2016 CCR314 RISET OPERASIONAL

CCR314 - Riset Operasional

Materi #3 Ganjil 2015/2016

6623 - Taufiqur Rachman

http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id

Materi #3

CCR314 – RISET OPERASIONAL

Pendahuluan


2


Setelah membuat formulasi model matematika, langkah selanjutnya dalam penerapan program linear untuk mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham dari model.

Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik.

Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. CCR314 - Riset Operasional



1



Sistem dan Bidang Kerja 3


Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat).



Bidang tersebut dikenal sebagai kuadran.






Langkah-langkah Metode Grafik


4


1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK). 2. a) Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ke titik solusi yang optimal, atau: b) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3. a) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal, atau: b) Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. CCR314 - Riset Operasional



2



Menentukan Titik Koordinat


5

http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id 

Misal: X1 + 2X2 ≤ 40



Ubah pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=), maka:

X1 = 40 dan X2 = 20

X1 + 2X2 = 40

X2





Mencari nilai X1 dan X2 dengan mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol). 

Jika X1 = 0, maka: (0) + 2X2 = 40

40 30 X1 + 2X2 = 40

20

2X2 = 40 X2 = 20 

Jadi titik koordinatnya adalah:

10

Jika X2 = 0, maka: X1 + 2(0) = 40

X1

0

X1 = 40

0


10

20

30

40


Menggambar Daerah Penyelesaian


6


• Persamaan (≤)  misal: X1 + 2X2 ≤ 40 X2

• Persamaan (≥)  misal: X1 + 2X2 ≥ 40

X2

X2

X1 X1 + 2X2 ≤ 40 CCR314 - Riset Operasional


• Persamaan (=)  misal: X1 + 2X2 = 40

X1 X1 + 2X2 ≥ 40

X1 X1 + 2X2 = 40


3



Daerah Memenuhi Kendala (DMK)


7


• Persamaan (≤)  misal: X1 + 2X2 ≤ 40 4X1 + 3X2 ≤ 120

• Persamaan (≥)  misal: X1 + 2X2 ≥ 40 4X1 + 3X2 ≥ 120

X2

• Persamaan (≥ dan =) • misal: X1 + 2X2 ≥ 40 X1 = 40 X2 = 40

X2

X2 DMK

DMK

DMK X1

X1


X1


Contoh #3.1 (Dari #2.1) 8



Fungsi Tujuan : Maksimalkan Z

40 X1

50X2

Fungsi Kendala : (1) Tenaga kerja : (2) Tanah liat :

(3) Non-negatif : CCR314 - Riset Operasional


X1

+

2X2

≤

40

4X1

+

3X2

≤

120

X1

;

X2

≥

0


4



Solusi Grafik Contoh #3.1 … (1/4) 9



1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1) X2

X2

4X1 + 3X2 ≤ 120 C X1 + 2X2 ≤ 40

B

DKM

A

X1


X1





2. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.a) X2

X2

800 = 40X1 + 50X2 1200 = 40X1 + 50X2 C

1600 = 40X1 + 50X2 (Berada di luar DMK)

C

800 = 40X1 + 50X2 Titik Optimal

B

B A

A X1



X1 Materi #3 Ganjil 2015/2016

5






3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.a) X2

X1 + 2X2 = 40 X1 = 40 − 2X2

4X1 + 3X2 = 120

4X1 + 3X2 = 120 4X1 = 120 − 3X2 X1 = 30 − (3X2/4)

40 − 2X2 = 30 − (3X2/4) 5X2/4 = 10 X2 = 8 ⇛ X2B

C B

X2B

X1 + 2X2 = 40

A

X1 = 40 − 2X2 X1 = 40 − 2(8) X1 = 24 ⇛ X1B

X1

X1B CCR314 - Riset Operasional





4.

Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.b)

X2

5. X1 = 0 X2 = 20

X1 = 24 X2 = 8

C X1 = 30 X2 = 0

B

8

A 24 CCR314 - Riset Operasional


X1

Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.b) • • • •

Pada titik A → Z = 1200 Pada titik B → Z = 1360 Pada titik C → Z = 1000 Maka solusi optimal adalah pada titik B dengan laba $1360


6



Contoh #3.2 (Dari #2.2)


13


Variabel Keputusan

• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli • X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli

Fungsi Tujuan

• Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Z = total biaya pemupukan • 6X1 = harga/biaya dari SG • 3X2 = harga/biaya dari CQ

Fungsi Kendala

• 2X1 + 4X2 ≥ 16 • 4X1 + 3X2 ≥ 24 • X1 ; X2 ≥ 0


(kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) Materi #3 Ganjil 2015/2016



X2

X2 6623 - Taufiqur Rachman

C

X1 = 0 X2 = 8

DKM

DKM X1 = X1B X2 = X2B B

X2B X1



X1B

X1 = 8 X2 = 0 A X 1


7







Pada titik B, koordinat X1 dan X2 adalah:


2X1 + 4X2 = 16 4X1 + 3X2 = 24

2X1 + 4X2 2X1 + 4(1,6) 2X1 X1

*2 *1

4X1 + 8X2 = 32 4X1 + 3X2 = 24 5X2 = 8 X2 = 8/5 ≈ 1,6 → X2B

= 16 = 16 = 16 − 6,4 = 4,8 → X1B






X2 C

• Fungsi Tujuan: X1 = 0 X2 = 8

Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Pada titik A → Z = 48

DKM

• Pada titik B → Z = 33,6

X1 = 4,8 X2 = 1,6 B

1,6

4,8



X1 = 8 X2 = 0 A X 1

• Pada titik C → Z = 24 • Maka solusi optimal terletak pada titik C dengan total biaya $24


8



Contoh #3.3 (Dari #2.3) 17





Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.



Solusi Grafik Contoh #3.3 …(1/5) 18



Merek

I1 (x1)

I2 (x2)

Kapasitas Maksimum

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30

3

5

Mesin

Sumbangan laba CCR314 - Riset Operasional



9



Solusi Grafik Contoh #3.3 …(2/5)


19




Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2



Batasan (constrain): 8

1) 2X1

3X2  15

2)

3) 6X1 + 5X2  30



Solusi Grafik #3.3 …(3/5) 20


Fungsi Batasan (1): 2X1  8

X2 6623 - Taufiqur Rachman



2X1  8 dan X1  0, X2  0

0

2X1 = 8

4



Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan:  X1  0,  X2  0, dan  2X1 8

X1 Materi #3 Ganjil 2015/2016

10





X2


6X1 + 5X2 = 30

6 D 5

2X1 = 8

Semua Fungsi Batasan

C

3X2 = 15

Daerah feasible

B A 4 5

0 CCR314 - Riset Operasional

X1




X2

2X1 = 8


6X1 + 5X2 = 30

Titik C: X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5

Titik D: Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25

6 D 5

Titik B:

Titik A: Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12

B 0


3X2 = 15

Daerah feasible

X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18


C

A 4

5

X1


11



Contoh #3.4 (Dari #2.4)


23


Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam tabel berikut: Kebutuhan sumber daya

Jenis Produk

Buruh (jam/unit)

Bahan (kg/unit)

Harga Jual ($/unit)

Meja Kursi

6 6

1 2

4 5

Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? CCR314 - Riset Operasional


Solusi Contoh #3.4 … (1/3)


24


Variabel Keputusan

• X1 = Jumlah meja yang dihasilkan • X2 = Jumlah kursi yang dihasilkan

Fungsi Tujuan

• Maksimalkan Z = 4X1 + 5X2 • Z = total keuntungan • 4X1 = harga jual dari meja • 5X2 = harga jual dari kursi

Fungsi Kendala

• 6X1 + 6X2 ≤ 36 • X1 + 2X2 ≤ 10 • X1 ; X2 ≥ 0



(kendala jam kerja) (kendala bahan baku) (kendala non-negatif) Materi #3 Ganjil 2015/2016

12



Solusi Contoh #3.4 … (2/3) 25


X2 X1 = 0 X2 = 5


6

Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 :

6X 1  6X 2  36  1 6X 1  6X 2  36 X 1  2X 2  10  3 3X 1  6X 2  30 3X1 = 6 X1 = 2

C

5

B

4 3 2

X1 = 6 X2 = 0

DMK

1

A

0 0

1

2

3


4

5

6

7

8

9

10

X1

X1 + 2X2 = 10 2 + 2X2 = 10 2X2 = 8 X2 = 4


Solusi Contoh #3.4 … (3/3)


26




Dengan fungsi tujuan: Maksimalkan Z = 4X1 + 5X2



Pada titik A → X1 = 6 ; X2 = 0 ; Z = 24



Pada titik B → X1 = 2 ; X2 = 4 ; Z = 28



Pada titik C → X1 = 0 ; X2 = 5 ; Z = 25



Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa keuntungan yang terbesar didapatkan apabila memproduksi Meja sebanyak 2 unit dan memproduksi Kursi sebanyak 4 unit dengan mendapatkan keuntungan sebesar $28.




13





27




14

2016 CCR314 RISET OPERASIONAL

Recommend Documents