CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
6623 - Taufiqur Rachman
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Materi #3
CCR314 – RISET OPERASIONAL
Pendahuluan
6623 - Taufiqur Rachman
2
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Setelah membuat formulasi model matematika, langkah selanjutnya dalam penerapan program linear untuk mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham dari model.
Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik.
Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Materi #3 Ganjil 2015/2016
1
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Sistem dan Bidang Kerja 3
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat).
Bidang tersebut dikenal sebagai kuadran.
6623 - Taufiqur Rachman
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Langkah-langkah Metode Grafik
6623 - Taufiqur Rachman
4
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK). 2. a) Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ke titik solusi yang optimal, atau: b) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3. a) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal, atau: b) Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Materi #3 Ganjil 2015/2016
2
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Menentukan Titik Koordinat
6623 - Taufiqur Rachman
5
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Misal: X1 + 2X2 ≤ 40
Ubah pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=), maka:
X1 = 40 dan X2 = 20
X1 + 2X2 = 40
X2
Mencari nilai X1 dan X2 dengan mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol).
Jika X1 = 0, maka: (0) + 2X2 = 40
40 30 X1 + 2X2 = 40
20
2X2 = 40 X2 = 20
Jadi titik koordinatnya adalah:
10
Jika X2 = 0, maka: X1 + 2(0) = 40
X1
0
X1 = 40
0
CCR314 - Riset Operasional
10
20
30
40
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Menggambar Daerah Penyelesaian
6623 - Taufiqur Rachman
6
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
• Persamaan (≤) misal: X1 + 2X2 ≤ 40 X2
• Persamaan (≥) misal: X1 + 2X2 ≥ 40
X2
X2
X1 X1 + 2X2 ≤ 40 CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
• Persamaan (=) misal: X1 + 2X2 = 40
X1 X1 + 2X2 ≥ 40
X1 X1 + 2X2 = 40
Materi #3 Ganjil 2015/2016
3
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Daerah Memenuhi Kendala (DMK)
6623 - Taufiqur Rachman
7
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
• Persamaan (≤) misal: X1 + 2X2 ≤ 40 4X1 + 3X2 ≤ 120
• Persamaan (≥) misal: X1 + 2X2 ≥ 40 4X1 + 3X2 ≥ 120
X2
• Persamaan (≥ dan =) • misal: X1 + 2X2 ≥ 40 X1 = 40 X2 = 40
X2
X2 DMK
DMK
DMK X1
X1
CCR314 - Riset Operasional
X1
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Contoh #3.1 (Dari #2.1) 8
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
Fungsi Tujuan : Maksimalkan Z
40 X1
50X2
Fungsi Kendala : (1) Tenaga kerja : (2) Tanah liat :
(3) Non-negatif : CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
X1
+
2X2
≤
40
4X1
+
3X2
≤
120
X1
;
X2
≥
0
Materi #3 Ganjil 2015/2016
4
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.1 … (1/4) 9
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1) X2
X2
4X1 + 3X2 ≤ 120 C X1 + 2X2 ≤ 40
B
DKM
A
X1
CCR314 - Riset Operasional
X1
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.1 … (2/4) 10
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
2. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.a) X2
X2
800 = 40X1 + 50X2 1200 = 40X1 + 50X2 C
1600 = 40X1 + 50X2 (Berada di luar DMK)
C
800 = 40X1 + 50X2 Titik Optimal
B
B A
A X1
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
X1 Materi #3 Ganjil 2015/2016
5
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.1 … (3/4) 11
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.a) X2
X1 + 2X2 = 40 X1 = 40 − 2X2
4X1 + 3X2 = 120
4X1 + 3X2 = 120 4X1 = 120 − 3X2 X1 = 30 − (3X2/4)
40 − 2X2 = 30 − (3X2/4) 5X2/4 = 10 X2 = 8 ⇛ X2B
C B
X2B
X1 + 2X2 = 40
A
X1 = 40 − 2X2 X1 = 40 − 2(8) X1 = 24 ⇛ X1B
X1
X1B CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.1 … (4/4) 12
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
4.
Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.b)
X2
5. X1 = 0 X2 = 20
X1 = 24 X2 = 8
C X1 = 30 X2 = 0
B
8
A 24 CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
X1
Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.b) • • • •
Pada titik A → Z = 1200 Pada titik B → Z = 1360 Pada titik C → Z = 1000 Maka solusi optimal adalah pada titik B dengan laba $1360
Materi #3 Ganjil 2015/2016
6
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Contoh #3.2 (Dari #2.2)
6623 - Taufiqur Rachman
13
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Variabel Keputusan
• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli • X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli
Fungsi Tujuan
• Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Z = total biaya pemupukan • 6X1 = harga/biaya dari SG • 3X2 = harga/biaya dari CQ
Fungsi Kendala
• 2X1 + 4X2 ≥ 16 • 4X1 + 3X2 ≥ 24 • X1 ; X2 ≥ 0
CCR314 - Riset Operasional
(kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.2 … (1/3) 14
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
X2
X2 6623 - Taufiqur Rachman
C
X1 = 0 X2 = 8
DKM
DKM X1 = X1B X2 = X2B B
X2B X1
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
X1B
X1 = 8 X2 = 0 A X 1
Materi #3 Ganjil 2015/2016
7
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.2 … (2/3) 15
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Pada titik B, koordinat X1 dan X2 adalah:
6623 - Taufiqur Rachman
2X1 + 4X2 = 16 4X1 + 3X2 = 24
2X1 + 4X2 2X1 + 4(1,6) 2X1 X1
*2 *1
4X1 + 8X2 = 32 4X1 + 3X2 = 24 5X2 = 8 X2 = 8/5 ≈ 1,6 → X2B
= 16 = 16 = 16 − 6,4 = 4,8 → X1B
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.2 … (3/3) 16
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
X2 C
• Fungsi Tujuan: X1 = 0 X2 = 8
Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Pada titik A → Z = 48
DKM
• Pada titik B → Z = 33,6
X1 = 4,8 X2 = 1,6 B
1,6
4,8
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
X1 = 8 X2 = 0 A X 1
• Pada titik C → Z = 24 • Maka solusi optimal terletak pada titik C dengan total biaya $24
Materi #3 Ganjil 2015/2016
8
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Contoh #3.3 (Dari #2.3) 17
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.3 …(1/5) 18
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
6623 - Taufiqur Rachman
Merek
I1 (x1)
I2 (x2)
Kapasitas Maksimum
1
2
0
8
2
0
3
15
3
6
5
30
3
5
Mesin
Sumbangan laba CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Materi #3 Ganjil 2015/2016
9
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.3 …(2/5)
6623 - Taufiqur Rachman
19
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan (constrain): 8
1) 2X1
3X2 15
2)
3) 6X1 + 5X2 30
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik #3.3 …(3/5) 20
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Fungsi Batasan (1): 2X1 8
X2 6623 - Taufiqur Rachman
2X1 8 dan X1 0, X2 0
0
2X1 = 8
4
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan: X1 0, X2 0, dan 2X1 8
X1 Materi #3 Ganjil 2015/2016
10
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.3 …(4/5) 21
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
X2
6623 - Taufiqur Rachman
6X1 + 5X2 = 30
6 D 5
2X1 = 8
Semua Fungsi Batasan
C
3X2 = 15
Daerah feasible
B A 4 5
0 CCR314 - Riset Operasional
X1
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Grafik Contoh #3.3 …(5/5) 22
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
X2
2X1 = 8
6623 - Taufiqur Rachman
6X1 + 5X2 = 30
Titik C: X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
Titik D: Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25
6 D 5
Titik B:
Titik A: Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12
B 0
6623 - Taufiqur Rachman
3X2 = 15
Daerah feasible
X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18
CCR314 - Riset Operasional
C
A 4
5
X1
Materi #3 Ganjil 2015/2016
11
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Contoh #3.4 (Dari #2.4)
6623 - Taufiqur Rachman
23
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam tabel berikut: Kebutuhan sumber daya
Jenis Produk
Buruh (jam/unit)
Bahan (kg/unit)
Harga Jual ($/unit)
Meja Kursi
6 6
1 2
4 5
Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Contoh #3.4 … (1/3)
6623 - Taufiqur Rachman
24
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Variabel Keputusan
• X1 = Jumlah meja yang dihasilkan • X2 = Jumlah kursi yang dihasilkan
Fungsi Tujuan
• Maksimalkan Z = 4X1 + 5X2 • Z = total keuntungan • 4X1 = harga jual dari meja • 5X2 = harga jual dari kursi
Fungsi Kendala
• 6X1 + 6X2 ≤ 36 • X1 + 2X2 ≤ 10 • X1 ; X2 ≥ 0
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
(kendala jam kerja) (kendala bahan baku) (kendala non-negatif) Materi #3 Ganjil 2015/2016
12
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Contoh #3.4 … (2/3) 25
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
X2 X1 = 0 X2 = 5
6623 - Taufiqur Rachman
6
Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 :
6X 1 6X 2 36 1 6X 1 6X 2 36 X 1 2X 2 10 3 3X 1 6X 2 30 3X1 = 6 X1 = 2
C
5
B
4 3 2
X1 = 6 X2 = 0
DMK
1
A
0 0
1
2
3
CCR314 - Riset Operasional
4
5
6
7
8
9
10
X1
X1 + 2X2 = 10 2 + 2X2 = 10 2X2 = 8 X2 = 4
Materi #3 Ganjil 2015/2016
Solusi Contoh #3.4 … (3/3)
6623 - Taufiqur Rachman
26
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
Dengan fungsi tujuan: Maksimalkan Z = 4X1 + 5X2
Pada titik A → X1 = 6 ; X2 = 0 ; Z = 24
Pada titik B → X1 = 2 ; X2 = 4 ; Z = 28
Pada titik C → X1 = 0 ; X2 = 5 ; Z = 25
Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa keuntungan yang terbesar didapatkan apabila memproduksi Meja sebanyak 2 unit dan memproduksi Kursi sebanyak 4 unit dengan mendapatkan keuntungan sebesar $28.
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Materi #3 Ganjil 2015/2016
13
CCR314 - Riset Operasional
Materi #3 Ganjil 2015/2016
6623 - Taufiqur Rachman
http://taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id
27
CCR314 - Riset Operasional
6623 - Taufiqur Rachman
Materi #3 Ganjil 2015/2016
14