6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

6.1 Kijkhoeken[1]

• Het plaatje is een bovenaanzicht; • De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; • De twee rode lijnen zijn kijklijnen; • De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon kan zien. Willem-Jan van der Zanden

1

6.1 Kijkhoeken[1]

In het plaatje is een flatgebouw getekend. Iemand, die vanaf punt P (op de grond) naar dit gebouw kijkt, kijkt met de kijkhoek QPR. De kijklijnen zijn PR en PQ.

Willem-Jan van der Zanden

2

6.1 Kijkhoeken[1]

Kijkhoek QPR kan als volgt berekend worden:

tan QPR  QPR  45

QR 30  1 PQ 30

Let op: • GR op graden; • Bereken met tan-1(1). Willem-Jan van der Zanden

3

6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 1: Teken een zijaanzicht met de hulplijn PS loodrecht op QR.


4

6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 2: Bereken ∠SPQ.

In ∆SPQ:

QS 1,8 tan SPQ    0, 06 PS 30 SPQ  tan 1 (0, 06)  3, 43


5

6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 3: Bereken ∠SPR.

In ∆SPR:

PS 30  1,8 tan SPR    0,94 PR 30 SPR  tan 1 (0,94)  43, 23


6

6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 4: Bereken ∠QPR.

∠QPR


= ∠ RPS + ∠ SPQ = 3,43˚ + 43,23˚ ≈ 46,7˚

7

6.2 De cosinusregel [1] Cosinusregel: In elke ∆ABC geldt de cosinusregel: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ Met behulp van de cosinusregel is het dus mogelijk de grootte van de hoeken van een driehoek uit te rekenen als je alleen de lengtes van de zijden weet.


8

6.2 De cosinusregel [1] Voorbeeld : Gegeven is ∆ABC met a = 4,46 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken ∠A in graden nauwkeurig. a2 = b2 + c2 – 2bc cos α 4,462 = 4,842 + 4,962 – 2 · 4,84 · 4,96 cos α 19,89 = 48,03 – 48,01 cosα 48,01 cos α = 28,14 cos α = 0,586 α = 54,13

Grafische Rekenmachine: Op de GR bereken je cos α = 0,586 met: 2ND | COS | COS-1(0,586)


9

6.2 De cosinusregel [2] Voorbeeld : Gegeven is ∆ABC met α = 54,13 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a2 = b2 + c2 – 2bc cos α a2 = 4,842 + 4,962 – 2 · 4,84 · 4,96 cos 54,13 a2 = 48,03 – 48,01 ⋅ 0,586 a2 = 19,896 a = 4,46


10

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]

Afspraak: De hoek tussen twee snijdende lijnen is de niet-stompe hoek tussen die lijnen. De hoek tussen de lijnen AC en BD is ∠ASD (of ∠BSC).


11


Voorbeeld: Gegeven is de kubus OABC DEFG met AB = 4. Het punt M is het midden van de zijvlaksdiagonaal OB. Bereken ∠(CE, GM) in graden nauwkeurig. Willem-Jan van der Zanden

12


Stap 1: Teken het vlak ACGE apart. S is het snijpunt van de lijnen CE en GM.

∠(CE, GM) = ∠CSG


13


Stap 2: ∠CGS (of ∠CGM) en ∠GCE liggen beiden in een rechthoekige driehoek. Hiervoor zijn de lengtes van EG en CM nodig. Met behulp van deze twee hoeken kan ∠CSG berekend worden. EG is een zijvlaksdiagonaal. In een kubus waarvan de zijden lengte 4 hebben, is de lengte van EG (en ook van AC) 4√2. CM = ½ ∙ AC = ½ ∙ 4√2 = 2√2 Willem-Jan van der Zanden

14


CM 2 2 1   2 CG 4 2 1 CGM  tan 1 ( 2)  35,3 2 tan(CGM ) 

Stap 4: (In ∆CGS) ∠GSC = 180˚ - ∠GCS - ∠CGS = 180˚ - 35,3˚ - 54,7˚ = 90˚

EG 4 2   2 CG 4 GCE  tan 1 ( 2)  54, 7 tan(GCE ) 

∠(CE, GM) = 90˚ Willem-Jan van der Zanden

15


In het plaatje hierboven is een lijn getekend, die loodrecht op het getekende vlak staat. Deze lijn is een loodlijn. Een loodlijn van een vlak staat loodrecht op iedere lijn in dat vlak.


16


Hierboven is een lijn getekend (door de punten S en P), die niet loodrecht op een vlak staat. Vanuit het punt P op de lijn is een loodlijn getrokken naar het vlak. Het punt P’ is het snijpunt van deze loodlijn en het vlak. De lijn door de punten S en P’ is de loodrechte projectie van de getekende lijn op het vlak. De hoek PSP’ is nu de hoek tussen de getekende lijn en het vlak. Deze hoek wordt ook wel de hellingshoek genoemd.


17


Gegeven is de kubus ABCD EFGH met ribbe 4. Het punt M is het midden van de Ribbe BC. Bereken de hellingshoek van HM in graden nauwkeurig. Stap 1: Gebruik dat DM de loodrechte projectie van HM op ABC is. ∠(HM, ABC) = ∠(HM, DM) = ∠DMH Willem-Jan van der Zanden

18


Stap 2: (In ∆DCM) DM2 = CM2 + CD2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 DM = √20 Willem-Jan van der Zanden

19


Stap 3: (In ∆DMH)

 4  => tan 1    42  20  De gevraagde hellingshoek is ongeveer 42˚. tan(∠DMH) =

4 20


20

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4 De hoek die het vlak EBC maakt met het vlak ABC is gelijk aan hoek ABE. Ook de hoek HCD is een hoek tussen de vlakken EBC en ABC. Ook de hoek JKI is een hoek tussen de vlakken EBC en ABC. Merk op dat BC de snijlijn is van de vlakken ABC en EBC. Willem-Jan van der Zanden

21

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] De vlakken ABE, IJK en HDC zijn alle drie standvlakken van de vlakken ABC en EBC. Een standvlak van de vlakken ABC en EBC is een vlak dat loodrecht staat op de snijlijn BC van de vlakken ABC en EBC.

∠(EBC, ABC)

= ∠(BE, AB) = ∠EBA = ∠(CH, CD) = ∠HCD = ∠(IK, JK) = ∠IKJ

De hoeken hierboven zijn standhoeken van de vlakken EBC en ABC.


22

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4. Bereken de hoek tussen de vlakken ABE en ABC.

Stap 1: Zoek de snijlijn k van de vlakken ABE en ABC. Dit is de lijn BC.


23


Stap 2: Zoek een geschikt standvlak. Dit is het vlak ABE.


24


Stap 3: Bereken de gevraagde hoek. ∠(EBC, ABC)

= ∠(BE, AB) = ∠EBA

AE 4  AB 5 4 EBA  tan 1    38, 7 5 tan(EBA) 


25

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de ∆ABC met AC = 6, AB = 8 en de rechte hoek A. De oppervlakte van deze driehoek kan op twee manieren berekend worden: Opp(∆ABC)

= ½ ∙ AB ∙ AC = ½ ∙ BC ∙ AD

(1) (2)

Uit (1) en (2) volgt: ½ ∙ AB ∙ AC = ½ ∙ BC ∙ AD AB ∙ AC = BC ∙ AD Met deze zijde x hoogte – methode is het mogelijk om de lengte van lijnstuk AD te berekenen. Willem-Jan van der Zanden

26

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 1: De vlakken ABC en DBG snijden elkaar volgens de lijn BD. Stap 2: Een standvlak is het vlak door CG loodrecht op BD. Let op: Omdat het grondvlak van de balk geen kubus is, is ACGE geen standvlak, want het staat niet loodrecht op BD.


27

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 4: BD2 BD

= BC2 + CD2 = 32 + 52 = 9 +25 =34 = √34

Met behulp van de zijde x hoogte methode in ∆BDC kan CK berekend worden. BD x CK = BC x DC √34 x CK = 3 x 5 CK = 15/√34 Willem-Jan van der Zanden

28

6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 5: ∠(ABC, DBG) = ∠GKC tan(∠GKC) =

GC 4  CK 15

34

  4   57 tan 1    15  34   ∠(ABC, DBG) ≈ 57˚


29

6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met AB = 3 en hoogte ST = 5. De piramide wordt geroteerd (gedraaid) om de ribbe BC, zo dat T op de tafel terecht komt. Bereken de rotatiehoek (draaiingshoek) α in graden nauwkeurig.


30

6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 1: T roteert om Q in het vlak PQT. P is het midden van AD en Q het midden van BC. Maak een tekening van de situatie:

De rotatiehoek is de hoek TQT’ (α) in het plaatje. tan(SQT ) 

ST 5  SQ 1,5

 5  SQT  tan 1    73,3 1,5  

∠TQT’ ≈ 180˚ - 73,3˚ ≈ 107˚


31

6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 2: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met AB = 3 en hoogte ST = 5. De piramide wordt geroteerd (gedraaid) om de ribbe BC, zo dat T op de tafel terecht komt. Bereken in cm nauwkeurig de lengte van de baan die T tijdens de rotatie beschrijft. T beschrijft een cirkelboog met straat TQ. 2

 1 QT  5  1   27, 25  2 2

Lengte baan 

107 107  2r   2 27, 25  9, 7 360 360


32

6.5 Afstanden in de ruimte [1] Afspraak: De afstand van een punt P tot een lijn l is de afstand van P tot zijn loodrechte projectie P’ op l.

Afspraak: De afstand van een punt P tot een vlak V is de afstand van P tot zijn loodrechte projectie P’ op V. Willem-Jan van der Zanden

33

6.5 Afstanden in de ruimte [1] Voorbeeld afstand tussen punt en lijn: Gegeven is de balk ABCD EFGH met AB = 5, BC = 6 en AE = 4. Bereken in twee decimalen nauwkeurig: d(H, AG). Vlak AGH is het diagonaalvlak ABGH.


34

6.5 Afstanden in de ruimte [1] Stap 1: Teken het diagonaalvlak ABGH. Stap 2: Bereken AH en AG.

AH  AE 2  EH 2  42  62  52 AG  AC 2  CG 2  52  62  42  77 Stap 3: Bereken HH’ m.b.v. de zijde x hoogte – methode. AG x HH’ = AH x GH √77 x HH’ = √52 x 5 HH’ =

5 52  4,11 77 Willem-Jan van der Zanden

35

6.5 Afstanden in de ruimte [1] Voorbeeld afstand tussen punt en vlak: Gegeven is de balk ABCD EFGH met AB = 5, BC = 6 en AE = 4. Bereken in twee decimalen nauwkeurig: d(H, DCF). Vlak DCF is het diagonaalvlak DCFE. Het lijnstuk HH’ (de afstand van H tot DCF) Ligt in het vlak ADHE.


36

6.5 Afstanden in de ruimte [1] Stap 1: Teken het vlak ADHE. Stap 2: Bereken de lengte van HH’ met de zijde x hoogte methode.

DE x HH’= DH x EH √52 x HH’= 4 x 6 HH’=

24  3,33 52


37

6.5 Afstanden in de ruimte [2] De lijnen l en m zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt D op l geldt nu: d(l, m) = d(D, m).

De lijn l en het vlak V zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt P op l geldt nu: d(l, V) = d(P, V)


38

6.5 Afstanden in de ruimte [2] De vlakken V en W zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt P in V. geldt nu: d(V, W) = d(P, W)


39

6.5 Afstanden in de ruimte [3] Voorbeeld: Gegeven is de kubus ABCD EFGH. M is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen EG en FH. Het lijnstuk MN staat loodrecht op de lichaamsdiagonaal BH. Bereken MN in twee decimalen nauwkeurig. Stap 1: Teken het diagonaalvlak BDHF. Stap 2: HF = HE 2  EF 2  42  42  32 BH = BD2  DH 2  32  42  48


40

6.5 Afstanden in de ruimte [3] Stap 3: ∠N = ∠F = 90˚ ∠MHN = ∠BHF Hieruit volgt ∆HMN ∾ ∆HBF (hh) Stap 4: MN

HM

MN

½ √32

BF

HB

4

√48

MN 

4 1

2 48

32

 1, 63


41

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

Recommend Documents