaknya 5 cm, jika ADSP horizontal dengan AD frontal, sudut surut 45 o serta perbandingan proyeksi 0,4 !

B. RUANG DIMENSI TIGA (LANJUTAN). Kompetensi Dasar

: 3.2. Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambardan menghitung Jarak dan sudut antara unusr-unsur benda ruang.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut ruang dimensi tiga (bangun ruang) diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

48

B.1. PROYEKSI UNSUR-UNSUR RUANG DALAM BANGUN RUANG. Pengalaman Belajar: 3.2.1. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan proyeksi titik ke garis, titik ke bidang dan garis ke bidang. 3.2.2. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Sebelum mengenal lebih jauh tentang proyeksi titik ke garis, titik ke bidang dan garis ke bidang dalam ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap beberapa konsep proyeksi atau cara menentukan bayangan. B.1.1. PROYEKSI TITIK KE GARIS. .A Titik A di luar garis g, Jika dari A dibuat garis tegak lurus g dan didapat titik A’ , maka titik A’ disebut dengan Proyeksi A ke garis g.

g A’

LKS-Mat.X-92 B.1.2. PROYEKSI TITIK KE BIDANG. .A Titik A di luar bidang V, Jika dari A dibuat garis tegak lurus V dan didapat titik A’ , maka titik A’ disebut dengan Proyeksi A ke bidang V.

A’

B.1.3. PROYEKSI GARIS KE BIDANG. Sebuah garis g di luar bidang V, Jika dari dua buah titik A dan B pada garis g dibuat garis tegak lurus bidang V dan didapat titik A’ dan B’, maka garis yang melalui A’B’ disebut dengan Proyeksi garis g ke bdang V.

A

A’

B

B’

B.2. JARAK. Pengalaman Belajar: 3.2.3. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan jarak anta ra titik ke garis, titik ke bidang, dua garis bersilangan, garis sejajar bidang dan dua bidang sejajar. 3.2.4. Menggambar dan menghitung jarak antara titik ke garis, titik ke bidang, dua garis bersilangan, garis sejajar bidang dan dua bidang sejajar 3.2.5. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Jarak : garis hubung terpendek antara dua buah benda.

49 B.2.1. JARAK ANTARA DUA TITIK. Jarak antara dua titik A dan B adalah panjang ruas garis AB yang ditarik dari titik A dan B. B.2.2. JARAK ANTARA TITIK DAN GARIS. .A Jarak antara titik A dan garis g merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik A tersebut serta tegak lurus garis g. (AA’) g A’ B.2.3. JARAK ANTARA DUA GARIS SEJAJAR. Jarak antara sebuah titik pada garis yang satu, ke k garis lainnya yang dihubungkan sebuah garis yang tegak lurus ke-dua garis yang sejajar tersebut. g B.2.4. JARAK ANTARA TITIK DAN BIDANG. .A Jarak Titik A di luar bidang V, adalah Panjang ruas garis AA’ yang ditarik dari A tegak lurus bidang V.

A’

LKS-Mat.X-93 B.2.5. JARAK ANTARA GARIS DAN BIDANG. Jarak antara garis g di luar bidang V, adalah Panjang ruas garis AA’ yang ditarik dari se buah titik A pada garis g dan tegak lurus bidang V.

A g A’ V h

g // h dan AA’  bidang V B.2.6. JARAK ANTARA DUA BIDANG SEJAJAR. A Jarak antara dua bidang sejajar adalah panjang ruas garis AA’ yang ditarik dari sebuah titik A pada bidang yang satu dan tegak lurus bidang yang lain.

V A’ W

B.2.7. JARAK ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN. Jarak antara dua garis yang bersilangan adalah adalah jarak antara garis yang satu dengan bi – dang V yang melalui garis yang lain dan sejajar dengan garis terdahulu. g bersilangan dengan h g // k , h dan k terletak pada V AA’  V AA’ merupakan jarak g dan h.

A

g h A’

V

k

50 Masalah 33: Jika rusuk-rusuk sebuah kubus ABCD.EFGH adalah a cm, maka tentukan: a. Panjang diagonal sisi AC. c. Jarak titik E ke garis BG. b. Panjang diagonal ruang EC. Penyelesaian:

H

a. Perhatikan  ABC siku-siku di B maka:

AB 2  BC 2 =

AC =

E

F

.....2  ......2  ......  ...... ......

b. Perhatikan  EAC siku-siku di A maka: EC =

G

EA2  AC 2 =

D

.....2  ......2  ......  ...... ......

C

A

c. Perhatikan  BEG sama sisi:

B

E

EB = BG = EG = AC = ...... ........

 EOG siku-siku di O maka: EO =

EA2  AC 2 =

.....2  ......2  ...... = .......

B

O

G

Masalah 34: Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang semua rusuknya a cm. Hitng tingi bidang empat tersebut ! A Penyelesaian: Dalam  ABE berlaku :

D

.....  ......  ...... = ...... ..... EA’ = 1/3 ED= 1/3 AE = ....... ..... AE =

AE  BE =

Jadi AA’ =

2

2

2

AE  A' E = 2

2

2

.....  ......  ...... 2

2

B E C

LKS-Mat.X-94 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Diketahui lima segi empat T.BCD dengan alas ABCD persegi panjang, Tentukan : a. Proykesi puncak T pada bidang alas. b. Proyeksi AT pada bidang alas. c. Proyeksi garis tinggi pada bidang TBC. 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik pusat P pada bidang ABCD. a. Lukis jarak P ke garis CE. b. Hitung jarak P ke CE. 3. Diketahui limas segi tiga D.ABC dengan rusuk-rusuk yang berpotongan di A saling tegak lurus dan sama panjang, yaitu 4 cm. a. Lukiskan jarak titik A ke bidang BCD b. Hitung jarak A ke bidang BCD. 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. a. Tentukan jarak titik B ke garis CF. b. Tentukan jarak titik E ke bidang AHF. 5. Pada bidang empat D.ABC diketahui segitiga ABCsiku-siku di A, AB = 6 cm, dan AC = 8 cm. Bidang DBC tegak lurus bidang bidang Abc. Hitung panjang BD, CD, dan AD.

51 B.3. SUDUT DALAM RUANG. Pengalaman Belajar: 3.2.6. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan sudut da lam ruang, yaitu sudut antara garis dan bidang , sudut antara dua bidang. 3.2.7. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: B.3.1. SUDUT ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN. Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan besar sudut antara garis a’ dan b yang berpotongan dengan ketentuan a’ // a.

a b’



a’

atau Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan besar sudut antara garis a’ dan b’ yang berpotongan dengan ketentuan a’ // a dan b’ // b.

b

B.3.2. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG.

A

Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang adalah besar sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksi garis tersebut terhadap bidang yang diminta.

k B = B’ 

k’ A’

k’ proyeksi garis k pada bidang. Sudut antara k dan bidang = sudut antara k dan k’.

B.3.3. SUDUT ANTARA DUA BIDANG.

b W

Sudut antara dua bidang V dan W, merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis a dan b, di mana a pada V serta b pada W dan masing-masing tegak lurus garis potong bidang ke-duanya tepat di satu titik.



a V

Masalah 35: Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk 4 cm dan tingginya 6 cm. a. Tentukan sudut antara bidang TAD dan ABCD. b. Berapa sinus sudut antara bidang TAD dan ABCD. Penyelesaian:

T

a. Dibuat bidang tumpuan melalui titik T, yaitu TPE. Sudut tumpuan bidang TAD dan ABCD adalah sudut TPE. b. Perhatikan segi tiga TPE siku-siku di E. PE = ½ AB = ……. TE = 6 cm  TP2 = PE2 + TE2 = ….. + ..... = .....

D

C

52 TP = ..... ....... Sin  TPE =

E

TE ......   ...... ...... ...... ......

A

P B

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Tentukan dan hitung sudut antara: a. Bidang ADHE dan bidang ABCD. c. Bidang BDG dan bidang ABCD b. Bidang ABGH dan bidang ABCD. 2. Diketahuii limas segitiga D.AB. Rusuk-rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus, Jika AB = 2 2 cm dan AD = 2 3 , Tentukan besar dari: a. Sudut antara bidang DBC dan bidang ABD. b. Tangens sudut bidang ACD dan bidang ABD. 3. Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 6 cm, Tentukan dan hitung: a. sudut antara rusuk dan bidang sisi alas. b. sudut antara dua bidang sisi yang berdampingan. 4. Limas persegi panjang T.ABCD dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Tentukan Sudut antara bidang TAD dan TBC dan nilai Tan-nya berapa !

B.4. IRISAN. Pengalaman Belajar: 3.2.8. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan irisan Antara bidang dan benda ruang. 3.2.9. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesimpulannya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

53 LKS-Mat.X-96 Pengantar materi: Yang dimaksud dengan irisan antara sebuah bidang datar V dengan sebuah bangun ruang adalah bangun datar yang semua sisinya adalah ruas garis bersekutuan antara bidang V dan bidang sisi bangun ruang tersebut. Jika bangun ruangnya segi banyak maka irisanya juga merupakan segi banyak. Ada tiga aturan guna menentukan dan melukis irisan bidang, yaitu dengan menggunakan bantuan: B.4.1. SUMBU AFINITAS. Sumbu afinitas : garis potong (persekutuan) antara bidang pengiris dengan bidang pemuat alas ( bidang alas dan perluasannya) T Masalah 36: Diketahui limas T.ABCDE, Titik P, Q, & R berturut-turut pada TA, TB, dan TC. Gambarlah irisan bidang V yang melalui Titik P, Q, dan R terhadap limas T.ABCDE.

P. E

D

A

.R

Q.

C

Penyelesaian: T

T

P.

B

P.

E

D

.R

A

E C

D

.R

A

C

Q

Af

B

K1

B

K2

Dengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yang benar, serta diskusikan secara kelompok.

B.4.2. PERPOTONGAN BIDANG DIAGONAL. T

T

P.

P. K

E A

.R

.R

D Q

C

F

E B

A

D Q

C

B

54 Dengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yang benar, serta diskusikan secara kelompok.

LKS-Mat.X-97 B.4.3. PERLUASAN BIDANG SISI TEGAK. T

P. .R E A

D Q.

C

B

Dengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yang benar, serta diskusikan secara kelompok. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Lukis bidang irisan yang melalui titik P, Q dan Ryang diberikan sesuai bangun ruang di bawah ini ! P. R. R. Q.

p.

. Q

P

P R

R Q

Q

P

R

.Q

55

LKS-Mat.X-98

A.

Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !

01. Rusuk TA pada bidang empat T. ABC tegak lurus pada alas dengan TA dan BC masing – masing 8 cm dan 6cm. Jika T titik tengah TB, Q titik tengah TC dan S titik AB dan bidang yang melalui P, Q dan S memotong AC di R, maka luas PQRS adalah .................. a. 24 cm2 b. 20 cm2 c. 18 cm2 d.16 cm2 e. 12 cm2 02.

Limas beraturan T. ABCD dengan AT = 3a 2 , AB = 3a . bidang datar  melalui A dan tegak lurus TC. Luas irisan bidang  dengan limas adalah ……………… a. a 2

03.

2

b.3a 2

2

c. 3a 2

3

d. 6a 2

6

e. 9a 2

6

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 2cm. Titik P terletak pada perpanjangan BC sehingga BP = 2CB . luas irisan bidangn melalui P, G, dan H adalh ................. a. 4

10 cm2

b.

4 3

10 cm2 c.

10 10 cm2 9

d.

10 cm2 9

e.

40 cm2 9

04. Diketahui ABCD EFGH titik P, Q, R berturut – turut terletak pada AE , BF, dan CG sehingga AP = 1cm, BQ = 3cm dan CR = 5 cm.jika panjang rusuk kubus 6cm, maka luas bidang irirsan yang melalui P,Q,R, adalah................. a. 36 cm2 b. 24 cm2 c. 16 cm2 d. 12 22 cm2 e. 11 12 cm2 05.

Garis G  bidang V. Bidang W membentuk sudut lancip dengan bidang V. jika W memotong V menurut garis a, maka proyeksi g pada bidang W adalah………. a. tegak lurus V b. tegak lurus a c. bersilang tegaklurus dengan g d. sejajar V e. sejajar a

06. Alas nidang empat D. ABCberupa segitiga siku – siku sama kaki, sudut BAC = 90 E adalah proyeksi D pada ABC tepatb jatuh di tengah – tengah BC. Jika AB = AC= 4 , DE= 8 maka AD .. a. 6 b. 6 2 c. 6 3 d. 6 6 e. 6 11 07. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4 cm,. Titik P ditengah – tengah AB dan Q di tengah – tengah EH. Panjang proyeksi PQ pada bidang BDHF adalh .............................. a. 2 08.

2 6 cm 3

c. 3

2

d. 14

e. 2

3

b.

2 2 cm 3

c.

1 3 cm 2

d

1 2 cm. 4

e.

1 2 cm 6

Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan TA = 4 2 dan BC = 4 jarakBke TD adalah .......... a. 4 6 cm

10.

6

Panjang rusuk kubus ABCD EFGH adalh 2cm, jarak B ke AG adalah ..................... a.

09.

7 b. 2

b. 3 6 cm

c. 2 6 cm

d. cm

6

e.

1

2

6 cm

Jarak titik E ke bidang AFH pada kubus ABCD EFGH dengan rusuk 6 cm adalh ....... a. 6 3 cm b.6 2 cm c.4 2 cm d.2 3 cm e.2 6 cm

11. Pada kubus ABCD EFGH dengan rusuk 4 cm K adalah titik potong kedua diagonal sisi alas , titik M terletak pada pertengahan BF , maka jarak titik M ke garis KH adalah.............. a. 3 3

b.2 6

c.2 3

d.

4 3

6

e.

2 3

6

56 12. Diketahui limas tegak T> ABCD , ABCD perdsehi panjang dengan AB = 6 cm BC = 8 cm. Jika TC= 12 cm m, maka nilai tg sudut antara bidang TAD dan TBC adalah....................... a. 1

b.

2 3

c.

3 4

d.

8 15

e.

8 17

LKS-Mat.X-99 13.

Jika  adalah sudut antara bidang BDE dan bidang BDG pada kubus ABCD EFGH maka nilai sin  = ................. a.

3

b.

1 2

3

c.

1 3

d.

2 2 3

e.

1 2 4

B. Jawablah dengan langkah yang tepat ! 14. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan rusuk 9 cm , titik P dan Q adalah titik tengah FG dan GH. a. lukis iriisan bidang APQ dengan kubus ! b. hitung luas daerah penampangnya ! 15. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan tinggi limas 10 cm. Titik P pada TB sehingga TP : PB = 2 : 3. tentukan panjang proyeksi PA pada TAC! 16. Pada kubus ABCD EFGH yang pnjang rusuknya 8 cm hitunglah jarak di titik B ke DF ! 17. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 10 cm. Melalui diagonal AC dibuat dua bidang masing – masing membentuk sudut 45 dan 60 dengan alas ABCD dan berturut – turut memotong rusuk DH di titik Pdan Q. Tentukan perbandingan luas ACP dan luas ACQ !

57

LKS-Mat.X-100

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan

1

2

3

4

5

Membosankan

Bermanfaat

1

2

3

4

5

Tidak Bermanfaat

Menarik

1

2

3

4

5

Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari

1

2

3

4

5

Tidak perlu dipelajari

Menantang

1

2

3

4

5

Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan

1

2

3

4

5

Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

1

2

3

4

5

Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

58

LKS-Mat.X-101

I. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat ! 11. Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ............................... a.  p v q b. p ==> q c.  p   q d.  p  v q e.  p v  q 12. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar: p  q , q  r dan r  s dan s pernyataan yang salah, maka diantara pernyataan berikut yang salah adalah ....... a.  p b.  r c.  q d. p  r e. p v  r 13. Pernyataan (  p v q)  (p v  q) equivalen dengan pernyataan: a. p  q b. p   q c.  p  q d.  p   q

e. p  q

14. Kalimat ingkaran dari” Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan,” adalah: a. Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. b. Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. c. Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. d. Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. e. Tidak ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. 15. Perhatikan kalimat, ”Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontraposisinya adalah ............ a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil. b. Jika ia berhasil maka ia berusaha c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha. d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhail. 16. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, AC = 4 cm dan sin A = ½. Nilai cos B = ........... a.

2 5 5

b.

1 5 3

c.

1 3 2

d.

2 3

e.

1 2

17. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 6 cm, Besar sudut A = 30o dan sudut C = 120o . Luas segitiga ABC adalah ........ a. 18 cm2 b. 9 cm2 c. 6 3 cm2 d. 3 3 cm2 e. 2 3 cm2 18. Dari segitiga PQR, ditentukan panjang PQ= 7 cm, PR = 4 cm dan QR = 5 cm. Nilai Tan  PRQ adalah ......... a. 26 b. 24 c. 19 d.  24 e.  26 19. Nilai dari cos 75o + cos 15o adalah ......... a. 0

b.

1 2 4

c.

1 6 4

d.

1 2 2

e.

1 6 2

59 20. Diketahui segitiga ABC dengan a = 7 cm, b = 5 cm dan c = 3 cm. Nilai Sin A = ........ a. - ½

b. ½

c.

1 3 3

d.

1 3 2

e.

2 3 3

21. Limas T.ABC merupakan limas segitiga beraturan TA = TB = TC = 13 cm dan AB = BC = AC = 12 cm. Jarak titik ke AD adalah ..................... a. 4 3 b. 6 3 c. 11 d. 133 e. 12 22. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik C ke bidang AFH = ...... a. 2 2 b. 2 3 c. 4 2 d. 4 3 e. 5 2

LKS-Mat.X-102 23. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi AH ke bidang BDHF = ...... a. 8 3

b. 8 2

c. 4 6

d. 4 3

e. 4 2

24. Bidang empat ABCD, AD tegak lurus alas. Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah  Nilai Tan  = ....... a. ¼

2

c.

2

b. ½

2

d. 2

e. 2 2

25. Limas tegak T.ABCD dengan alas persegi panjang Ab = 6 cm , BC = 8 cm dan rusuk tegak 13 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah v maka Tan v = ........... a.

15 17

b.

3 4

c.

2 3

d.

8 15

e.

8 17

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan ingkaran dari pernyataan: a. Jika saya rajin belajar maka saya tidak lulus ujian. b. Semua pemain basket berbadan tinggi. c. Semua peserta ujian ingin masuk perguruan tinggi. 2. Selidiki kebenaran dari:

[ (  p v r)   (p v  q) ]  [ ( p   r) v p ]

sin 2 45o sin 2 60o  cos 2 45o cos 2 60o 3. Tentukan nilai dari : tan 30o. tan 60o 4. Jika nilai cos B = - ½

3 dan sudut B pada kuadran II, maka Tentukan nilai dari Tan B !

5. Hitung luas permukaan prisma segi enam beraturan, jika panjang rusuk alas dan tingginya masing-masing adalah a cm!

60