Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Halmazok és függvények MTB1002 1 4 2+2 G Rozgonyi Tibor docens
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései: A hallgatók ismerkedjenek meg a halmazelmélet alapműveleteivel és azok tulajdonságaival. Ismerjék meg a függvények globális tulajdonságait. Szerkesszenek megfelelő ismeretet az Analízis I. tárgyhoz. 2. A tantárgy tartalma: Halmaz, részhalmaz, hatványhalmaz. Egyszerű halmazműveletek és tulajdonságaik. Számhalmaz, halmazok számossága. Hatvány, gyök logaritmus. Közepek és a köztük fennálló egyenlőtlenségek. Bernoulli-egyenlőtlenség. Leképezések és tulajdonságaik. Függvények és a megadásukkal kapcsolatos fogalmak. Összetett függvény, inverz függvény. Valós függvény grafikonja. Egyváltozós függvények jellemzésére használt fogalmak. Elemi függvények (pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények, trigonometrikus függvények és inverzeik). Abszolútértékes egyenletek. Exponenciális és logaritmusos egyenletek. Egyenlőtlenségek megoldáshalmazai. 3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom: Katz Sándor: Függvények korszerű felfogásban, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. Peller József: Exponenciális és logaritmus függvény. Differenciálszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. Rimán János: Matematikai analízis I. Líceum, Eger, 2004. Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény I-II. Líceum, Eger, 2004. Szabó Tamás: Kalkulus I. Polygon, Szeged, 2003. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása: -
Halmazok és függvények MTB1002 1 hét: ea: Halmaz, részhalmaz, halmazműveletek és tulajdonságai. gy: Halmazelméleti feladatok megoldása Venn-diagrammal és egyéb módon. 2. hét: ea: Nevezetes egyenlőtlenségek. gy: Feladatok számtani-mértani-harmónikus- és négyzetes közepekre. 3. hét: ea: Descartes-szorzat, leképezések és tulajdonságaik. gy: Egyenlőtlenségek megoldása. 4. hét: ea: A függvény fogalma és tulajdonságai. Összetett függvény, inverz függvény. gy: Feladatok relációkra. 5. hét: ea: Számhalmazok, halmazok számossága. gy: Függvények értelmezési tartománya értékkészlete. 6. hét: ea: A függvények globális tulajdonságai. gy:Összetett függvény, inverz függvény. 7.hét: ea: Egyváltozós elemi függvények. gy: 1. zárthelyi dolgozat íratása. 8. hét: ea: Tört kitevős függvények. gy: Feladatok elemi függvényekre. 9. hét: ea:aExponenciális függvény. gy: Pozitív egész és tört kitevőjű hatványfüggvények és inverzeik. 10.hét: ea: Logaritmus függvény. gy: Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek. 11.hét: ea: Az abszolútérték függvény és tulajdonságai. gy: Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek. 12.hét: ea: Trigonometrikus függvények és inverzeik. gy: Abszolútértékes feladatok. 13.hét: ea: Bernoulli-egyenlőtlenség, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz féle egyenlőlenség. gy: Trigonometrikus egyenletek. 14.hét: ea: Gyökös egyenlőtlenségek megoldásai. gy: 2. zárthelyi megíratása. 15.hét: ea: Feladatok a Bernoulli és a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz féle egyenlőtlenségre. gy: A félév zárása. Gyakorlati jegyek megállapítása. • •
A félév gyakorlati jeggyel zárul. A két egyenként 50 pontos zárthelyi dolgozatból 51 pont megszerzése szükséges az elégségeshez.
Halmazok és függvények MTB1002 1. Zárthelyi dolgozat (rendelkezésre álló idő 80 perc) MINTA 1. Legyenek A, B, C ⊂ H tetszőleges halmazok. Bizonyítsa be, hogy a) A \ ( A \ B ) = A ∩ B b) ( A \ B ) ∩ C = A ∩ C \ ( B ∩ C )!
5 pont 2. Legyen H = R/ és Ω = {R/ , Q/ , Q/ ∗ , O/ } Vizsgálja meg, hogy Ω halmazalgebrát alkot-e! 5 pont 3. Legyenek x i (i = 1,2) pozitiv valós számok. 2
2
i =1
i =1
Igazolja, hogy 4 ≤ ∑ x i ∑
1 xi
5 pont 4. A = {0,1,2} B = {3,4,5} Függvény-e f vagy f
f ⊂ AxB( x, y ) ∈ f ⇔ x ⋅ y = 0 . −1
? 5 pont
5. Döntse el, hogy N/ halmazon értelmezett osztója reláció rendezési reláció-e? 5 pont 6. Igazolja, hogy az A és B halmazok számossága megegyezik A = N/ B = {n n ∈ N/ és n = 2k , k ∈ N/ } . 5 pont 2x 2 + 6x + 6 7. Melyek azok az x valós számok, amelyekre a kifejezés értéke x 2 + 4x + 5 legalább 1 és legfeljebb 3? 5 pont 8. Legyenek x i , y i (i = 1,2 ) valós számok. Igazolja, hogy 2
n n 2 ∑ x i y i ≤ ∑ x i2 ⋅ ∑ y i2 i =1 i= i =1
5 pont 9. Két valós szám köbének összege 2. Bizonyítsa be, hogy összegük nem lehet nagyobb kettőnél! 5 pont
10. Legyen f (x) páros g ( x ) páratlan függvény. Mit mondhatunk az a) f ( g ( x )) b) g ( f ( x )) c) f ( f ( x )) d) g ( g ( x )) függvényekről? 5 pont
Halmazok és függvények MTB1002 2. Zárthelyi dolgozat (Rendelkezésre álló idő 80 perc) MINTA
1. Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik nem? a) A páros függvénynek létezik inverze és az is páros. b) Elemi függvény- az f ( x ) = x sin ( x +1) x ∈ R/ +
(
)
c) Az f ( x ) = x x 2 függvény páros. 1 d) Az f ( x ) = x ≠ 0 függvény inverze önmaga. x e) Az f ( x ) = {x} periódikus.
5 pont 2. Milyen f és g függvények esetén egyenlő az fog függvény értékkészlete az üres halmazzal? 5 pont 3. Legyen f ( x ) = x − 5 ( x ≥ 5) g ( x ) = e x +1 g inverzét!
[x ∈ R/ )
két adott függvény. Adja meg f és 5 pont
4. Legyen f ( x ) = x 2 + 2 x
(x ∈ R/ ) g (x ) =
3 x > 2. 2x − 4
Képezze ha lehet fog összetett
függvényt! 5 pont 5. Vizsgálja és ábrázolja a következő függvényt − 3x − 1 f ( x ) = x +1 5 pont
6. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget 1 1 2 log x + log 4 ≤ −3. 4 x 5 pont 7. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 5 pont 8. Mely x és y számokra teljesül, hogy sin x + sin y = 2 és cos x + cos y = 4 2 . Mennyi az x − y lehetséges legkisebb értéke? 5 pont
9. Vizsgálja és ábrázolja a következő függvényt. f ( x) = sin 4 x − cos 4 − cos 2 x +
1 4
5 pont 10. Igazolja, hogy ha x ≥ 0 és n ∈ N/ , akkor x n ≥ 1 + n( x − 1) 5 pont
