8 dapat memilih materi pelajaran yang diinginkan, dan komputer dapat memantau kemajuan proses belajar siswa(sutopo : 23). Presentasi khusus dibuat unt

7 BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini akan menjelaskan masalah-masalah teoritis yang berkaitan dalam pembuatan aplikasi pembelajaran vektor. Pembahasan pada bab ini meliputi perangkat lunak yang digunakan, metodelogi yang digunakan, serta penjelasan mengenai materi pembelajaran vektor dan operasinya, juga pengujian aplikasi yang dipakai.

2.1 Pembelajaran Dengan Multimedia Interaktif Pembelajaran merupakan aspek kegiatan manusia yang kompleks, yang tidak sepenuhnya dapat dijelaskan (Trianto, 2009:17). simpel

dapat

diartikan

sebagai

produk

interaksi

Pembelajaran secara berkelanjutan

antara

pengembangan dan pengalaman hidup. Pembelajaran dalam makna kompleks adalah usaha sadar dari seorang guru untuk membelajarkan siswanya (mengarhkan interaksi siswa dengan sumber belajar lainnya) dalam rangkan mencapai tujuan yang diharapkan.Kata multimedia bukanlah baru, tetapi sudah digunakan bahkan sebelum komputer manampilkan presentasi, penyajian yang menggunkan beberapa macam cara (Sutopo, 2003:3). Interaktif adalah menggunakan satu komputer untuk satu orang, dan dikontrol dengan keyboard, mouse, atau alat input lainnya, dan multimedia yang dapat menangani interaktif multimedia. adalah disebut Multmedia Interaktif atau disebut juga nonlinier multimedia Dalam banyak aplikasi, user dapat memilih apa yang akan dikerjakan selanjutnya, bertanya dan mendapatkan jawaban yang mempengaruhi komputer untuk mengerjakan fungsi selanjutnya(Sutopo, 2003:7).

Komputer multimedia mulai mendapat perhatian pada saat digunakan untuk pelatihan atau pendidikan dari satu keadaan ke keadaan lain. Presentasi multimedia dapat menggunakan beberapa macam teks, chart, audio, video, animasi, simulasi, atau foto. Bila macam komponen tersebut digabungkan secara interaktif, maka menghasilkan suatu pembelajaran yang efektif. Seorang pelajar

7

http://digilib.mercubuana.ac.id/

8

dapat memilih materi pelajaran yang diinginkan, dan komputer dapat memantau kemajuan proses belajar siswa(Sutopo : 23).

Presentasi khusus dibuat untuk melengkapi materi tersebut. Karena memerlukan bermacam - macam interaktif, pembuatan aplikasi pelatihan memerlukan perangkat lunak yang berbeda dibandingkan dengan presentasi bisnis. Multimedia

untuk

pelatihan

juga

sangat

efektif,

namun,

untuk

mengembangkan aplikasi trainning yang lebih sulit dan kompleks dibandingkan dengan presentasi. Namun, dengan perangkat lunak yang tepat, dapat dikembangkan aplikasi walaupun tidak memiliki keahlian pemograman.

2.2

Metodelogi Penelitian Luther

Seperti yang disebutkan dalam buku Ariesto Hadi Sutopo yang berjudul Multmedia Interaktif dengan Flash (2003), pada awal tahun 1990, multimedia berarti kombinasi dari teks dengan dokumen image. Dalam pembuatan tugas akhir ini penulis menggunakan pengembangan multimedia Luther yang mulai diperkenalkan pada tahun 1994, adapun tahap pengembangan ini terdiri dari 6 tahapan yaitu, concept, design, material collecting, assembly, testing dan distribusi. Seperti gambar berikut ini.

Gambar 2.1 Pengembangan Multimedia


9 2.2.1 Konsep (Concept)

Dalam tahap konsep yang perlu diperhatikan adalah :

a.

Menentukan tujuan, pada tahap ini ditentukan tujuan dari multimedia, serta audien yang menggunakannya. Tujuan dan audien berpengaruh pada nuansa multimedia, sebagai pencerminan identitas dari organisasi yang menginginkan informasi sampai kepada audien.

b.

Memahami karakteristik user, tingkat kemampuan audien sangat mempengaruhi pembuatan design. Dengan demikian multimedia dapat dikatakan komunikatif.

2.2.2 Perancangan (Design)

Maksud dari design (perancangan) adalah membuat spesifikasi secara rinci mengenai arsitektur proyek, gaya dan kebutuhan material untuk proyek. UML (Unified Modeling Language) adalah sebuah bahasa pemograman stadard yang digunakan untuk memspesifikasikan, memvisualisasikan, membangun, dan mendokumentasikan objek – objek dari sistem software, untuk urusan permodelan dan sistem non-software. Pada tahapan inipenulis tidak hanya mendesign interface dari aplikasi namun juga menyusu materi ajar. Adapun bentuk penulisan atau penggambaran design yang akan digunakan dalam pembuatan rancangan aplikasi ini adalah authoring story board yang dilengkapi dengan use case diagram dan aactivity diagram untuk menggambarkan aspek interaktif.

a. Storyboard Terdapat beberapa macam versi pembuatan storyboard, namun dapat dikenali dua macam cara yang berbeda. Pertama, menurut Halas (1991), Storyboard merupakan rangkaian gambar manual yang dibuat secara keseluruhan sehingga menggambarkan suatu cerita. Sedangkan versi kedua, menurut Luther (1994) storyboard merupakan deskripsi dari setiap scene yang menggambarkan


10

objek multimedia serta prilakunya, yang dapat digambarkan menggunakan simbol, maupun teks.

b. Use case Diagram Usecase diagram adalah diagram yang menggambarkan kebutuhan sistem dari sudut pandang user dan memfokuskan pada proses komputerisasi. Sebuah use case dapat menggambarkan hubungan antara use case adalah pola perilaku sistem dan urutan transaksi yang berhubungan yang dilakukan oleh satu aktor. Adapun symbol-simbol yang digunakan dalam diagram ini adalah:

Use case digambarkan dengan elips horizontal. Use case biasanya menggunakan kata kerja. Use case menggambarkan “apa” yang dapat dikerjakan sistem.

Gambar 2.2 elips horizontal Actor menggambarkan orang, sistem, atau external entitas atau stakeholder yang menyediakan atau menerima informasi dari sistem.

Gambar 2.3 Actor Assosiation menggambarkan hubungan antara actor dengan use case, namun bukan menggambarkan aliran data atau informasi.

Gambar 2.4 Assosiation


11 Include menggambarkan bahwa suatu use case seluruhnya, merupakan fungsionalitas dari use case lainnya, yang digambarkan dengan: <>

Gambar 2.5 Include Extends menggambarkan bahwa sautu use case merupakan tamabahan fungsional dari use case yang lain jika kondisi atau syarat tertentu terpenuhi, hal ini digambarkan dengan: <<Extends>>

Gambar 2.6 Extends

c. Activity Diagram Diagram yang menggambarkan proses bisnis dan urutan aktivitas dalam sebuah proses, yang mana dipakai pada bisnis modeling untuk memperlihatkan urutan aktifitas proses bisnis karena bermanfaat untuk membantu proses secara keseluruhan dalam memodelkan sebuah proses. Dengan kata lain Activity Diagram, adalah teknik untuk mendeskripsikan logika prosedural, proses bisnis dan aliran kerja dalam banyak kasus. Activity Diagram sama seperti flow chart, akan tetapi perbedaannya dengan flow chart adalah activity diagram bisa mendukung perilaku paralel.


12

Dalam diagram ini symbol – symbol yang digunakan adalah:

Gambar 2.7 Simbol – Simbol Activity Diagram 1. ActionState digunakan untuk aktivitas yang dilakukan oleh user 2. InitialState digunakan untuk memulai suatu workflow pada sebuah Activity Diagram 3. FinalState digunakan untuk mengakhiri suatu workflow pada sebuah Ativity Diagram biasanya terdapat lebih dari satu FinalState pada sebuah Activity Diagram 4. Synchronization terdapat 2 fungsi yang fork dan join untuk menunjukan kegiatan yang dilakukan secara pararel,fungsi yang kedua yaitu 5. Decision digunakan sebagai pilihan untuk pengambilan keputusan 6. Transition menunjukan kegiatan apa berikutnya setelah suatu kegiatan sebelumnya d. Struktur Navigasi Adapun struktur navigasi yang digunakan dalam pembuatan aplikasi ini adalah Struktur Navigasi Hierarchical Model, model ini diadaptasi dari top-down design. Konsep navigasi ini dimulai dari satu node yang menjadi halman utama atau halaman awal. Dari halman tersebut dibuat beberapa cabang ke halaman level


13 1. Bila diperlukan, dari tiap halaman level dapat dikembangkan menjadi beberapa cabang lagi. Hal ini seperti struktur organisasi dalam perusahaan . Hierarchical model baik bagi aplikasi untuk menemukan lokasi halaman dengan mudah. Untuk menggambarkan model tersebut, dapat digunakan ilustrasi dengan tree.

Perancangan Screen dalam aplikasi adalah hal penting yang harus dilakukan oleh pembuat aplikasi, dan menurut Linda Tway (Tway,1992) perancangan screen harus memperhatikan beberapa hal, yaitu:

a.

Kecepatan yang dimilki oleh tampilan.

b.

Tampilan dari awal hingga akhir harus konsisten.

c.

Button diletakkan sedemikian rupa, sehingga user mudah memahami isi dari tampilan secara keseluruhan.

2.2.3 Pengumpulan Bahan (Material Collecting)

Material collecting dapat dikerjakan paralel dengan tahap assembly. Pada tahap ini penulis akan melakukan pengumpulan bahan seperti image, animasi, audio video dan lain sebagainya. Bila digunakan komponen yang berasal dari sumber internal atau eksternal, tidak diperlukan tool untuk pembuatan, tetapi diperlukan konversi file sehingga dapat digunakan dalam proyek.

2.2.4 Pembuatan (Assembly)

Tahap pembuatan tahap dimana seluruh objek multi media dibuat. Pembuatan akan dilakukan berdasarkan storyboard, use case diagram dan activity diagram, dan struktur navigasi yang sudah dibuat. Tahap ini akan dijelaskan secara detail pada bab III (Analisis Dan Perancangan).


14

2.2.5 Pengujian (Black Box Testing)

Tahap testing dilakukan setelah selesai tahap pembutan dan seluruh data telah dimasukkan. Pengujian aplikasi yang akan digunakan adalah black box testing yang akan berfokus pada spesifikasi fungsional dari perangkat lunak, seperti pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.8 Black Box Testing

2.2.6 Distribusi (Distribution)

Bila aplikasi multimedia akan digunakan dengan mesin yang berbeda, penggandaan menggunakan CD-ROM atau distribusi jaringan sangat diperlukan. Suatu aplikasi biasanya memerlukan banyak file yang berbeda-beda dan kadang – kadang mempunyai ukuran sangat besar. File akan lebih baik bila ditempatkan dalam media penyimpanan yang memadai. Tahap distribusi juga merupakan tahap di mana evaluasi terhadap suatu produk multimedia dilakukan. Dengan dilakukannya evaluasi, akan dapat dikembangkan sistem yang lebih baik dikemudian hari.

2.3 Sekilas Tentang Flash

Flash merupakan program grafis animasi web yang diproduksi oleh Macromediacorp, yaitu sebuah vendor software yang bergerak di bidang animasi


15 web. Macromedia Flash pertama kali diproduksi pada tahun 1996. Pada awal produksi, Macromedia Flash merupakan software untuk membuat animasi sederhana berbasis GIF. Seiring dengan perkembangannya, Macromedia Flash mulai digunakan dalam pembuatan desain situs web. Macromedia Flash telah diproduksi dengan beberapa versi. Versi terakhir dari Macromedia Flash adalah Macromedia flash 8. Sekarang Flash telah berpindah vendor menjadi Adobe.

2.3.1 Adobe Flash CS3

Adobe Flash CS3 adalah salah satu aplikasi pembuat animasi yang cukup dikenal saat ini. Berbagai fitur dan kemudahan yang dimiliki membuat Adobe Flash CS3 menjadi program animasi favorit dan cukup populer. Tampilan interface, fungsi dan pilihan palet yang beragam, serta kumpulan tool yang sangat lengkap sangat membantu dalam pembuatan karya animasi yang menarik. Flash seperti software yang kaya dimana didalamnya terdapat semua kelengkapan yang dibutuhkan. Mulai dari fitur menggambar, ilustrasi, mewarnai, animasi, dan programming. Kita dapat mendesain gambar atau objek yang akan kita animasikan langsung pada Flash. Fitur programming pada Flash menggunakan bahasa ActionScript.

ActionScript dibutuhkan untuk memberi efek gerak dalam animasi. ActionScript di flash pada awalnya memang sulit dimengerti jika seseorang tidak mempunyai dasar atau mengenal flash. Tetapi jika sudah mengenalnya, kita tidak bias lepas dari ActionScript karena sangat menyenangkan dan dapat membuat pekerjaan jauh lebih cepat, mudah dan hasilnya juga lebih menarik.

2.3.2 Jendela Utama

Jendela utama merupakan awal dari pembuatan program, pembuatannya dilakukan dalam kotak movie dan stage yang didukung oleh tools lainnya. Jendela kerja flash terdiri dari panggung (stage) dan panel-panel. Panggung merupakan


16

tempat objek diletakkan, tempat menggambar dan menganimasikan objek. Sedangkan panel disediakan untuk membuat gambar, mengedit gambar, menganimasi, dan pengeditan lainnya. Adapun menu yang terdapat pada jendela utama adalah:

1. Menu Bar adalah kumpulan yang terdiri atas dasar menu-menu yang digolongkan dalam satu kategori. Misalnya menu file terdiri atas perintah New,Open, Save, Import, Export, dan lain-lain. 2. Timeline adalah sebuah jendela panel yang digunakan untuk mengelompokkan dan mengatur isi sebuah movie, pengaturan tersebut meliputi penentuan masa tayang objek, pengaturan layer, dan lain-lain. 3. Stage adalah area untuk berkreasi dalam membuat animasi yang digunakan untuk mengkomposisi frame-frame secara individual dalam sebuah movie. 4. Toolbox adalah kumpulan tools yang sering digunakan untuk melakukan seleksi, menggambar, mewarnai objek, memodofikasi objek, dan mengatur gambar atau objek. 5. Properties adalah informasi objek-objek yang ada di stage. Tampilan panel properties secara otomatis dapat berganti-ganti dalam menampilkan informasi atribut-atribut properties dari objek yang terpilih. 6. Panels adalah sebagai pengontrol yang berfungsi untuk mengganti dan memodifikasi berbagai atribut dari objek animasi secara cepat dan mudah.

2.3.3 Library Fungsi dari library adalah sebagai wadah untuk menyimpan programprogram terpisah yang sudah jadi, seperti tombol, objek grafis, audio, video, dan lain-lain.

2.3.4 Action Script Salah satu kelebihan Adobe Flash Cs3 dibanding perangkat lunak animasi yang lain yaitu adanya ActionScript. ActionScript adalah bahasa pemrograman Adobe Flash CS 3 yang digunakan untuk membuat animasi atau interaksi.


17 ActionScript mengizinkan untuk membuat intruksi berorientasi action (lakukan perintah) dan instruksi berorientasi logic (analisis masalah sebelum melakukan perintah). Sama dengan bahasa pemrograman yang lain, ActionScript berisi banyak elemen yang berbeda serta strukturnya sendiri. Kita harus merangkainya dengan benar agar ActionScript dapat menjalankan dokumen sesuai dengan keinginan. Jika tidak merangkai semuanya dengan benar, maka hasil yang didapat akan berbeda atau file flash tidak akan bekerja sama sekali. ActionScript juga dapat diterapkan untuk action pada frame, tombol, movie clip, dan lain-lain. Action frame adalah action yang diterapkan pada frame untuk mengontrol navigasi movie, frame, atau objek lain. Salah satu fungsi ActionScript adalah memberikan sebuah konektivitas terhadap sebuah objek, yaitu dengan menuliskan perintah-perintah didalamnya. Tiga hal yang harus diperhatikan dalam ActionScript yaitu:

1. Event Event merupakan peristiwa atau kejadian untuk mendapatkan aksi sebuah objek. Event pada Adobe Flash Cs3 ada empat, yaitu:

a. Mouse event: Event yang berkaitan dngan penggunaan mouse. b. Keyboard Event: Kejadian pada saat menekan tombol keyboard. keyboard c. Frame Event: Event yang diletakkan pada keyframe. d. Movie Clip Event: Event yang disertakan pada movie clip.

2. Target Target adalah objek yang dikenai aksi atau perintah. Sebelum dikenai aksi atau perintah, sebuah objek harus dikonversi menjadi sebuah simbol dan memiliki nama instan. Penulisan nama target pada skrip harus menggunakan tanda petik ganda (” ”).


18

3. Action Pemberian action merupakan lagkah terakhir dalam pembuatan interaksi antar objek. Action dibagi menjadi dua antara lain: a. Action Frame: adalah action yang diberikan pada keyframe. Sebuah keyframe akan ditandai dengan huruf a bila pada keyframe tersebut terdapat sebuah action. b. Action Objek: adalah action yang diberikan pada sebuah objek, baik berupa tombol maupun movie clip.

software ActionScript diketikkan pada panel actions yang tersedia pada software. Clip ActionScript hanya dapat dituliskan pada objek yang bertipe Movie Clip, keyframe, Button, dan objek components. ActionScript tidak dapat digunakan pada objek tulisan atau gambar lain yang bukan bertipe Movie Clip. Jadi bila ingin menggunakan ActionScript pada suatu objek, objek tersebut harus diubah menjadi Movie Clip telebih dahulu. Untuk membuka panel Actions, klik tulisan Action yang ada pada jendela panel . 2.3.5 Sistem Koordinat Pada Flash

System koordinat yang dimiliki oleh flash sebenarnya hampir sama dengan koordinat Cartesian biasa, namun agak berbeda dalam posisi positif dan negative koordinat X dan Y nya. Perhatikan gambar berikut:

Gambar 2.9 Sistem Koordinat Biasa


19 dan perhatikan gambar kedua:

Gambar 2.10 Sistem Koordinat Pada Flash CS 3 Professional

Jika diperhatikan secara sekilas kita tidak akan melihat perbedaan yang berarti namun, posisi positif dan negative koordinat Y terbalik. Semakin keatas nilai Y semakin kecil dan sebaliknya, semakin kebawah nilai Y semakin besar.

2.4 Vektor

Aljabar adalah cabang dari ilmu matematika

yang mempelajari

penyederhanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan simbol sebagai pengganti konstanta dan variable. Dan vektor merupakan aljabar linier yang membahas mengenai sifat – sifat khusus sebuah ruang.

2.4.1 Pengertian Vektor dan Skalar

Setiap besaran skalar seperti temperature, tekanan, massa, dan sebagainya, selalu dikaitkan dengan suatu bilangan yang merupakan nilai dari besaran itu. Untuk besaran vektor disamping mempunyai nilai, ia juga mempunyai arah,


20

misalnya pada gerakan angin, selain disebutkan lajunya disebutkan juga arahnya, sperti 20 km/jam dengan arah timur laut. Menurut Murray R. Spiegel, Ph.D dalam bukunya Analisis Vektor (1991), Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti perpindahan (dispalacement), kecepatan, gaya dan percepatan. Sedangakan Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang, waktu, suhu dan sebarang bilangan rill. Skalar dinyatakan dengan huruf – huruf biasa seperti dalam aljabar elementer, operasi – operasi dengan skalar mengikuti aturan – aturan yang sama seperti halnya dalam alajabar elementer (aljabar dasar).

Secara grafis, vektor dilambangkan oleh sebuah dengan anak panah yang mendifinisikan arahnya, sedangkan besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah seperti pada gambar di bawah : Ā= A=A

O

P Gambar 2.11 Vektor

Ujung pangkal O dari anak panah disebut titik asal atau titik pangkal vektor dan ujung kepala P disebut titik terminal atau titik terminus.

Namun secara analitis, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf dengan anak panah diatasnya Ā atau notasi huruf dengan cetakan tebal A, seperti pada gambar 2.1 dan besarnya atau panjangnya dinyatakan dengan |A|. 2.4.2 Definisi Ruang-1 Atau R1 Ruang dimensi 1 atau ruang -1 (R1) adalah himpunan semua bilangan real (R) himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real :

-3

-2

-1

0

1

2

Gambar 2.12 Garis Bilangan Real


3

21

Jadi garis bilangan berfungsi untuk nenunjukkan letak suatu titik pada suatu garis berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunulkan gagasan berikutnya bahwa suatu titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke -17 lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19 para ahli metematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n. 2.4.3 Definisi Ruang-2 atau R2 Ruang dimensi-2 atau ruang 2 (R2) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan (x,y) dimana x dan y adalah bilangan – bilangan real. Pasangan bilangan (x,y). Bilangan x dan y disebut koordinat titik. Untuk menggambarkan titik-titik di R2 secara geometris, koordinatx dan y dianggap berada paa dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu siistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku – siku. Pada R2 sistem ini dinamakan sistem koordinat x,y atau sistem koordinat kartesian (Cartesian system) yang dibagung oleh: 1. Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x,0). 2. Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,y).


22

Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (Origin point) ditulis (0,0). Titik ini adalah titik dimana sumbu x dan y saling berpotongan. y

A(x,y)

(0,0) 0

x

Gambar 2.13 vektor bidang atau vektor 2 dimensi 2.4.4 Definisi Ruang-3 atau R3

Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (R3) adalah himpunan triple bilangan berurutan (x,y,z) dimana x,y dan z adalah bilangan real. Triple bilangan (x,y,z) dinamkan titik (point) dalam R3, misalnya suatu titik B dapat ditulis B (x,y,z). Bilangan x,y dan z disebut koordinat dari titik B.

Seperti halnya R2, R3 memilki sistem koordinat siku – siku yaitu sistem koordinat xyz dengan titik asal (0,0,0)yang dibagun oleh: 1. Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x,0,0). 2. Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,y,0). 3. Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,0,z).


23

B (x,y,z)

Gambar 2.14 Vektor 3 dimensi

2.4.5 Definisi Mendasar Vektor Aljabar

Operasi- operasi menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan yang lazim dlam aljabar bilangan – bilangan riil, dapat juga kita gunakan di dalam aljabar vektor. Definisi – definisi mendasar dari aljabar vektor adalah: 1. Dua buah vektor A dan B sama atau A = B jika mereka memiliki besar dan arah yang sama tanpa memandang kedudukan titik- titik awalnya seperti pada gambar dibawah ini:

A

B

Gambar 2. 15 Vektor Sama 2. Sebuah Vektor yang mempunyai arah yang berlawanan dengan arah vektor A tetapi panjangnya sama, ditunjukkan oleh –A seperti pada gambar 2.3 di bawah : -A A

Gambar 2.16 Vektor Berlawanan


24

3. Jumlah atau Resultan vektor A dan B ialah sebuah vektor C yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari B pada titik awal dari A dan kemudian menghubungkan titik terminal dari A dengan titik terminal dari B jumlah ini ditulis dengan A + B , maka C=A+B. Definisi ini ekuivalen dengan hukum jajargenjang.

A

B

A C= A+ B B

Gambar 2.17 Resultan Vektor

4. Selisih dari vektor – vektor A dan B yang dinyatakan oleh A – B, adalah vektor C yang apabila ditambahkan pada B menghasilkan vektor A. Secara ekuivalen, A – B dapat didefinisikan sebagai jumlah A + (-B). Jika A = B, maka A – B didefinisikan sebagai vektor nol atau vektor kosong dan dinyatakan dengan simbol 0 atau secara singkat 0. Besarnya nol dan tak memiliki arah tertentu. Vektor yang tak nol adalah vektor sejati (proper vektor). Semua vektor akan dipandang sejati kecuali bila ada pernyataan lainnya.

5. Hasil kali sebuah vektor A dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mA m yang besarnya ||m| m| kali besarnya A dan memiliki arah yang sama atau berlawanan dengan A, bergantung pada apakah m skalar positif atau negatif. Jika m=0 maka A adalah sebuah vektor 0.


25 2.5 Operasi Vektor

2.5.1 Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

Dalam operasi penjumlahan dan pengurangan vektor ini tidak berbeda dengan penjumlahan dan pengurang bilangan skalar namun dalam ruang 2 dimensi atau tiga dimensi kita dapat menggunakan aturan aljabar yang akan menghasilkan satu vektor baru. Misalnya terdapat Vektor A dua dimensi dengan pada titik (x1,y1) da dan vektor

B dua dimensi juga dengan titik (x2, y2) maka

operasai penjumlahan dapat dilakukan dengann cara : C=A+B C= (x1,y1)+(x2,y2) Maka C = (x1+x2), (y1+y2) itu juga pada operasi pengurang Begitu C=A-B C= (x1,y1)-(x2,y2) Maka C = (x1-x2), (y1-y2) 5.2 Hukum – Hukum Aljabar Vektor 2.5.2

Jika A, B, dan C adalah vektor – vektor dan m dan n skalar – skalar maka: 1. A + B = B + A

Hukum Komutatif untuk Penjumlahan

2. A + ( B + C) = ( A + B ) + C Hukum Asosiatif untuk Penjumlahan 3. mA = Am

Hukum Komutatif untuk Perkalian

4. m (nA) = (mn) A

Hukum Asosiatif untuk Perkalian

5. ( m + n)A = mA + nA

Hukum Distributif

6. m(A + B) = mA + mB

Hukum Distributif

Perlu diingat bahwa di dalam hukum – hukum di atas hanyalah perkalian sebuah vektor oleh satu atau lebih skalar yang ditentukan, untuk perkalian atar vektor akan di bahas pada pembahasan materi perkalian.


26

Hukum – hukum ini memungkinkan kita memperlakukan persamaan – persamaan vektor dengan cara yang sama seperti persamaan – persamaan aljabar biasa. Misalnya, jika A + B = C maka dengan menukarkan tempat A = C – B. 2.5.3 Perkalian

Operasi perkalian vector dapat terjadi antara vector dengan scalar dan vector dengan vektor, perkalian antara vektor dengan scalar akan menghasilkan sebuah vektor dengan komponennya merupakan hasil kali komponen vektor semula dengan bilangan scalar itu. Misal diberikan vektor di bidang, A=(a,b) dengan scalar t maka, tA= (ta,tb). Sedangkan perkalian antara vektor dibagi menjadi 2, yaitu Perkalian dot product (perkalian titik) dan Perkalian Cross Product (perkalian silang).

Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik atau dot product anatara dua buah vektor akan menghasilkan suatu scalar atau bilangan real (R). Misal diberikan dua buah vektor A dan B maka dihasil kali titik antara A (x1,y1) dan B (x2,y2) didefinisikan: A • B = x1x2 + y1 y2 Atau A • B = x1x2 + y1 y2 + z1z2 unt untuk vektor A dengan komponen (x1,y1, z1 ) dan B dengan komponen (x2,y2, z2) atau vektor di ruang 3 dimensi.

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang merupakan perkalian yang menghsilkan besaran vektor, sifat perkalian ini adalah: 1. A x B ≠ B x A 2. A x B = -B x A


27 3. A x A = 0 4. A x (B+C) = (A x B) + (A x C) 5. (A + B) x C = (A x C) + (B x C) Pada perkalian ini, metode atau cara penyelesaian yang digunakan adalah menggunakan metode sarrus, yaitu:

Metode Sarrus

Metode ini digunakan untuk mencari determinan matriks yang berdimensi 3x3. Tetapi cara sarrus ini dapat juga digunakan untuk menghitung perkalian silang pada vektor. Sebagai contoh A = (A1,A2,A3) dan B = (B1,B2,B3). Untuk menggunakn cara sarrus lengkah pertama yang harus dilakukan adalah:

a. Tulis vektor A dan B kedalam kolom dan baris dan gunakan baris pertama sebagai variabel i,j,dan k. Sedangkan baris kedua adalah nilai vektor A dan baris ketiga adalah nilai dari vektor B, seperti cara dibawah ini:

b. Setelah itu, tulis kembali dari kolom i, dan kolom j di sebelah kanan dari kolom k. untuk penulisannya, pada kolom i=[A1 B1] sedangkan kolom j=[A2 B2].


28

c.

Kemudian langkah yang terakhir adalah menghitung nilai dari

langkah 2 dengan cara seperti berikut:


8 dapat memilih materi pelajaran yang diinginkan, dan komputer dapat memantau kemajuan proses belajar siswa(sutopo : 23). Presentasi khusus dibuat unt

Recommend Documents