40

LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak

˝ SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. oszi félév

Euklideszi terek

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

1 / 40

Euklideszi tér ˝ A standard belso˝ szorzás és standard norma az Emlékezteto: Rn vektortéren: n X p ui vi és kuk = hu, ui. hu, v i = i=1

Definíció (Az Rn euklideszi tér) A standard belso˝ szorzással ellátott Rn vektorteret így hívjuk: az Rn euklideszi tér. A standard belso˝ szorzás az Rn vektortér minden alterén is meghatároz egy belso˝ szorzást. Definíció (Az Rn euklideszi tér altere) Ha az Rn vektortér egy U alterét ezzel a belso˝ szorzással ellátva tekintjük, akkor így hívjuk: az Rn euklideszi tér U altere. ˝ A következokben euklideszi tér: egy Rn (n ∈ N) euklideszi tér valamelyik altere. Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

2 / 40

Vektorok szöge Definíció (Ortogonális vektorok) ˝ Tetszoleges V euklideszi tér és u, v ∈ V vektor esetén azt ˝ mondjuk, hogy u ortogonális (meroleges) v -re, ha hu, v i = 0. Jele: u ⊥ v . Észrevétel: ha u ortogonális v -re, akkor v is ortogonális u-ra ˝ síkban és térben a nemnulla Emlékezteto: u, v vektorok által hu,v i hu,v i bezárt szög koszinusza kukkv k , tehát kukkv k ≤ 1 ˝ Tétel (Bunyakovszkij–Cauchy–Schwarz-egyenlotlenség) ˝ Az Rn euklideszi tér tetszoleges u, v vektorára | hu, v i | ≤ kuk kv k . Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

3 / 40

Vektorok által bezárt szög Következmény (Vektorok és szög) ˝ Tetszoleges u, v ∈ Rn \ {0} esetén létezik pontosan egy olyan hu,v i α szög, melyre 0 ≤ α ≤ π és cos α = kukkv k. Definíció (Vektorok által bezárt szög) Ezt az α szöget így hívjuk: az u és v vektorok által bezárt szög. ˝ Tétel (Háromszög-egyenlotlenség) ˝ Tetszoleges u, v ∈ Rn esetén ku + v k ≤ kuk + kv k. Megjegyzés: az Rn euklideszi térben beszélhetünk távolságról, ˝ térfogatról, . . . szögrol,

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

4 / 40

Normálvektorok ˝ Ha a1 x1 + · · · + an xn = b nemtriviális egyenlet, Emlékezteto: azaz (a1 , a2 , . . . , an ) 6= 0, akkor U = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 x1 + · · · + an xn = 0} (n − 1)-dimenziós altér Rn -ben, és {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 x1 + · · · + an xn = b} = v + U valamely v ∈ Rn vektorra. Észrevétel: egy Rn euklideszi térbeli u vektorra pontosan akkor teljesül u ∈ U, ha (a1 , a2 , . . . , an ) ⊥ u

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

5 / 40

Normálvektorok Állítás (Bizonyos altér összes vektorára ortogonális vektor) Legyen U (n − 1)-dimenziós altér Rn -ben. Ekkor 1

létezik olyan a ∈ Rn \ {0} vektor, amely bármely u ∈ U vektorra ortogonális,

2

ha egy b ∈ Rn \ {0} vektor bármely u ∈ U vektorra ortogonális, akkor b ∈ [a].

Megjegyzés: ha u1 , u2 , . . . , un−1 bázis az U altérben, akkor egy ilyen a vektor koordinátái ai = (−1)i Di (i = 1, 2, . . . , n), ahol Di annak az (n − 1) × (n − 1)-es mátrixnak a determinánsa, amely az u1 , u2 , . . . , un−1 sorvektorokból álló mátrixból az i-edik oszlop elhagyásával adódik (vö. 4.24. Feladat) az n = 3 esetben ez az a vektor éppen az u1 és u2 térbeli vektorok vektoriális szorzata Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

6 / 40

Normálvektorok

Definíció (Normálvektor) Azt mondjuk, hogy egy a ∈ Rn \ {0} vektor normálvektora az (n − 1)-dimenziós U ≤ Rn altérnek és U bármely eltoltjának, ha a ⊥ u minden u ∈ U esetén. Következmény (Normálvektor létezése és egyértelmusége ˝ konstans szorzó erejéig) A Rn euklideszi térben minden (n − 1)-dimenziós altérnek és eltoltjának van normálvektora, és bármely két normálvektor egymás konstansszorosa (egy egyenesbe esik).

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

7 / 40

Normálvektorok

Következmény 1

A síkban minden e egyenes és P pont esetén létezik ˝ egyetlen olyan egyenes, amely átmegy P-n és meroleges e-re.

2

A térben minden s sík és P pont esetén létezik egyetlen ˝ olyan egyenes, amely átmegy P-n és meroleges s-re.

3

˝ (a, b) Az R2 síkban a P = (p, q) ponton átmeno, normálvektorú egyenes egyenlete ax + by = ap + bq.

4

˝ (a, b, c) Az R3 térben a P = (p, q, r ) ponton átmeno, normálvektorú sík egyenlete ax + by + cz = ap + bq + cr .

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

8 / 40

Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben

Definíció (Egyenesek által bezárt szög a térben) Két egyenes által bezárt szög: az irányvektoraik által bezárt szög és annak kiegészíto˝ szöge közül az, amelyik 0 és π2 közé esik, beleértve a határokat is.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

9 / 40

Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Síkok által bezárt szög a térben) Két sík által bezárt szög: a normálvektoraik által bezárt szög és annak kiegészíto˝ szöge közül az, amelyik 0 és π2 közé esik, beleértve a határokat is.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

10 / 40

Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Egyenes és sík által bezárt szög a térben) Egyenes és sík által bezárt szög: π2 − β, ahol β az egyenes irányvektora és a sík normálvektora által bezárt szög és annak kiegészíto˝ szöge közül az, amelyik 0 és π2 közé esik, beleértve a határokat is.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

11 / 40

Ortogonális vektorrendszerek

Definíció (Ortogonális vektorrendszer) Azt mondjuk, hogy egy euklideszi térbeli v1 , v2 , . . . , vn vektorrendszer ortogonális vektorrendszer, ha bármely két különbözo˝ i, j indexre vi ⊥ vj , ortonormált vektorrendszer, ha ortogonális vektorrendszer, és kvi k = 1 minden i-re. Állítás (Ortogonális vektorrendszer és lineáris függetlenség) Euklideszi térben minden 0-t nem tartalmazó ortogonális vektorrendszer lineárisan független.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

12 / 40

Ortogonális vektorrendszerek Következmény (Ortogonális vektorrendszer és bázis) 1

Euklideszi térben minden ortonormált vektorrendszer lineárisan független.

2

Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n vektorból álló ortonormált vektorrendszer bázis.

3

Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n tagú, nemnulla vektorokból álló ortogonális vektorrendszer bázis.

Definíció (Ortonormált és ortogonális bázis) Legyen V euklideszi tér. Ha egy V -beli ortonormált vektorrendszer bázis V -ben, ˝ V ortonormált bázisának nevezzük. akkor ot Ha egy V -beli ortogonális vektorrendszer bázis V -ben, ˝ V ortogonális bázisának hívjuk. akkor ot Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

13 / 40

Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció

Tétel (Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció) Egy euklideszi tér bármely lineárisan független v1 , v2 , . . . , vk vektorrendszeréhez van olyan u1 , u2 , . . . , uk ortogonális vektorrendszer, amelyre [u1 , u2 , . . . , ui ] = [v1 , v2 , . . . , vi ] teljesül i = 1, 2, . . . , k esetén. Észrevétel: A tételbeli u1 , u2 , . . . , uk ortogonális vektorrendszer ˝ Így kuu1 k , . . . , kuuk k ortonormált minden tagja 0-tól különbözo. 1 k vektorrendszer. Tehát az u1 , u2 , . . . , uk vektorrendszer ortonormáltnak is választható.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

14 / 40

Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció A tétel bizonyítása az ún. Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás: adott egy lineárisan v1 , v2 , . . . , vk független vektorrendszer, a cél egy tételbeli u1 , u2 , . . . , uk vektorrendszer megadása. def

1

u1 = v1

2

u2 = v2 −

3

ha u1 , u2 , . . . , u`−1 már definiált, akkor legyen `−1 P hv` ,uj i def u` = v` − 2 uj j=1 kuj k

def

u2

hv2 ,u1 i u ku1 k2 1

v2 v2⊥

u1 = v1

˝ v2⊥ : v2 meroleges vetülete u1 -re hv2 ,u1 i ⊥ v2 = 2 u1

Euklideszi terek

ku1 k

LINEÁRIS ALGEBRA

15 / 40

Egy alkalmazás Amikor a számítógép háromdimenziós objektumokat (azaz R3 -beli pontokat) ábrázol és mozgat, akkor a háttérben lineáris algebrát használ. Nézzünk egy példát: adott a térben P = (·, ·, ·) pont t = [(·, ·, ·)] origón átmeno˝ tengely α szög Határozzuk meg a P pont t körüli, α szöggel vett elforgatottját. A forgatás lineáris transzformáció, így van mátrixa, melynek segítségével P képe mátrixszorzással meghatározható. Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

16 / 40

Egy alkalmazás Egy könnyu˝ eset: t = [(0, 0, 1)]



 cos α sin α 0 A forgatás mátrixa: − sin α cos α 0 0 0 1

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

17 / 40

Egy alkalmazás Általános t esetén: olyan ortonormált bázisban, amelynek utolsó vektora t-re esik, a mátrix ugyanez

Ha meg tudunk adni ilyen bázist, akkor a forgatás standard bázisbeli mátrixa a bázisáttérés mátrixával adódik. Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

18 / 40

Egy alkalmazás Példa: t = [(1, −2, 1)], P = (3, 2, −1), α =

2π 3

1. lépés: adjunk meg olyan ortonormált bázist, melynek utolsó vektora t-re esik 1

egészítsük ki (1, −2, 1)-et valahogyan bázissá: pl. (1, −2, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)

2

hajtsunk végre rajta Gram–Schmidt-féle ortogonalizációt: u1 = (1, −2, 1) ∈ t X
u2 = (1, 0, 0) − 61 (1, −2, 1) = 56 , − 31 , − 61

−1/3 5 1 1 2 4 u3 = (0, 1, 0) − −2 6 (1, −2, 1) − 5/6 6 , − 3 , − 6 = 0, 5 , 5

3

normáljuk:   q q   q  2 √1 5 2 1 √1 , − √ √1 , √2 , , 0, , , , − 3 6 15 5 5 6 6 30

Egy o˝ bázis: q megfelel    q q   5 2 1 1 2 1 2 1 √ √ √ √ ,− √ ∈t X 6, 15 , − 30 , 0, 5 , 5 , 3, 6 6 Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

19 / 40

Egy alkalmazás 2. lépés: írjuk fel a forgatás mátrixát ebben a bázisban  √    1 3 −√2 cos α sin α 0 0 2   A = − sin α cos α 0 = − 3 − 1 0 2 2 0 0 1 0 0 1 3. lépés: térjünk vissza a standard bázisra ˝ a bázisról a standard bázisra a bázisáttérés mátrixa errol  q

5 6

 Q=  0

√1 6

Euklideszi terek

q

2 15 √1 q5 − 23

− √130 √2 5 1 √ 6

  , 

LINEÁRIS ALGEBRA

20 / 40

Egy alkalmazás így a forgatás mátrixa a standard bázisban  √ 1 √1 − 41 − 12 − 42 4 − √ 2 √  1 1 1 2 2 Q −1 AQ =  − + − −  2 4 2 √ 2 4 1 √1 − 12 + 42 − 14 4 +

  , 

2

a P = (3, 2, −1) pont képe pedig √ √ (3, 2, −1)Q −1 AQ = (−2, − 2, −2 2) ˝ látni fogjuk, hogy ha a bázisáttérés Q Megjegyzés: Késobb mátrixa ilyen speciális, akkor Q −1 = Q T , tehát Q inverze számolás nélkül adódik.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

21 / 40

Ortonormált bázisok

Következmény (Ortonormált bázis létezése) Minden euklideszi térnek van ortonormált bázisa. Következmény (Ortonormált vektorrendszer kiegészítése ortonormált bázissá) Euklideszi térben 1

minden olyan ortogonális vektorrendszer, amely nem tartalmaz nullvektort, kiegészítheto˝ ortogonális bázissá,

2

minden ortonormált vektorrendszer kiegészítheto˝ ortonormált bázissá.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

22 / 40

Euklideszi terek izomorfiája Definíció (Euklideszi terek közötti lineáris leképezés) Ha U, V euklideszi terek és ϕ : U → V lineáris leképezés az U ˝ a V vektortérbe, akkor azt mondjuk, hogy ϕ lineáris vektortérrol ˝ a V euklideszi térbe. A leképezés az U euklideszi térrol vektorterekhez hasonlóan használjuk a Hom(U, V ) jelölést, valamint U = V esetén a lineáris transzformáció elnevezést. DE: Az euklideszi terek közötti izomorfizmus más, mint a vektortér-izomorfizmus! Definíció (Euklideszi terek közötti izomorfizmus) Azt mondjuk, hogy ϕ : U → V izomorfizmus az U euklideszi ˝ a V euklideszi térre, ha vektortér-izomorfizmus, és térrol ˝ tetszoleges u1 , u2 ∈ U vektorokra hu1 , u2 i = hu1 ϕ, u2 ϕi. Az ˝ a belso˝ szorzatot. utóbbi tulajdonság neve: ϕ megorzi

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

23 / 40

Euklideszi terek izomorfiája Állítás (Euklideszi terek közötti izomorfizmusok tulajdonságai) Euklideszi terek közötti izomorfizmusok szorzata és inverze is az. Definíció (Euklideszi terek izomorfiája) Azt mondjuk, hogy az U euklideszi tér izomorf a V euklideszi ˝ aV térrel, ha létezik izomorfizmus az U euklideszi térrol ∼ euklideszi térre. Jelölés: U = V . Tétel (n-dimenziós euklideszi terek) Minden n-dimenziós euklideszi tér izomorf az Rn euklideszi térrel. Észrevétel: ortonormált bázisban felírt koordinátasorokkal ugyanúgy számolunk belso˝ szorzatot, mint Rn -ben Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

24 / 40

Ortogonális lineáris transzformációk Definíció (Ortogonális lineáris transzformáció) Legyen V euklideszi tér és ϕ ∈ Hom(V , V ). Azt mondjuk, hogy ϕ ortogonális lineáris transzformáció V -n, ha bármely v ∈ V -re kv k = kv ϕk. Az utóbbi tulajdonság neve: ϕ normatartó. Észrevétel: Ortogonális lineáris transzformációk szorzata is az. Továbbá minden ortogonális lineáris transzformáció bijektív, így van inverze, és az is ortogonális. Példák: a síkon (az R2 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmeno˝ egyenesre való tükrözés, origó körüli elforgatás a térben (az R3 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmeno˝ egyenesre/síkra való tükrözés, origón átmeno˝ egyenes körüli elforgatás Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

25 / 40

Ortogonális lineáris transzformációk Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései) Bármely V euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris ˝ transzformáció esetén ekvivalensek a következok: 1

ϕ ortogonális,

2

˝ tetszoleges u, v ∈ V -re hu, v i = huϕ, v ϕi,

3

ϕ bármely ortonormált vektorrendszert ugyanilyenbe visz,

4

ϕ bármely ortonormált bázist ortonormált bázisba visz,

5

van olyan ortonormált bázis V -ben, amit ϕ ortonormált bázisba visz.

Észrevétel: a normatartó lineáris transzformációk szükségképpen szögtartók is V ortogonális lineáris transzformációi éppen V önmagára való izomorfizmusai Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

26 / 40

Ortogonális mátrixok Észrevétel: Ha ϕ ortogonális és mátrixa valamely  leképezés,  a1   ortonormált bázisban A =  ... , akkor a1 , . . . , an ortonormált bázis

an Így minden i, j ∈ {1, . . . , n} indexre (

 1 ha i = j, T (AA )ij = ai , aj = 0 különben,

Rn -ben.

azaz AAT = E. Definíció (Ortogonális mátrix) Azt mondjuk, hogy A(∈ Rn×n ) ortogonális mátrix, ha AAT = E.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

27 / 40

Ortogonális mátrixok

Állítás (Ortogonális mátrix ekvivalens jellemzései) ˝ ˝ Tetszoleges A ∈ Rn×n mátrixra ekvivalensek a következok: 1

A sorvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak Rn -ben,

2

AAT = E,

3

A nemelfajuló és AT = A−1 ,

4

AT A = E,

5

A oszlopvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak Rn -ben.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

28 / 40

Ortogonális mátrixok

A korábbi, ortogonális transzformációra vonatkozó ekvivalens ˝ tulajdonságokat kiegészíthetjük a következoképpen: Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései (folyt.)) Bármely euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris transzformáció ˝ esetén ekvivalensek a következok: 1

ϕ ortogonális,

2

ϕ mátrixa valamely ortonormált bázisban ortogonális,

3

ϕ mátrixa minden ortonormált bázisban ortogonális.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

29 / 40

Ortogonális mátrixok

Állítás (Ortonormált bázisok közötti áttérés mátrixa) Minden ortonormált bázisról ortonormált bázisra való áttérés mátrixa ortogonális.

Állítás (Ortogonális lineáris transzformáció, ill. mátrix sajátértékei, ortogonális mátrix determinánsa) 1

Ha egy ortogonális lineáris transzformációnak, illetve mátrixnak van sajátértéke, akkor az csak ±1 lehet.

2

Minden ortogonális mátrix determinánsa ±1.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

30 / 40

˝ Fotengelytétel

˝ Emlékezteto: egy A ∈ Rn×n mátrixot diagonalizálhatónak hívunk, ha létezik olyan P ∈ Rn×n nemelfajuló mátrix, amelyre P −1 AP diagonális itt P bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A ˝ sajátvektoraiból álló tetszoleges bázisra ˝ a P −1 AP diagonális mátrix foátlójában minden ilyen P esetén A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlo˝ a megfelelo˝ sajátaltér dimenziójával

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

31 / 40

˝ Fotengelytétel

˝ Tétel (Fotengelytétel (szimmetrikus mátrixokra)) Minden szimmetrikus A ∈ Rn×n mátrixhoz létezik olyan Q ∈ Rn×n ortogonális mátrix, amelyre Q −1 AQ diagonális. ˝ Kiegészítés: A Q −1 AQ diagonális mátrix foátlójában is A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlo˝ a megfelelo˝ sajátaltér dimenziójával. Fontos: A Q mátrix itt is bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A sajátvektoraiból álló bázisra, de nem akármilyenre, hanem ortonormált bázisra!

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

32 / 40

˝ Fotengelytétel

Következmény 1

Minden valós szimmetrikus mátrix diagonalizálható.

2

Két valós szimmetrikus mátrix pontosan akkor hasonló, ha karakterisztikus polinomjaik megegyeznek.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

33 / 40

˝ Fotengelytétel ˝ Emlékezteto: az Rn vektortéren értelmezett összes kvadratikus alak nemelfajuló lineáris helyettesítéssel kanonikus alakra hozható ˝ és ez ekvivalens a következovel: minden szimmetrikus A ∈ Rn×n mátrixhoz létezik olyan nemelfajuló S ∈ Rn×n mátrix, amelyre SAS T diagonális itt S a nemelfajuló lineáris helyettesítés mátrixa, SAS T pedig az A mátrixú kvadratikus alak kapott kanonikus alakjának mátrixa ˝ Észrevétel: itt A ∈ Rn×n szimmetrikus; a fotengelytételbeli Q ∈ Rn×n ortogonális mátrixra Q −1 AQ diagonális és Q −1 = Q T ; def

ekkor S = Q −1 is ortogonális mátrix, S T = (Q −1 )T = (Q T )T = Q és SAS T (= Q −1 AQ) diagonális Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

34 / 40

˝ Fotengelytétel Definíció Az olyan lineáris helyettesítést, amelynek mátrixa ortogonális, ortogonális helyettesítésnek nevezzük. Észrevétel: minden ortogonális helyettesítés nemelfajuló ˝ Tétel (Fotengelytétel (kvadratikus alakokra)) Az Rn euklideszi téren értelmezett összes kvadratikus alak ortogonális helyettesítéssel kanonikus alakra hozható. Kiegészítés: Az ortogonális helyettesítéssel kapott kanonikus alakban a négyzetes tagok együtthatói a kvadratikus alak mátrixának sajátértékei. Minden sajátérték annyi négyzetes tag együtthatója, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlo˝ a megfelelo˝ sajátaltér dimenziójával. Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

35 / 40

˝ Fotengelytétel

Következmény Egy Rn -en értelmezett kvadratikus alak pontosan akkor 1

pozitív definit, ha mátrixának sajátértékei pozitívak;

2

pozitív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nemnemgatívak, és 0 sajátérték;

3

negatív definit, ha mátrixának sajátértékei negatívak;

4

negatív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nempozitívak, és 0 sajátérték;

5

indefinit, ha mátrixának pozitív és negatív sajátértéke is van.

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

36 / 40

˝ Fotengelytétel

˝ Megjegyzés: A fotengelytétel és következménye elvi ˝ jelentoség u: ˝ ortogonális helyettesítést nem tudunk elemi átalakításokkal keresni, meg kell határozni hozzá a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit és sajátaltereit a definitségi osztályt általában jóval könnyebb meghatározni a korábban tanult módon, mint a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit megkeresni

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

37 / 40

Egy alkalmazás

˝ A fotengelytétel alkalmazása képtömörítésre: A ∈ Rn×n — szimmetrikus mátrix Q ∈ Rn×n — ortogonális mátrix, melyre D = Q −1 AQ diagonális ekkor A = QDQ T  λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0    ha D =  . .. . . ..  . . . . . 0 0 . . . λn 

és

Q = (u1 u2 · · · un ),

ahol u1 , u2 , . . . , un ∈ Rn×1 , akkor

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

38 / 40

Egy alkalmazás

   T λ1 0 . . . 0 u1  0 λ2 . . . 0  u T    2 A = QDQ T = (u1 u2 · · · un )  . .. . . ..   ..   .. . .  .  . unT 0 0 . . . λn  T u1 u T   2 = (λ1 u1 λ2 u2 · · · λn un )  .   ..  unT

= λ1 (u1 u1T ) + λ2 (u2 u2T ) + · · · + λn (un unT ) ahol ui uiT ∈ Rn×n , i = 1, 2, . . . , n Neve: A egy spektrálfelbontása Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

39 / 40

Egy alkalmazás

Egy szemléletes példa:

Link

Euklideszi terek

LINEÁRIS ALGEBRA

40 / 40