2008-I Achtkromme de vragen 9 – 12 Drie goniometrische formules vooraf. • De verdubbelingsformule:
sin 2t = 2 sin t cos t volgt met t = u uit sin t + sin u = sin t cos u + cos t sin u
• Pythagoras:
sin 2 t cos2 t 1
• Lengte parameterkromme:
t a
t b
v dv
( x)2 ( y )2 dt
dv dt vx 2 v y 2 dt
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. ------------------------------------------------------------------------
2
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 →
2
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
(√2, 1)
x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
2
-1
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 → 2t = 0,5π + 2k π dus o.a. t = 0,25π geeft punt (√2, 1)
2 cos 14 π 2 12 2 2
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
(√2, 1)
x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
2
-1
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 → 2t = 0,5π + 2k π dus o.a. t = 0,25π geeft punt (√2, 1) De grafiek is symmetrisch dus de vier punten zijn:
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
(√2, 1)
x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
2
-1
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 → 2t = 0,5π + 2k π dus o.a. t = 0,25π geeft punt (√2, 1) De grafiek is symmetrisch dus de vier punten zijn: De rechthoek heeft dus breedte
en hoogte
( 2, 1) en ( 2, 1)
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π: x = 2 cos t y = sin 2t Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
(√2, 1)
1
2
-2
2
-1
2√2
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 → 2t = 0,5π + 2k π dus o.a. t = 0,25π geeft punt (√2, 1) De grafiek is symmetrisch dus de vier punten zijn: De rechthoek heeft dus breedte 2√2 en hoogte 2 en de oppervlakte van de rechthoek is:
( 2, 1) en ( 2, 1)
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π: x = 2 cos t y = sin 2t
(√2, 1)
1
2
Deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as en de y-as. De kromme heeft 4 punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze 4 punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
-2
2
-1
2√2
Vraag 9. Bereken exact de oppervlakte van deze rechthoek. -----------------------------------------------------------------------Hoogste punt y = 1 geeft: sin 2t = 1 → 2t = 0,5π + 2k π dus o.a. t = 0,25π geeft punt (√2, 1) De grafiek is symmetrisch dus de vier punten zijn:
( 2, 1) en ( 2, 1)
De rechthoek heeft dus breedte 2√2 en hoogte 2 en de oppervlakte van de rechthoek is: 2√2 × 2 = 4√2
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ----------------------------------------------------------------
-2
A
B ? 2
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
-2
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus
B ? 2
-1
geeft:
A
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
-2
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
2t 65 π
B ? 2
-1
geeft:
A
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
2t 65 π
A
B ?
-2
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
2t 65 π
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414
A
B ?
-2
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
2t 65 π
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414 Vraag 11. Bereken de lengte van kromme k. -----------------------------------------------------
?
-2
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
2t 65 π
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414 Vraag 11. Bereken de lengte van kromme k. ----------------------------------------------------Formule: lengte k is
2π
0
( x)2 ( y )2 dt
?
-2
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t -2
Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
?
2t 65 π
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414 Vraag 11. Bereken de lengte van kromme k. ----------------------------------------------------Formule: lengte k is
2π
0
( x)2 ( y )2 dt
met
x 2sin t en
y 2cos 2t
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t -2
Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
?
2t 65 π
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414 Vraag 11. Bereken de lengte van kromme k. ----------------------------------------------------Formule: lengte k is Dus lengte =
Met de TI-84:
2π
0
2π
0
( x)2 ( y )2 dt
4sin 2 (t ) 4cos 2 (2t ) dt
met
x 2sin t en
y 2cos 2t
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
½
x = 2 cos t y = sin 2t -2
Er zijn 2 punten met positieve x waarvan y = ½ is.
Vraag 10. Bereken hoever die punten van elkaar liggen. ---------------------------------------------------------------Uit y = ½ volgt: sin 2t = ½ dus 2t 16 π of
?
2t 65 π
2
-1
1 π of geeft: t 12
5 π t 12
Met GR: xA = 1,932 en xB = 0,518 dus AB = 1,414 Vraag 11. Bereken de lengte van kromme k. ----------------------------------------------------Formule: lengte k is Dus lengte =
2π
0
2π
0
( x)2 ( y )2 dt
met
x 2sin t en
4sin 2 (t ) 4cos 2 (2t ) dt
Met de TI-84: fnInt (√( 4(sin (X))2 + 4(cos(2X))2), X, 0, 2π) = 12.194
y 2cos 2t
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
geeft:
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
geeft:
y 2cos t (1 14 4cos2 t )
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
-1
geeft:
y 2cos t (1 14 4cos2 t ) 2cos t (1 cos2 t )
gebruik sin 2 t cos2 t 1 (Pythagoras)
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
-1
geeft:
y 2cos t (1 14 4cos2 t ) 2cos t (1 cos2 t ) 2cos t sin t
gebruik sin 2t 2sin t cos t (verdubbelingsformule)
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
geeft:
y 2cos t (1 14 4cos2 t ) 2cos t (1 cos2 t ) 2cos t sin t sin 2t
-1
2008-I Achtkromme Getekend is de kromme k voor 0 ≤ t ≤ 2π:
1
x = 2 cos t y = sin 2t -2
2
Vraag 12. Toon aan dat voor de punten van k met 0 ≤ t ≤ ½ π geldt: y x 1 14 x -----------------------------------------------------------2
Invullen
x = 2 cos t
geeft:
y 2cos t (1 14 4cos2 t ) 2cos t (1 cos2 t ) 2cos t sin t sin 2t
En dit is gelijk aan y .
-1
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
B
A
E D
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk:
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval:
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want:
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want:
AB = CB (Z)
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want: en:
AB = CB (Z) BE = BD (Z)
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
6o B 6o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want: en: immers:
AB = CB (Z) BE = BD (Z) ABE = CBD (H)
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
6o B 6o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want: en: immers: Conclusie:
AB = CB (Z) BE = BD (Z) ABE = CBD (H) beide hoeken zijn 60o + ABD
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want: en: immers:
AB = CB (Z) BE = BD (Z) ABE = CBD (H) beide hoeken zijn 60o + ABD
Conclusie: de andere zijden zijn ook gelijk:
o D
o E
2008-I Gelijkzijdige driehoeken
C o
De driehoeken ABC en BDE zijn gelijkzijdig. Vraag 19. Bewijs dat AE = CD --------------------------------------------------------
A
o
o B o
Zie de gelijke lijnstukken en gelijke hoeken (60o).
=
= Twee driehoeken zijn congruent, namelijk: AEB en CDB, volgens congruentiegeval: ZHZ want: en: immers:
AB = CB (Z) BE = BD (Z) ABE = CBD (H) beide hoeken zijn 60o + ABD
Conclusie: de andere zijden zijn ook gelijk: AE = CD
o D
o E
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
De stelling van de constante omtrekshoek
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. -----------------------------------------------------------------
B
A S
E D
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. -----------------------------------------------------------------
B
A
Trek CS en SB. S E D
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. ----------------------------------------------------------------Trek CS en SB en gebruik de stelling van de constante hoek en gelijke hoeken van 60o.
B
A S
E
De hoeken met een stip ( ) zijn gelijk (60o). De hoeken met een rode stip ( ) staan op eenzelfde koorde en zijn dus ook 60o.
D
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. ----------------------------------------------------------------Trek CS en SB en gebruik de stelling van de constante hoek en gelijke hoeken van 60o.
B
A S
E
De hoeken met een stip ( ) zijn gelijk (60o). De hoeken met een rode stip ( ) staan op eenzelfde koorde en zijn dus ook 60o. CBA = CSA (staan beide op koorde AC) BSE = BDE (staan beide op koorde BE)
D
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. ----------------------------------------------------------------Trek CS en SB en gebruik de stelling van de constante hoek en gelijke hoeken van 60o.
B
A S
E
De hoeken met een stip ( ) zijn gelijk (60o). De hoeken met een rode stip ( ) staan op eenzelfde koorde en zijn dus ook 60o. CBA = CSA (staan beide op koorde AC) BSE = BDE (staan beide op koorde BE) CSB = CAB (staan beide op koorde BC)
D
C
2008-I Gelijkzijdige driehoeken Van de gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE zijn de omgeschreven cirkels getekend. S = tweede snijpunt. Vraag 20. Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is. ----------------------------------------------------------------Trek CS en SB en gebruik de stelling van de constante hoek en gelijke hoeken van 60o.
B
A S
E
De hoeken met een stip ( ) zijn gelijk (60o). De hoeken met een rode stip ( ) staan op eenzelfde koorde en zijn dus ook 60o. CBA = CSA (staan beide op koorde AC) BSE = BDE (staan beide op koorde BE) CSB = CAB (staan beide op koorde BC) Dus ASE = 60o + 60o + 60o =180o is een gestrekte hoek.
D
