GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
GEOMETRIE KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKŮ Konstrukce trojúhelníku zadaného podle věty sss SSS – strana, strana, strana
VĚTA sss Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují ve všech třech stranách.
Př. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a = 6 cm, b = 8 cm a c = 7 cm 1. NÁČRT
2. ZKOUŠKA Trojúhelníková nerovnost Součet dvou nejkratších stran musí být větší než strana třetí 6+7> 8 - trojúhelník lze sestrojit
3. ROZBOR
4. POPIS KONSTRUKCE
5. KONSTRUKCE
6. OVĚŘENÍ Trojúhelník vyhovuje zadání 7. DISKUSE Jedno řešení v jedné polorovině
VĚTA sus Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném.
Konstrukce trojúhelníku júhelníku zadaného podle věty sus su SuS – strana, úhel, strana Př. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno α =40° b = 7 cm a c = 8 cm 1. NÁČRT 2. ZKOUŠKA
k
α < 180° trojúhelník lze sestrojit
3. ROZBOR
5. KONSTRUKCE
6. OVĚŘENÍ
ojúhelník vyhovuje zadání Trojúhelník
7. DISKUSE
Jedno řešení v jedné polorovině
10
4. POPIS KONSTRUKCE
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
Konstrukce trojúhelníku zadaného podle věty usu
VĚTA usu Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují v jedné straně a dvou úhlech k této straně přilehlých.
usu –úhel, strana, úhel Př. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno α =40° β = 60° a c = 8 cm 1. NÁČRT 2. ZKOUŠKA
4. POPIS KONSTRUKCE α + β < 180° trojúhelník lze sestrojit 3. ROZBOR
5. KONSTRUKCE
6. OVĚŘENÍ Trojúhelník vyhovuje zadání 7. DISKUSE Jedno řešení v jedné polorovině
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST • • •
Středová souměrnost je, shodné zobrazení v rovině, které převádí vzory na obrazy. Překlopení vzoru probíhá přes jediný bod, který nazýváme střed souměrnosti. Středová souměrnost je určena středem souměrnosti a dvojící odpovídajících si bodů. Jediným samodružným bodem je střed souměrnosti. Středová souměrnost zachovává rovnoběžnost, rovnoběžnost, to znamená, že kterákoliv úsečka vzoru je rovnoběžná se svým obrazem.
Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti 1. Jak sestrojit obraz A`` bodu A ve středové souměrnosti se středem S? a) Narýsuj přímku AS. b) Na přímce AS sestroj bod A`tak, aby bod S byl středem úsečky A A`(kružítkem `(kružítkem nebo pravítkem) 2. Jak sestrojit obraz útvaru ve středové souměrnosti souměr se středem S? Zadání : Sestrojte obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S. Postup konstrukce Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. vzor obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník, čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem S.
•
Středově souměrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená, že ke každému bodu nalezneme jeho jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, který rovněž náleží tomuto útvaru. Ve středové souměrnosti se středem S se zobrazí sám na sebe.
11
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
ČTYŘÚHELNÍKY
R O V N O B Ě Ž N Í K Y
Čtverec
Obdélník
Kosočtverec
Kosodélník
Všechny strany jsou stejně dlouhé
Sousední strany mají různé délky
Všechny strany jsou stejně dlouhé
Sousední strany mají různé délky
Všechny vnitřní úhly jsou pravé (pravoúhelníky)
Žádný vnitřní úhel není pravý (kosoúhelníky) Úhlopříčky se navzájem půlí
Úhlopříčky mají stejnou délku
Úhlopříčky nemají stejnou délku
Úhlopříčky jsou k sobě kolmé
Úhlopříčky k sobě nejsou kolmé
Úhlopříčky jsou k sobě kolmé
Úhlopříčky k sobě nejsou kolmé
Úhlopříčky půlí vnitřní úhly
Úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly
Úhlopříčky půlí vnitřní úhly
Úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly
Středově souměrné útvary
Osově souměrný
(čtyři osy souměrnosti)
Osově souměrný
Osově souměrný
(dvě osy souměrnosti)
(dvě osy souměrnosti)
12
Není osově souměrný
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
Sousední vrcholy čtyřúhelníku: A a B; B a C; C a D; D a A Protější vrcholy čtyřúhelníku: A a C; B a D Sousední strany čtyřúhelníku: a a b; b a c; c a d; d a a Protější strany čtyřúhelníku: a a c; b a d Sousední vnitřní úhly čtyřúhelníku: α a β ; β a χ ; χ a δ ; δ Protější vnitřní úhly čtyřúhelníku:
α a χ; β a δ
aα
Úhlopříčky čtyřúhelníku: AC; BD
•
Rovnoběžník o je čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné a shodné. o Každé dva protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné o Součet velikostí všech vnitřních úhlů rovnoběžníku rovn je 360° o Součet velikostí sousedních úhlů rovnoběžníku je 180°
•
Výška rovnoběžníku udává vzdálenost rovnoběžek, na kterých leží jeho protější strany. Existuje nekonečně mnoho výška na stranu rovnoběžníku, všechny jsou navzájem rovnoběžné a stejně dlouhé.
13
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
Př. Sestroj rovnoběžník ABCD, je-lili dáno: Náčrt a rozbor:
X
k
p
l Zkouška: úhel BAD je menší než 180 trojúhelník ABD lzde sestrojit
Popis konstrukce:
Konstrukce:
D p q
Ověření:: čtyřúhelník vyhovuje zadání Diskuse: jedno řešení v jedné polorovině
OBVOD ROVNOBĚŽNÍKU
o = a+b+c+d o = a+b+a+b o = 2.a + 2.b o = 2.( a + b )
14
/ a=c;b=d
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
OBSAH ROVNOBĚŽNÍKU Obsah rovnoběžníku je součin délky strany a výšky k této straně
S = a . va = b . v b
OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníku se spočítá jako součet délek všech tří stran. o=a+b+c
OABC = a + b +c
OBSAH TROJÚHELNÍKU
•
Obsah trojúhelníku se rovná polovině součinu délky strany trojúhelníku a výšky příslušné k této straně.
Vb Va
·
SABC =
a.va b.vb c.vc = = 2 2 2
obsah pravoúhlého trojúhelníku je roven součinu jeho odvěsen vydělený dvěma
15
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená LICHOBĚŽNÍKY Obecný
Pravoúhlý
Rovnoramenný
Dvě protější strany jsou rovnoběžné, dvě různoběžné
Dvě protější strany jsou rovnoběžné, dvě různoběžné
Dvě protější strany jsou rovnoběžné, dvě různoběžné
Součet vnitřních úhlů je 360˚
Součet vnitřních úhlů je 360˚
Součet vnitřních úhlů je 360˚
Nemá žádný vnitřní úhel pravý
Má dva vnitřní úhly pravé
Nemá žádný vnitřní úhel pravý
Vnitřní úhly při základnách nejsou shodné
Vnitřní úhly při základnách nejsou shodné
Vnitřní úhly při základnách jsou shodné
Není osové souměrný
Není osově souměrný
Je osově souměrný podle spojnice středů obou základen
Úhlopříčky nejsou shodné Úhlopříčky nejsou shodné
•
Úhlopříčky jsou shodné
Lichoběžník o je čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné a další dvě zbývající různoběžné • • •
A, B, C, D - vrcholy lichoběžníku a, b, c, d - strany lichoběžníku AB, CD - základny lichoběžníku (jsou rovnoběžné) BC, AD - ramena lichoběžníku (jsou různoběžné) v -výška výška rovnoběžníku (vzdálenost rovnoběžných přímek p, q) AC, BD - úhlopříčky lichoběžníku α, β, γ, δ- vnitřní úhly lichoběžníku
• • • • OBVOD LICHOBĚŽNÍKU • •
Součet délek jeho stran o=a+b+c+d
OBSAH LICHOBĚŽNÍKU
S=
•
16
(a + c ).v 2
Obsah lichoběžníku S spočteš tak, že vynásobíš součet délek obou základen (a + c) výškou v a výsledek podělíš dvěma.
GEOMETRIE
SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
HRANOLY podstava výška Podstavná hrana
výška
Boční hrana Boční stěna ČTYŘBOKÝ HRANOL = KVÁDR
TROJBOKÝ HRANOL
podstava
Podstavou hranolu jsou dva shodné čtyřúhelníky (obdelníky). •
Podstavou hranolu jsou dva shodné trojúhelníky
Hranol je těleso, jehož o Boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce o Podstavy jsou rovnoběžné, shodné nn úhelníky o Výška je délka jeho boční hrany
SÍŤ HRANOLU
POVRCH HRANOLU
Sp…obsah podstavy
S = 2⋅⋅Sp+Spl •
Rozvinutý plášť hranolu je obdelník, nebo čtverec. Jeden jeho rozměr se rovná obvodu podstavy, druhý rozměr se rovná výšce hranolu.
Spl…..obsah pláště OBJEM HRANOLU
V = a ⋅b ⋅ c Součin a ⋅ b je obsah podstavy
c je výška kvádru
Vzorec objemu hranolu lze napsat
V = Sp ⋅ v 17
