Obsah 1 Mechanick´ a pr´ ace
1
2 V´ ykon, pˇ r´ıkon, u ´ˇ cinnost
2
3 Mechanick´ a energie 3.1 Kinetick´a energie . . . . . . . . . . . 3.2 Potenci´aln´ı energie . . . . . . . . . . 3.3 Potenci´aln´ı energie . . . . . . . . . . 3.4 Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie
1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
5 6 6 6 9
Mechanick´ a pr´ ace
Mechanick´ a pr´ ace znaˇ cka: W jednotka: J (joule) • Mechanick´a pr´ace je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina. • Jestliˇze na tˇeleso p˚ usob´ı st´al´a s´ıla F po dr´aze s a tato s´ıla sv´ır´a se smˇerem pohybu u ´hel α, je mechanick´a pr´ace W definovan´a vztahem W = F s cos α,
[J] = N m = kg · m2 · s−2
W = F s cos α Pozn´ amky • Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci shodnou s pohybem tˇelesa (α = 0◦ ), pak W = F s. • Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer kolm´ y na pohyb tˇelesa (α = 90◦ ), pak ˇz´adnou pr´aci nekon´ a, W = 0 J. • Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci proti pohybu tˇelesa (180◦ ≥ ◦ α > 90 ), pak pr´ace vyjde z´aporn´a W < 0. V takov´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze se pr´ace spotˇ rebov´ av´ a. Pr´ ace se ”spotˇrebov´ av´ a” napˇr. pˇri brˇzdˇen´ı. Jin´ ym pˇr´ıkladem jsou urˇcit´e f´aze cyklick´ ych dˇej˚ u v plynech u tepeln´ ych motor˚ u.
Grafick´ e urˇ cen´ı pr´ ace Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci shodnou s pohybem tˇelesa, potom vykonan´a pr´ace je rovna ploˇ se pod grafem z´ avislosti s´ıly na dr´ aze. Plat´ı to i tehdy, kdyˇz je s´ıla promˇenn´a.
2
V´ ykon, pˇ r´ıkon, u ´ˇ cinnost
cka: P jednotka: W (watt) Pr˚ umˇ ern´ y v´ ykon znaˇ Pr˚ umˇern´ y v´ ykon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kter´a urˇcuje, jak rychle se konala pr´ace bˇehem cel´eho dˇeje. Je definov´an jako pod´ıl celkov´e pr´ace W a ˇcasu t, za kter´ y se vykonala. Pp =
celkov´a pr´ace W = celkov´ y ˇcas t
cka: P jednotka: W (watt) (Okamˇ zit´ y) v´ ykon znaˇ (Okamˇzit´ y) v´ ykon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kter´a urˇcuje, jak rychle se kon´a pr´ace v dan´em okamˇziku. Je definov´an jako pod´ıl pr´ace ∆W a ˇcasu ∆t, za kter´ y se vykonala, pˇriˇcemˇz tento ˇcas bereme velmi mal´ y. P =
[watt] = W =
∆W , ∆t → 0 ∆t J Nm = = kg · m2 · s−3 s s
1. vˇ eta termodynamiky Prvn´ı vˇeta (prvn´ı z´akon) termodynamiky zhruba ˇr´ık´a, ˇze nelze vyr´ abˇ et pr´ aci z niˇ ceho. Hypotetick´ y stroj, kter´ y by takto pracoval, naz´ yv´ame perpetuum mobile prvn´ıho druhu a podle prvn´ı vˇety termodynamiky nem˚ uˇze existovat. cka: P jednotka: W (watt) Pˇ r´ıkon znaˇ Pˇr´ıkon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina definovan´a jako pod´ıl energie E dodan´e stroji a ˇcasu t, za kter´ y byla energie dod´ana. (Energie ve fyzice vyjadˇruje schopnost konat pr´aci, viz d´ale.) P0 =
dodan´a energie E = ˇcas t 2
Pˇr´ıkon m˚ uˇzeme, podobnˇe jako u v´ ykonu, uvaˇzovat pr˚ umˇern´ y nebo okamˇzit´ y. 2. vˇ eta termodynamiky Druh´a vˇeta (druh´ y z´akon) termodynamiky zhruba ˇr´ık´a, ˇze nelze sestrojit periodicky pracuj´ıc´ı stroj, kter´ y pˇ rij´ımanou energii pˇ remˇ en´ı na stejnˇ e velkou pr´ aci. Hypotetick´ y stroj, kter´ y by takto pracoval, naz´ yv´ame perpetuum mobile druh´ eho druhu a podle druh´e vˇety termodynamiky nem˚ uˇze existovat. ´ cinnost znaˇ cka: η jednotka: 1 (bezr.) Uˇ ´ Uˇcinnost stroje je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kterou definujeme vztahy η=
W P = , P0 W0
kde P je v´ ykon a P0 pˇr´ıkon stroje, respektive W je pr´ace strojem vykonan´a a W0 energie stroji na tuto pr´aci dodan´a. ´ cinnost Uˇ Plat´ı 0 ≤ η < 1. Obˇcas se u ´ˇcinnost vyjadˇruje v procentech, potom η=
P · 100% P0
(0% ≤ η < 100%)
Podle prvn´ıho termodynamick´eho z´akona nem˚ uˇze m´ıt pracuj´ıc´ı stroj vˇetˇs´ı neˇz stoproocentn´ı u ´ˇcinnost. Podle druh´eho termodynamick´eho z´akona nem˚ uˇze m´ıt periodicky pracuj´ıc´ı stroj ani stoprocentn´ı u ´ˇcinnost (a ve skuteˇcnosti je to ”jeˇstˇe horˇs´ı”). Pohyb s konstantn´ım v´ ykonem v pˇ r´ıtomnosti odporov´ ych sil Odporov´e s´ıly rostou s rychlost´ı auta. V mezn´ım pˇr´ıpadˇe se velikost hnac´ı s´ıly motoru F a velikost odporov´ ych sil vyrovn´a. Jestliˇze auto m´a v takov´e chv´ıli rychlost v, potom pro v´ ykon motoru plat´ı F = Pv Odvozen´ı: P =
W Fs s = = F = Fv t t t 3
Pohyb s konstantn´ım v´ ykonem bez odporov´ ych sil Pˇredpokl´adejme, ˇze auto je na poˇc´atku mˇeˇren´ı ˇcasu v klidu, kdyˇz sepneme motor, kter´ y auto zaˇcne poh´anˇet s konstantn´ım v´ ykonem P . Jak se bude vyv´ıjet rychlost vozidla (pokud zanedb´av´ame odporov´e s´ıly) ? ˇ sen´ı: Reˇ 1 2 mv = Ek = P t = F v, 2 a tedy r 2P t v= m Pozn´amka: pro dr´ahu lze integrac´ı odvodit r 2 2P t3 s= 3 m Pohyb s konstantn´ım v´ ykonem bez odporov´ ych sil II Automobil o celkov´e hmotnosti 1000 kg se rozj´ıˇzd´ı po vodorovn´e silnici a za 10 s dos´ahne rychlosti 20 m/s. Jeho v´ ykon, neuvaˇzujeme-li ztr´aty, musel b´ yt alespoˇ n: a) 1000 W b) 2 kW c) 20 kW d) 200 000 J 1 mv 2 . 1 = 20 000 W P t = mv 2 =⇒ P = 2 2 t Pohyb s konstantn´ım v´ ykonem bez odporov´ ych sil II Co se stane s velikost´ı taˇzn´e s´ıly vozidla v okamˇziku, kdy automobil pˇrech´az´ı z j´ızdy po vodorovn´e silnici na j´ızdu do kopce, jestliˇze v´ ykon motoru z˚ ustane stejn´ y a z˚ ustane zaˇrazen´ y stejn´ y rychlostn´ı stupeˇ n? a) taˇzn´a s´ıla motoru se nezmˇen´ı b) taˇzn´a s´ıla motoru se zmenˇs´ı c) taˇzn´a s´ıla motoru se zvˇetˇs´ı pˇri poklesu rychlosti a bude rychlosti nepˇr´ımo u ´mˇern´a
4
d) taˇzn´a s´ıla motoru se nejprve zvˇetˇs´ı, pak m´ırnˇe poklesne a d´ale se jiˇz nemˇen´ı P = F v =⇒ F =
3
P =⇒ c) je spr´avnˇe v
Mechanick´ a energie
Mechanick´ a energie Jestliˇze vnˇejˇs´ı s´ıly vykonaly na tˇelese nˇejakou pr´aci, projev´ı se to zmˇenou veliˇciny, kter´e se ˇr´ık´a energie. Jej´ı druh, mechanick´ a energie, se dˇel´ı na dva druhy, podle u ´ˇcinku vykonan´e pr´ace. • kinetick´ a energie – energie spjat´a s pohybem tˇelesa • potenci´ aln´ı energie – energie spjat´a s prac´ı s´ıly potˇrebn´e na pˇrekon´an´ı u ´ˇcink˚ u sil jin´ ych – potenci´aln´ı energie t´ıhov´ a/gravitaˇcn´ı – potenci´aln´ı energie pruˇznosti – ... Jin´ e jednotky pr´ ace a energie • 1 Ws (wattsekunda) = 1 J (joule) • 1 kWh (kilowatthodina) = 3,6 . 106 J • 1 VA (voltamp´er) = 1 J . • 1 eV (elektronvolt) = 1,602 . 10−19 J . • 1 cal (kalorie) = 4,185 J
5
3.1
Kinetick´ a energie
Kinetick´ a energie znaˇ cka: Ek jednotka: J (joule) Jestliˇze je tˇeleso voln´e (nep˚ usob´ı na nˇej ˇz´adn´e s´ıly), pak se vykonan´a pr´ace projev´ı zmˇenou jeho rychlosti. Pokud bylo tˇeleso v klidu, pak plat´ı, ˇze 1F 2 2 1 2 1 a t = mv . W = F s = F at2 = 2 2a 2 Kinetickou energii tˇelesa tak definujeme vztahem 1 Ek = mv 2 , 2 kde m je hmotnost a v rychlost tˇelesa.
3.2
Potenci´ aln´ı energie
Potenci´ aln´ı energie znaˇ cka: Ep jednotka: J (joule) Jestliˇze se tˇeleso nach´az´ı v silov´ em poli, pak se pr´ace m˚ uˇze spotˇrebovat na pˇrekon´an´ı tˇechto sil. Energii odpov´ıdaj´ıc´ı takov´e pr´aci naz´ yv´ame potenci´aln´ı. Definujeme ji takto: • zvol´ım si libovolnˇ e m´ısto O, kde bude potenci´aln´ı energie nulov´a • potenci´ aln´ı energii v libovoln´em m´ıstˇe prostoru A definuji jako pr´aci, kterou vykon´a vnˇejˇs´ı s´ıla pˇri pˇrem´ıstˇen´ı z m´ısta A do m´ısta s nulovou potenci´aln´ı energi´ı O. (Pˇritom mus´ı pˇrekon´avat s´ılu pˇr´ıtomn´eho pole.)
3.3
Potenci´ aln´ı energie
Potenci´ aln´ı energie – kdy m´ a smysl o n´ı mluvit Definice m´a smysl pouze tehdy, pokud pr´ace nez´avis´ı na cestˇe (tvaru trajektorie) tˇelesa mezi m´ısty A a O. Takov´a silov´a pole naz´ yv´ame konzervativn´ı. Konzervativn´ı pole jsou napˇr. gravitaˇcn´ı a elektrick´a pole, naopak napˇr. magnetick´a pole konzervativn´ı nejsou. Probl´ em ? Nevad´ı, ˇze si bod s nulovou potenci´aln´ı energi´ı vol´ım libovolnˇe? 6
Potenci´ aln´ı energie – v´ yznam ’ At si bod s nulovou potenci´aln´ı energi´ı zvol´ım jakkoli, plat´ı: zmˇ ena potenci´ aln´ı energie tˇ elesa odpov´ıd´ a pr´ aci, kterou vykonala nebo spotˇ rebovala s´ıla pole. Potenci´aln´ı energie n´as pˇr´ımo nezaj´ım´a. Co n´ as zaj´ım´ a, je jak se zmˇ enila. Potenci´ aln´ı energie podle typu s´ıly Podle typu s´ıly rozezn´av´ame n´asleduj´ıc´ı druhy potenci´aln´ı energie • t´ıhovou • gravitaˇcn´ı • pruˇznosti • tlakovou • elektrickou • ... Potenci´ aln´ı energie t´ıhov´ a V homogenn´ım t´ıhov´em poli Zemˇe hovoˇr´ıme o t´ıhov´e potenci´aln´ı energii m´a tˇeleso o hmotnosti m ve v´ yˇsce h nad povrchem t´ıhovou potenci´ aln´ı energii Ep = mgh (M´ısto s nulovou potenci´aln´ı energi´ı standardnˇe vol´ıme na povrchu Zemˇe.) Odvozen´ı ? Potenci´ aln´ı energie gravitaˇ cn´ı V radi´aln´ım gravitaˇcn´ım poli hmotn´eho bodu (nebo homogenn´ı koule) o hmotnosti M m´a hmotn´ y bod o hmotnosti m, ve vzd´alenosti r, gravitaˇcn´ı potenci´aln´ı energii mM Ep = −κ r Zde κ je gravitaˇcn´ı konstanta, pˇribliˇznˇe κ = 6,67 . 10−11 N . m2 . kg−2 . 7
(M´ısto s nulovou potenci´aln´ı energi´ı v tomto pˇr´ıpadˇe obvykle vol´ıme ”velmi daleko v nekoneˇcnu”.) Odvozen´ı ? Potenci´ aln´ı energie pruˇ znosti Na pruˇzinˇe o tuhosti k pˇri v´ ychylce x z rovnov´aˇzn´e polohy m´a tˇeleso potenci´aln´ı energii pruˇznosti 1 Ep = kx2 2 (Nulovou potenci´aln´ı energi´ı v tomto pˇr´ıpadˇe klademe, pokud je pruˇzina voln´a, bez napˇet´ı.) Odvozen´ı ? Potenci´ aln´ı energie tlakov´ a Pˇri proudˇen´ı kapaliny v potrub´ı m´a mnoˇzstv´ı kapaliny o objemu V pod tlakem p potenci´aln´ı energii tlakovou Ep = pV (Nulov´a potenci´aln´ı energie je v m´ıstech s nulov´ ym tlakem.) Odvozen´ı ? Potenci´ aln´ı energie v elektrick´ em poli N´aboj q v elektrick´em poli jin´eho n´aboje Q m´a potenci´aln´ı energii elektrickou Ep =
1 Qq 4πε0 r
(Nulov´a potenci´aln´ı energie je, podobnˇe jako u gravitace, volena v nekoneˇcn´e vzd´alenosti.) Odvozen´ı ?
8
3.4
Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie
Mechanick´ a energie Mechanick´ a energie tˇelesa E je pak urˇcena jako souˇcet jeho kinetick´e energie a potenci´aln´ı energie E = Ek + Ep V t´ıhov´em poli m˚ uˇzeme ps´at 1 E = mv 2 + mgh 2 Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie Celkov´ a mechanick´ a energie izolovan´ e soustavy tˇ eles se pˇ ri mechanick´ ych dˇ ej´ıch nemˇ en´ı. Izolovanou soustavou tˇeles zde rozum´ıme takovou soustavu tˇeles, na kter´e p˚ usob´ı jenom s´ıly pole (t´ıhov´a, gravitaˇcn´ı, elektrick´a,...) a vz´ajemn´e s´ıly akce a reakce. Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie – pozn´ amky 1. Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie je zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem obecn´eho principu zachov´ an´ı energie nebo tak´e z´ akona zachov´ an´ı energie. Princip zachov´ an´ı energie Obecnˇe plat´ı, ˇze v izolovan´e soustavˇe se celkov´a energie zachov´av´a. M˚ uˇze se vˇsak mˇenit jedna forma energie v jinou a energie m˚ uˇze pˇrech´azet z jednoho tˇelesa na jin´e. Do celkov´e energie vˇsak mus´ıme zahrnout i jin´e typy energie neˇz energii mechanickou (napˇr. vnitˇrn´ı energii, teplo, ...) ´ Uloha Tˇeleso o hmotnosti 2 kg bylo zdviˇzeno do v´ yˇsky 2 m a odtud padalo voln´ ym p´adem. Z uveden´ ych hodnot vyberte maxim´aln´ı hodnotu energie, kter´a se m˚ uˇze uvolnit (napˇr. v podobˇe tepla, naruˇsen´e struktury materi´alu, zvukov´ ych vln) pˇri dopadu tˇelesa do p˚ uvodn´ı polohy: a) 19,43 J b) 4 J c) 39,24 J 9
d) 55,24 J . E = Ep = mgh = 39, 24 J. Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie – pozn´ amky 2. Celkov´a (mechanick´a) energie se zachov´av´a, m˚ uˇze se ale mˇenit jedna forma ve druhou Pˇ r´ıklad M´ıˇc pad´a v t´ıhov´em poli z v´ yˇsky h (bez odporu vzduchu). Jakou rychlost´ı dopadne? Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie – pozn´ amky 3. Celkov´a (mechanick´a) energie se zachov´av´a, m˚ uˇze ale pˇrech´azet z jednoho tˇelesa na druh´e Pˇ r´ıklad Hmotn´e body o hmotnostech m1 a m2 se pohybuj´ı rychlostmi v1 a v2 a sraz´ı se. Pˇredpokl´adejte, ˇze 1. Sr´aˇzka je dokonale nepruˇzn´a a hmotn´e body se spoj´ı a d´ale pokraˇcuj´ı spoleˇcnˇe. K jak´e ztr´atˇe energie doˇslo? 2. Sr´aˇzka je dokonale pruˇzn´a a mechanick´a energie se zachov´av´a. Jak se pohybuj´ı hmotn´e body po sr´aˇzce?
10
