17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kör: egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Az adott pont a kör középpontja, a távolság a sugara. A kört lehet érteni körvonalnak, vagy körlemeznek (ami síkidom: a körvonal és az azon belüli pontok.) A
Def: Húr: a körvonal két különböző pontját összekötő szakasz. Tétel:A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Bizonyítás: Legyen AB húr felezőpontja F. Kössük össze F-et K-val. Ekkor állítjuk, hogy KF merőleges AB-re KF a húr felezőmerőlegese.
F
r
B r
K
Ennek bizonyításához kössük össze K- t A-val és B-vel! KA=KB= r. KAF ∆≅ KBF ∆, mert mindhárom oldaluk egyenlő. megfelelő szögeik is egyenlőek. AFK ∡ = BFK ∡, de AFK ∡ + BFK ∡ = 180° AFK ∡ = BFK ∡ = 90°. Q.E.D. Def: Átmérő: az a húr, amely átmegy a kör középpontján. Az átmérő a leghosszabb húr, hossza a sugár kétszerese, két egyenlő területű részre osztja a kört. Def: Körív: a körvonalat két különböző pontja két körívre osztja. Def: Középponti szög: olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontja, a szárai ugyanannak a körnek a sugaraira illeszkednek. Egy középponti szöghöz egy körív tartozik (amelyik a szögtartományban van), egy körívhez pedig egyetlen középponti szög.
K r
r
Def: Kerületi szög: olyan szög, amelynek csúcsa a körvonalon van,
szárai ugyanannak a körnek a húrjai. Egy kerületi szöghöz egy körív tartozik, egy körívhez viszont végtelen sok kerületi szög.
Tétel: A középponti szög nagysága egyenesen arányos a hozzá tartozó körív hosszával,és a körcikk területével. Def: Körcikk: a körlemezt két különböző sugara két körcikkre osztja. A körcikk a körlemeznek a két sugár és a köztük levő körív által határolt része. Egy irányszögű, i ívhosszúságú körcikk területe: 𝑇𝑐 =
𝑟∙𝑖 2
=
𝑟 2 ∙𝛼 2
=
𝛼 360°
∙ 𝑟2 𝜋
i
1. oldal
h m
Def: Körszelet: a körlemezt egy húr két körszeletre osztja. A körszelet a körlemeznek egy húr és a körvonal által határolt része. 𝑇=
𝑖∙𝑟−ℎ∙(𝑟−𝑚 ) 2
i: ívhossz h: húr hossza m: a körszelet magassága
i A félkör egy olyan speciális síkidom, amely körcikk és körszelet is egyszerre. A kör kerülete:𝐾 = 2𝑟𝜋 (irracionális szám, a kör kerületének és átmérőjének állandó aránya) A kör területe: 𝑇 = 𝑟 2 𝜋 Ezeket az összefüggéseket közelítő értékekkel számolták ki: egyre nagyobb csúcsszámú sokszögek kerülete és területe egyre jobban tart a kör kerülete és területe felé. Érintési pontba húzott sugár: az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Kerületi és középponti szögek tétele: Azonos ívhez tartozó középponti szög nagysága kétszerese a kerületi szög nagyságának. Kiterjesztése1: Egy körben levő adott ívhez tartozó középponti szög nagysága kétszerese az ugyanakkora sugarú körben azonos hosszúságú ívhez tartozó kerületi szögek nagyságának.
2
Kerületi szögek tétele: azonos ívhez tartozó kerületi szögek nagysága egyenlő. Kiterjesztése: azonos sugarú körökben azonos ívhez tartozó kerületi szögek nagysága egyenlő. Indoklás: egy adott hosszúságú körívhez (azonos sugarú körökben) csak egy középponti szög tartozik, ez kétszerese a kerületi szögnek, így a kerületi szögek biztosan ugyanakkorák.
Def: Látókörív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy adott szakasz adott szög alatt látszik.
2. oldal
Érintő szárú kerületi szög tétele: az ív végpontjait összekötő húr és az érintő által bezárt szög ugyanakkora, mint az ívhez tartozó kerületi (ahol az ív a kijelölt szögtartományba esik.
((Bizonyítás: 1. eset: 𝛼 < 90° Behúzzuk az ív végpontjaiból a kör sugarait. Így egy egyenlő szárú háromszög keletkezik (𝑂𝐵𝐴 ) alapon fekvő szögei egyenlők. (𝑂𝐵𝐴 a kerületi és középponti szögek tétele miatt 2)
𝑂𝐴𝐵∡ = 𝑂𝐵𝐴∡ =
180°−2𝛼 2
= 90° − 𝛼
B r
O
2 r A
Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre: 𝜑 = 90° − 90° − 𝛼 = 90° − 90° + 180°- 𝛼 = 𝛼 𝜑 = 𝛼 r O 2. eset: ∝ > 90° 360°-2 Vegyük kiegészítőszögét (ez a másik AB ívhez r tartozik) 180° − 𝛼 Az ehhez tartozó középponti szög: 2 ∙ 180° − 𝛼 = 360° − 2𝛼 A 𝐴𝑂𝐵∆ egyenlő szárú, alapon fekvő szögei egyenlők: 𝑂𝐴𝐵∡ = 𝑂𝐵𝐴∡ =
180°−(360°−2𝛼) 2
=
−180°+2𝛼 2
B
= 𝛼 − 90°
Az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, tehát: 𝜑 = 90° + 𝛼 − 90° = 90° − 90° + 𝛼 = 𝛼 𝜑 = 𝛼 B 3. eset: 𝛼 = 90° Ebben az esetben AB húr egybeesik a kör átmérőjével, ami derékszöget zár be az érintővel. (180°-os a középponti szög.)))
A KÖR ÉS EGYENES KÖLCSÖNÖS HELYZETE Elkerülő: ilyenkor a sugár kisebb, mint a kör középpontjának és az egyenesnek a távolsága. 𝑑 𝑒; 𝐾 > 𝑟 Nincs közös pont Érintő: ekkor a sugár ugyanakkora, mint a kör középpontjának és az egyenesnek a távolsága. 𝑑 𝑒; 𝐾 = 𝑟 Egy közös pont van. Metsző: az egyenes és a kör középpontjának távolsága kisebb, mint a kör sugara. Ennek egy speciális esete, amikor az egyenes átmegy a kör középpontján, tehát a távolság 0 és 𝐾 ∈ 𝑒.𝑑(𝑒; 𝑘) < 𝑟 2 közös pont van.
3. oldal
JULI, IDE ÁBRA PLS!!!!! Tétel1: Körhöz húzott érintő szakaszok tétele: Egy adott pontból a körhöz húzott érintési szakaszok egyenlő hosszúságúak.
𝛽
E
e
Tétel2: A körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele: 𝜑 A körhöz adott pontból húzott érintőszakasz mértani közepe az a P A ugyanabból apontból húzott szelő két szakaszának, azaz 𝑃𝐸 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵. Bizonyítás:Kössük össze E-t A-val és B- vel. 𝛽 az AE ívhez tartozó kerületi szög. AEP ∡ az ugyanehhez az ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög.
b
𝛽 B
AEP ∡ = 𝛽. PAE ∆ ~ PBE ∆ (mert 2 szögük egyenlő, 𝜑, 𝛽 ) 𝑃𝐴 𝑃𝐸
=
𝑃𝐸 𝑃𝐵
/ ∙ 𝑃𝐸 ∙ 𝑃𝐵
𝑃𝐸 2 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵
𝑃𝐸, 𝑃𝐴, 𝑃𝐵 > 0,mert szakaszok
𝑃𝐸 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵.
𝛽
Tétel3: Körhöz adott pontból húzott szelőszakaszok tétele: Adott körhöz adott külső pontból húzott szelőszakaszok hosszának szorzata állandó, azaz𝑃𝐴1 ∙ 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐴2 ∙ 𝑃𝐵2 . (Ez következménye az előző tételnek. 𝑃𝐴1 ∙ 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐴2 ∙ 𝑃𝐵2 = 𝑃𝐸 2 ) (Direkt) bizonyítás:Kössük össze A1- et B2- vel és A2- t B1- el! Ekkor A2B1A1∡ = 𝛽 =A1B2 A2∡, mert az A1A2 ívhez tartozó kerületi szögek.
B1 A1 𝜑
P
A2
B2 𝛽
PA2B1 ∆ ~ PA1B2∆ mert 2 szögük egyenlő (𝜑, 𝛽). 𝑃𝐴1 2 = 𝑃𝐵 𝑃𝐴2 𝑃𝐵1 𝑃𝐴1 ∙ 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐵2 ∙ 𝑃𝐴2 . A tétel akkor is érvényes, ha a P a körön belül van: Áll:𝑃𝐴1 ∙ 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐴2 ∙ 𝑃𝐵2 . Bizonyítás:A2A1P∡ = 𝛼 = A2B2 B1 ∡, mert az A2B1 ívhez tartozó kerületi szögek. A2PA1∡ = B2 PB1 ∡, mert csúcsszögek. PA1 A2 ∆ ~ PB1B2∆, mert 2 szögük egyenlő. 𝑃𝐴1 𝑃𝐴2 = 𝑃𝐵 𝑃𝐵2 1 𝑃𝐴1 ∙ 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐵2 ∙ 𝑃𝐴2 .
𝛼 A1 A2 P B1
B2 𝛼
4. oldal
Alkalmazások kerék, mint kör (minimális súrlódás az alakja miatt, hiszen csak egy pontban
érintkezik a síkkal) bicikliláncnál közös külső érintők felhasználása a lánc hosszának kiszámításakor kerületi és középponti szögek tétele: húrnégyszög-tétel bizonyításában külső pontból húzott érintők: érintőnégyszög-tétel bizonyításában látókörív: hajózásban, csillagászatban, helymeghatározásban építészetben a kör használata a szimmetria miatt, valamint amiatt, mert a területe maximális a kerülethez képest
centrifuga
körmozgás
érintő irányú erő turbinák, rotorok űrállomás – Egyenlítőnél nagyobb a kerületi sebesség
körmozgást végez – kipréseli a vizet centripetális erő (középpont felé)
5. oldal
